(做)全国卷历年高考概率与统计及解排列组合真题
2021年全国各省市高考真题分类汇编：排列组合与概率统计(解析版)
2021年全国各省市高考真题分类汇总：排列组合与概率统计一．选择题1．（2021•乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种2．（2021•乙卷）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）A．B．C．D．3．（2021•甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间4．（2021•甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．B．C．D．5．（2021•甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 6．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立7．（2021•乙卷）在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A．B．C．D．二．多选题8．（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同三．填空题9．（2021•浙江）袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m﹣n＝，E（ξ）＝．10．（2021•浙江）已知多项式（x﹣1）3+（x+1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝；a2+a3+a4＝．11．（2021•上海）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．四．解答题12．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．13．（2021•甲卷）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床150 50 200乙机床120 80 200合计270 130 400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2＝．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 14．（2021•乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．（1）求，，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．15．（2020•新课标Ⅱ）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，20），其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得x i＝60，y i＝1200，（x i﹣）2＝80，（y i﹣）2＝9000，（x i﹣）（y i﹣）＝800．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本（x i，y i）（i＝1，2，…，20）的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r＝，≈1.414．16．（2020•海南）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：[0，50] （50，150] （150，475][0，35] 32 18 4（35，75] 6 8 12（75，115] 3 7 10（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：[0，150] （150，475][0，75]（75，115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17．（2020•北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1．试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明）18．（2020•新课标Ⅲ）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：[0，200] （200，400] （400，600] 锻炼人次空气质量等级1（优） 2 16 252（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 84（中度污染）7 2 0（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400 人次＞400 空气质量好空气质量不好附：K2＝P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19．（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．20．（2020•新课标Ⅰ）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D频数28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？参考答案一．选择题1．解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，共有＝240种，故选：C．2．解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积＝××＝，1﹣＝．故选：B．3．解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D 正确．故选：C．4．解：4个1和2个0随机排成一行，共有种，2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有种，故2个0不相邻的概率为．故选：C．5．解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，满足题意的概率为，故选：C．6．解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（丁）＝＝，A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），B：P（甲丁）＝＝P（甲）P（丁），C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），故选：B．7．解：由于试验的全部结果构成的区域长度为﹣0＝，构成该事件的区域长度为﹣0＝，所以取到的数小于的概率P＝＝．故选：B．二．多选题（共1小题）8．解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；对于C，∵标准差D（y i）＝D（x i+c）＝D（x i），∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，∵y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，x的极差为x max﹣x min，y的极差为（x max+c）﹣（x min+c）＝x max﹣x min，∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选：CD．三．填空题（共3小题）9．解：由题意，P（ξ＝2）＝，又一红一黄的概率为，所以，解得m＝3，n＝2，故m﹣n＝1；由题意，ξ的可能取值为0，1，2，所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝，所以E（ξ）＝0×+1×+2×＝．故答案为：1；．10．解：a1即为展开式中x3的系数，所以a1＝；令x＝1，则有1+a1+a2+a3+a4＝（1﹣1）3+（1+1）4＝16，所以a2+a3+a4＝16﹣5﹣1＝10．故答案为：5；10．11．解：由题意，＞，且＞，所以n＝6，所以令x＝1，（1+x）6的系数和为26＝64．故答案为：64．四．解答题（共9小题）12．解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为：X0 20 100P0.2 0.32 0.48（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，则Y的期望为E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，因为E（Y）＞E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．13．解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；（2）根据2×2列联表，可得K2＝＝≈10.256＞6.635．所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．14．