§2.1 分解因式(1)
八下 2.1分解因式 教学设计(于海峰)
第二章 分解因式§2.1 分解因式【有效学习】一、学习目标1、了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.2、通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能力.3、通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系.学习重点：1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系.学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
【复习检测】复习整式乘法公式类：()()a b a b +-= 2()a b += 2()a b -=（1）单⨯单：=∙ab a 43 （2） 单⨯多：(35)a a b -=（3）多⨯多：(3)(2)x y x y -+= （4） 混合乘：(1)(1)a a a +-=【预习检测】把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式 应用提高：公式类：22a b -= 222a ab b ++= 222a ab b -+=（1） 212a b = 3a ⨯ （2）235a ab -= （3）22253x xy y --= （4）3a a -= 总结因式分解的特点： 议一议（1）由(1)(1)a a a +-=3a a -的变形是 运算。
（2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形是 运算。
想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=-（5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=-【学以致用】1.下列从左到右的变形，是分解因式的为( )A.x 2－x =x (x －1)B.a (a －b )=a 2－abC.(a +3)(a －3)=a 2－9D.x 2－2x +1=x (x －2)+1 2.下列各式分解因式正确的是 （ ）A. 223633(2)a x bx x x a b -+=-B. ()22xy x y xy x y +=+C. 2()a ab ac a a b c -+-=-+-D. 22963(32)abc a b abc ab -=-3.讨论553－55能被56整除吗？还能被几整除？你是怎样想的？与同伴交流.4.如图。
因式分解——十字相乘法
因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
第二章 2.1.3 因式分解 (1)新
3ab(a + b) − a − b
7c(x − y) − x + y
3
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走，留 1 把门守； 全家都搬走， 把门守； 提负要变号，变形看奇偶。 提负要变号，变形看奇偶。
例2
请把下列各式因式分解
(1)16a 2 − 1
2
(2) 3a + 6a = 3a (a + 2) (3) x 2 − 4 + 3x = ( x + 2)( x − 2) + 3 x (4) x 2 − 4 + 3x = ( x + 4)( x − 1) (5) x − 4 = ( x + 2)( x − 2)
2
(6) x − 4 = ( x + 2)( x − 2) 1 1 2 2 (7 ) x + 2 + 2 = ( x + ) x x
合作学习
把下列各式因式分解
(1)a 4 − 81
(2)4 x y − 9 xy
3 2 3
(3)3ax + 6axy + 3ay
2
注意: 注意:
（1）因式分解要彻底，直到不能分解为止。 因式分解要彻底，直到不能分解为止。 彻底 （2）通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 提取公因式法
2ab
(3a − 2a2b2 −1 )
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走， 把门守。 全家都搬走，留 1 把门守。
例1
将下列各式分解因式： 将下列各式分解因式：
分解因式(比赛用的)
小明是这样想的: 小明是这样想的:
993 − 99 = 99× 992 − 99×1 = 99(992 − 1) = 99× 9800 = 98× 99×100 所以,99 − 99能被100整除.
拓展应用
2. 20082+2008能被 能被2009整除吗 整除吗? 能被 整除吗
解: ∵20082+2009=2008(2008+1) =2008 ×2009 能被2009整除 ∴ 20082+2008能被 能被 整除
你能说出你这节课的收获和体验， 你能说出你这节课的收获和体验， 让大家与你一起分享吗？ 让大家与你一起分享吗？
《数学》( 北师大版.八年级 下册 ) 数学》 北师大版.
§2.1分解因式 2.1分解因式
胶州市实验初中
蒋明理
数学中的游戏
游戏规则： 游戏规则：
任意说出一个大于 的整数, 任意说出一个大于1的整数,并用这个数 大于1 的立方减它。 的立方减它。
问题 ：结果能被哪些数整除? 结果能被哪些数整除?
