2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：第三章
专题七 解三角形本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·安庆二模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab等于( )A.32B.43 C. 2 D. 3 答案 D解析 由b sin2A ＝a sin B ，得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，得cos A ＝12.又c ＝2b ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得a b ＝ 3.故选D.2．(2019·黄山一模)已知△ABC 的三边满足条件a 2－(b －c )2bc ＝3，则∠A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 答案 D解析 ∵a 2－(b －c )2bc ＝3整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12， ∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.故选D.3．(2019·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案 B解析 ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴2tan C1－tan 2C ＝3tan C ，解得tan C ＝33.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．4．(2019·东莞模拟)已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( )A.32B.332 C.3＋62 D.3＋394答案 B解析 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ，得7＝AB 2＋4－4AB cos60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，得BC 边上的高为AB sin60°＝332，故选B.5．(2019·重庆模拟)如图所示的直角坐标系中，角α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，角β⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<β<0的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12的值为( )A ．－513B ．－1213 C.513 D.1213 答案 D解析 因为sin β＝－513>－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<β<0，所以－π6<β<0.又0<α<π2，S △AOB ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ＝34，所以∠AOB ＝π3，所以∠AOB ＝α－β＝π3，即α＝β＋π3.sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α＋12cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋π6＝cos β＝1213.故选D.6．(2019·南阳一中二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则A 的大小为( )A.π3或2π3B.π6C.π6或5π6D.5π6 答案 B解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.由正弦定理a sin A＝bsin B ，得sin A ＝2sin π42＝12.∵a <b ，∴A ＝π6.7．(2019·广州调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( )A ．37 B.372 C ．9 D.92 答案 B解析 解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，代入数据，得a ＝3，又cos B ＝34，B ∈(0，π)，所以sin B ＝74，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝372，故选B.解法二：由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C 及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，所以C ＝π2，所以sin A ＝cos B ＝34，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝372，故选B.8．(2019·广东七校联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )A. 3B.322 C ．2 2 D ．23 答案 A解析 因为△ABC 为锐角三角形，sin A ＝223，所以cos A ＝13.由S △ABC ＝12bc sin A ＝2，得bc ＝3. ①由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 得b 2＋c 2＝6. ② 联立①②，解得b ＝3，故选A.9．(2019·广西桂林、贺州联考)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .如果(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且a ＝3，那么△ABC 外接圆的半径为( )A ．2B ．4 C. 2 D ．1 答案 D解析 ∵(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝(b ＋c )2－a 2＝3bc ，化为b 2＋c 2－a 2＝bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴sin A ＝32，由正弦定理可得△ABC 外接圆的半径R ＝a2sin A ＝32×32＝1.10．(2019·成都二诊)某小区打算将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF ，在其内建造文化景观．已知AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，则△DEF 区域内面积(单位：m 2)的最小值为( )A ．25 3 B.75314 C.10037 D.7537答案 D解析 △ABC 是直角三角形，由AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，可得CB ＝103，因为△DEF 是等边三角形，设∠CED ＝θ，DE ＝x ，那么∠BFE ＝30°＋θ，CE ＝x cos θ，在△BFE 中，由正弦定理可得xsin30°＝103－x cos θsin (30°＋θ)，可得x ＝1033sin θ＋2cos θ＝1037sin (θ＋α)，其中tan α＝233.所以x ≥1037.则△DEF 的面积S ＝12x 2×sin60°≥7537.故选D.11．(2019·首师大附中一模)如图，平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，BC ＝CD ＝2，点E 在对角线AC 上，AC ＝4，AE ＝1，则EB →·ED →的值为( )A ．17B ．13C ．5D ．1 答案 D解析 由题意可知CE ＝3，∠BCE ＝60°， ∴EB ＝22＋32－2×2×3×cos60°＝7， ∴cos ∠BEC ＝7＋9－42×7×3＝277，∴cos ∠BED ＝2cos 2∠BEC －1＝17. ∴EB →·ED →＝7×7×17＝1. 故选D.12．(2019·广东化州市高三模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos A c＝2cos C ，则c ＝( )A ．27B ．4C ．2 3D ．3 3 答案 C 解析a cos B ＋b cos Ac ＝sin A cos B ＋sin B cos Asin C＝sin (A ＋B )sin (A ＋B )＝1， 即有2cos C ＝1，可得C ＝60°，若S △ABC ＝23，则12ab sin C ＝23，即为ab ＝8， 又a ＋b ＝6，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12， 解得c ＝2 3.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．答案 6 3解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又∵b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3， ∴36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴c ＝23，a ＝43，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.14．(2019·汕头市高三上学期期末)在△ABC 中，BC ＝23，AC ＝3，A ＝2B ，D 是BC 上一点且AD ⊥AC ，则△ABD 的面积为________．答案 210解析 ∵BC ＝23，AC ＝3，A ＝2B ，∴在△ABC 中，由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，可得23sin A ＝3sin B ＝232sin B cos B ，解得cos B ＝33，可得sin B ＝1－cos 2B ＝63， ∴cos A ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝－13， ∵AD ⊥AC ，∴sin ∠BAD ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π2＝－cos A ＝13，可得cos ∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝223，∴sin ∠ADB ＝sin(∠BAD ＋B )＝13×33＋223×63＝539，∵在△ABC 中，由余弦定理可得32＝AB 2＋(23)2－2AB ×23×33，解得AB ＝1或3.若AB ＝AC ＝3，则B ＝C .由A ＝2B 可得B ＝C ＝π4，A ＝π2即B 和D 重合，矛盾．∴AB ＝1，∴在△ABD 中，由正弦定理AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，可得AD ＝AB ·sin B sin ∠ADB＝325，∴S △ABD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×AB ×AD ×13＝210.15．(2019·浙江联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，且△ABC 外接圆半径为3，则a ＝________，若b ＋c ＝33，则△ABC 的面积为________．答案 3332解析 ∵A ＝60°，且△ABC 外接圆半径R 为3，∴由正弦定理asin A ＝2R ，可得a ＝2R sin A ＝2×3×sin60°＝3，∵b ＋c ＝33， ∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得9＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝27－3bc ，解得bc ＝6，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×32＝332.16．(2019·江西省九江市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，且△ABC 的面积为3，则a 的值为________．答案 2 3解析 △ABC 中，由cos 2A －cos 2B ＋sin 2C ＝sin B sin C ＝14，得1－sin 2A －(1－sin 2B )＋sin 2C ＝sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴bc sin B sin C ＝a 2sin 2A ，即bc 14＝a 2sin 2π3，化简得a 2＝3bc .