误差及数据处理
滴定分析中的误差及数据处理
滴定分析中的误差及数据处理一、引言滴定分析是化学分析中常用的一种定量分析方法，通过滴定试剂与待测溶液发生反应，根据反应的化学方程式和滴定试剂的浓度，确定待测溶液中所含物质的浓度。
然而，在滴定分析过程中，由于实验条件、仪器设备、试剂质量等因素的影响，可能会产生误差。
本文将详细介绍滴定分析中可能浮现的误差来源，并探讨数据处理方法，以提高滴定分析的准确性和可靠性。
二、滴定分析中的误差来源1. 人为误差：操作不规范、读数不许确、试剂用量不精确等均会引入人为误差。
为减小人为误差，应严格按照实验操作规程进行操作，并使用精密仪器和准确的试剂。
2. 仪器误差：滴定过程中使用的仪器（如滴定管、容量瓶、分析天平等）存在一定的误差。
为减小仪器误差，应选择精确度高的仪器，并进行仪器校准和定期维护。
3. 滴定试剂误差：滴定试剂的浓度不许确、纯度不高等因素会导致滴定试剂误差。
为减小滴定试剂误差，应选择质量可靠的滴定试剂，并进行滴定试剂的浓度测定和纯度检验。
4. 环境误差：温度、湿度等环境因素对滴定分析结果也会产生一定影响。
为减小环境误差，应控制实验室的环境条件，并在实验过程中及时记录环境参数。
三、滴定分析中的数据处理1. 误差的计算：根据滴定分析中的误差来源，可以通过计算得出总误差。
常用的误差计算方法包括相对误差、绝对误差和标准偏差等。
2. 数据处理方法：在滴定分析中，通常需要进行多次滴定实验，取平均值来减小误差。
计算平均值时，应排除明显偏离的数据点，以提高数据的可靠性。
3. 不确定度的评定：滴定分析结果的不确定度是评价滴定分析准确性的重要指标。
可以通过重复滴定实验、计算标准偏差等方法来评定不确定度。
4. 统计方法的应用：在滴定分析中，可以应用统计方法来分析数据，如t检验、F检验等。
这些方法可以匡助我们判断滴定结果的显著性和可靠性。
四、结论滴定分析中的误差来源主要包括人为误差、仪器误差、滴定试剂误差和环境误差。
为减小误差，应注意操作规范、选择精密仪器和准确试剂，并控制实验环境。
误差与数据处理
相对偏差 有效数字位数
c.
0.5180 ±0.0001 ±0.02%
4
（3、4）计有算效舍数弃字商的Q运计算=规则0d.（5先/ 1R修8约，后计算±）0.001
±0.2%
3
2、计算可疑值与其相邻值差值的；
第一位数字大于8时，多取一位，如：8.
（一）有效数字 若Q 计 Q表 可疑值应舍去
（三）准确度和精密度的关系
因此，增加测定次数，可以提高平均值精密
（1）概念: 就是在实验中实际测到的数字。 ②相对误差Er = Ea / XT（%）
两者的差别主要是由于系统误差的存在。
如1、E数a＞字0前（，0则不X2计偏,）数高字；后有的0效计入有数效位字数；的记录规则：数值中只有最后一位是
（二）可疑值的取舍
（1）Q-检验法
（3～10次测定适用，且只有一个可疑数据）
1、将各数据从小到大排列x1, x2, x3……xn，计
算极差R； 2、计算可疑值与其相邻值差值的；
3、计算舍弃商 Q计 = d/ R 4、根据n 和P 查Q 值表得 Q表 5、比较 Q表 与 Q 计 ：
若Q 计 Q表 可疑值应舍去 Q 计 < Q表 可疑值应保留
2、乘除法:由有效数字位数最少者为准，即取于
数字不仅表示数量的大小，而且要正确地反 5、改变单位，不改变有效数字的位数；
记录数据的位数与测定准确度有关。
映测量的精确程度。如： 误差（E）的定义：E = X – XT
X 为测定值
两者的差别主要是由于系统误差的存在。
2、计算可疑值与其相邻值差值的；
结果 绝对偏差 若Q 计 Q表 可疑值应舍去
第二章 误差和分析数据处理
课堂互动 下面是三位学生练习射击后的射击靶 图，请您用精密度或准确度的概念来评 价这三位学生的射击成绩。
二、系统误差和偶然误差