解：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10，＝（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）＝10.3，s12＝[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036；s22＝[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；（2），，因为，所以﹣＞2，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．15．解：（1）由已知，，∴20个样区野生动物数量的平均数为×＝60，∴该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12000；（2）∵，，，∴r＝＝；（3）更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．16．解：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率P＝＝0.64；（2）根据所给数据，可得下面的2×2列联表：（3）根据（2）中的列联表，由＝≈7.484＞6.635，P（K2≥6.635）＝0.01；故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，17．解：（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件B，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件C，则；（Ⅲ）P0＞P1．理由如下：，设该校总人数为a，则该校支持方案二的人数约为，由表可知，男生支持方案二的概率为，女生支持方案二的概率为，所以一年级为支持方案二的人数约为，故除一年级外其他年级支持方案二的概率为．18．解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：＝；该市一天的空气质量等级为2的概率为：＝；该市一天的空气质量等级为3的概率为：＝；该市一天的空气质量等级为4的概率为：＝；（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：＝100×0.20+300×0.35+500×0.45＝350；（3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表，人次≤400 人次＞400 总计空气质量好33 37 70空气质量不好22 8 30 总计55 45 100由表中数据可得：K2＝＝≈5.820＞3.841，所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝（）4＝．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场的概率为，乙连胜四场比赛的概率为，丙上场后连胜三场的概率为，∴需要进行五场比赛的概率为：P＝1﹣＝．（3）设A为甲输，B为乙输，C为丙输，则丙最终获胜的概率为：P＝P（ABAB）+P（BABA）+P（ABACB）+P（BABCA）+P（ABCAB）+P（ABCBA）+P（BACAB）+P（BACBA）+P（ACABB）+P（ACBAB）+P（BCABA）+P（BCBAA）＝（）4×2+（）5×10＝．20．解：（1）由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故频率为＝0.4，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为＝0.28，故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值分别是0.4，0.28；（2）由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，故其平均利润为（90﹣25）×0.4+（50﹣25）×0.2+（20﹣25）×0.2+（﹣50﹣25）×0.2＝15（元）；同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，故其平均利润为（90﹣20）×0.28+（50﹣20）×0.17+（20﹣20）×0.34+（﹣50﹣20）×0.21＝10（元）；因为15＞10，所以选择甲分厂承接更好．。
2011-2021全国一卷真题统计、概率分布列、计数原理
统计、概率分布列、计数原理一、选择题【2021，8】有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【2021，9】（多选）有一组样本数据x1，x2,…,x n,由这组数据得到新样本数据y1，y2,…,y n,其中y i=x i+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同（）【2020，3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【2020，5】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56% C．46%D．42%【2019，6】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的六个爻组成，爻分成阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.165 B.3211 C.3221 D.1611【2018，3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【2017，6】展开式中的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【2015，10】的展开式中，的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60621(1)(1)xx++2x25()x x y++52x y【2015，4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0．648B ．0．432C ．0．36D ．0．312【2014，5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）． ． ． ．【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．以上都不对 【2013，9】设m 为正整数，2()mx y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【2012，2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种【2011，8】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A ．40- B ．20- C ．20 D ．40【2011，4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 二、填空题【2019，15】甲，乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场次安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 .【2018，15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【2016，14】的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）【2014，13】的展开式中的系数为 ．(用数字填写答案) 【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________． 三、解答题【2021，18】某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题・每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回A 18B 38C 58D 78512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭131223345)2(x x +3x 8()()x y x y -+22x y 元件2元件3元件1答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B 类问题中的每个问题 回答正确得80分，否则得0分。
历年高考数学真题精选45 排列组合