又△ABC 的面积为S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∴bc ＝4，∴a 2＝12，解得a ＝2 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·宁夏二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知acos A ＝2c －b cos B .(1)求角A ；(2)若b ＝2，c ＝4，点D 在△ABC 内，且BD ＝2，∠BDC ＋∠A ＝π，求△BDC 的面积．解 (1)∵acos A ＝2c －b cos B ， ∴a cos B ＝2c cos A －b cos A ，∴由正弦定理可得sin A cos B ＝2sin C cos A －sin B cos A ， 可得sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos A ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝22，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4. (2)∵A ＝π4，b ＝2，c ＝4，∴由余弦定理可得， BC ＝c 2＋b 2－2bc cos A ＝16＋2－2×4×2×22＝10，∵∠BDC ＋∠A ＝π，∴∠BDC ＝3π4，又BD ＝2，∴由余弦定理可得BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD ·cos ∠BDC ，即10＝2＋CD 2－2×2×CD ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，可得CD 2＋2CD －8＝0，∴解得CD ＝2或－4(舍去)， ∴S △BDC ＝12BD ·CD ·sin ∠BDC ＝12×2×2×22＝1.18．(本小题满分12分)(2019·南昌八校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，中线AD ＝m ，满足a 2＋2bc ＝4m 2.(1)求∠BAC ；(2)若a ＝2，求△ABC 的周长的取值范围．解 (1)在△ABD 和△ACD 中，由余弦定理，得c 2＝m 2＋14a 2－ma cos ∠ADB ，b 2＝m 2＋14a 2－ma cos ∠ADC ，因为∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，b 2＋c 2＝2m 2＋12a 2，m 2＝12b 2＋12c 2－14a 2，由已知a 2＋2bc ＝4m 2，得a 2＋2bc ＝2b 2＋2c 2－a 2，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π，所以∠BAC ＝π3. (2)在△ABC 中，由正弦定理得asin π3＝b sin B ＝c sin C ， 又a ＝2，所以b ＝433sin B ，c ＝433sin C ＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，故b ＋c ＝433sin B ＋433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，因为0＜B ＜2π3，故π6＜B ＋π6＜5π6， 所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，b ＋c ∈(2,4]，故△ABC 的周长的取值范围是(4,6]．19．(本小题满分12分)(2019·四平一中模拟)在△ABC 中，3sin A ＝2sin B ，tan C ＝2 2.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为22，D 为AC 边上一点，且BD ＝3CD ，求线段CD 的长．解 (1)证明：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b ， ∵tan C ＝22，∴cos C ＝13，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2a ·3a2cos C ＝b 2， 即b ＝c ，则△ABC 为等腰三角形． (2)∵tan C ＝22，∴sin C ＝223，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×32a 2×223＝22，解得a ＝2. 设CD ＝x ，则BD ＝3x ，由余弦定理可得(3x )2＝x 2＋22－4x ×13，解得x ＝－1＋7312(负根舍去)， 从而线段CD 的长为－1＋7312. 20．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B 2＝30°，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°，所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32. 21．(本小题满分12分)(2019·湖南师大附中月考)已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的外接圆的圆心是O ，半径是1，求OA →·(AB →＋AC →)的取值范围．解 (1)由正弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ·sin A cos A ＝12，即sin A ＝12.又∵A 是锐角，∴A ＝π6.(2)OA →·(AB →＋AC →)＝OA →·(OB →＋OC →－2OA →)＝OA →·OB →＋OA →·OC →－2OA →2＝cos ∠AOB ＋cos ∠AOC －2＝cos2C ＋cos2B －2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2B ＋cos2B －2＝32cos2B －32sin2B －2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－2. ∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧ B ＜π2，B ＋A ＞π2，∴π3＜B ＜π2， ∴2π3＜2B ＜π，则5π6＜2B ＋π6＜7π6， ∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＜－32， 故OA →·(AB →＋AC →)的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2－3，－72. 22．(本小题满分12分)(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.。
2020高考理数刷题1+1(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)素养提升练(1)(学生版)
素养提升练(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·湖南长郡中学一模)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a>3 B．a≥3 C．a≤1 D．a<12．(2019·广东汕头二模)若复数a－2i1＋i(a∈R)为纯虚数，则|3－a i|＝()A.13 B．13 C．10 D.103．(2019·江淮十校模拟)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是()A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数4．(2019·咸阳模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝4，S9＝72，则a10＝()A．20 B．23 C．24 D．285．(2019·淮南一模)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的斜率为( )A ．－2B ．2C ．－eD ．e6．(2019·郑州质检)如图，在△ABC 中，AN →＝23NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝tAB →＋13AC →，则实数t 的值为( )A.23B.25C.16D.347．(2019·山西太原一模)如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A ．12B ．15 C.403 D.5038．(2019·华师附中模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c (其中c 2＋b 2＝a 2)上存在点P ，使线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，19．(2019·重庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( ) A ．2 B ．2或2＋1e C ．2或3D ．2或3或2＋1e10．(2019·黑龙江模拟)如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为( )A ．1－2πB ．2πC ．2π2D ．1－2π211．(2019·昌平期末)设点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得PF 1→·PF 2→＝m 成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是( )A.12 B ．3 C ．5 D ．812．(2019·安徽淮北、宿州二模)已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为26，球的半径为5，则正四面体表面与球面的交线的总长度为( )A ．4πB ．82πC ．122πD ．12π第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·临沂质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤2，则z ＝2x ＋3y 的最小值为________． 14．(2019·金山中学模拟)数列{a n }且a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1n 2＋2n ，n 为奇数，sin n π4，n 为偶数，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018＝________.15．(2019·岳阳二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝________.16．(2019·东莞期末)已知函数f (x )＝sin x ·cos2x (x ∈R )，则f (x )的最小值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .18．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)小明在石家庄市某物流公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案，其中甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y (单位：元)与派送单数n 的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，得到了如图所示的派送量指标的频率分布直方图，并发现每名派送员的日平均派送单数满足以下条件：当某天的派送量指标在⎝ ⎛⎦⎥⎤2(n －1)10，n 5(n ＝1,2,3,4,5)时，日平均派送量为(50＋2n )单．若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设一名派送员的日薪为Y (单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案中日薪Y 的分布列、数学期望及方差；②结合①中的数据，利用统计的知识，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：0.62＝0.36,1.42＝1.96,2.62＝6.76,3.42＝11.56,3.62＝12.96,4.62＝21.16,15.62＝243.36,20.42＝416.16,44.42＝1971.36)19．