想一想
（x+1）2 x+1）
拓展应用
a=3.14，b=2.386，c=1.386时 １.当a=3.14，b=2.386，c=1.386时， 求ab-ac的值 ab-ac的值
解:ab-ac=a(b-c) :ab-ac=a(bc=1.386时 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386) 原式=3.14×(2.386=3.14 =3.14
3
做一做
你知道每一 步的根据吗? 步的根据吗? 想一想: 想一想: 99399还能被哪 99还能被哪 些整数整除? 些整数整除?
实数的范围内分解因式
实数的范围内分解因式1. 引言嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个可能让你在课堂上挠头的主题——分解因式，尤其是在实数范围内的分解因式。
听上去有点高深，但别担心，我会用通俗易懂的方式带你走进这个神秘的数学世界。
想象一下，分解因式就像是给一个复杂的拼图找到了它的小块，让它变得简单明了。
是不是有点意思？2. 分解因式的基本概念2.1 什么是分解因式？分解因式简单来说，就是把一个多项式拆分成几个“因式”，这些因式可以是一次多项式或常数。
例如，你有一个大块蛋糕，分解因式就像把它切成小块，方便大家分享。
比如说，x^2 4 这个式子，你可以把它分解成(x 2)(x + 2)。
看，这样是不是清晰多了？2.2 为什么要分解因式？分解因式的好处可不少！首先，它能让你更容易找到方程的根。
比如说，咱们想知道 x^2 4 = 0 的解，那就可以直接用 (x 2)(x + 2) = 0，结果显而易见，x = 2 或 x = 2。
这就像是打开了一扇窗，阳光一下子洒进来了，明亮又温暖。
3. 实数范围内的分解3.1 实数的特点在数学的大家庭里，实数就像是那种能给你带来温暖的老友，既可靠又实用。
它包括了所有的有理数和无理数，像是整数、分数、甚至那些奇奇怪怪的根号数。
在我们进行分解因式时，实数的这些特点能帮助我们找到更好的解决方案。
3.2 实数分解的常见技巧说到实数范围内的分解因式，咱们常用的几招有：提取公因式、分组分解和使用平方差公式。
比如，提取公因式就像是从一个大袋子里把共同的零食拿出来。
比如 3x^2 + 6x，你可以提取出 3x，变成 3x(x + 2)。
这样一来，不仅干净利落，还显得特别有条理。
4. 练习与应用4.1 多做练习要熟练掌握分解因式，光听不练可不行！不妨拿起笔，尝试一些例题。
像 x^2 + 5x + 6，你可以试着分解成 (x + 2)(x + 3)，看到这里是不是觉得豁然开朗？练习多了，自然就手到擒来了。
4.2 实际应用分解因式可不仅仅是数学课堂上的一项技能，它在生活中也能派上用场！无论是工程、物理，还是经济学，分解因式都能帮助我们简化问题，找到解决方案。
第二章《因式分解》测试题(魏英霞).doc
八年级数学（下）第二章《因式分解》课时训练（魏英霞）2.1分解因式【考点演练】1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(1)、bx ax b a x -=-)( (2)、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- （3)、)1)(1(12-+=-x x x （4)、c b a x c bx ax ++=++)( （5).12a 2b =3a ·4ab ( 6).(x +3）（x －3）=x 2－9(7).4x 2+8x －1=4x （x +2）－1 (8).21ax －21ay =21a （x －y ） (9). (a +3)(a -3)=a 2-9 (10).x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 (11).x 2+1=x (x +x1) (12)、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22422、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________. 2.2提公因式法【考点演练】1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。
2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） （A ）ab 3- （B ）223b a - （C ）b a 23- （D ）333b a - 3、下列各式分解正确的是（ ）A.)34(391222xy xyz y x xyz -=- B.)1(333322+-=+-a a y y ay y aC.)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D.)5(522a ab b ab b a +=-+4、下列各式的因式分解中正确的是（ ） (A) -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )(B)9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) （C) 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) (D)21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A ．