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题45 排列组合（学生版）一．选择题（共20小题）1．（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A．150种B．180种C．300种D．345种2．（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒3．（2007•全国卷Ⅱ）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种4．（2006•湖南）在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A．6B．12C．24D．18 5．（2009•陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为()A．432B．288C．216D．108 6．（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144B．120C．72D．24 7．（2012•浙江）若从1，2，3，⋯，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种8．（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A ．24B ．18C ．12D ．69．（2008•全国卷Ⅰ）将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种10．（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1008种D ．1108种11．（2015•上海）组合数122(2m m m nn n C C C n m --++，m ，*)n N ∈恒等于( ) A ．2m n C + B ．12m n C ++ C ．1m n C + D ．11m n C ++12．（2010•重庆）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种13．（2009•黑龙江）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种14．（2007•全国卷Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种15．（2006•全国卷Ⅰ）设集合{1I =，2，3，4，5}．选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种16．（2017•全国）4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有( )A ．16个B ．70个C ．140个D ．256个17．（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种18．（2016•全国）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( )A．6种B．9种C．10种D．15种19．（2016•新课标Ⅱ）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24B．18C．12D．9 20．（2013•全国）3位男同学与2位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同排法共有( )A．48种B．36种C．24种D．18种二．填空题（共5小题）21．（2007•陕西）安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）22．（2010•全国大纲版Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．（用数字作答）23．（2007•重庆）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有种．（以数字作答）24．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）25．（2018•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）历年高考数学真题精选（按考点分类）专题45 排列组合（教师版）一．选择题（共20小题）1．（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A．150种B．180种C．300种D．345种【答案】D【解析】分两类（1）甲组中选出一名女生有112536225C C C=种选法；（2）乙组中选出一名女生有211562120C C C=种选法．故共有345种选法．2．（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒【答案】C【解析】由题意知共有5！120=个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5120600⨯=秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5(1201)595⨯-=秒．那么需要的时间至少是6005951195+=秒．3．（2007•全国卷Ⅱ）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】D【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有5232=种．4．（2006•湖南）在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A ．6B ．12C ．24D ．18【答案】B【解析】在数字1，2，3与符号“+”，“ -”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“+”，“ -”两个符号插入， 有222A =种方法，共有12种方法，故选B ． 5．（2009•陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( )A ．432B ．288C ．216D ．108【答案】C 【解析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共224318C C =种， 第二步再把4个数排列，其中是奇数的共132312A A =种， ∴所求奇数的个数共有1812216⨯=种．6．（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24【答案】D【解析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有33A 种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有14C 种办法．根据分步计数原理，6424⨯=． 7．（2012•浙江）若从1，2，3，⋯，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【答案】D【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有441C =种结果， 当取得4个奇数时，有455C =种结果，当取得2奇2偶时有224561060C C =⨯= ∴共有156066++=种结果8．（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )A ．24B ．18C ．12D ．6【答案】B【解析】从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有236A =种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有236A =种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有236A =种；故共有23318A =种9．（2008•全国卷Ⅰ）将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【答案】B【解析】填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，323212A A ∴= 10．（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1008种D ．1108种【答案】C【解析】分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有222A ⨯种，然后排丁，有14A 种，剩下其他四个人全排列有44A 种，因此共有2142442384A A A ⨯=种方法 第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有224A ⨯种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有44A 种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有224A ⨯种，然后排丙，丙不再1号和7号，有13A 种，接着排丁，丁不排在10月7日，有13A 种，剩下3个人全排列，有33A 种，因此共有242113242333(44)624A A A A A A +=种方法，故共有1008种不同的排法 11．（2015•上海）组合数122(2m m m nn n C C C n m --++，m ，*)n N ∈恒等于( ) A ．2m n C +B ．12m nC ++ C ．1m n C +D ．11m n C ++【答案】A 【解析】组合数1211211122m m m m m m m m m m n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C ------+++++=+++=+=．12．（2010•重庆）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种【答案】C【解析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值14日或乙值16日的排法数，再加上甲值14日且乙值16日的排法，即221211645443242C C C C C C -⨯+= 13．