2020高中数学---算法—多项循环体

第93炼 含多次循环的程序框图一、基础知识：1、如果在框图运行中，循环次数过多，则不易一一列举，费时费力，则要通过列举出的前几个例子找到规律，并推断出循环临近结束时各变量的值2、找规律：在多次循环的框图中，变量的取值通常呈现出以下几点规律：（1）与数列的求和相关：框图中某个变量与求和相关，且在每次循环中所加上的项具备特点，如同数列的通项公式。

那么则可通过归纳出数列的通项公式从而判断求和方法 （2）与周期性相关：框图经过几次循环后，某个变量的值存在周期性，那么可通过周期性即可判断出循环临近结束后，变量的取值。

（3）计数变量：在较多次的循环中，往往会有一个变量，在每次循环时，它的值都加1，则该变量的值可代表循环的次数，这样的变量称为计数变量。

由于多次循环不能一一列出，所以需要在前几次的列举中发现输出变量与计数变量间的”对应关系“以便于在最后一次循环时，可通过计数变量的值确定输出变量的取值或者是在求和中最后一次加上的项 二、典型例题：例1：右图是表示分别输出22222222221,13,135,,1352011+++++++的值的过程的一个程序框图，那么在图中①②处应分别填上( )A. i ≤2011?,1i i =+B. i ≤1006?,1i i =+C. i ≤2011?,2i i =+D. i ≤1006?,2i i =+ 思路：通过框图可发现S 代表求和，而变量i 是成为求和中的每一项，依题意，每项的底数为奇数（相差2），所以在执行框②中填入的应该是2i i =+，在判断框①中，只要不满足①的条件则结束循环，从选项中可判断是关于i 的条件，且最后一次输出S 前，所加的项为22011，然后2013i =，所以判断框中应填写2011?i ≤，故选C答案：C例2：某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ） A ．3-B ．12-C ．13D ． 2思路：从判断框中发现循环次数较多，所以考虑进行几次循环，并寻找规律：① 3,2S i =-= ② 1,32S i =-=③ 1,43S i == ④ 2,5S i == ⑤ 3,6S i =-=由此可发现S 的值呈周期性变化，且周期为4，最后一次循环2015i =，所以201545033÷=，所以S 的值与②相同，即12S =-答案：B例3：某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A. 12+ C. 12- D. 2思路：程序运行中变量变化如下：① sin23s n π===② 2sin33s s n π=+==③ sin 4s s n π=+==④ 4sin 532s s n π=+== ⑤ 5sin0,63s s n π=+== ⑥ sin20,7s s n π=+==⑦ 7sin83s s n π=+== 可发现s 的取值以6为周期，当2015n =时，循环结束，因为201563355÷=，故此时s 的值与5n =时的一致，所以2s = 答案：D例4：如果执行右边框图，输入2012N =，则输出的数s 等于（ ） A. 2013201122⨯+ B. 2012201222⨯- C. 2012201122⨯+ D. 2013201222⨯-思路：可先进行几次循环观察规律： ① 1112,12,2m s k =⋅=⋅= ② 21222,1222,3m s k =⋅=⋅+⋅= ③ 312332,122232,4m s k =⋅=⋅+⋅+⋅=通过三次循环即可观察到s 为数列{}n a （其中2nn a n =⋅）进行求和，即考虑在第n 次循环时s 的通式，通过{}2n n ⋅通项公式特征可用错位相减法求和：1231222322n s n =⋅+⋅+⋅++⋅()23121222122n n s n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅()2112212222221n n n n s n n ++-∴-=+++-⋅=-⋅-()1122n s n +∴=-⋅+再考虑最后一次循环时2013k =，按照前面的对应关系，循环的序数为12012n k =-=，代入可得：2013201122s =⨯+答案：A例5：执行如图的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 思路：可先执行几次循环：① 11,12S n =-= ② 111,224S n =--=③ 1111,3248S n =---=，依次类推可得：第n 次循环中，111221111111242212nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=----=-= ⎪⎝⎭-若输入的0.01t =，则考虑112100n⎛⎫< ⎪⎝⎭时，7n ≥，故当7n =时，跳出循环，所以输出的7n =答案：C例6：若执行右边的程序框图，输出S 的值为4，则判断框中应填入的条件是（ ） A. 14k < B. 15k < C. 16k < D. 17k < 思路：可先通过几次循环寻找规律：① 2log 3,3S k == ②23log 3log 4,4S k =⋅= ③ 234log 3log 4log 5,4S k =⋅⋅= 由此可发现：第n次循环：()231log 3log 4log 2,2n S n k n +=⋅⋅⋅+=+，且 ()()()()()2312lg 2lg 2lg3lg4log 3log 4log 2log 2lg2lg3lg 1lg2n n n S n n n +++=⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅==++即2log S k =，因为输出4S =，所以2log 4k =，解得16k =，所以应该在16k =后结束循环，判断框应填入16k < 答案：C例7：某算法的程序框图如图，输入1n =，若输出结果S 满足20112012S <，则输入正整数m 的最大值是___________思路：通过流程图可观察到S 可视为数列通过裂1111121m m m m -+-++---项相消求和得到。

