专题13概率、统计-2019年新课标全国卷(1、2、3卷)理科数学备考宝典
2019年高考数学真题分类汇编专题13：排列组合与概率统计(基础题含解析)
2019年高考数学真题分类汇编专题13：排列组合与概率统计（基础题）一、单选题1.（2019•浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时（）A. D（X）增大B. D（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大2.（2019•全国Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A. B. C. D.3.（2019•全国Ⅲ）(1+2x2)(1+x)2的展开式中x3的系数为（）A. 12B. 16C. 20D. 244.（2019•卷Ⅱ）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。
若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A. B. C. D.5.（2019•卷Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差6.（2019•卷Ⅰ）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，……，1000。
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取1000名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生7.（2019•卷Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A. B. C. D.二、填空题8.（2019•江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.9.（2019•江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.10.（2019•卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.11.（2019•卷Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。
2019年高考全国卷及各省单独命题真题概率统计专题总结与突破
2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1 000名新生的身体素 质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽 取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A . 8号学生B . 200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C . 2.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾 客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． ∵4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.3.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》 用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在 所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516 B . 1132 C . 2132D . 1116 【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A . 4.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案解析】（1）X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列． （ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+()()()88776101413p p p p p p p -=-+-++-=.由于8=1p ，故18341p =-，所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.5.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标 的概率为A .23 B . 35 C . 25 D . 15【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .6.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术 先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有2 0个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车 所有车次的平均正点率的估计值为 . 【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=. 7.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小。
《高考真题》专题13 概率与统计-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
专题13 概率与统计【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115D ．118【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为7231119131730+=+=+=，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法， 故所求概率为31=4515，故选C ． 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．【命题意图】本类问题主要涉及古典概型、对立事件概率的计算及概率与统计的综合,要求掌握利用古典概型求概率的方法,掌握利用互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率公式求概率的方法.【命题规律】古典概型是高考命题的重点，题目难度中等，要求考生通过阅读提取信息，并掌握必要的计数方法：枚举法，树状图或者排列组合知识等.【答题模板】解答本类题目,以2018年高考这题试题为例，一般考虑如下三步：第一步：分析已知条件选择古典概型模型；第二步：找基本事件总数以及事件包含的基本事件数；第三步：带入古典概型的计算公式求解.【方法总结】1.古典概型是概率论中最简单而又直观的模型,在概率论的发展初期曾是主要研究对象,许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”).要判断一个试验是否为古典概型,只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.2.求古典概型的概率(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式()mP An求出事件A的概率,这是一个形象直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.(3)如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,可以用树状图法,树状图法适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的,如(1,2),(2,1)相同．(4)较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算,较为复杂的概率问题的处理方法有：①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；学科.网②采用间接法,先求事件A的对立事件A的概率,再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率.1．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A．19B．318C．29D．518【答案】C【解析】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：021，001，031，130共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为42189=，故选C.【名师点睛】本题主要考查随机数的应用以及古典概型概率公式，属于中档题. 在解答古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn=求得概率.2．【辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学试题】某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且字母“k”只可能在最后两个位置中的某一个位置上.如果该同学根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A ．16 B ．14 C ．13D ．12【答案】B【解析】因为某英语初学者在拼写单词“steak ”时， 对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a ”、“e ”、“k ”三个字母组成，并且字母“k ”只可能在最后两个位置中的某一个位置上． 该同学根据已有信息填入上述三个字母，满足题意的字母组合有四种，分别是eka,ake,eak,aek ， 拼写正确的组合只有一种eak ， 所以他拼写正确的概率为14P =．