22)()(y x x y -=-B ．)(b a b a +-=-- C.33)()(a b b a --=- D.)(n m n m +-=+- 6、 m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A). (a -2)(m 2+m ) (B). (a -2)(m 2-m ) (C). m (a -2)(m -1) (D). m (a -2)(m+1) 7、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ）A 、()()p p a +-21 B 、()()p p a --21 C 、()()11--p a p D 、()()11+-p a p8、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 ; 9、若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是 9、把下列各式分解因式（1）222axy y x a - （2）5335y x y x +- （3）23)(10)(5x y y x -+-（4）)3()3(2a a -+- （5）c ab ab abc 249714+-- （6）228168ay axy ax-+-（7）32)(12)(18b a b a b ---； （8）mn(m －n)－m(n －m) （9）a 2(x -y )+b 2(y -x )2.3运用公式法—平方差公式 【考点演练】1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是____________________。
§2.1 分解因式导学案
课题：§2.1分解因式主备：刘晓东备课组长审核:高宏伟教务处审核：李诚
一、展示目标：
学习重点：
1．理解因式分解的意义。
2．识别分解因式与整式乘法的关系。
学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
二、自主学习：
1、公式类： = =
=
（1）单 单：3a×4ab=
3．掌握分解因式概念应注意：
（1）被分解对象是
（2）分解因式的结果必须是几个的形式.
（3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止.
4．及时反馈：完成书p45随堂练习
三、合作探究：分解因式与整式乘法的关系
1．议一议
（1）由 = 的变形是运算.
（2）由 = 的变形与（1）有什么不同？
2．想一想
分解因式与整式乘法有什么关系？
（7）a2+2ab+b2=（）（）（8）8y2+8y=（）（）
五、总结升华：
1．分解因式的概念：
2．分解因式应注意：
3．分解因式与整式乘法的关系
（2）单 多： =
（3）多 多：
（4）混合乘：x（x-1）（x+1）=
2、独立探究问题：分解因式的概念
1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？
2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式
.因式分解与整式乘 法是的变形.
例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？
（1）x+1=x（1+ ）（2）
（3） （4）
（5） （6）
因式定理法因式分解
因式定理法因式分解1. 引言在数学中，因式分解是将一个多项式表达式表示为若干个乘积的形式的过程。
因式分解是代数学中的重要概念，它可以帮助我们简化复杂的多项式，解决方程和不等式，以及理解更高级的数学概念。
因式定理法是一种常用的因式分解方法之一。
它基于代数基本定理，即任何一个次数大于1的多项式都可以被分解成一系列次数为1的一次多项式。
本文将详细介绍因式定理法以及如何使用它进行因式分解。
2. 因式定理法的原理因式定理法基于以下两个重要原理：2.1 代数基本定理代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）表明任何一个非常数的次数大于1的多项式都可以在复数域内被完全分解为一次因子。
2.2 因子定理对于一个多项式f(x)，如果f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因子。
这个原理称为因子定理（Factor Theorem）。
换句话说，如果我们找到了f(x)在某个点a处等于零，那么我们可以将f(x)除以(x−a)得到一个次数降低的多项式。
基于以上原理，因式定理法通过不断地使用因子定理和代数基本定理，将一个多项式逐步分解为一次因子的乘积。
3. 因式定理法的步骤下面是使用因式定理法进行因式分解的步骤：3.1 确定多项式的最高次数首先，我们需要确定给定多项式的最高次数。
最高次数决定了我们需要找到多少个一次因子来完全分解这个多项式。