（2009•黑龙江）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种【答案】C【解析】根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数224436C C =， ②两人所选两门都相同的有为246C =种，都不同的种数为246C = 14．（2007•全国卷Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种【答案】C【解析】根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有24C 种，乙、丙各选修3门，有3344C C 种，则不同的选修方案共有23344496C C C =种 15．（2006•全国卷Ⅰ）设集合{1I =，2，3，4，5}．选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种【答案】B【解析】集合A 、B 中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有2510C =种选法，小的给A 集合，大的给B 集合；从5个元素中选出3个元素，有3510C =种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有21020⨯=种方法；从5个元素中选出4个元素，有455C =种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有3515⨯=种方法；从5个元素中选出5个元素，有551C =种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有414⨯=种方法；总计为102015449+++=种方法．16．（2017•全国）4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有( )A ．16个B ．70个C ．140个D ．256个【答案】B【解析】4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有：88444470A A A =． 17．（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D【解析】4项工作分成3组，可得：246C =， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：33636A ⨯=种． 18．（2016•全国）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有()A ．6种B ．9种C ．10种D ．15种【答案】C【解析】从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，所得的最小值为1236++=，最大值为45615++=，1236++=，1247++=，1251348++=++=，1261352349++=++=++=，136********++=++=++=，14623624511++=++=++=，156********++=++=++=，34613++=，35614++=，45615++=共有：10种不同结果． 19．（2016•新课标Ⅱ）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数( )A ．24B ．18C ．12D ．9【答案】B【解析】从E 到F ，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段， 从E 到F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有22426C C =种走法．同理从F 到G ，最短的走法，有12323C C =种走法． ∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318⨯=种走法．20．（2013•全国）3位男同学与2位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同排法共有()A ．48种B ．36种C ．24种D ．18种【答案】A 【解析】3位男同学与2位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同排法共有：424248A A =种．二．填空题（共5小题）21．（2007•陕西）安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）【答案】60【解析】分2类：（1）每校最多1人：3424A =； （2）每校至多2人，把3人分两组，再分到学校：223436C A =，共有60种 22．（2010•全国大纲版Ⅰ）某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种．（用数字作答）【答案】30【解析】分以下2种情况：（1）A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有1234C C 种不同的选法；（2）A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有2134C C 种不同的选法．所以不同的选法共有12213434181230C C C C +=+=种． 23．（2007•重庆）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种．（以数字作答）【答案】25【解析】所有的选法数为47C ，两门都选的方法为2225C C ， 故共有选法数为422725351025C C C -=-=． 24．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）【答案】24【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种 25．（2018•新课标Ⅰ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】1女2男，有122412C C=，2女1男，有21244C C=根据分类计数原理可得，共有12416+=种，故答案为：16第11页（共11页）。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编【2023年真题】1.（2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种2. （2023·新课标I 卷 第9题）（多选）一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则( ) A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差3.（2023·新课标II 卷 第12题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1;α-发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1.β-考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D. 当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4. （2023·新课标I 卷 第21题）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率. (2)求第i 次投篮的人是甲的概率.(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且111(1)1(0)P X P X q ==-==，1i =，2， ，n ，则11().nni i i i E X q ===∑∑记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求().E Y5.（2023·新课标II 卷 第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为().q c 假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()().f c p c q c =+当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷 第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A.16B.13C.12D.237.（2022·新高考II 卷 第13题）随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若(2 2.5)0.36P x <=…，则( 2.5)P X >=__________.8.（2022·新高考I 卷 第20题）一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好 病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.R()i 证明：(|)(|.;(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =()ii 利用该调查数据，给出(|)P A B ，(|)P A B 的估计值，并利用()i 的结果给出R 的估计值.