统计与概率专题复习
中考数学一轮复习专题解析—统计与概率
中考数学一轮复习专题解析—统计与概率复习目标1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算；3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件；考点梳理一、数据的收集及整理1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查.要点诠释：(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．【特别提醒】这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．例1. 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适？请简要说明理由；⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？【答案】⑴该组数据的平均数众数为18，中位数为18；⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数人达标；⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为82%.二、数据的分析1.基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
概率论与统计原理复习资料
一、填空题1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。
参考答案：B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，CB+BA+CA，AB C+AC B+A BC，A+CABBA+CBC考核知识点：事件的关系及运算2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。
参考答案：，，考核知识点：古典型概率3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。
参考答案：1/8，3/8考核知识点：古典型概率4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。
参考答案：考核知识点：古典型概率5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。
参考答案：，考核知识点：概率的性质6、设袋中有6个球，其中4白2黑。
用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。
参考答案：，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= ，P（B）= ，则P（A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（BA）= 。
参考答案：，，，考核知识点：概率的性质8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。
参考答案：（1）；（2）考核知识点：事件的独立性9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。
高考数学复习专题训练—统计与概率解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—统计与概率解答题1.(2021·广东广州二模改编)根据相关统计,2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势,2011~2019年全国农村贫困发生率的散点图如下:注:年份代码1~9分别对应年份2011年~2019年.(1)求y 关于t 的经验回归方程(系数精确到0.01);(2)已知某贫困地区的农民人均年纯收入X (单位:万元)满足正态分布N (1.6,0.36),若该地区约有97.72%的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准,则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元?参考数据与公式:∑i=19y i =54.2,∑i=19t i y i =183.6. 经验回归直线y ^=b ^t+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n t i y i -nt y ∑i=1n (t i -t )2 ,a ^=y −b ^t . 若随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.2.(2021·湖北黄冈适应性考试改编)产品质量是企业的生命线.为提高产品质量,企业非常重视产品生产线的质量.某企业引进了生产同一种产品的A,B 两条生产线,为比较两条生产线的质量,从A,B 生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测,把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.(1)依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析数据,能否据此推断是否为一级品与生产线有关.(2)生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品则亏损20元,以频率估计概率.①分别估计A,B生产线生产一件产品的平均利润;②你认为哪条生产线的利润较为稳定?并说明理由.附:①参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.②临界值表:3.(2021·福建宁德模拟改编)某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格,从中随机抽测100个零件的长度d(单位:mm).该样本数据分组如下:[57,58),[58,59),[59,60),[60,61),[61,62),[62,63],得到如图所示的频率分布直方图.