(本小题满分ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F .AB ＝AE ＝2，CD ＝5，已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE －BCF ，如图2.(1)若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥平面ABFE ；(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为520，求AP 的长．20．(本小题满分12分)(2019·浙江高考)如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．21．(本小题满分12分)(2019·山西太原一模)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a <－12时，若对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)(x 1<x 2)，都存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，证明：x 1＋x 22<x 0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·甘肃天水一中三模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(其中t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ(1－cos2θ)＝8cos θ.(1)求l 和C 的直角坐标方程；(2)若l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求α. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·甘肃天水一中三模)设函数f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|(a ∈R ，x ∈R )． (1)当a ＝－1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若在x ∈R 上f (x )≥－1恒成立，求实数a 的取值范围．。
2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(六) 含解析
素养提升练(六)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019· 正定中学二模)已知集合 A ＝{x |y ＝ln (x －3x －4)}，B ＝ xx －2x －1≥0，全集 U＝R ，则(∁ A )∩B ＝()RA ．[1,2]C ．[－1,3)B ．[－1,2)∪(3,4] D ．[－1,1)∪[2,4]答案 D解析 集合 A 满足 x －3x －4＞0，(x －4)(x ＋1)＞0，则 A ＝{x |x ＞4 或 x ＜－1}，∁ AR ＝{x |－1≤x ≤4}，集合 B 满足 x ≥2 或 x ＜1，则(∁ A )∩B ＝[－1,1)∪[2,4]．故选 D.R2．(2019· 马鞍山二中一模)已知 a －3i i＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中 i 为虚数单位，则复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 Ba ＝－2，解析 由已知得 a －3i ＝(b ＋2i)·i ＝－2＋b i ，由复数相等的充要条件可得b ＝－3，所以 z ＝a －b i ＝－2＋3i ，所以复数 z ＝－2＋3i 在复平面内对应点(－2,3)在第二象限，故 选 B.3．(2019· 江淮十校联考)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄 人群中随机抽取了容量为 200 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 100 人；男性 120 人，女性 80 人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图 (如图所示 )，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是 (){ | 2 2A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 答案 C解析由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人 数为 0.8×120＝96 人，女性人数为 0.6×80＝48 人，男性人数与女性人数不相同，所以 C 错误，故选 C.4．(2019· 东北三校联考)已知 cos α＋ ＝ ，则 sin 2α－ ＝( )3A ．－7 9 B.7 9 C.8 8 D ．－答案 B解 析∵ cos α＋ ＝ ， ∴ sin 2α－ ＝－ c os 2α－ ＋ ＝－ c os 2α＋ ＝1 －2cos α＋ ＝ .故选 B.95．(2019· 太原五中模拟)已知正项等比数列{a }的前 n 项和为 S ，且 7S ＝4S ，则公n n 2 4比 q 的值为()A ．1B ．1 或12C. 3 2 D ．±3 2答案 C解析 若 q ＝1，则 7S ＝14a 4S ＝16a ，∵a ≠0，∴7S ≠4S ，不符合题意；若 q ≠1，2 1, 4 1 1 2 4a 1－q a 1－q 3 3由 7S ＝4S ，得 7× ＝4× ，∴q ＝ ，又 q ＞0，∴q ＝ .故选 C. 1－q 1－qπ 3π6．(2019· 全国卷Ⅱ)若 x ＝ ，x ＝ 是函数 f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝()π 1π6 6 9 9π 1 π π π π6 3 6 6 2 3 π 726 2 4 1 1 24 2 2 4 4 4 1 2A ．2 B. 3 2 C ．1 D. 12 答案 A解析 由题意及函数 y ＝sin ωx 的图象与性质可知，1 3π π 2πT ＝ － ，∴T ＝π，∴ ＝π，∴ω＝2.故选 A.ω7．(2019· 日照一中三模)已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长 棱的长度为( )A ．4B ．5C. 13D. 26答案 D解析 三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥 A －BCD ， 如图，过点 A 作 AE ⊥BD 于点 E ，过点 C 作 CF ⊥BD 于点 F ，连接 CE ，AF ，由三视图可得，AE ＝4，BD ＝4，BE ＝3，ED ＝1，BF ＝2，FD ＝2，CF ＝3.所以 CE 2＝CF ＋FE＝9＋1＝10，AC ＝CE ＋AE ＝10＋16＝26，AB ＝BE ＋AE ＝9＋16＝25，AD ＝AE ＋DE ＝16＋1＝17，BC 2＝DC ＝FD＋CF2＝2＋3＝13，所以最长的棱为 AC ，其长度为 26.故选 D.8．(2019· 常州高中模拟)已知直线 l ：2x ＋y －8＝0 上的两点 A ，B ，且|AB |＝4，点 P为圆 D ：x ＋y ＋2x －3＝0 上任意一点，则△PAB 的面积的最大值为( )A ．5 3＋2B ．2 5＋32 4 4 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22222 2C ．4 3＋2D ．4 5＋4答案 D解析 圆 D ：x ＋y ＋2x －3＝0 变形为(x ＋1) ＋y ＝4，可知圆心 D (－1,0)，D 到直线 AB 的距离 d ＝|－2－8|2 ＋1＝2 5，则圆上 P 点到直线的距离的最大值为 2 5＋2，可知(S1)max ＝ ×(2 5＋2)×4＝4 5＋4，故选 D.△PABa －x ＋ ，x ＜1， 9．(2019· 吉林实验中学三模)已知函数 f (x )＝log x －a ，x ≥1f x －f xR 且都有 ＜0，则实数 a 的取值范围为()x －x 12 3 3 4 41 3 1 8 4 8答案 Ca －＜0，解析 由题意知 f (x )是减函数，故0＜a ＜1，3 1 a － ＋ ≥－a ，满足x ，x ∈1 21 3解得 ≤a ＜ ，故选 C.10．(2019· 盐城二模)已知在四面体 ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，平面 ABD ⊥平面 BDC ，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为()20π 22πA. B ．6π C. D ．8π 答案 A解析 ∵AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，所以△ABD 与△BDC 均为正三角形．过正三 角形 BDC 的中心 O 作 OO ⊥平面 BDC (O 为四面体 ABCD 的外接球的球心)．设M 为 BD11的中点，外接球的半径为 R ，连接 AM ，CM ，OA ，过 O 作 OG ⊥AM 于点 G ，易知 G 为3 1 3△ABD 的中心，则OO ＝OG ＝MO ＝MG .∵MA ＝ ×2＝ 3，∴MG ＝OG ＝ × 3＝ ， 1 12 2 2 2 2 2 23 14 2a1 2 A.0， B.，1 C.， D.，1344 28 43 3 2 3 32 3 2 3 3 5GA ＝ .在直角三角形 AGO 中，GA ＋GO ＝OA ，即 ＋ ＝R ，R ＝ ，∴四3 320π面体 ABCD 的外接球的表面积 S ＝4πR ＝.故选 A.x y 11．(2019· 全国卷Ⅰ)双曲线 C ： － ＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为 130°， 则 C 的离心率为()A ．2sin40°B ．2cos40° C. 答案 D1 sin50°1cos50°解 析b由 题 意 可 得 － ＝ tan130°， 所 以 e ＝b 1＋ ＝ 1＋tan130° ＝sin 130° 1 11＋ ＝ ＝ .故选 D.11 12．(2019· 安庆一中模拟)已知函数 f (x )＝ x ＋ bx＋cx 的导函数 f ′(x )是偶函数，若方程 f ′(x )－ln x ＝0 在区间，e 上有两个不相等的实数根，则实数 c 的取值范围是( )A.－1－ 2，－C.1－ e ，－B.－1－2，－D.1－ e ，－答案 A1 1 1解析 ∵f (x )＝ x ＋ bx ＋cx ，∴f ′(x )＝ x ＋bx ＋c .∵f ′(x )是偶函数，∴b ＝0，∴1f ′(x )＝ x＋c .∵方程 f ′(x )－ln x ＝0 在区间，e 上有两个不相等的实数根，∴ x ＋c －ln x ＝0 在区间，e 上有两个不相等的实数根，即 ln x － x ＝c 在区间，e 上有两个不相等的实1 1 数根，可化为 φ(x )＝ln x － x (x ＞0)的图象与 y ＝c 的图象在区间，e 上有两个不同的交1 1－x 1 1点．∵φ′(x )＝ －x ＝ ，∴当 x ∈，1时，φ′(x )＞0，φ(x )在，1上单调递增，1当 x ∈(1，e ]时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，e ]上单调递减，∴x ∈，e 时，φ(x ) ＝φ(1)＝－2 2 22 2 2 23 3 23 2 2 a b 2 2D. a 2a2 2 2 cos 130° |cos130°| cos50°2 326 21e 112e 2 1 12e 2 1 1222 1 12 22 3 2 26 2 222 1 1 2e 21 1 12 e e 22e 2 2 e e x xe max1 2111111.又φ＝－1－，φ(e)＝1－e，φ＞φ(e)，∴－1－≤c＜－.故选A.第Ⅱ卷(选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·济南一中模拟)已知向量a＝(3,4)，b＝(－1，k)，且a⊥b，则a＋4b与a的夹角为________．答案π4解析由a⊥b可知a·b＝0，即－3＋4k＝0，k＝，故b ＝－1，，a＋4b＝(3,4)＋3a＋4b·a2π4－1，＝(－1,7)，cosα＝＝，所以所成的角为.|a＋4b||a|y≥0，14．(2019·洛阳一高二模)已知实数x，y 满足不等式组y≤x，x＋y－m≤0，z＝3x－2y的最大值为180，则实数m的值为________．