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k …0.050 0.010 0.001 k 3.8416.63510.8289.（2022·新高考II 卷 第19题）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).【2021年真题】10.（2021·新高考I 卷 第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立11.（2021·新高考II 卷 第6题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是( )A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等12.（2021·新高考I 卷 第9题）（多选）有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中(1,2,,)i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同13.（2021·新高考II 卷 第9题）（多选）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( ) A. 样本12,,,n x x x 的标准差 B. 样本12,,,n x x x 的中位数 C. 样本12,,,n x x x 的极差D. 样本12,,,n x x x 的平均数14.（2021·新高考I 卷 第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
高考数学分项汇编 专题11 概率和统计、排列组合和二项式定理(含解析)文-人教版高三全册数学试题
专题11 概率和统计、排列组合和二项式定理一．基础题组1. 【2013课标全国Ⅰ，文3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16【答案】：B2. 【2011课标，文6】有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34【答案】A3. 【2008全国1，文3】512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．52D ．1【答案】C4. 【2008全国1，文2】掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为1P ，抛两枚硬币，正面均朝上的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P = D.不能确定 【答案】B5. 【2007全国1，文5】甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）A.36种B.48种C.96种D.192种 【答案】：C6. 【2012全国1，文13】(x ＋12x)8的展开式中x 2的系数为__________． 【答案】：77. 【2010全国1，文15】某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有__________种．(用数字作答) 【答案】：308. 【2005全国1，文14】4)1(xx 的展开式中，常数项为 。
（用数字作答） 【答案】69. 【2005全国1，文15】从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。
【答案】10010. 【2011全国1，文19】11. 【．2009．．文．20．．】甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结．．．．全国卷．．．Ⅰ,束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.12. 【2015高考新课标1，文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）120【答案】C【考点定位】古典概型二．能力题组1. 【2012全国1，文7】 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种 B．360种 C．480种 D．720种【答案】C2. 【2011全国1，文9】4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（A）12种（B）24种（C）30种（D）36种3. 【2010全国1，文5】(1－x)4(1－x)3的展开式中x2的系数是( )A．－6 B．－3 C．0 D．3【答案】：A4. 【2009全国卷Ⅰ,文7】甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种B.180种C.300种D.345种【答案】:D5. 【2014全国1，文13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.【答案】2 36. 【2007全国1，文13】从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为__________。
2024高考数学概率与统计历年题目综合解析
2024高考数学概率与统计历年题目综合解析数学是高考中的一门重要科目，而其中的概率与统计部分更是高考数学中的难点之一。
为了帮助同学们更好地备考，本文将对2024年高考数学概率与统计部分的历年题目进行综合解析，帮助大家全面了解各种题型的解题思路。
以下将分为两个部分进行讲解。
第一部分：概率题目解析概率题目是数学中常见的题型之一，解决概率题主要是根据条件和已知信息进行分析和计算。
下面我们通过几道历年高考题来讲解一下解题技巧。
题目1：（2020年高考真题）某公司准备派销售人员去拜访某地的客户，已知每位销售人员能成功地使该地的客户转变为合作伙伴的概率是0.6。
如果派去2位销售人员，使该地的客户转变为合作伙伴的概率是多少？解析：根据题目可知，每位销售人员能成功地使客户转变为合作伙伴的概率是0.6。
而派去2位销售人员，只要其中一位成功，就能实现转变。
我们可以通过排除法来计算。
如果第一位销售人员成功，第二位失败，概率为0.6 * 0.4 = 0.24。
如果第一位销售人员失败，第二位成功，概率同样为0.24。
如果两位销售人员都成功，概率为0.6 * 0.6 = 0.36。
将这三种情况的概率相加，得到总概率为0.24 + 0.24 + 0.36 = 0.84。
因此派去2位销售人员，使该地的客户转变为合作伙伴的概率为0.84。
题目2：（2018年高考真题）某公司招聘了3名销售人员，其中1名有2%的概率在第一年辞职，另外两名均有1%的概率在第一年辞职。
问第一年内这家公司至少有一名销售人员辞职的概率是多少？解析：题目中要求计算至少有一名销售人员辞职的概率，我们可以通过计算不发生该事件的概率，然后用1减去该概率来得到。
第一名销售人员不辞职的概率是1 - 0.02 = 0.98。
第二名销售人员不辞职的概率是1 - 0.01 = 0.99。
第三名销售人员不辞职的概率是1 - 0.01 = 0.99。
由于三名销售人员的辞职情况是相互独立的，我们可以将它们的概率相乘，得到不发生任何人员辞职的概率为0.98 * 0.99 * 0.99 ≈ 0.9702。
数学高考概率与统计历年真题精选2024
数学高考概率与统计历年真题精选2024概率与统计是高中数学的重要内容之一，在高考中占有相当的比重。
为了帮助广大考生更好地备考概率与统计，本文整理了数学高考概率与统计的历年真题，并进行了精选，希望对考生的备考有所帮助。
1. 选择题精选1）（2015年广东高考）设事件A、B独立，P(A)=0.3，P(A∪B)=0.7，则P(B)为（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5解析：由独立事件的性质可得，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B)，代入已知条件可得，0.7 = 0.3 + P(B) - 0.3·P(B)，整理得P(B) = 0.4，故选C。
2）（2016年江苏高考）某人参加驾驶证考试，第一道选择题有5个选项，有且只有1个正确选项，则某人随机选择答案的通过率为（）。
A. 5%B. 20%C. 25%D. 80%解析：某人随机选择答案的通过率为正确答案的比例，即为1/5，转换成百分数为20%，故选B。
2. 解答题精选1）（2017年北京高考）某地下车库共有4层，每层有16个停车位，小明停车习惯于停在第1层，而小红停车习惯于停在第2层，他们同时来到车库停车，请问小明和小红停在同一层的概率是多少？解析：小明停在第1层的概率为1/4，小红停在第2层的概率为1/4，由于小明和小红是同时来到车库停车的，因此小明和小红停在同一层的概率为(1/4)·(1/4) = 1/16。
2）（2018年福建高考）某地区的夏季天气，可以分为晴天、多云、阴天三种情况，以往观测数据表明：晴天、多云、阴天的概率分别为0.4、0.3、0.3。
今有一天这个地区天气为晴天，已知当天多云、阴天的概率为x和y，求概率x与y之和的最大值。
解析：根据题意，晴天的概率为0.4，多云和阴天的概率之和为0.6，因此x+y=0.6。
根据概率的性质，x和y的取值范围为[0, 0.3]，且x+y的最大值为0.6。
2023届新高考卷概率与统计热门考题汇编排列组合与概率统计(学生版)