3.2 寻找可能的一次因子接下来，我们需要寻找可能的一次因子。
一次因子是指形如(x−a)的表达式，其中a是一个实数。
常用的寻找一次因子的方法包括有理根定理、综合除法等。
有时候，我们也可以根据观察和猜测来找到可能的一次因子。
3.3 使用综合除法进行验证在找到可能的一次因子后，我们需要使用综合除法来验证这个表达式是否真正是多项式的一个因子。
如果余数为零，则说明找到了一个有效的一次因子。
3.4 迭代应用因子定理如果找到了一个有效的一次因子，我们可以使用因子定理将多项式除以这个因子，得到一个次数降低的多项式。
2.1 分解因式 课件1(北师大版八年级下)
1、你今天获得了什么样的知识？ 2、你学会了用什打算？
③
(a b)(a b) a 2 b2
积 和
a 2 b2 (a b)(a b)
和 积
特征：
因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式， 像这样的式子变形就叫做因式分解．
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？ （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
① 29 57 29 43 ② 56 2 56 44 44
2
乘法分配律
2
完全平方公式
③ 79 21
2
2
平方差公式
整式乘法
①
因式分解
ab ac a(b c)
a(b c) ab ac
②
(a b) 2 a 2 2ab b2
a 2 2ab b2 (a b) 2
1、等式左边是一个多项式（和） 2、等式右边是几个整式的积 3、因式分解是一个恒等变形 4、因式分解在实数范围内要分解到不能再分解为止
因式分解与整式乘法的关系
多项式
分解因式 = 整式乘法
整式的积
因式分解与整式乘法是互逆过程
993 99
1、将下列代数式因式分解
(1) (2) (3)
ax ay
18a 3bc 3a 2 b 6ac
（ （ （
不是 ）
） 不是 ） 不是
(3x 1) 2 9 x 2 6 x 1
2x 2 1 2x 12x 1
2
3x 2 7 x 4 3x 4x 1 （
是） 是） 不是 ）
x 5x 6 x 2x 3 （
分解因式方法
分解因式方法分解因式是解决代数式的重要方法之一，它在代数运算中有着广泛的应用。
在学习代数的过程中，我们经常会遇到各种各样的代数式，而分解因式方法可以帮助我们简化复杂的代数式，使得问题更易于解决。
接下来，我们将详细介绍分解因式的方法和步骤。
首先，我们需要了解什么是因式。
因式是指能够整除某个代数式的因数，它可以是一个数、一个代数式或者一个多项式。
而分解因式就是将一个代数式分解为若干个因式的乘积的过程。
在进行分解因式时，我们通常会遵循以下几个步骤：1. 提取公因式。
首先，我们需要观察代数式中是否存在公因式，即能够整除每一项的因式。
如果存在公因式，我们可以先将其提取出来，这样可以简化代数式，使得后续的分解工作更加容易。
2. 分解成一次因式的乘积。
接下来，我们需要将代数式分解成一次因式的乘积。
一次因式是指次数为1的因式，例如(x+a)、(x-a)等。
在进行分解时，我们需要根据代数式的特点和因式分解公式进行分解，有时候还需要运用到因式分解的技巧和方法。
3. 继续分解。
如果代数式还可以进一步分解，我们就需要继续进行分解工作，直到无法再分解为止。
在这个过程中，我们可能需要运用到一些特殊的因式分解公式，如平方差公式、完全平方公式等。
通过以上步骤，我们可以将复杂的代数式分解为若干个一次因式的乘积，从而更好地理解和运用代数式。
下面，我们通过几个例子来具体说明分解因式的方法。
例1，分解因式x^2+5x+6。
首先，我们观察到该代数式没有公因式，所以我们直接进行一次因式的分解。
我们需要找到两个数，它们的和为5，积为6。
根据这个条件，我们可以很快地得出(x+2)(x+3)这样的一次因式乘积。
因此，x^2+5x+6可以分解为(x+2)(x+3)。
例2，分解因式x^2-4。
在这个例子中，我们可以利用完全平方公式来进行因式分解。
我们知道x^2-4可以写成(x+2)(x-2)，这就是完全平方公式的应用。
因此，x^2-4可以分解为(x+2)(x-2)。
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4.想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
如：（1）m（a+b+c）=ma+mb+mc （2）ma+mb+mc=m（a+b+c）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
即ma+mb+mc m（a+b+c）.
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
5.例题：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
作业：习题2.1
板书设计
分解因式
1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？
2..议一议
3.做一做
4.想一想
5.例题讲解、
6.练习、作业。