且目标函数答案60解析当m≤0时，不符合题意；当m＞0时，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，3z3目标函数z＝3x－2y可变形为y＝x－，作出直线y＝x并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点A(m,0)时，z＝3x－2y取得最大值为180，所以3m－0＝180，解得m＝60.15．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案122725102e e2e22e2 2233444242224解析如图，易知sin∠C＝，3cos∠C＝.在△BDC中，由正弦定理可得BD BC＝，sin∠C sin∠BDCBC·sin∠C∴BD＝＝sin∠BDC43×5122＝.22由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC423272＝×＋×＝.16．(2019·潍坊一中三模)直线l：x＝my＋2经过抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，过原点的直线经过弦AB的中点D，并且与抛物线交于点|OE|E(异于原点)，则的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析因为l：x＝my＋2恒过定点(2,0)，即抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，y＝8x，所以抛物线C的方程为y＝8x ，联立整理，得y－8my－16＝0，Δ＞0恒x＝my＋2，成立，所以y＋y＝8m，x＋x＝m(y＋y)＋4＝8m121212＋4，所以弦AB的中点D 的坐标为(4m＋2,4m)，直线OD的方程为y＝4m2mx，即y＝x，由题意可知，m≠0，与抛4m＋22m＋142m＋1|OE||y|2m＋11物线C：y＝8x联立可得y＝，而＝＝＝2＋＞2.ED5555252102|OD|2222222222E2m|OD||y|m m22三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60 分．17．(本小题满分 12 分)(2019· 浙江名校高考联盟二模)已知数列{a ＋1}的前 n 项和 Snn满足 S ＝2a ，n ∈N . n n(1)求证：数列{a ＋1}为等比数列，并求 a 关于 n 的表达式； n n (2)若 b ＝log (a ＋1)，求数列{(a ＋1)b }的前 n 项和 T .n 2 n n n n解 (1)证明：由题可知 S ＝(a ＋1)＋(a ＋1)＋(a ＋1)＋…＋(a ＋1)＝2a ，n 1 2 3 n n 即 a ＋a ＋a ＋…＋a ＋n ＝2a .①1 2 3 n n 当 n ＝1 时，a ＋1＝2a ，得 a ＝1，1 1 1当 n ≥2 时，a ＋a ＋a ＋…＋a ＋n －1＝2a ， ②123n －1n －1①－②，得 a ＋1＝2a －2a ，即 a ＝2a ＋1，nnn －1nn －1所以 a ＋1＝2(a ＋1)nn －1所以数列{a ＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， n所以 a ＋1＝2×2 nn －1 ＝2 n ，故 a ＝2 n－1.(2)由(1)知 b ＝log (a ＋1)＝log 2 ＝n ， n 2 n 2则(a ＋1)b ＝n ×2， n nT ＝1×2 ＋2×2 ＋3×2 ＋…＋(n －1)×2 － ＋n ×2 nn 2T ＝1×2 n＋2×2 3 ＋3×24 ＋…＋(n －1)×2 ＋n ×2n ＋1n ×2 两式相减得－ T ＝2 ＋2 ＋2 ＋…＋2 －n ×2 nn ＋1 ＝(1－n )×2 ＋ －2＋1 ＝ 2×2－12－1－n ×2 ＋ ＝2 ＋ －2－所以 T ＝2＋(n －1)×2nn ＋1 .18．(本小题满分 12 分)(2019· 长沙一模)为了解某校学生参加社区服务的情况，采用 按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生 960 人，其中男生 560 人，从全校 学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：男生女生超过 1 小时2012不超过 1 小时8m(1)求 m ，n ；(2)能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有* n n n 1 2 3 n 1 2 n 123nn nn 1 n 1 n 1关？(3)以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从 该校学生中随机调查 6 名学生，试估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时 的人数．附：P (K ≥k ) 0k0.0503.8410.0106.6350.00110.828n ad －bc K ＝，其中 n ＝a ＋b ＋c ＋d.a ＋bc ＋d a ＋cb ＋dn 20＋8 解 (1)根据分层抽样法，抽样比例为 ＝ ， ∴n ＝48；∴m ＝48－20－8－12＝8.(2)根据题意完善 2×2 列联表，如下：男生女生合计超过 1 小时201232不超过 1 小时8816合计28204848×20×8－12×8计算 K ＝32×16×20×28≈0.6857＜3.841，所以没有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有 关．32 2(3)参加社区服务时间超过 1 小时的频率为 ＝ ， 用频率估计概率，从该校学生中随机调查 6 名学生，2 估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数为 6× ＝4(人)．19．(本小题满分 12 分)(2019· 山东菏泽模拟)如图，在四棱锥 P －ABCD 中，△BCD ，△PAD 都是等边三角形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且 AD ＝2AB ＝4，CD ＝2 3.22 2 960 560 2 2 483 3(1)求证：平面 PAD ⊥平面 PCD ；(2)E 是 AP 上一点，当 BE ∥平面 PCD 时，求三棱锥 C －PDE 的体积．解 (1)证明：因为 AD ＝4，AB ＝2，BD ＝2 3，所以 AD ＝AB ＋BD ，所以 AB ⊥BD ，∠ADB ＝30°.又因为△BCD 是等边三角形，所以∠BDC ＝60°，所以∠ADC ＝90°，所以 DC ⊥AD .因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，所以 CD ⊥平面 PAD .因为 CD ⊂平面 PCD ，所以平面 PCD ⊥平面 PAD .(2)过点 B 作 BG ∥CD 交 AD 于点 G ，连接 GE .因为 BG ∥CD ，BG ⊄平面 PCD ，CD ⊂平面 PCD ，所以 BG ∥平面 PCD .当 BE ∥平面 PCD 时，因为 BG ∩BE ＝B ，所以平面 BEG ∥平面 PCD .因为 EG ⊂平面 BEG ，所以 EG ∥平面 PCD .PE DG又平面 PAD ∩平面 PDC ＝PD ，所以 EG ∥PD ，所以 ＝ .在直角三角形 BGD 中，BD ＝2 3，∠BDG ＝30°， 所以 DG ＝2 3cos30°＝3，PE DG 3 所以 ＝ ＝ ，PA DA 4在平面 PAD 内，过点 E 作 EH ⊥PD 于点 H .因为 CD ⊥平面 PAD ，EH ⊂平面 PAD ，所以 CD ⊥EH . 因为 PD ∩CD ＝D ，所以 EH ⊥平面 PCD ，所以 EH 是点 E 到平面 PCD 的距离．3过点 A 作 AM ⊥PD 于点 M ，则 AM ＝ ×4＝2 3.2 2 2 PA DA 2EH PE 3 3 3由 AM ∥EH ，得 ＝ ＝ ，所以 EH ＝ .因为 S△PCD1＝ ×4×2 3＝4 3，所以 V C－＝V PDE E－1 3 3 ＝×4 3× ＝6.PDCx 1 20．(本小题满分 12 分)(2019· 全国卷Ⅲ)已知曲线 C ：y ＝ ，D 为直线 y ＝－ 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A ，B .(1)证明：直线 AB 过定点；(2)若以 E 0， 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程．解 (1)证明：设 D t ，－ ，A(x ，y )，则 x ＝2y .由于 y ′＝x ，所以切线 DA 的斜率为 x ，故 11y ＋ 1x －t 1 ＝x .1整理得 2tx －2y ＋1＝0.1 1设 B (x ，y )，同理可得 2tx －2y ＋1＝0.2222故直线 AB 的方程为 2tx －2y ＋1＝0.所以直线 AB 过定点0， .1(2)由(1)得直线 AB 的方程为 y ＝tx ＋ .y ＝tx ＋ ， 由可得 x －2tx －1＝0.y ＝于是 x ＋x ＝2t ，y ＋y ＝t(x ＋x )＋1＝2t 1 2 1 2 1 22＋1.设 M 为线段 AB 的中点，则 M t ，t ＋ .由于E M ⊥AB ，而EM ＝(t ，t －2)，AB 与向量(1，t )平行，所以 t ＋(t －2)t ＝0.解得 t ＝0 或 t ＝±1.当 t ＝0 时，|EM |＝2，AM PA4 2 2 3 2 22 252 122 1 1 1 1212 2 122x 2 2122 → → → →22→所求圆的方程为 x ＋y －＝4；→当 t ＝±1 时，|EM |＝ 2，所求圆的方程为 x ＋y －＝2.21．(本小题满分 12 分)(2019· 开封一模)设函数 f (x )＝(x －1)ek － x.(1)当 k ＝e 时，求 f (x )的极值；(2)当 k ＞0 时，讨论函数 f (x )的零点个数．解 (1)f ′(x )＝x e －kx ＝x (e －k )，当 k ＝e 时，f ′(x )＝x (e －e)，当 x ＜0 或 x ＞1 时，f ′(x )＞0，所以 f (x )在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，当 0＜x ＜1 时，f ′(x )＜0，所以 f (x )在(0,1)上单调递减，e∴f (x )的极大值为 f (0)＝－1，极小值为 f (1)＝－ .(2)①当 0＜k ＜1 时，令 f ′(x )＞0，解得 x ＜ln k 或 x ＞0，f (x )在(－∞，ln k )和(0，＋∞)上单调递增，在(ln k,0)上单调递减，当 k ＝1 时，f ′(x )≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，∴当 0＜k ≤1 时，k 当 x ∈(－∞，0)时，f (x )≤f (x ) ＝f (ln k )＝(ln k －1)k － ln max2kk ＝－ [(ln k －1)＋1]＜0，此时 f (x )无零点，当 x ∈[0，＋∞)时，f (0)＝－1＜0，f (2)＝e －2k ≥e －2＞0，又 f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以 f (x )在[0，＋∞)上有唯一的零点， 故函数 f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有唯一的零点．②当 k ＞1 时，令 f ′(x )＞0，解得 x ＜0 或 x ＞ln k ，f (x )在(－∞，0)和(ln k ，＋∞)上单调递增，在(0，ln k )上单调递减，当 x ∈(－∞，ln k )时，f (x )≤f (x ) ＝f (0)＝－1＜0，此时 f (x)无零点，max 当 x ∈[ln k ，＋∞)时，f (ln k )＜f (0)＝－1＜0，f (k ＋1)＝k e＋ 1k k ＋1－ ＝kk ＋1e＋－，1 令 g (t)＝e － t ，t ＝k ＋1＞2，则 g ′(t )＝e －t ，52 2 2 52 2 2 x 22x x x 2 2 22 2 2 k 2 2 2 k 1 2 t2 t2令 h (t)＝g ′(t )，h ′(t)＝e －1，∵t ＞2，h ′(t )＞0，g ′(t)在(2，＋∞)上单调递增，g ′(t)＞g ′(2)＝e－2＞0，∴g (t )在(2，＋∞)上单调递增，得 g (t)＞g (2)＝e －2＞0，即 f (k ＋1)＞0，所以 f (x )在[ln k ，＋∞)上有唯一的零点， 故函数 f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有唯一的零点．