2023届新高考卷概率与统计热门考题汇编第一部分：基本原理和重要概念一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整二、常见的一些排列问题及其解决方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法三、分组分配问题(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．四、二项式定理(1)一般地，对于任意正整数，都有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+⋯+C r n a n-r b r+⋯+C n n b n(n∈N∗)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的C r n a n-r b r做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：T r+1=C r n a n-r b r，其中的系数C rn (r =0，1，2，⋯，n )叫做二项式系数，2.(2)两个常用的二项展开式：①(a -b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +L +-1 r C r n a n -r b r +L +-1 n C n n b n (n ∈N ∗)，②1+x n =1+C 1n x +C 2n x 2+L +C r n x r +L +x n(3)二项式系数的性质(杨辉三角形)①每一行两端都是1，即C 0n =C n n ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即C m n +1=C m -1n +C m n ．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n =C n -m n ．③二项式系数和令a =b =1，则二项式系数的和为C 0n +C 1n +C 2n +⋯+C r n +⋯+C n n =2n ，变形式C 1n +C 2n +⋯+C r n +⋯+C n n =2n -1．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a =1，b =-1，则C 0n -C 1n +C 2n -C 3n +⋯+(-1)n C n n =(1-1)n =0，从而得到：C 0n +C 2n +C 4n ⋅⋅⋅+C 2r n +⋅⋅⋅=C 1n +C 3n +⋯+C 2r +1n +⋅⋅⋅=12⋅2n =2n -1．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项T n 2+1的二项式系数C n 2n 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项T n +12，T n +12+1的二项式系数C n -12n ，C n +12n相等且最大．⑥求(a +bx )n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 1，A 2，⋅⋅⋅，A n +1，设第r +1项系数最大，应有A r +1≥A rA r +1≥A r +2 ，从而解出r 来．(4)二项式系数和的计算与赋值五、二项分布1.n 重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．2.n 重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n 次；(2)各次试验的结果相互独立．3.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：P (X =k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p )4.一般地，可以证明：如果X ~B (n ,p )，那么EX =np ,DX =np (1−p ).六、超几何分布1.超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X =k )=C k M C n -kN -MC nN，k =m ，m +1，m +2，⋯，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m =max {0，n -N +M }，r =min {n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布的期望E (X )==np (p 为N 件产品的次品率)．七、二项分布与超几何分布的区别1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A 或A ，一般考查二项分布.4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.7.二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为：P (X =k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p )8.一般地，可以证明：如果X ~B (n ,p )，那么EX =np ,DX =np (1−p ).八、二项分布的两类最值(1)当p 给定时，可得到函数f (k )=C k n p k (1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，这个是数列的最值问题.p kp k −1=C n k p k (1−p )n −k C k −1n p k −1(1−p )n −k +1=(n −k +1)p k (1−p )=k (1−p )+(n +1)p −k k (1−p )=1+(n +1)p −k k (1−p ).分析：当k <(n +1)p 时，p k >p k −1，p k 随k 值的增加而增加；当k >(n +1)p 时，p k <p k −1，p k 随k 值的增加而减少.如果(n +1)p 为正整数，当k =(n +1)p 时，p k =p k −1，此时这两项概率均为最大值.如果(n +1)p 为非整数，而k 取(n +1)p 的整数部分，则p k 是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k 等于期望时，概率最大.(2)当k 给定时，可得到函数f (p )=C k n p k(1−p )n −k ,p ∈(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：f '(p )=C k n kp k −1(1−p )n −k −p k (n −k )(1−p )n −k −1=C k n p k −1(1−p )n −k −1k (1−p )−(n −k )p =C k n p k −1(1−p )n −k −1(k −np ).当k =1,2,⋯,n −1时，由于当p <k n 时，f '(p )>0，f (p )单调递增，当p >kn时，f '(p )<0，f (p )单调递减，故当p =k n 时，f (p )取得最大值，f (p )max =f kn.又当p →0,f (p )→1，当p →0时，f (p )→0，从而f (p )无最小值.九、复杂概率计算(1)善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：A i 表示“第i 局比赛胜利”，则A i表示“第i 局比赛失败”.(2)理解事件中常见词语的含义：A ,B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A ,B 都发生的事件为AB ；A ,B 都不发生的事件为；A ,B 恰有一个发生的事件为A ∪B ；A ,B 至多一个发生的事件为A ∪B ∪.(3)善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P A =1-P A解出所求事件概率.十、条件概率1.条件概率定义一般地，设A ,B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )=P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．可以看到，P (B |A )的计算，亦可理解为在样本空间A 中，计算AB 的概率. 于是就得到计算条件概率的第二种途，即P (B |A )=n (AB )n (A )=n AB n Ω n A n Ω=P ABP A.特别地，当P (B |A )=P (B )时，即A ,B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B ).2.条件概率的性质设P (A )>0，全样本空间定义为Ω，则(1)P Ω|A =1；(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P ((B ∪C )|A )=P B |A +P C |A ；(3)设事件A 和B 互为对立事件，则P (B∣A )=1-P (B ∣A )．十一、全概率公式与贝叶斯公式1.在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A 1，A 2，⋯，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω，且P A i >0，i =1，2，⋯，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )=ni =1P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．2.