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，是基础题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m P n=求得概率. 3．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是A ．101B ．103C ．35D ．25【答案】C【解析】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：()255P x y ≤==，故选C.【名师点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.4．【吉林省实验中学2019届高三下学期第八次月考数学试题】从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是A ．23 B ．35C ．12D ．25【答案】D【解析】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数n ＝55A ＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m ＝1424C A ＝48， ∴这个五位数是偶数的概率P ＝4821205m n ==． 故选D ．【名师点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.5．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考数学试题】已知函数()322113fx x a x b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为A ．79 B ．13 C ．59D ．23【答案】D【解析】将a 记为横坐标，将b 记为纵坐标，可知总共有()()()()()()()()()1,0,1,1,1,2,2,0,2,1,2,2,3,0,3,1,3,2共9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，22()2f 'x x ax b =++，满足题中条件为22440a b ∆=->，即a b >，所以满足条件的基本事件有()()()()()()1,0,2,0,2,1,3,0,3,1,3,2共6个基本事件，所以所求的概率为6293P ==，故选D ．6．【山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测数学试题】已知某运动员每次投篮命中的概率是40％，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A ．15 B ．35C ．310D ．910【答案】C【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、932、271，共3组随机数， 故所求概率为310. 故答案为C.【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测数学试题】根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【解析】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数：2343C A 36n ==，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：212232C C A 6m ==，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n ===， 故选A.【名师点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 8．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷】某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是A ．15 B ．25C ．35D ．710【答案】D【解析】某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n =25C =10， A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，则A 或B 被选中的概率是P =1-2325C 7C 10=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查古典概型的求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.9．【甘肃省天水市第一中学2019届高三一轮复习第六次质量检测数学试题】为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7【答案】D【解析】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有25C 10=种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为12322C C 7+=． 由古典概型概率公式可得()1232252C C 70.7C 10P A +===． 故选D ．【名师点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数．求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题．10．【新疆2019届高三第三次诊断性测试数学试题】将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是A．29B．827C．49D．1627【答案】C【解析】由题可得：大正方体的最上层有4个恰好是两面涂色的小正方体，大正方体的中间一层及最底层都有4个恰好是两面涂色的小正方体，所以恰好是两面涂色的小正方体个数为4312⨯=个，所以从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是124279p==，故选C.【名师点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，考查空间思维能力，属于基础题.11．【内蒙古2019年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试数学试题】一个盒子里装有标号为1~6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是A．115B．215C．315D．415【答案】D【解析】盒子里装有标号为1~6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，5,6号是黄球，从中任取两个球,有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种情况，恰有1个球的号码是偶数有16,25,36,45共有4种情况，故所求概率P=4 15．故选D.【名师点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用，属于基础题.12．【内蒙古赤峰市2019届高三4月模拟考试数学试题】《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是A ．23B ．35C ．59D ．34【答案】A【解析】因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种， 满足“齐王获胜”的这一条件的情况为： 齐王派出上等马，则获胜的事件数为3； 齐王派出中等马，则获胜的事件数为2； 齐王派出下等马，则获胜的事件数为1； 故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种， 根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率6293P ==，故选A. 【名师点睛】本题考查了古典概型问题，解题的关键是求出满足条件的事件数，再根据古典概型的计算公式求解问题，属于基础题.13．【陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测(二)数学试题】一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是a ，b ，c ，当且仅当a b <且b c >时称为“凸数”．现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率是______. 【答案】13【解析】从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，有34A 24=种排法，满足凸数的个数为：当b =4时，有23A 6=种排法；当b =3时，有2种排法，共8种.概率为81.243= 故答案为13. 【名师点睛】解排列组合问题要遵循两个原则： ①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．14．【陕西省榆林市2019届高三第二次模拟试题数学试题】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为________． 【答案】25【解析】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数n 25C ==10，摸到同色球包含的基本事件个数m 2232C C =+=4，∴摸到同色球的概率42105m P n ===． 故答案为25． 【名师点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为__________．【答案】516【解析】5个格子用0与1两个数字随机填入共有5232=种不同方法，从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数包含的基本事件有：①全是1，有1种方法；②第一个格子是1，另外4个格子有一个0，有4种方法；③第一个格子是1，另外4个格子有2个0，有5种方法，所以共有14510++=种基本方法，那么概率1053216P ==. 故答案为516. 【名师点睛】本题主要考查了古典概型的求解，解题的关键是采用分类的方式计算满足条件的基本事件数，属于中档题.16．【辽宁省辽阳市2019届高三上学期期末考试数学试题】现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为_______. 【答案】310【解析】两对情侣所有选择方案为（巴黎，厦门），（巴黎，马尔代夫）（巴黎，三亚），（巴黎，泰国），11 （厦门，马尔代夫），（厦门，三亚），（厦门，泰国），（马尔代夫，三亚），（马尔代夫，泰国），（三亚，泰国），共有10种，其中有3种满足题意，故所求概率为310， 故答案为310. 【名师点睛】本题考查了古典概型，考查了利用列举法解决排列组合的问题，属于基础题.17．【河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考数学试题】小张要从5种水果中任选2种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为________． 【答案】3(0.6)5或【解析】由题从5种水果中任选2种的事件总数为25C 10,= 小张送的水果既有热带水果又有温带水果的基本事件总数为1123C C 6,=∴小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为63105=. 故答案为35.。