即()()()11111221S m m m m =+++---⨯ 1111111212m m m m =-+-++----111111112231m m m =-+-++-=-- 1201112012m ∴-<解得2012m <，从而输入m 的最大值为2011m = 答案：2011m =例8阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序（其中，"mod 4r a =表示“r 等于a 除以4的余数”）输出S 值等于_________思路：通过"mod 4r a =可知框图的关键为a 除以4的余数，且输出的S 为一个求和，先做几个循环寻找规律： ① 0r =，1S =-，5a = ② 1r =，11S =-+，6a = ③ 2r =，112S =-++，7a = ④ 3r =，1123S =-+++，8a = ⑤ 0r =，()11231S =-+++-，9a =由此可得：r 的取值呈周期性。

最后一次循环是2013a =，而201345031÷=，所以2013a =时，0r =，且共进行了()201354502-÷=次循环，所以()()502112312509S =⨯-++++-=答案：2509例9：如图，程序框图运算的结果为________思路：由于100i ≤，经历的循环次数较多，所以考虑求和中的规律。

先通过几次循环寻找： ① 21S = 2i = ② 2212S =- 3i = ③ 222123S =-+ 4i = ……可观察到222222123499100S =-+-++-，从而联想到数列求和。

很难从通项公式入手，观察到相邻两项存在平方差特点，所以考虑两两分组。

()()()()2211121n n n n nnn -+=-+++=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()319937199505052S +=-+++=-⋅=- 答案：5050-例10：阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ）A ．2450,2500B ．2550,2450C ．2500,2550D ．2550,2500 思路：通过几次循环观察特点： ①100,99,99,98S n T n ==== ②10098,97,9997,96S n T n =+==+=③1009896,95,999795,94S n T n =++==++= 通过三次循环便可发现，S 为偶数和，T 为奇数和，从而寻找最后一次循环，则100989622550,999795312500S T =++++==+++++=答案：D三、历年好题精选1、执行如图所示的程序框图，输出P 的值为（ ）A ． 1-B ．1C ．0D ．20162、21.（2015，湖南）执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A.67 B. 37 C. 89 D. 493、（2015，北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，4、（2015，福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．2 B．1 C．0D．1-5、（2015，陕西）根据右边的图，当输入x为2006时，输出的y=（）A．28B．10 C．4 D．26、（2015，天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A. -10B. 6C. 14D. 187、（2015，山东）执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .8、（2014，北京）当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 7 B. 42 C. 210 D. 8409、（2014，湖北）设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a (例如815a =，则()()158,851I a D a ==）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ________．10、执行如图所示的程序框图，输出20152016S =，那么判断框内应填（ ）A. 2015?k ≤B. 2016?k ≤C. 2015?k ≥D. 2016?k ≥ 答案：A11、定义某种运算M a b =⊗，运算原理如图所示，则式子112tan sin 4cos 4233πππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⊗+⊗ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．1312、下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720S =，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥习题答案：1、答案：C解析：执行的程序流程如下：① 1,2P i =-= ② 0,3P i == ③ 1,4P i =-=……可知周期为2，且i 为奇数时，1P =-，i 为偶数时，0P =；最后一次循环时2017i =，此时的0P =2、答案：B解析：① 10,213S i =+=⨯ ② 110,31324S i =++=⨯⨯ ② 1110,4133557S i =+++=⨯⨯⨯，满足i n >，结束循环 111111111311335572335577S ⎛⎫∴=++=⋅-+-+-= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 3、答案：B解析：① 0,2,0,2,1s t x y k =====② 2,2,2,2,2s t x y k =-==-==③ 4,0,4,0,3s t x y k =-==-==，满足3k ≥，结束循环()(),4,0x y ∴=-4、答案：C解析：① 0,2S i == ② 1,3S i =-= ③ 1,4S i =-=④ 110,5S i =-+== ⑤ 0,6S i ==，满足5i >，结束循环5、答案：B解析：① 2004x =；② 2002x =；③ 2000x =，…，以此类推下去，可知第1003次运行时，0x =；第1004次运行时，2x =-，不满足0x ≥，结束循环，所以2313110x y -=+=+=6、答案：B解析：① 2,18i S == ② 4,14i S ==③ 8,6i S ==，满足5i >，结束循环6S ∴=7、答案：116. 解析：① 12100131,222T xdx x n =+===⎰ ② 123100313111,323236T x dx x n =+==+==⎰ 此时3n <不成立，结束循环116T ∴= 8、答案：C解析：由已知可得：k 的初始值为7，循环结束判断条件为：7315k <-+=，循环过程如下：① 177,6S k =⋅==② 76,5S k =⋅=③ 765210,4S k =⋅⋅==，此时满足5k <，循环结束210S ∴=9、答案：495解析：本题循环结束的条件并非大于（或小于）一个值，所以要读懂此程序的过程和结束的条件。