贝叶斯公式设A 1，A 2，⋯，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω，且P A i >0，i =1，2，⋯，n ，则对任意事件B ⊆Ω，P B >0，有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k，i =1,2,⋯,n .在贝叶斯公式中，P A i 和P A i |B 分别称为先验概率和后验概率．十二、一维随机游走与马尔科夫链1.转移概率：对于有限状态集合S ，定义：P i ⋅j =P X n +1=j X n =i 为从状态i 到状态j 的转移概率.2.马尔可夫链：若P X n +1=i X n =i ,X n -1=i n -1,⋅⋅⋅,X 0=i 0=P X n +1=j X n =i =P ij ，即未来状态X n +1只受当前状态X n 的影响，与之前的X n -1，X n -2，⋅⋅⋅，X 0无关.3.一维随机游走模型.设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t =0时，位于点x =i i ∈N + ，下一个时刻，它将以概率α或者βα∈0,1 ,α+β=1 向左或者向右平移一个单位. 若记状态X t =i 表示：在时刻t 该点位于位置x =i i ∈N + ，那么由全概率公式可得：P X t +1=i =P X t =i -1 ⋅P X t +1=i X t =i -1 +P X t =i +1 ⋅P X t +1=i X t =i +1 另一方面，由于P X t +1=i X t =i -1 =β，P X t +1=i X t =i +1 =α，代入上式可得：P i =α⋅P i +1+β⋅P i -1进一步，我们假设在x =0与x =m m >0,m ∈N + 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，P 0=0，P m =1随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：P i =a ⋅P i +1+b ⋅P i +c ⋅P i -1有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.十三、统计1.线性回归方程与最小二乘法(1)回归直线方程过样本点的中心(x ,y )，是回归直线方程最常用的一个特征(2)我们将y =b x +a称为Y 关于x 的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ,a叫做b ，a 的最小二乘估计(leastsquaresestimate )，其中b =ni =1x i -xy i -y n i =1x i -x 2 =ni =1x i y i -nx ⋅y ni =1x 2i -nx2a =y -b x .(3)残差的概念对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．(4)刻画回归效果的方式(i )残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．(ii )残差平方和法：残差平方和ni =1y i -y i 2 ，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．(iii )利用R 2刻画回归效果：决定系数R 2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．R 2=1ni =1y i -yi 2ni =1y i -y2，R 2越大，即拟合效果越好，R 2越小，模型拟合效果越差．第二部分.试题汇编一、单选题2.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))若二项式3x 2+1x2n展开式中存在常数项，则正整数n 可以是()A.3B.5C.6D.73.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为()A.13B.12C.23D.344.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)ax +y 5的展开式中x 2y 3项的系数等于80，则实数a =()A.2B.±2C.22D.±225.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为()A.13B.49C.59D.1091656.(广东省2023届高考一模)如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有()A.96种B.64种C.32种D.16种7.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则P A =P B的充要条件是()A.P A ∪B =P A +P BB.P A ∪C =P B ∪CC.P AB =P ABD.P AC =P BC8.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有()A.100个B.125个C.225个D.250个9.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为()A.15B.310C.325D.62510.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式2x-1xn展开式的常数项为()A.-160B.60C.120D.24011.(江苏省八市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城)2023届高三二模)已知x3+2x2n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为()A.60B.80C.100D.12012.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)某种品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布N4,σ2σ>0，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为()A.0.9B.0.7C.0.3D.0.113.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则P B A=()A.79B.89C.911D.101114.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A,B,C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为()A.193243B.100243C.23D.5915.(山东省济南市2023届高三下学期3月一模)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为()A.310B.12C.35D.91016.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为()A.0.34B.0.37C.0.42D.0.4317.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)已知随机变量X 服从正态分布N 2,σ2 ，且P (X >3)=16，则P (X <1)=()A.13B.23C.16D.5618.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)(1+x )n 展开式中二项式系数最大的是C 5n ，则n 不可能是()A.8B.9C.10D.1119.(浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试)一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为X 1,X 2．设Y 1=X 1,X 1≥X 2X 2,X 1<X 2 ，设Y 2=X 1,X 1≤X 2X 2,X 1>X 2 ，记事件A =“Y 1=5”，B =“Y 2=3”，则P B ∣A =()A.19B.29C.15D.211二、多选题20.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则()A.P (X >32)>P (Y >32)B.P (X ≤36)=P (Y ≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车21.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数=食物支出金额总支出金额×100%”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知()A.城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B.农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C.城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D.全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数22.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据(单位：kg)全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()A.