经检测,样本中d大于61的零件有13个,长度分别为61.1,61.1,61.2,61.2,61.3,61.5,61.6,61.6,61.8,61.9,62.1,62.2,62.6.(1)求频率分布直方图中a,b,c的值及该样本的平均长度x(结果精确到1 mm,同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)视该批次样本的频率为总体的概率,从工厂生产的这批新零件中随机选取3个,记ξ为抽取的零件长度在[59,61)的个数,求ξ的分布列和数学期望;(3)若变量X满足|P(μ-σ≤X≤μ+σ)-0.682 7|<0.03且|P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-0.954 5|≤0.03,则称变量X满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批样本的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利出厂;否则不能出厂.请问,能否让该批零件出厂?4.(2021·山东潍坊期末)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0<r<1),它们之间相互不影响.(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r的最小值;(2)当r=0.9时,求能正常工作的设备数X的分布列;(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万元的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方案:方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.9,更新设备硬件总费用为8万元; 方案2:对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策?答案及解析1.解 (1)t =1+2+3+4+5+6+7+8+99=5, y =12.7+10.2+8.5+7.2+5.7+4.5+3.1+1.7+0.69≈6.02, b ^=∑i=19t i y i -9t y∑i=19(t i -5)2=183.6-270.960≈-1.46,a ^=y −b ^t =6.02-(-1.46)×5=13.32.故y 关于t 的经验回归方程为y ^=-1.46t+13.32.(2)因为P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5,所以P (X>μ-2σ)=0.954 5+1-0.954 52=0.977 25. 因为某贫困地区的农民人均年纯收入X 满足正态分布N (1.6,0.36),所以μ=1.6,σ=0.6,μ-2σ=0.4,P (X>0.4)=0.977 25,故该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元.2.解 (1)根据已知数据可建立列联表如下:零假设为H 0:是否为一级品与生产线无关.χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )=200×(20×65-35×80)255×145×100×100≈5.643>5.024=x 0.025,依据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H 0不成立,即认为是否为一级品与生产线有关.(2)A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15,35,15.记A 生产线生产一件产品的利润为X ,则X 的取值为100,50,-20,其分布列为B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为720,25 ,14.记B生产线生产一件产品的利润为Y,则Y的取值为100,50,-20, 其分布列为①E(X)=100×15+50×35+(-20)×15=46,E(Y)=100×720+50×25+(-20)×14=50.故A,B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.②D(X)=(100-46)2×15+(50-46)2×35+(-20-46)2×15=1 464.D(Y)=(100-50)2×720+(50-50)2×25+(-20-50)2×14=2 100.因为D(X)<D(Y),所以A生产线的利润更为稳定.3.解(1)由题意可得P(61≤d<62)=10100=0.1,P(62≤d≤63)=3100=0.03,P(59≤d<60)=P(60≤d<61)=12(1-2×0.03-0.14-0.1)=0.35,所以a=0.031=0.03,b=0.11=0.1,c=0.351=0.35.x=(57.5+62.5)×0.03+58.5×0.14+(59.5+60.5)×0.35+61.5×0.1=59.94≈60.(2)由(1)可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件,长度d在(59,61]的概率P=2×0.35=0.7,且随机变量ξ服从二项分布ξ~B(3,0.7),所以P(ξ=0)=C30×(1-0.7)3=0.027,P(ξ=1)=C31×0.7×(1-0.7)2=0.189,P(ξ=2)=C32×0.72×(1-0.7)=0.441,P(ξ=3)=C33×0.73=0.343,所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.(3)由(1)及题意可知x=60,σ=1.所以P(x-σ≤X≤x-σ)=P(59≤X≤61)=0.7.|P(x-σ≤X≤x+σ)-0.682 7|=|0.7-0.682 7|=0.017 3≤0.03,P(x-2σ≤X≤x-2σ)=P(58≤X≤62)=0.14+0.35+0.35+0.1=0.94,|P(x-2σ≤X≤x+2σ)-0.954 5|=|0.94-0.954 5|=0.014 5≤0.03.所以这批新零件的长度d满足近似于正态分布N(x,12)的概率分布.所以能让该批零件出厂.4.