专题13 概率、统计-2019年新课标全国卷(1、2、3卷)理科数学备考宝典
2019年新课标全国卷（1、2、3卷）理科数学备考宝典13．排列组合、概率统计一、考试大纲1．随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性.(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2．用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3．变量的相关性(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.4．事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.5．古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.6．.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.7．分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.8．排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.9．二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.10．概率(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.11．统计案例——了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.二、新课标全国卷命题分析排列组合、概率统计在新课标全国卷高考中一般考查2小1大，概率中古典概型和几何概型是重点，一般以小题或解答题中的一小问出现，计数原理常考题型有：（1）排列组合；（2）二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.概率与统计的解答题，全国卷更注重统计的应用，而统计更多的是实际生活和生产中的广泛应用.散型随机变量是高考考点之一，随机变量分布是热点话题，正态分布和二项分布都以小题出现，且在基础题位置，难度较低，在平时复习时不宜研究难题.所以高三复习时，提高自己阅读理解能力的同时，更要关注统计中的概率分布直方图、线性回归方程、随机变量概率分布的数字特征和独立性检验等概念.三、典型高考试题讲评题型1 随机抽样例1 （2013·新课标Ⅰ，3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．故选C.题型2 根据统计图判断例2 (2018·新课标Ⅰ，理3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下列选项中不正确的是：A ．新农村建设后，种植收入减少。
高考专题01 集合-2019年新课标全国卷(1、2、3卷)理科数学备考宝典 --新题速递精校解析word版
.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）
（2014·新课标Ⅱ，1）设集合M={0,1, 2}，N= ，则 =（）
A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}
（2013·新课标Ⅰ，1）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－ ＜x＜ }，则()
A．3B．6C．8D．10
（2012·新课标Ⅱ，1）已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（）
A. 3B. 6C. 8D. 10
（2011·新课标Ⅱ，10）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（）
A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4
2011
1
一、选择题
(2018·新课标Ⅰ，理2)已知集合 ，则 （）
A． B. C. D.
【答案】B解析： ，即 ， 故选B.
(2018·新课标Ⅱ，理2)已知集合 ，则 中元素的个数为（）
A．9B．8C．5D．4
【答案】A解析：①当 时， 共有三个解；②当 时， 共有三个解
③当 时， 共有三个解；综上所述：共有9个整数点，
A． B. C. D.
(2018·新课标Ⅱ，理2)已知集合 ，则 中元素的个数为（）
A．9 B．8C．5D．4
（2018·新课标Ⅲ，理1）已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
（2017，新课标Ⅰ，1）已知集合 ， ，则（）
A． B． C． D．
（2017·新课标Ⅱ，2）设集合 ， ．若 ，则 （）
分别为 ，选A.
专题13 概率统计2019年新课标全国卷(123卷)理科数学备考宝典
2019年新课标全国卷（1、2、3卷）理科数学备考宝典13．排列组合、概率统计一、2018年考试大纲二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评2011—2018年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——13．排列组合、概率统计一、考试大纲1．随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性.(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2．用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3．变量的相关性(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.4．事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.5．古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.6．.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.7．分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.8．排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.9．二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.10．概率(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.11．统计案例——了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.二、新课标全国卷命题分析排列组合、概率统计在新课标全国卷高考中一般考查2小1大，概率中古典概型和几何概型是重点，一般以小题或解答题中的一小问出现，计数原理常考题型有：（1）排列组合；（2）二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.概率与统计的解答题，全国卷更注重统计的应用，而统计更多的是实际生活和生产中的广泛应用.散型随机变量是高考考点之一，随机变量分布是热点话题，正态分布和二项分布都以小题出现，且在基础题位置，难度较低，在平时复习时不宜研究难题.所以高三复习时，提高自己阅读理解能力的同时，更要关注统计中的概率分布直方图、线性回归方程、随机变量概率分布的数字特征和独立性检验等概念.三、典型高考试题讲评题型1 随机抽样例1 （2013·新课标Ⅰ，3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．故选C.题型2 根据统计图判断例2 (2018·新课标Ⅰ，理3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下列选项中不正确的是：A．新农村建设后，种植收入减少。
2019高考试题汇编理科数学---概率统计
(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.
【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 人，则：
该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率 .
(Ⅱ)由题意可知，
仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，
【详解】方法1：由分布列得 ，则
，则当 在 内增大时， 先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；
.