频率分布直方图中a的值为0.07B.这100名学生中体重低于60kg的人数为60C.据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D.据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.523.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)下列命题中正确的是()A.若样本数据x1，x2，⋯，x20的样本方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，⋯，2x20+1的方差为7B.经验回归方程为y =0.3-0.7x 时，变量x 和y 负相关C.对于随机事件A 与B ，P A >0，P B >0，若P A B =P A ，则事件A 与B 相互独立D.若X ∼B 7,12，则P X =k 取最大值时k =424.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生达标率60%70%65%75%定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有()A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率25.(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)已知离散型随机变量X 服从二项分布B n ,p ，其中n ∈N ∗,0<p <1，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中正确的有()A.a +b =1B.p =12时，a =bC.0<p <12时，a 随着n 的增大而增大D.12<p <1时，a 随着n 的增大而减小26.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A =“第一次出现2点”，B =“第二次的点数小于5点”，C =“两次点数之和为奇数”，D =“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有()A.A 与B 不互斥且相互独立B.A 与D 互斥且不相互独立C.B 与D 互斥且不相互独立D.A 与C 不互斥且相互独立27.(山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测)在2x -1x 8的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项是1120B.第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为256三、填空28.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为__________．29.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))在x -1x 6的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)30.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)1-x 5的展开式中x 3的系数为______(用数字做答)．31.(湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试)现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________．32.(江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模)编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________.33.(江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一))2-1x x -2 5的展开式中x 2的系数为________.34.(2023年湖北省八市高三(3月)联考)已知二项式(2x -a )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中x 3项的系数为20，则实数a 的值为__________.35.x +2x4展开式中的常数项为__________.四、解答36.(福建省福州市普通高中2023届高三毕业班质量检测(二检))脂肪含量(单位：%)指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．(结果保留整数)(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N (17，σ2)，其中σ2近似为(1)中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若随机变量×服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.9545，22≈4.7，23≈4.8，0.158653≈0.004．37.(福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5．(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；(2)(i )假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，⋯，(xn ，yn )，两个变量满足一元线性回归模型Y =bx +e E (e )=0,D (e )=σ2 (随机误差e i =y i -bx i )．请推导：当随机误差平方和Q =n i =1e 2i 取得最小值时，参数b 的最小二乘估计．(ii )令变量x =t -t ,y =w -w ，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型Y =bx +e E (e )=0,D (e )=σ2 利用(i )中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数r =ni =1t i -t (w i -w)ni =1t i -t 2n i =1w i -w 2，5i =1w i -w 2=76.9，5i =1t i -t w i -w =27.2，5i =1w i =60.8，769≈27.738.(广东省2023届高考一模)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.39.(广东省佛山市2023届高三教学质量检测(一))近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率40.(广东省广州市2023届高三综合测试(一))为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i次答题所得分数X i(i∈N∗)的数学期望为E x i .①写出E X i-1与E x i 满足的等量关系式(直接写出结果，不必证明)：②若E x i>100，求i的最小值.41.(广东省深圳市2023届高三第一次调研)某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度=企业所有对新绩效方案满意的员工人数企业所有员工人数×100%．(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．。
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(做)全国卷历年高考概率与统计及解排列
组合真题
在全国卷历年高考中，概率与统计以及排列组合是常见的考试题型。
掌握这些知识点对于高考非常重要。
本文将为您提供一些关于概率与统计以及排列组合真题的解题方法与技巧。
概率与统计
概率
概率是描述事件发生可能性的一种数值表示方法。
在高考中，常见的概率问题有：
- 确定事件发生的可能性；
- 计算事件的概率；
- 利用概率性质解决问题。
解题方法：
1. 确定样本空间：在概率问题中，首先要确定所有可能的结果组成的集合，即样本空间。
2. 确定事件：确定要求解概率的事件。
3. 计算概率：通过计算事件发生的可能性与总事件数之比，得到事件的概率。
统计
统计是通过收集、整理和分析数据以得出结论的方法。
在高考中，常见的统计问题有：
- 数据的整理与呈现；
- 描述性统计；
- 探索性数据分析；
- 统计推断。
解题方法：
1. 理解题目要求：确保正确理解题目中的统计问题要求。
2. 整理数据：对给定的数据进行整理和分类。
3. 进行计算：根据题目要求使用适当的统计方法进行计算和分析。
4. 得出结论：根据计算结果进行结论推断，并确保符合统计学原则。
排列组合
排列组合是指在给定条件下，对元素的排列或组合的不同情况
进行计数。
在高考中，常见的排列组合问题有：
- 计算排列数；
- 计算组合数；
- 利用排列组合解决问题。
解题方法：
1. 确定问题类型：确定是排列问题还是组合问题。
2. 确定条件：根据题目所给条件，确定元素的范围和约束条件。
3. 应用公式：根据排列和组合的定义和公式进行计算。
4. 解决问题：根据计算结果回答题目要求或解决相关问题。
在备考高考时，熟练掌握概率与统计以及排列组合的知识点，
并熟练运用解题方法，可以提高解答概率与统计和排列组合题目的
准确性和效率。
以上是关于全国卷历年高考概率与统计以及解排列组合真题的简要介绍。
希望对您备考高考有所帮助！。