解(1)要使系统的可靠度不低于0.992,则P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值为0.8.(2)X为正常工作的设备数,由题意可知,X~B(3,r),P(X=0)=C30×0.90×(1-0.9)3=0.001,P(X=1)=C31×0.91×(1-0.9)2=0.027,P(X=2)=C32×0.92×(1-0.9)1=0.243,P(X=3)=C33×0.93×(1-0.9)0=0.729,从而X的分布列为(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1,X2,采用方案1,更换部分设备的硬件,使得设备可靠度达到0.9,由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001,不断掉的概率为0.999,故E(X1)=80000+0.001×500 000=80 500元.采用方案2,对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008,故E(X2)=50 000+0.008×500 000=54 000元,因此,从期望损失最小的角度,决策部门应选择方案2.。
高考复习概率与统计知识点归纳总结
概率与统计知识点总结（一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1．用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）样本本均值：nx x x x n +++= 21 （2）样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-== （3）频率分布直方图估算样本众数、中位数、平均数①众数：最高小矩形中点值；②中位数：先确定中位数所在小组，设中位数为m ，由直线x=m 两侧小矩形面积之和等于0.5列方程求m ． ③平均数：各小矩形中点值与其面积的积的和．2．随机事件的概率及概率的意义（1）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（2）概率定义：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A为事件A 出现的频率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率．3．概率的基本性质（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)4．古典概型及随机数的产生（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性．（2）公式P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A 5．几何概型及均匀随机数的产生（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ． 6．随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示．7．离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，．．．．． ，x i ，．．．．．．，x n ．X 取每一个值 x i (i=1，2，．．．．．．）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列分布列性质：∪ p i ≥0， i =1，2， … ；∪ p 1 + p 2 +…+p n = 1．9．条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率．记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率公式：.0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P 10．相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，)()()(B P A P B A P ⋅=⋅12．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 Eξ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量．13．方差：D(ξ)=(x 1-Eξ)2·P 1+（x 2-Eξ)2·P 2 +．．．．．．+（x n -Eξ)2·P n 叫随机变量ξ的均方差，简称方差．14．正态分布：（1）定义：若概率密度曲线就是或近似地是函数 的图象，其中解析式中的实数0)μσσ>、（是参数，分别表示总体的平均数与标准差．则其分布叫正态分布(,)N μσ记作：，f( x )的图象称为正态曲线；（2）基本性质：∪曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；∪曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点；∪当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”；表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；∪正态曲线下的总面积等于1．15．3原则：从上表看到，正态总体在 以外取值的概率只有4．6%，在 以外取值的概率只有0．3% 由于这些概率很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπμμμσσσσ)2,2(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-17．回归分析。
概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)概率统计公式大全（复习重点）在学习概率统计的过程中，熟练掌握相关的公式是非常关键的。
本文将为大家详细介绍一些常用的概率统计公式，并对其进行简要的说明和应用举例，以便复习和巩固知识。
一、基本概率公式1. 事件的概率计算公式P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中有利的结果数；n(S)表示样本空间S中的全部结果数。