综合①②知，当 k ＞0 时函数 f (x )在定义域(－∞，＋∞)上有且只有一个零点． (二)选考题：10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分 10 分)[选修 4－4：坐标系与参数方程](2019· 山 西 太 原 模 拟 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为x ＝ 3cos α，y ＝1＋ 3sin α(α 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直π 线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＋ ＝2 3.(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；π(2)射线 OP 的极坐标方程为 θ＝(ρ≥0)，若射线 OP 与曲线 C 的交点为 A ，与直线 l 的交点为 B ，求线段 AB 的长．x ＝ 3cos α， x ＝ 3cos α，解 (1)由 可得y ＝1＋ 3sin α， y －1＝ 3sin α，所以 x＋(y －1)＝3cosα＋3sin2α＝3，所以曲线 C 的普通方程为 x＋(y －1) ＝3.π 3 1 3 1由 ρsin sin θ＋ cos θ＝2 3，所以 ρsin θ＋ ρcos θ－2 3＝0，所以直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ 3y －4 3＝0.(2)解法一：曲线 C 的方程可化为 x ＋y －2y －2＝0，所以曲线 C 的极坐标方程为 ρ－2ρsin θ－2＝0.6 6π将 θ＝ 代入 ρ －2ρsin θ－2＝0，可得 ρ －ρ－2＝0，所以 ρ＝2 或 ρ＝－1(舍去)，即 ρ ＝2，t 226 6 2 2 2 2 2 θ＋ ＝2 3，可得ρ6 2 2 2 2 2 2 2 π π ρ ， ，Bρ ， ，由题意设A1 2 2 26 1将 θ＝ 代入 ρsin θ＋ ＝2 3，可得 ρ＝4，即 ρ ＝4，所以|AB |＝|ρ －ρ |＝2.π解法二：因为射线 OP 的极坐标方程为 θ＝ (ρ≥0)，3所以射线 OP 的直角坐标方程为 y ＝ x (x ≥0)，3x ＋y －1＝3， 由 3y ＝ x x ≥0，解得 A ( 3，1)，x ＋ 3y －4 3＝0， 由3y ＝ x x ≥0，解得 B (2 3，2)，所以|AB |＝2 3－ 3＋2－1＝2.23．(本小题满分 10 分)[选修 4－5：不等式选讲](2019· 山东菏泽模拟)已知函数 f (x )＝|x －2|＋|2x －1|.(1)求不等式 f (x )≤3 的解集；(2)若不等式 f (x )≤ax 的解集为空集，求实数 a 的取值范围．解(1)解法一：由题意 f (x )＝－3x ＋3，x ≤ ，1x ＋1， ＜x ＜2，3x －3，x ≥2，1当 x ≤ 时，f (x )＝－3x ＋3≤3，1解得 x ≥0，即 0≤x ≤ ，1 当 ＜x ＜2 时，f (x )＝x ＋1≤3，1 解得 x ≤2，即 ＜x ＜2，当 x ≥2 时，f (x )＝3x －3≤3，解得 x ≤2，即 x ＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0,2]．π π6 6 2 1 262 23 3 2 2 122 2222解法二：由题意 f (x )＝－3x ＋3，x ≤ ，1x ＋1， ＜x ＜2，3x －3，x ≥2，作出 f (x )的图象如图所示，注意到当 x ＝0 或 x ＝2 时，f (x )＝3，结合图象，不等式的解集为[0,2]．(2)解法一：由(1)可知，f (x )的图象如图所示，不等式 f (x )≤ax 的解集为空集可转化为 f (x)＞ax 对任意 x ∈R 恒成立，即函数 y ＝ax 的图象始终在函数 y ＝f (x)的图象的下方，当直线 y ＝ax 过点 A(2,3)以及与直线 y ＝－3x ＋3 平行时为临界情况，所以－3≤a ＜ ，即实数 a 的取值范围为－3， .解法二：不等式 f (x )≤ax 的解集为空集可转化为 f (x )＞ax 对任意 x ∈R 恒成立，1①当 x ≤ 时，f (x )＝－3x ＋3＞ax ，即(a ＋3)x －3＜0 恒成立，若 a ＋3＜0，显然不符合题意，若 a ＋3＝0，即 a ＝－3，则－3＜0 恒成立，符合题意，122 332 2 21 若 a ＋3＞0，即 a ＞－3，只需(a ＋3)× －3＜0 即可，解得 a ＜3，又－3＜a ， 所以－3≤a ＜3.1 ②当 ＜x ＜2 时，f (x )＝x ＋1＞ax ，即(a －1)x －1＜0 恒成立， 若 a －1＜0，即 a ＜1，则(a －1)x －1＜0 恒成立，符合题意，若 a －1＝0，即 a ＝1，则－1＜0 恒成立，符合题意，3 3若 a －1＞0，即 a ＞1，只需(a －1)×2－1≤0 即可，解得 a ≤ ，故 1＜a ≤ 3 所以 a ≤ .③当 x ≥2 时，f (x )＝3x －3＞ax ，即(a －3)x ＋3＜0 恒成立，3 3若 a －3＜0，即 a ＜3，只需(a －3)×2＋3＜0 即可，解得 a ＜ ，故 a ＜ ， 若 a －3＝0，即 a ＝3，显然不符合题意，3 若 a －3＞0，即 a ＞3，则(a －3)x ＋3＞0 恒成立，不符合题意，所以 a ＜ .3综上所述，－3≤a ＜ ，即实数 a 的取值范围为－3， .22 22 2 2 22232。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题12 多面体与球(学生版)
专题十二多面体与球本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分80分，考试时间50分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·平顶山质量检测)已知圆台的上、下底面中心分别为O1，O2，过直线O1O2的截面是上、下底边边长分别为2和4，且高为3的等腰梯形，则该圆台的侧面积为()A．3π B．33π C．6π D．63π2．(2019·广东韶关调研)如图，圆柱的底面半径为1，高为2，用一条铁丝从上底面的A点沿侧面缠绕一圈到达下底面的B点，所用铁丝的最短长度是()A．2 B．2π2＋1C．2π D．2π＋13．(2019·平顶山质量检测)一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为1，要能够完全装下一个半径为r的球体，则球半径r的最大值为()A.22 B.12C.2－12 D.2－224．(2019·沈阳质量监测)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P 在球面上，则四棱锥P －ABCD 体积的最大值为( )A ．8 B.83 C ．16 D.1635．(2019·江西九校联考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中边长为2，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，若三棱锥P －ABC 的外接球表面积恰为41π4，则此时点P 构成的图形面积为( )A ．π B.25π16 C.41π16 D ．2π6．(2019·开封一模)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，8327 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16327 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，233 7．(2019·柳州市模拟)已知A ，B ，C 三点都在表面积为100π的球O 的表面上，若AB ＝43，∠ACB ＝60°.则球心O 到平面ABC 的距离等于( )A ．2B ．3C ．4D ．58．(2019·福建联考)已知正三棱锥P －ABC 中，E ，F 分别是AC ，PC 的中点，若EF ⊥BF ，AB ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π9．(2019·广东模拟)三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝30°，△APC 的面积为2，则三棱锥P －ABC 的外接球体积的最小值为( )A ．4π B.4π3 C ．64π D.32π310．(2019·邵阳联考)已知三棱锥P －ABC 底面的3个顶点A ，B ，C 在球O的同一个大圆上，且△ABC为正三角形，P为该球面上的点，若三棱锥P－ABC 体积的最大值为23，则球O的表面积为()A．12π B．16π C．32π D．64π11．(2019·吉林调研)已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径长为()A．5 B. 5 C．9 D．312．(2019·丹东质量测试)已知球O表面上的四点A，B，C，D满足AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，若四面体ABCD体积的最大值为23，则球O的表面积为()A.25π4 B.25π9 C.25π16 D.100π9第Ⅱ卷(非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·汕尾市高三教学质量监测)在平面四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△ADC是以AC为斜边的等腰直角三角形，以AC为折痕把△ADC折起，当DA⊥AB时，四面体D－ABC的外接球的体积为________．14．(2019·湖南湘潭一模)在三棱锥D－ABC中，CD⊥底面ABC，AC⊥BC，AB＝BD＝5，BC＝4，则此三棱锥的外接球的表面积为________．15．(2019·东莞统考)圆锥底面半径为1，高为22，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是________．16．(2019·陕西八校联考)如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1和半径为3的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，A1，B1，C1，D1四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为________．。
2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)专题十七.ppt
答案
解析
10. (2019·郑州质检)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为 “东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边 形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中 任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )
答案
18．(本小题满分 12 分)(2019·天津高考)2019 年，我国施行个人所得税 专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息 或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分 别有 72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况．
时间 t(分) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
次数
12
28
8
2
将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时
间，范围为[20,60]分．
(1)估计陈先生一次租用新能源汽车的时间不低于 30 分钟的概率；
(2)若公司每月发放 800 元的交通补贴，请估计是否足够让陈先生一个月
解析
8. (2019·唐山模拟)下图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中 黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 400 个点，其中落入黑色部分的 有 225 个点，据此可估计黑色部分的面积为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
答案 B
答案
解析 根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积 S＝ 4×4×242050＝9.故选 B.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考 试时间 120 分钟．
2020届全国高考数学(理)刷题11(2019模拟题)基础阶段测试(四)(解析版)(最新整理)
的概率为( )