（2019全国1理）21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮实验中甲药的得分记为 ．
2019年高考真题概率统计专题整理 小题+大题 详细答案解析
2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .1116【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A .3.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .15【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=.5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A .6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D .7.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。
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2019年新课标全国卷（1、2、3卷）理科数学备考宝典13．排列组合、概率统计一、2018年考试大纲二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评2011—2018年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——13．排列组合、概率统计一、考试大纲1．随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性.(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.2．用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.3．变量的相关性(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.4．事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.5．古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.6．.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.7．分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.8．排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.9．二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.10．概率(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.11．统计案例——了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.二、新课标全国卷命题分析排列组合、概率统计在新课标全国卷高考中一般考查2小1大，概率中古典概型和几何概型是重点，一般以小题或解答题中的一小问出现，计数原理常考题型有：（1）排列组合；（2）二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.概率与统计的解答题，全国卷更注重统计的应用，而统计更多的是实际生活和生产中的广泛应用.散型随机变量是高考考点之一，随机变量分布是热点话题，正态分布和二项分布都以小题出现，且在基础题位置，难度较低，在平时复习时不宜研究难题.所以高三复习时，提高自己阅读理解能力的同时，更要关注统计中的概率分布直方图、线性回归方程、随机变量概率分布的数字特征和独立性检验等概念.三、典型高考试题讲评题型1 随机抽样例1 （2013·新课标Ⅰ，3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．故选C.题型2 根据统计图判断例2 (2018·新课标Ⅰ，理3) 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下列选项中不正确的是：A．新农村建设后，种植收入减少。
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
解析：选A。
由题干可知，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。
为方便可设建设前后收入分别为100,200（单位省去）A中，种植收入前后分别为，60.74，收入增加了，因此A选项不正确。
B中，其他收入前后分别为4.10.增加了一倍以上，B正确。
C中，养殖收入前后分别为30.60.收入增加了一倍，C正确。
D中，建设后，养殖收入与第三产业收入的和为（30+28）*2=116>100,D正确。
题型3 频率分布直方图与样本数字特征的估计例 3 （2017·新课标Ⅱ，18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
解析：（Ⅰ）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.012×5+0.014×5+0.024×5+0.034×5+0.040×5=0.62，由于两种养殖方法的箱产量相互独立，于是P（A）=0.62×0.66=0.4092（Ⅱ）旧养殖法的箱产量低于50kg的有100×0.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新养殖法的箱产量不低于50kg的有100×0.66=66箱，低于50kg的有34箱，得到2×2列联表如下：箱产量<50kg 箱产量≥50kg 合计旧养殖法62 38 100新养殖法34 66 100合计96 104 200所以错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。
（III）根据箱产量的频率分布直方图，新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为0.038×5+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.66>0.50，不低于55kg的频率为0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.32<0.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg到55kg之间，设新养殖法箱产量的中位数为x，则有（55-x）×0.068+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.50 ，解得x=52. 3529，因此，新养殖法箱产量的中位数的估计值52. 35。
题型4 排列组合的应用例4 （2017·新课标Ⅱ，6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】D 解析：解法一：将三人分成两组，一组为三个人，有错误!未找到引用源。
种可能，另外一组从三人在选调一人，有错误!未找到引用源。
种可能；两组前后在排序，在对位找工作即可，有错误!未找到引用源。
种可能；共计有36种可能.解法二：工作分成三份有错误!未找到引用源。
种可能，在把三组工作分给3个人有错误!未找到引用源。
可能，共计有36种可能.题型5 古典概型例5 （2018·新课标Ⅱ，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如错误!未找到引用源。
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
【答案】C 解析：30以内的素数有10个，满足和为30的素数对有3对，概率为错误!未找到引用源。
，选C.题型6 几何概型例6（2017·新课标Ⅰ，2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
【答案】B 解析：设正方形边长为错误!未找到引用源。
，则圆半径为错误!未找到引用源。
，则正方形的面积为错误!未找到引用源。
，圆的面积为错误!未找到引用源。
，图中黑色部分的概率为错误!未找到引用源。
，则此点取自黑色部分的概率为错误!未找到引用源。
，故选B；【解题技巧】解几何概型的试题，一般先求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件错误!未找到引用源。
构成的区域长度（面积或体积），最后代入几何概型的概率公式即可．几何概型计算公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积。
题型7 回归分析模型例7 （2018·新课标Ⅱ，理18）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额错误!未找到引用源。
（单位：亿元）的折线图．为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了错误!未找到引用源。
与时间变量错误!未找到引用源。
的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量错误!未找到引用源。
的值依次为错误!未找到引用源。
）建立模型①：错误!未找到引用源。
：根据2010年至2016年的数据（时间变量错误!未找到引用源。
的值依次为错误!未找到引用源。
）建立模型②：错误!未找到引用源。
．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解析：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为错误!未找到引用源。