例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解：样本空间S中共有52张牌，红心牌有13张，所以 P(红心牌) = 13 / 52 = 1 / 4。
2. 条件概率计算公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
例如：某班级男女生分别有30人和40人，从中随机选择一名学生，求选到女生并且是优等生的概率。
解：女生优等生有20人，所以 P(女生且是优等生) = 20 / （30+ 40）= 1 / 7。
二、常用离散型随机变量的数学期望与方差1. 随机变量的数学期望计算公式E(X) = ∑[x * P(X=x)]其中，E(X)表示随机变量X的数学期望；x表示随机变量X的取值；P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的数学期望。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
2. 随机变量的方差计算公式Var(X) = E((X - E(X))²)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E(X)表示随机变量X的数学期望。
例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的方差。
解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。
六年级下册数学试题-《统计与概率》易错题专项复习(含解析)人教版
【专题复习】2019-2020学年人教新版小升初《统计与概率》易错题专项复习（提高版）【学生版】一．选择题（共12小题）1．小冬爸爸5月份的工资总收入约是8000元，按照如图进行支配，那么用于教育费用约是（）A．4000元B．1200元C．2000元D．900元2．明天（）下雨．A．一定B．可能C．不可能3．口袋里有1个红球、1个黄球、1个白球．从口袋里任意摸出1个球，摸到球的颜色一共有（）种不同的可能．A．1种B．2种C．3种4．抛一枚硬币，朝上的可能性（）A．正面大B．反面大C．正反两面差不多5．把3个白球和5个红球放在盒子里，任意摸出一个，（）是蓝色的．A．可能B．一定C．不可能6．某班有50人，其中三好学生10人，优秀学生干部5人，在扇形统计图上表示三好学生和优秀学生干部人数的圆心角分别是（）A．72°，36°B．100°，50°C．120°，60°D．80°，40°7．如图，甲摸到白球得1分，乙摸到黑球得1分，在（）箱中摸最公平．A．B．C．D．8．从写有1～6的6张卡片中任抽一张，抽到是2的可能性是（）A．B．C．D．9．刘翔在2016年巴西里约热卢奥运会上（）能拿冠军．A．不可能B．可能C．一定10．太阳（）是东升西落．A．一定B．不一定C．不会11．笑笑和淘气玩“剪刀、石头、布”游戏，下面说法中正确的是（）A．笑笑一定胜B．淘气一定胜C．淘气可能胜12．明天（）会下雨．A．可能B．一定C．不可能二．填空题（共9小题）13．用0，3，5，8可以组成个没有重复数字的两位数，其中最大的两位数是，最小的两位数是．14．箱子里放着3个苹果，5个橘子，2个桃子，7个梨，小明随便拿出一个水果，有种可能，拿到的可能性最小，要想让这种水果的可能性最大，至少还要加个．15．鱼不可能会在天上飞．．16．有三把锁和三把钥匙，现在用三把钥匙去打开三把锁，最多要试次．17．在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄种植方法有种．18．有一楼梯共12级，如规定每次只能跨上一级或两级，要登上第12级，共有不同的走法．19．一桶水，需2人一起抬．3人把一桶水从离家600米远的地方抬回家，平均每人要抬米．20．用0、1、2、3四个数字，可以组成个不同的三位数．21．下面是数学学习小组6名同学的测验成绩：李刚95分，王聪92分，王冬88分，范华93分，张兰94分，周兵96分．（1）这六位同学的平均分数多少？（2）如果把他们的平均成绩记住0，那么这6名同学的成绩分别记作多少？三．判断题（共5小题）22．在制作扇形统计图时，总的数量越多，所画的圆就越大．．（判断对错）23．冬天一定会下雪．．（判断对错）24．小明所在班级同学的平均身高比小强所在班级的平均身高高些，所以小明比小强要高些．．（判断对错）25．三（1）班同学的平均体重是35千克，三（1）班不可能有体重低于32千克的同学．．（判断对错）26．在一次彩票有奖销售活动中，中奖的可能性是．李叔叔买了100张彩票，一定能有20张中奖．（判断对错）四．应用题（共5小题）27．下图是小华骑自行车到6千米远的森林公园去游玩的情况．（1）小华从出发到返回，一共经过了多长时间？（2）返回前，小华在路上用的时间比在公园里玩的时间多多少分钟？（3）返回时，小华骑自行车每分钟行走多少米？28．某次考试，的学生取得优秀成绩，这些学生的平均分比优秀的分数线高4分，而没达到优秀的学生的平均分比优秀的分数线低11分，所有学生的平均分是87分．那么，优秀的分数线是多少分？29．某电视节目评选优秀选手，专家组与观众代表的评分如下表．（1）专家组的平均分是多少？（2）观众代表的平均分是多少？（3）总平均分是多少？30．2017年某店“双十一”销售额比2016年“双十一”销售额增加了多少亿元？31．某小学参加兴趣小组情况如图：已知参加体育的有136人，参加“其它”兴趣小组的共有多少人？五．解答题（共15小题）32．工人叔叔要修一条长85米的公路，已经修了5天，还剩13.5米，平均每天修了多少米？33．昨天和今天共售出996张票，每天放映3场，平均每场售出多少张票？34．袋子里放了6个球：〇〇〇〇〇●任意摸一个再放回．小胖连续摸了5次，都是白球，他第六次摸到的球是黑球．（填“一定”、“不可能”或“可能”）35．小英4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了94分．问她5次测验的平均成绩是多少？36．有一种奖券的中奖率是1%，所以买100张奖券就一定能中奖．．37．一个小组在一班工作时间内，前3小时每小时生产零件170个，后5小时每小时生产零件186个，平均每小时生产零件多少个？38．李大爷带900元买了22袋同一种化肥，还剩20元．平均每袋化肥多少元？39．按要求涂一涂．