1123 A. B. C. D.
4555 答案 B
AF 解析 设大正方形为 ABCD，小正方形为 EFGH，如图，则 tanθ＝ ＝2，
BF
页
4第
AF
设小正方形的边长为 a，则
＝2，即 AF＝2a，
AF－a
∴大正方形的边长为 5a，
a2 1 则小正方形与大正方形的面积比为 ＝ .故选 B.
(a∈R)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(a)>f(2a)>f(0) B．f(a)>f(0)>f(2a)
C．f(2a)>f(a)>f(0) D．f(2a)>f(0)>f(a)
答案 C
解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(－1)＝f(1)，即 1＋a＝2，所以 a＝1，易知当 x≥0 时，f(x)
A. 2 B. 3 C．2 D. 5
答案 A
x2 y2 解析 设双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的右焦点 F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件
a2 b2
|PQ|＝|OF|可知，PQ 是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQ⊥OF.设垂足为 M，连接 OP，如图，
( ) ( ) c
cc
则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝ .由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2 得 2＋ 2＝a2，
3
333
7．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不
容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体＝Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是( )
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题15 直线与圆的方程(学生版)
专题十五直线与圆的方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·绵阳二诊)直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于()A.π6 B.π4 C.π3 D.π22．(2019·广西百色调研)若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则当2a＋1b取最小值时直线l的斜率为()A．2 B.12 C. 2 D．2 23．(2019·福建联考)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y ＝4相切，则圆O的方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋y2＝4C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．x2＋y2＝44．(2019·吉林市调研)已知AB是圆x2＋y2－6x＋2y＝0内过点E(2,1)的最短弦，则|AB|等于()A. 3 B．2 2 C．2 3 D．2 55．(2019·内江二诊)若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是()A．(0,1) B．(0,2) C．(－1,0) D．(－2,0)6．(2019·西安八校联考)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0，若等边△P AB的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为( )A. 5B. 6 C ．2 2 D ．2 37．(2019·温州模拟)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线的方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －3y －2＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝08．(2019·黄冈模拟)从点(2,3)射出的光线沿斜率为12的直线方向射到y 轴上，则反射光线所在直线的方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝09．(2019·深圳红岭中学模拟)已知x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则2x ＋3y ＋3x ＋3的最大值为( )A ．2 B.174 C.295 D.1313410．(2019·泉州质检)已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，有下列四个命题：p 1：∀k ∈R ，l 与C 相交； p 2：∃k ∈R ，l 与C 相切； p 3：∀r >0，l 与C 相交； p 4：∃r >0，l 与C 相切．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 411．(2019·武邑中学二模)若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有4个点到直线l ：x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)12．(2019·马鞍山联考)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条共同的切线，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2第Ⅱ卷 (非选择题，共40分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·上海市黄浦区调研)如图，l 1，l 2是过点M ，夹角为π3的两条直线，且与圆心为O ，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P 到l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，那么2d 1＋d 2的最小值为________．14．(2019·江门模拟)在直角坐标系xOy 中，直线x 2－y4＝1与坐标轴相交于A ，B 两点，则经过O ，A ，B 三点的圆的标准方程是________．15．(2019·百校联盟摸底)设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝9交于A ，B 两点，若圆C 2的圆心在线段AB 上，且圆C 2与圆C 1相切，切点在圆C 1的劣弧AB 上，则圆C 2半径的最大值是________．16．(2019·江苏七市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上，且AB ＝22，点P (3，－1)，PO →·(P A →＋PB→)＝16，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为________．三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·哈尔滨三中二模)已知点A (0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，点P 为曲线Γ上任意一点且满足|P A |＝2|PB |.(1)求曲线Γ的方程；(2)设曲线Γ与y 轴交于M ，N 两点，点R 是曲线Γ上异于M ，N 的任意一点，直线MR ，NR 分别交直线l ：y ＝3于点F ，G .试问在y 轴上是否存在一个定点S ，使得SF →·SG→＝0？若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分10分)(2019·广东省省际名校联考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝2内有一动弦AB ，且|AB |＝2，以AB 为斜边作等腰直角三角形P AB ，点P 在圆外．(1)求点P 的轨迹C 2的方程；(2)从原点O 作圆C 1的两条切线，分别交C 2于E ，F ，H ，G 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S .。
2020高考理数刷题1+1(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)素养提升练(2)(教师版)
素养提升练(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·合肥一中模拟)设z＝1＋i1－i，z是z的共轭复数，则z·z＝()A．－1 B．i C．1 D．4 答案C解析z＝1＋i1－i＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝i，则z＝－i，故z·z＝i·(－i)＝1，故选C.2．(2019·德州二模)已知全集U＝Z，A＝{1,2,3,4}，B＝{x|(x＋1)(x－3)>0，x ∈Z}，则集合A∩(∁U B)的子集的个数为()A．2 B．4 C．8 D．16答案C解析由题意可得，∁U B＝{x|(x＋1)(x－3)≤0，x∈Z}＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，则集合A∩(∁U B)＝{1,2,3}，故其子集的个数为23＝8，故选C.3．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.22B．1 C. 2 D．2答案C解析由题意可得ba＝1，∴e＝1＋b2a2＝1＋12＝ 2.故选C.4．(2019·陕西宝鸡质检)函数f(x)＝ln x－12x2的图象大致是()答案 B解析 ∵f (x )＝ln x －12x 2(x >0)，∴f ′(x )＝1x －x (x >0)，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数；当x ＝1时，f (x )取最大值，f (1)＝－12.故选B.5．(2019·邢台一中一模)已知向量a ＝(m,3)，b ＝(3，－n )，若a ＋2b ＝(7,1)，则mn ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 ∵a ＋2b ＝(7,1)，∴⎩⎨⎧m ＋6＝7，3－2n ＝1，得m ＝n ＝1，∴mn ＝1.故选C.6．(2019·江南十校模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝27，c ＝3，B ＝2C ，则cos2C 的值为( )A.73B.59C.49D.74 答案 B解析 由正弦定理可得，b sin B ＝c sin C ，即b c ＝sin B sin C ＝sin2C sin C ＝2sin C cos Csin C ＝2cos C＝273⇒cos C ＝73，∴cos2C ＝2cos 2C －1＝2×79－1＝59，故选B.7．(2019·南昌模拟)根据某校10位高一同学的身高，设计一个程序框图，用A i (i ＝1,2，…，10)表示第i 个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是( )A ．B ＝B ＋A i B ．B ＝B ＋A 2iC ．B ＝(B ＋A i －A )2D ．B ＝B 2＋A 2i答案 B解析 由s 2＝(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n＝x 21＋x 22＋…＋x 2n －2(x 1＋x 2＋…＋x n )x ＋n x2n＝x 21＋x 22＋…＋x 2n －2n x 2＋n x2n＝x 21＋x 22＋…＋x 2n n－x 2，循环退出时i ＝11，知x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A i －12.∴B ＝A 21＋A 22＋…＋A 210，故程序框图①中要补充的语句是B ＝B ＋A 2i .故选B.8．(2019·西安交大附中二模)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数．“礼”，礼节，即今德育；“乐”，音乐；“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动；“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有( )A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种答案B解析因为“礼”必须排在第一，故只需考虑其余5种基本才能的排法即可．如果“射”或“御”排在最后，那么“射”和“御”有2种排法，即A22种，余下3种才能共有A33种排法，故此时共有A22A33＝12种排法；如果“射”和“御”均不在最后，那么“射”和“御”有3×2＝6种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有2种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有A22种排法，故共有24种排法，综上，共有36种排法，故选B.9．(2019·上饶一模)在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成的角为() A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析在图1中连接DE，EC，∵AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，得△DEC为等腰三角形，设空间四边形ABCD的边长为2，即AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝2，在△DEC中，DE＝EC＝3，CF＝1，得EF＝ 2.在图2中取AD的中点M，连接MF，EM，∵E，F分别是AB，CD的中点，∴MF＝1，EM＝1，∠EFM是异面直线AC与EF所成的角．在△EMF中可由余弦定理得cos∠EFM＝FE2＋MF2－ME22FE·MF＝(2)2＋1－122＝22，∴∠EFM＝45°，即异面直线AC与EF所成的角为45°.故选B. 10．(2019·广大附中模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋a cos(2x＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，则φ＝( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 答案 D解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，∴1＋a 2＝2，∴a ＝±3，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)±3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ±π3， 又∵f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，∴直线x ＝π4是函数f (x )的一条对称轴， ∴2×π4＋φ±π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴φ＝±π3＋k π(k ∈Z )，又∵0<φ<π，∴φ＝π3或2π3.故选D.11．