（1）图1摸出的一定是黑球；（2）图2摸出的不可能是黑球；（3）图3摸出黑球的可能性最大40．星期天，小华乘公交车从家到图书馆看书，后来打的回家，如图表示的是这段时间里小华离家距离的变化情况．请你仔细观察，回答问题．（1）小华在图书馆呆了分钟．（2）回来打的时平均速度是每小时千米．（3）乘公交车所用的时间比回来多用%．41．求下面图形的面积或体积．（1）求如图1中的阴影面积（单位：m）（2）求玩具陀螺的体积．（单位：cm）42．下面是5位同学的体重：小李38千克，小王42千克，小张36千克，小林43千克，小许41千克．先计算他们的平均体重，再用正数和负数来表示他们的体重与平均体重相差的部分．单位：千克43．刘小强4次数学测验的平均成绩是90分，第5次数学测验得95分，小强这5次测验的平均成绩是多少？44．聪聪家2015年11月支出情况统计如图．聪聪家2015年11月的总支出是3600元．请你回答问题：（1）这个月哪项支出最多？支出了多少元？（2）购买衣物的支出比文化教育支出少百分之几？少支出了多少元？45．实验小学去年四个季度用水情况统计如下表：这个小学去年平均每个月用水多少吨？46．如图是某班数学期末考试的统计图，可惜已经破损了．已知：这个班数学期末考试的及格率为95%．成绩优秀的人数占全班的35%．成绩“良好”的人数比“优秀”的人数多．请你算一算：（1）该班一共有人参加了这次考试；（2）其中成绩达到优秀的一共有人；（3）成绩良好的有人．【教师版】一．选择题（共12小题）1．小冬爸爸5月份的工资总收入约是8000元，按照如图进行支配，那么用于教育费用约是（）A．4000元B．1200元C．2000元D．900元【解答】解：如图，教育可以用占15%8000×15%＝1200（元）．故选：B．2．明天（）下雨．A．一定B．可能C．不可能【解答】解：因为明天下不下雨，属于可能性中的不确定事件，在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；故选：B．3．口袋里有1个红球、1个黄球、1个白球．从口袋里任意摸出1个球，摸到球的颜色一共有（）种不同的可能．A．1种B．2种C．3种【解答】解：口袋里有1个红球、1个黄球、1个白球．从口袋里任意摸出1个球，摸到球的颜色一共有红、黄、白3种不同的可能．故选：C．4．抛一枚硬币，朝上的可能性（）A．正面大B．反面大C．正反两面差不多【解答】解：1÷2＝，正面朝上和反面朝上的可能性都是，即可能性相等；故选：C．5．把3个白球和5个红球放在盒子里，任意摸出一个，（）是蓝色的．A．可能B．一定C．不可能【解答】解：把3个白球和5个红球放在盒子里，任意摸出一个，不可能是蓝色的；故选：C．6．某班有50人，其中三好学生10人，优秀学生干部5人，在扇形统计图上表示三好学生和优秀学生干部人数的圆心角分别是（）A．72°，36°B．100°，50°C．120°，60°D．80°，40°【解答】解：（1）表示三好学生的圆心角：360°×（10÷50）＝360°×20%＝72°；（2）表示优秀学生干部人数的圆心角：360°×（5÷50）＝360°×10%＝36°；答：在扇形统计图上表示三好学生和优秀学生干部人数的圆心角分别是72°和36°．故选：A．7．如图，甲摸到白球得1分，乙摸到黑球得1分，在（）箱中摸最公平．A．B．C．D．【解答】解：从图中看出：B箱中黑球个数和白球个数相等，即可能性一样大；最公平；故选：B．8．从写有1～6的6张卡片中任抽一张，抽到是2的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：抽到一张牌，即占；故选：D．9．刘翔在2016年巴西里约热卢奥运会上（）能拿冠军．A．不可能B．可能C．一定【解答】解：刘翔在2016年伦敦奥运会上可能能拿冠军，属于可能性中的不确定事件，在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；故选：B．10．太阳（）是东升西落．A．一定B．不一定C．不会【解答】解：由分析可知：太阳东升西落，是客观规律，属于确定事件中的必然事件；故选：A．11．笑笑和淘气玩“剪刀、石头、布”游戏，下面说法中正确的是（）A．笑笑一定胜B．淘气一定胜C．淘气可能胜【解答】解：笑笑和淘气玩“剪刀、石头、布”的游戏是公平的，他们赢的可能性为：1÷3＝；因此都有赢的机会，但不能确定，所以选项A、B错误，他们只有赢的可能性；故选：C．12．明天（）会下雨．A．可能B．一定C．不可能【解答】解：明天可能会下雨，属于不确定事件中的可能事件；故选：A．二．填空题（共9小题）13．用0，3，5，8可以组成9 个没有重复数字的两位数，其中最大的两位数是85 ，最小的两位数是30 ．【解答】解：0、3、5、8四个数字可以组成的两位数有：30，35，38；50，53，58；80，83，85，共有9个不同的两位数；其中最大的是85，最小的两位数是30，故答案为：9，85，3014．箱子里放着3个苹果，5个橘子，2个桃子，7个梨，小明随便拿出一个水果，有 4 种可能，拿到桃子的可能性最小，要想让这种水果的可能性最大，至少还要加 6 个．【解答】解：（1）因为箱子里放着3个苹果，5个橘子，2个桃子，7个梨，小明随便拿出一个水果可能摸到苹果，也可能摸到橘子，还可能摸到桃子或者是梨，因此有4种可能；（2）因为有3个苹果，5个橘子，2个桃子，7个梨，7＞5＞3＞2，所以从箱子里任意摸出一个水果，摸到桃子的可能性最小；要想让这种水果的可能性最大，至少还要加7+1﹣2＝6个，故答案为：4，桃子，6．15．鱼不可能会在天上飞．正确．【解答】解：由分析可知：鱼不可能会在天上飞，属于确定事件中的不可能事件；故答案为：正确．16．有三把锁和三把钥匙，现在用三把钥匙去打开三把锁，最多要试 6 次．【解答】解：3+2+1＝6（次）．答：最多要试6次．故答案为：6．17．在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄种植方法有12 种．【解答】解：（3+2+1）×2＝6×2＝12（种）；答：则不同的选垄种植方法有12种．故答案为：12．18．有一楼梯共12级，如规定每次只能跨上一级或两级，要登上第12级，共有233 不同的走法．【解答】解：1级：1种；2级：2种；（走1级或走2级）3级：3种；（全走1级，走1+2或2+1）4级：5种；（全走1级，2+1+1，1+2+1，1+1+2，2+2）5级：8种；（全走1级，2+1+1+1，1+2+1+1，1+1+2+1，1+1+1+2，2+2+1，2+1+2，1+2+2）…【兔子数列】1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233．答：共有233种不同的走法．19．一桶水，需2人一起抬．3人把一桶水从离家600米远的地方抬回家，平均每人要抬400 米．【解答】解：600×2÷3＝1200÷3＝400（米）答：平均每人要抬400米．故答案为：400．20．用0、1、2、3四个数字，可以组成18 个不同的三位数．【解答】解：组成的三位数有：120、102、210、201、310、130、301、103、230、203、320、302、123、132、213、231、321、312；一共有18个．故答案为：18．21．下面是数学学习小组6名同学的测验成绩：李刚95分，王聪92分，王冬88分，范华93分，张兰94分，周兵96分．（1）这六位同学的平均分数多少？（2）如果把他们的平均成绩记住0，那么这6名同学的成绩分别记作多少？【解答】解：（1）六位同学的平均数为：（95+92+88+93+94+96）÷6＝558÷6＝93（分）．答：这六位同学的平均分数93分．（2）若平均成绩记作0，则李刚的分数为：95﹣93＝2（分），王聪的分数为：92﹣93＝﹣1（分），王冬的分数为：88﹣93＝﹣5（分），范华的分数为：93﹣93＝0（分），张兰的分数为：94﹣93＝1（分），周兵的分数为：96﹣93＝3（分）．答：李刚的分数为2分，王聪的分数为﹣1分，王冬的分数为﹣5分，范华的分数为0分，张兰的分数为1分，周兵的分数为3分．三．判断题（共5小题）22．在制作扇形统计图时，总的数量越多，所画的圆就越大．×．（判断对错）【解答】解：根据扇形统计图的特点可知：在制作扇形统计图时，总的数量不论多少，都用所画的圆表示单位“1”，所以原题说法错误；故答案为：×．23．冬天一定会下雪．错误．（判断对错）【解答】解：冬天一定会下雪，说法错误；故答案为：错误．24．小明所在班级同学的平均身高比小强所在班级的平均身高高些，所以小明比小强要高些．错误．（判断对错）【解答】解：因为平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征．所以小明所在班级同学的平均身高比小强所在班级的平均身高高些，并不是说小明比小强要高些，所以判断错误．故答案为：错误．25．三（1）班同学的平均体重是35千克，三（1）班不可能有体重低于32千克的同学．错误．（判断对错）【解答】解：因为，我们班同学的平均体重是35千克，并不是每个同学的体重都是35千克，有的同学的体重比35千克高的多，也有的同学的体重比35千克低的多，也可能有低于32千克的同学；所以，三（1）班同学的平均体重是35千克，三（1）班不可能有体重低于32千克的同学说法错误的；故答案为：错误．26．在一次彩票有奖销售活动中，中奖的可能性是．李叔叔买了100张彩票，一定能有20张中奖×．（判断对错）【解答】解：100×＝20（张），可能有20张中奖；说一定中奖是错误的；故答案为：×．四．应用题（共5小题）27．下图是小华骑自行车到6千米远的森林公园去游玩的情况．（1）小华从出发到返回，一共经过了多长时间？（2）返回前，小华在路上用的时间比在公园里玩的时间多多少分钟？（3）返回时，小华骑自行车每分钟行走多少米？【解答】解：（1）3＝3＝（小时）答：一共经过了2小时．（2）1﹣＝1﹣＝（小时）答：返回前，小华在路上用的时间比在公园里玩的时间多20分钟．（3）小时＝小时＝40分钟，6千米＝6000米6000÷40＝150（米）答：返回时，小华骑自行车每分钟行走150米．28．某次考试，的学生取得优秀成绩，这些学生的平均分比优秀的分数线高4分，而没达到优秀的学生的平均分比优秀的分数线低11分，所有学生的平均分是87分．那么，优秀的分数线是多少分？【解答】解：等号两边除以x得y＝87+5y＝92答：优秀的分数线是92分．29．某电视节目评选优秀选手，专家组与观众代表的评分如下表．（1）专家组的平均分是多少？（2）观众代表的平均分是多少？（3）总平均分是多少？【解答】解：（1）（8+8.5+8+9.5+10+9+8.5+8.5）÷8 ＝70÷8＝8.75（分）答：这8个专家打的平均分是8.75分．（2）（8.5+8.5+9.5+8.5+8.5+9.5+9.5+9.5）÷8＝72÷8＝9（分）答：这8个观众代表打的平均分是9分．（3）（8.75+9）÷2＝17.75÷2＝8.875（分）答：总平均分是8.875分．30．2017年某店“双十一”销售额比2016年“双十一”销售额增加了多少亿元？【解答】解：350×＝220（亿元）答：2017年某店“双十一”销售额比2016年“双十一”销售额增加了220亿元．31．某小学参加兴趣小组情况如图：已知参加体育的有136人，参加“其它”兴趣小组的共有多少人？【解答】解：136÷34%＝400（人）400×（1﹣34%﹣18%﹣26%）＝400×22%＝88（人）答：参加“其它”兴趣小组的共有88人．五．解答题（共15小题）32．工人叔叔要修一条长85米的公路，已经修了5天，还剩13.5米，平均每天修了多少米？【解答】解：（85﹣13.5）÷5＝71.5÷5＝14.3（米）．答：平均每天修了14.3米．33．昨天和今天共售出996张票，每天放映3场，平均每场售出多少张票？【解答】解：996÷2÷3，＝996÷6，＝166（张），答：平均每场售出166张票．34．袋子里放了6个球：〇〇〇〇〇●任意摸一个再放回．小胖连续摸了5次，都是白球，他第六次摸到的球可能是黑球．（填“一定”、“不可能”或“可能”）【解答】解：因为袋子里放了6个球，有黑球，也有白球，小胖第六次摸到的球可能黑球，属于不确定事件中的可能性事件；故答案为：可能．35．小英4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了94分．问她5次测验的平均成绩是多少？【解答】解：解法一：（89×4+94）÷5＝90（分）；解法二：89+（94﹣89）÷5，＝89+5÷5，＝90（分）；答：5次测验的平均成绩是90分．36．有一种奖券的中奖率是1%，所以买100张奖券就一定能中奖．×．【解答】解：一种有奖征卷的中奖率是1%，买100张这样的奖券，有可能中奖一次，但属于不确定事件中的可能性事件；所以本题中说买100张，一定会中奖，说法错误．故答案为：×．37．一个小组在一班工作时间内，前3小时每小时生产零件170个，后5小时每小时生产零件186个，平均每小时生产零件多少个？