(2019·临沂检测)已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数，当x >0时，函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称，则g (－1)＋g (－2)＝( )A ．－7B ．－9C ．－11D ．－13 答案 C解析 ∵x >0时，f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称， ∴x >0时，f (x )＝2x ，则g (x )＝2x ＋x 2，又g (x )是奇函数，∴g (－1)＋g (－2)＝－[g (1)＋g (2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11.故选C.12．(2019·济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.74 答案 C解析 ∵AF 2→＝2F 2B →，设BF 2＝x ，则AF 2＝2x ， 由椭圆的定义，可以得到AF 1＝2a －2x ，BF 1＝2a －x ， ∵AF 1→·AF 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x )2＋(3x )2＝(2a －x )2，解得x ＝a 3，∴AF 2＝2a3，AF 1＝4a 3，在Rt △AF 1F 2中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝(2c )2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53.故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·江西八校联考)若函数f (x )＝ln (e x ＋1)＋ax 为偶函数，则⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x a d x＝________.答案 e 2解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )恒成立，即ln (e x ＋1)＋ax ＝ln (e－x＋1)－ax 恒成立，2ax ＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x 恒成立，所以a ＝－12.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋2x d x ＝(ln x ＋x 2) ⎪⎪⎪e1＝ln e ＋e 2－ln 1－12＝e 2.14．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案 162 5解析 由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.15．(2019·江南十校模拟)已知sin αcos α1＋3cos 2α＝14，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为________．答案 －1 解析 ∵sin αcos α1＋3cos 2α＝sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝tan αtan 2α＋4＝14，∴tan α＝2，又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋tan β1－2tan β＝13，解得tan β＝－1. 16．(2019·湘潭一模)在三棱锥D －ABC 中，CD ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝BD ＝5，BC ＝4，则此三棱锥的外接球的表面积为________．答案 34π解析 由题意可得AC ＝CD ＝52－42＝3，故三棱锥D －ABC 的外接球的半径R ＝32＋42＋322＝342，则其表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3422＝34π. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·唐山一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋S n ＝n ＋1.(1)求S n ，a n ；(2)若b n ＝(－1)n －1·a n ＋1S n ＋n，{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1， 所以S n ＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1适合上式， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －1·a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1·2n ＋1n 2＋n ＝(－1)n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝1＋1n ＋1＝n ＋2n ＋1， 综上所述，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nn ＋1(n 为偶数)，n ＋2n ＋1(n 为奇数).⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫另解：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋15＋…＋(－1)n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝1＋(－1)n －1·1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －1n ＋1.18．(本小题满分12分)(2019·长沙一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥AD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，AD ＝λBC ，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，M 为线段PB 上一点．(1)若λ＝13，则在线段PB 上是否存在点M ，使得AM ∥平面PCD ？若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由；(2)已知P A ＝2，AD ＝1，若异面直线P A 与CD 成90°角，二面角B －PC －D 的余弦值为－1010，求CD 的长．解 (1)延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ，则PE ⊂平面PCD .若AM ∥平面PCD .由平面PBE ∩平面PCD ＝PE ，AM ⊂平面PBE ，则AM ∥PE .由AD ＝13BC ，AD ∥BC ，则PM PB ＝EA EB ＝13.故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点．(2)∵P A ⊥AD ，P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面P AD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0,0,2)，D (0,1,0)，C (t,1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1－1λ，0，则BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1λ，0，PC →＝(t,1，－2)，CD →＝(－t,0,0)．设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由n 1⊥BC →，n 1⊥PC →得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1·1λ＝0，tx 1＋y 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝t 2，故n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，t 2.同理可求得n 2＝(0,2,1)．设二面角B －PC －D 的大小为θ， 于是|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22·5＝1010，解得t ＝±2(负值舍去)，故t ＝2. ∴CD ＝2.19．(本小题满分12分)(2019·郑州二模)目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ (2)将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%的把握认为选历史与性别有关？(3)ξ＝⎩⎨⎧0，2名男生选考方案不同，1，2名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有2836×3660×840＝392人．(2)列联表如下，由列联表中数据得K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝12×16)220×16×20×16＝36×162×11220×16×20×16＝1089100＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关．(3)由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0,1.P (ξ＝1)＝C 28＋C 24＋C 22＋C 22C 216＝310，P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)＝710⎝⎛⎭⎪⎫或P (ξ＝0)＝C 18C 18＋C 14C 14＋C 12C 12C 216＝710， 所以分布列为E (ξ)＝0×710＋1×310＝310.20．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值． 解 (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k2. 设u ＝21＋2k2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)． 于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2(x －u )，x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.① 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解， 故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k . 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2.设t ＝k ＋1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号． 因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，△PQG 面积的最大值为169.21．(本小题满分12分)(2019·南京市三模)已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1，a ∈R . (1)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；(2)记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上有最小值，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝1x －ax 2，则f ′(1)＝1－a ＝2， 解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x ＋1，此时f (1)＝ln 1－1＋1＝0，则切点坐标为(1,0)， 代入切线方程，得b ＝－2， 所以a ＝－1，b ＝－2.(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋ax ＋ax ＋1， g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2.①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，则g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无最小值． ②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2. 设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)． (ⅰ)若a ＞0，若x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则m (0)＝－a ＜0，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23.此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )单调递减； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，12时，m (x )＞0，则g (x )单调递增， 当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，m (x )＜0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，无最小值．(ⅱ)若a ＜0，x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上有最小值．(3)当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2， 得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0， 则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x.①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．②当b ＞0时， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12b 时，h ′(x )＞0，则函数h (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12b ，＋∞时，h ′(x )＜0，则函数h (x )单调递减， 则h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎪⎫12b ＝ln 12b ＋12.要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根， 则h ⎝⎛⎭⎪⎫12b ＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e 2.