【解答】解：（170×3+186×5）÷（3+5），＝（510+930）÷8，＝1440÷8，＝180（个）；答：平均每小时生产零件180个．38．李大爷带900元买了22袋同一种化肥，还剩20元．平均每袋化肥多少元？【解答】解：（900﹣20）÷22＝880÷22＝40（元）答：平均每袋化肥40元．39．按要求涂一涂．（1）图1摸出的一定是黑球；（2）图2摸出的不可能是黑球；（3）图3摸出黑球的可能性最大【解答】解：40．星期天，小华乘公交车从家到图书馆看书，后来打的回家，如图表示的是这段时间里小华离家距离的变化情况．请你仔细观察，回答问题．（1）小华在图书馆呆了70 分钟．（2）回来打的时平均速度是每小时12 千米．（3）乘公交车所用的时间比回来多用50 %．【解答】解：（1）小华在图书馆呆了：100﹣30＝70（分钟）；（2）返回时用的时间：120﹣100＝20（分钟）＝（小时），返回时的车速：4÷＝12（千米）；（3）（30﹣20）÷20＝10÷20＝50%答：乘公交车所用的时间比回来多用50%．故答案为：70，12，50．41．求下面图形的面积或体积．（1）求如图1中的阴影面积（单位：m）（2）求玩具陀螺的体积．（单位：cm）【解答】解：（1）6×（6÷2）﹣3.14×（6÷2）2÷2 ＝18﹣14.13＝3.87（m2）答：阴影面积是3.87m2．（2）3.14×（3÷2）2×4+3.14×（3÷2）2×3×＝3.14×1.52×4+3.14×1.52×（3×）＝3.14×2.25×4+3.14×2.25×1＝7.056×4+7.056＝7.056×5＝35.325（cm3）答：玩具陀螺的体积是35.325cm3．42．下面是5位同学的体重：小李38千克，小王42千克，小张36千克，小林43千克，小许41千克．先计算他们的平均体重，再用正数和负数来表示他们的体重与平均体重相差的部分．单位：千克【解答】解：（1）（38+42+36+43+41）÷5＝200÷5＝40（千克）答：他们的平均体重是340千克．（2）将平均体重记为0千克，超过记为正数，不足记为负数，这六个人的体重可以记作：38﹣40＝﹣242﹣40＝+236﹣40＝﹣443﹣40＝+341﹣40＝+143．刘小强4次数学测验的平均成绩是90分，第5次数学测验得95分，小强这5次测验的平均成绩是多少？【解答】解：（90×4+95）÷5＝455÷5＝91（分）答：小强这5次测验的平均成绩是91分．44．聪聪家2015年11月支出情况统计如图．聪聪家2015年11月的总支出是3600元．请你回答问题：（1）这个月哪项支出最多？支出了多少元？（2）购买衣物的支出比文化教育支出少百分之几？少支出了多少元？【解答】解：（1）3600×35%＝1260（元）答：这个月伙食支出最多，支出了1260元（2）（25%﹣20%）÷25%＝0.05÷0.25＝0.2＝20%答：购买衣物的支出比文化教育支出少20%．3600×25%＝3600×0.25＝900（元）3600×20%＝3600×0.2＝720（元）900﹣720＝180（元）答：少支出了180元．45．实验小学去年四个季度用水情况统计如下表：这个小学去年平均每个月用水多少吨？【解答】解：（167+215+362+156）÷12＝900÷12＝75（吨）；答：这个小学去年平均每个月用水75吨．46．如图是某班数学期末考试的统计图，可惜已经破损了．已知：这个班数学期末考试的及格率为95%．成绩优秀的人数占全班的35%．成绩“良好”的人数比“优秀”的人数多．请你算一算：（1）该班一共有40 人参加了这次考试；（2）其中成绩达到优秀的一共有14 人；（3）成绩良好的有18 人．【解答】解：（1）2÷（1﹣95%）＝2÷0.05＝40（人）；答：该班一共有40人参加了这次考试．（2）40×35%＝14（人）；答：其中成绩达到优秀的一共有14人．（3）14×（1+）＝14×＝18（人）；答：成绩良好的有18人；故答案为：40，14，18．。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
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中考复习教案——概率与统计
第一讲统计
教学目标：
1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的
基本知识、基本方法和基本技能.
2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．
【知识回顾】
、中考说明的解读
、知识结构图
三、考点分类、解读
1、考点①调查方式的选择收集数据的方式，即获得数据采取的方法一般为普查和抽样调查．很多考题结合生活中的实际问题，依据两种调查方式的特点，判断采用哪种方式进行调查．此类型问题近年出现频率较高，解题时一要彻底掌握两种方式的优缺点，二要考虑实际情况以选择既准确又快捷的调查方式．
【例1】下列调查方式中适合的是（）
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式思路分析：普查适合于调查范围小（或个体较少），要求比较准确（人口普查）调查对象较稳定这样事件的调查；抽样调查适合于调查范围大，个体数目庞大，流动数据或带有破坏性等事件的调查，A 项具有破坏性；B项调查对象较少；C项范围广；D 项数目较大．
答案：C
2、考点②平均数、中位数和众数平均数、中位数和众数作为数据的代表，是历年中考必考内容，重点是计算一组数据的平均数或加权平均数，找出一组数据的中位数或众数．难点是根据实际问题判断这三种数哪一个最能反映一组数据的平均水平．解答时，一定熟记平均数的计算公式，平均数、众数、中位数各自的意义，它们的优缺点
【例2】物理兴趣小组20 位同学在实验操作中的得分情况如下表：
问：（1）求这20 位同学实验操作得分的众数、中位数；
（2）这20 位同学实验操作得分的平均分是多少？
3、考点③极差、方差和标准差本考点主要考查计算一组数据的极差、方差或标准差，利用极差、方差以及标准差反映数据的波动大小从而确定哪组数据更稳定；由已知数据的平均数计算数据的方差，此类问题的解答，一要熟记方差公式，二是明确公式中各字母表示的意义. 【例3】（2010·浙江）如图8－1－3 所示是甲、乙两射击运动员的10 次射击训练成绩（环数）
1
思路分析：求方差需利用公式s2＝1n[（ x1－x ）2＋
（x2
－x ）2＋⋯＋（x n－x ）2] 计算，这样根据图中反映的甲、乙两运动员的成绩求出平均成绩x 甲、x 乙，代入公式便算出s2甲和s2乙.