(ⅰ)当0＜b ＜e 2时，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－b e 2＜0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2＝2b －e22b e 2＜0，则1e ＜ 12b ，所以存在唯一的x 1′∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，12b ，使得h (x 1′)＝0. (ⅱ)h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0<b <e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0,1)上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 2上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ≤0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－⎝⎛⎭⎪⎫12b 2＝2－b2b 2>0，即1b ＞12b ，所以存在唯一的x 2′∈⎝⎛⎦⎥⎤12b ，1b ，使得h (x 2′)＝0. 综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·玉溪一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρ＋8cos θ＝0(ρ∈R )，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与C 1在第一象限的交点为B ，求|AB |.解 (1)由题意知C 1的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ4＝1，化简整理得1ρ2＝cos 2θ＋sin 2θ4.(2)由题意得直线l 的极坐标方程为θ＝π3或ρ＝4π3，不妨取ρ＝π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ＋8cos θ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π3.同理⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，cos 2θ＋sin 2θ4＝1ρ2，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫477，π3，|AB |＝|ρA －ρB |＝4＋477. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·合肥冲刺)已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|＋m (m ∈R )． (1)若m ＝1，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 有三个零点，求实数m 的取值范围．解(1)当m ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧－3(x <－2)，2x ＋1(－2≤x ≤2)，5(x >2)，∵f (x )≥0，∴当x <－2时，x ∈∅； 当－2≤x ≤2时，2x ＋1≥0得x ≥－12， ∴－12≤x ≤2，当x >2时，f (x )≥0恒成立，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－12. (2)若函数g (x )＝f (x )－x 有三个零点，只需f (x )＝⎩⎨⎧m －4(x <－2)，2x ＋m (－2≤x ≤2)，m ＋4(x >2)与y ＝x 有三个交点即可．即f (x )每一段与y ＝x 各有一个交点．当x <－2时，m －4＝x ，即m ＝x ＋4，∴m <2； 当－2≤x ≤2时，2x ＋m ＝x ，即m ＝－x ，∴－2≤m≤2；当x>2时，m＋4＝x，即m＝x－4，∴m>－2. ∴综上所述，m的取值范围是－2<m<2.。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题11 三视图(学生版)
专题十一 三视图本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分80分，考试时间50分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·唐山一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．5＋4 2B ．9C ．6＋5 2D.532．(2019·北京市海淀区一模)某四棱锥的三视图如图所示，其中a ＋b ＝1，且a >b .若四个侧面的面积中最小的为19，则a 的值为( )A.12B.23C.34D.563．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158 B．162C．182 D．3244．(2019·汉中12校联考)我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A ．4－π2B ．8－πC ．8－4π3 D ．8－2π5．(2019·福建调研)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形．则该几何体的表面积为( )A ．6＋12 2B ．16＋12 2C ．6＋12 3D ．16＋12 36．(2019·安庆二模)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157．(2019·蚌埠质量检查)某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M 在俯视图上的对应点为A ，三棱锥表面上的点N在左视图上的对应点为B，则线段MN的长度的最大值为()A．2 3 B．3 2 C．4 2 D．3 38．(2019·潮州二模)某几何体的三视图如图所示，若图中x＝1，则该几何体的体积为()A．2 B．1 C．4 D．69．(2019·梧州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.(11＋2)π2＋1 B ．(6＋2)π＋1 C.(11＋2)π2＋12 D ．(6＋2)π＋1210．(2019·郑州质量检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 3B.433C.533 D ．211．(2019·吉林调研)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积为( )A ．2B ．1 C. 3 D ．2 212．(2019·揭阳模拟)如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上、下两部分的体积比为( )A.112B.18C.16D.14第Ⅱ卷 (非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·岳阳市高三教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．14．(2019·江西二模)已知下图为某几何体的三视图，则其体积为________．15．(2019·漯河中学二模)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．16．(2019·池州高三期末)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)基础巩固练(1)(学生版)
第二部分 优化重组综合练基础巩固练(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·安徽第二次联考)已知集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |－3<2x <6}，则A ∩B ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x <3 B ．{x |－2<x <2}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x <2 D ．{x |－2<x <3}2．(2019·哈尔滨三中二模)若i 为虚数单位，则2－3i1＋i＝( ) A.12－52i B ．－12－52i C.12＋52i D ．－12＋52i3．(2019·合肥二模)如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低4．(2019·株洲一模)在区间[－2,2]上任意取一个数x ，使不等式x 2－x <0成立的概率为( )A.16B.12C.13D.145．(2019·青岛一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B 两点，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N 两点，若△OAB 与△OMN 的面积比为1∶9，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±23xD ．y ＝±8x6．(2019·江西南康中学二模)偶函数f (x )＝x (e x －a e －x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( )A ．2eB ．eC ．2eD ．e ＋1e7．(2019·长沙一模)在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，CA ＝8，且O 是△ABC 的外心，则CA →·AO →＝( )A ．16B ．32C ．－16D ．－328．(2019·郑州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．(4＋45)π＋4 2B ．(4＋45)π＋4＋4 2C ．12π＋12D ．12π＋4＋4 29．(2019·深圳一模)在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点P (2，－1)，则sin(π－2α)的值为( )A ．－45B ．－35 C.35 D.4510．(2019·宜宾二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝2，B ＝60°，△ABC 的面积为3，则a ＋c ＝( )A ．4 B.14 C ．2 D ．4＋2 311．(2019·荆州中学一模)已知log 12(x ＋y ＋4)<log 12(3x ＋y －2)，若x －y <λ＋9λ恒成立，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(9，＋∞)B ．(1,9)C ．(0,1)∪(9，＋∞)D ．(0,1]∪[9，＋∞)12．(2019·山东潍坊二模)已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎨⎧a cos x ＋2，x ≥0，x 2＋2a ，x <0(a∈R )，若对任意x 1∈[1，＋∞)，总存在x 2∈R ，使f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·内江一模)若函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (0)＝2，则f (15)＝________.14．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．15．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.16．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．(本题第一空2分，第二空3分)三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·洛阳一模)在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若d<0，求S n的最大值．18．(本小题满分12分)(2019·江西南昌一模)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．(1)求证：AA1⊥BD；(2)求三棱锥B1－A1C1E的体积．19．(本小题满分12分)(2019·黄山二模)2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日至15日和3月3日至13日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19∶21.其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2∶1.(1)求图中a ，b 的值；(2)现采用分层抽样的方法在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .20．(xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥CD .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．21．(本小题满分12分)(2019·合肥市第一次教学质量检测)已知函数f (x )＝e x－1－a (x －1)＋ln x (a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)设g (x )＝f ′(x )[其中f ′(x )是f (x )的导数]，求g (x )的极小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，都有f (x )≥1成立，求实数a 的取值范围． (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·湖北模拟)已知函数f (x )＝|ax －2|，不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}．(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f (x ＋3)，若存在x ∈R ，使g (x )－tx ≤2成立，求实数t 的取值范围．。
2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题六 平面向量
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2019·漳州质量监测)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝ 3，且 a，b 夹
若A→P＝A→B＋λA→C，且A→P⊥B→C，则实数 λ 的值为( )
4 A.5
B．－45
C．0
D．－25
答案 C
答案
解析 ∵A→P⊥B→C，∴A→P·B→C＝0，即(A→B＋λA→C)·(A→C－A→B)＝0，∴λA→C2 ＋(1－λ)A→B·A→C－A→B2＝0，∵A→B·A→C＝2×4×cos60°＝4，A→B2＝4，A→C2＝16， ∴16λ＋4(1－λ)－4＝0，∴λ＝0.故选 C.
BC 于 D，A→D＝λA→B＋μA→C，则μλ＝(
)
A．3 B．6 C．2 3 D．3 2
答案 B 解析 ∵B→C＝A→C－A→B，A→D⊥B→C，∴(λA→B＋μA→C)·(－A→B＋A→C)＝0，∴－ λA→B2＋μA→C2＋(λ－μ)A→B·A→C＝0，∴λ＝6μ，∴μλ＝6.故选 B.
答案
∴cos2θ＝cos2θ－π6＋π6
＝cos2θ－π6cosπ6－sin2θ－π6sinπ6
＝－54× 23－53×12＝－4
3＋3 10 .
答案
18．(本小题满分 12 分)(2019·佳木斯一中调研)已知向量 a，b 满足：|a| ＝ 2，|b|＝4，a·(b－a)＝2.
解析
11．(2019·大兴区第一学期期末)已知 i，j，k 为共面的三个单位向量，