4、考点④频数与频率本部分包括根据频数、频率的概念，由已知频数、总数计算相应频率，由频率和总数计算频数，由频数和频率计算总数；根据频数，频率分布表制作或补全频数分布直方图以及频率分布直方图；把一组数据适当分组后作频数（或频率）分布直方图．该考点是必考内容之一，题型选择、填空、解答都有，掌握好频数、频率的概念，明确样本估计总体的方法是解题的基础．
【例4】（2010·潼南）根据市教委提出的学生每天体育锻炼不少于 1 小时的要求，为确保每
天体育运动时间得到落实，某校对九年级学生每天参加体育锻炼的时间作了一次抽样调查，频数分布表其中部分结果记录如下：
请你将频数分布表和频数分布直方图（图8－1－4 所示）补充完整．思路分析：观察频数分布表知，频数为10 时的频率等于0.2，根据“ 频数/总数＝频率”可计算出总数（样本容量），再由计算出的总数代入公式分别计算出各组的频数或频率，再填入表格．在频数分布直方图中找出第二、四组对应的频数，补全直方图．
5、考点⑤统计图常见统计图有扇形图、条形图、折线图，它们各有优缺点，分别重点反映了数据中某一部分所占的百分比，各部分具体数目，数据的变化趋势．考题主要涉及（1）根据实际问题选择其中的统计图描述数据；（2）统计图之间的相互转化；（3）综合其中两种统计图进行计算．要明确各种统计图的构成，图中各部分所表示的意义．
【例5 】光明中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为40 名，某次数学考试的成绩统计如下：（每组分数含最小值，不含最大值）
丙班数学成绩频数统计表
分数50～60 60～70 70～80 80～90 90～100
人数 1 4 15 11 9
请根据以上图(如图8－1－6)表提供的信息，确定80～90 分这一组人数最多的是哪个班．思路分析：根据三种图表比较三个班80～90 分的人数，就是利用各图表分别求出三个班在80～90分的人数．甲班为频数分布直方图，除80～90 分组其它组的频数能直接读出，用总数减去其它各组频数即80～90 分组的人数；乙班为扇形统计图，80～90 分组的比例可由1 －35%－10%－5%－20%计算得出，丙班直接由表格获得．
6、考点⑥统计知识的综合应用本部分主要是些综合性解答题，包括统计中多方面的知识，综合考查对各种统计的特征量，统计量，统计图的应用，类型有：根据统计表或统计图计算数据的平均数、众数或中位数；利用已知图表信息求极差、方差从而确定数据稳定性；给出一组或几组数据，对其进行处理，再比较优劣；综合数据集中趋势，波动情况结合频数或频率分布直方图或折线图做出决策等问题．
【例6】一方有难，八方支援.2010 年4月14日青海玉树发生7.1 级强烈地震，给玉树人民造成了巨大的损失．灾难发生后，实验中学举行了爱心捐款活动，全校同学纷纷拿出自己的零花钱，踊跃捐款支援灾区人民，小慧对捐款情况进行了抽样调查，抽取了40 名同学的捐款数据，把数据进行分组、列频数分布表后，绘制了频数分布直方图，图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶7∶1(如图8－1－7 所示)．
(1) _______________________ 捐款20 元这一组的频数是；
(2) ____________________________ 40 名同学捐款数据的中位数是；
(3)若该校捐款金额不少于34500 元，请估算该校捐款同学的人数至少是多少名？
四、考点随堂、课后练习1．下列调查，适合用普查方式的是()
A．了解贵阳市居民的年人均消费B．了解某一天离开贵阳市的人口流量C．了解贵州电视台《百姓关注》栏目的收视率D．了解贵阳市某校学生对“创建全国卫生城市”的知晓率解析：D 项调查范围小，数目少适合用普查．
2．(2010 ·芜湖)下列数据：16,20,22,25,24,25 的平均数和中位数分别为()
A．21 和22 B．22 和23
C．22 和24 D．21 和23 3．某市统计局发布的统计公报显示，2004 年到2008 年，该市GDP增长率分别为9.6%、10.2%、
10.4%、10.6%、10.3%.经济学家评论这5 年的年度GDP 增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的( )比较小
A．中位数B．平均数
C．众数D．方差
4．如图8－1－8 所示是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下面对全年教育支出费用判断正确的是( )
B ．乙比甲多
D ．无法确定甲、乙哪个多
情系玉树献爱心”捐款活动中，某校九 （1）班同学人人拿出自己的零花 元.
7._____ （2010·晋江 ）已知
一组数据 2,1，－ 1,0,3，则这组数据的极差是 _____________________ ．
8．为了了解全校 1800 名学生对学校设置的体操、 球类、 跑步、 踢毽子等课外体育活动项目 的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生．对他们最喜爱的体育项目 （每人只选一 项）进行了问卷调查， 将数据进行了统计并绘制成了如图 8－1－10 所示的扇形统计图和如图
8－1－11 所示的频数分布直方图 （均不完整 ）．
（1）在这次问卷调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）补全频数分布直方图； （3）估计该校 1800 名学生中有多少人最喜爱球类活动？
捐款数 （元 ） 5 10 20 50 人数
4
15
6
5
A ．甲比乙多 C ．甲、乙一样多
6． （2010·温州 ）在
钱，现将同学们的捐款数整理成统计表，则该班同学平均每人
五、课后总结。