误差(error)：测量值与真实值的差值
根据误差产生的原因及性质，可以将误差分为系统误 差和偶然误差。
1 系统误差 (systematic error) 又称可测误差，由某
§3 有效数字及计算规则
小问题：1与1.0和1.00相等吗? 答:在分析化学中1≠1.0≠1.00 一、有效数字(significant figure) 概念：分析工作中实际上能测量到的数字，除最后一 位为可疑数字，其余的数字都是确定的
如：分析天平称量：1.21 23 (g) 滴定管读数：23.20 (ml)
=0.17
S 0.17 RSD 100 % 100 % 1.1% 15.82 X
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。
例: 两组数据
(1) 0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21,
n=8 n=8 d1=0.28 d2=0.28 s1>s2 s1=0.38 s2=0.29 (2) 0.18, 0.26, -0.25, -0.37, 0.32, -0.28, 0.31，-0.27
(1)绝对误差 (δ) : δ= x－μ (2) 相对误差(RE): R E= δ / μ× 100%
注:
注1:两种误差都有正、负值之分。
小问题1：
买猪肉1000斤少0.5斤和买1斤少0.5斤哪个误差大?
小问题2： 用分析天平称量两个样品，一个是0.0021克，另一 个是0.5432克，两个测量值的绝对误差都是0.0001 克，试通过计算相对误差来说明哪种表示法更好。
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
分析数据时常见的误差与处理方法
分析数据时常见的误差与处理方法数据分析在现代社会中起着至关重要的作用，它帮助人们更好地理解和解释现象，从而指导决策和行动。
然而，在数据分析过程中，常常会出现各种误差，对结果的准确性和可靠性产生负面影响。
本文将从以下六个方面展开详细论述常见的数据分析误差及其处理方法。
一、采样误差采样误差是由于抽样方法不当或样本代表性不足而引起的误差。
例如，在进行社会调查时，如果采样方法不具备随机性，会导致调查结果的偏差。
处理采样误差的方法可以是增加样本的大小，提高样本的代表性以及采用更合理的抽样方法，如随机抽样或分层抽样。
二、测量误差测量误差指的是由于测量仪器的不准确性或被测对象的个体差异而导致的误差。
在进行实验研究或数据收集时，使用的测量工具和方法可能存在不确定性，从而引入测量误差。
要处理这种误差，可以提高测量仪器的精确度和可靠性，对被测对象进行多次测量并取平均值，或者通过使用标准化方法来校正测量结果。
三、数据处理误差数据处理误差是在数据输入、转换和存储过程中产生的误差。
常见的数据处理误差包括数据录入错误、数据丢失和数据转换错误等。
为了减少这种误差，可以使用自动化的数据采集和处理工具，加强对数据的质量控制，以及定期进行数据的核对和修正。
四、样本偏倚误差样本偏倚误差指的是样本在统计特征上与总体存在显著差异所引起的误差。
当样本不具备代表性时，会导致研究结果的偏离真实情况。
为了纠正样本偏倚误差，可以使用加权抽样法或启发式抽样法，以确保样本更接近总体的特征。
五、缺失数据误差缺失数据误差是由于数据的丢失或缺失引起的误差。
在进行数据分析时，常常会遇到数据缺失的情况，如果不处理好这些缺失数据，会导致结果的不准确性。
处理缺失数据误差的方法可以是使用插补法，将缺失数据进行估计和补全，或者通过合理的数据筛选和清洗来剔除缺失数据影响。
六、模型假设误差模型假设误差指的是在建模过程中所做出的假设与真实情况之间存在偏差。
在进行数据分析时，所使用的模型和方法都基于一定的假设前提，如果这些假设与真实情况不符，结果可能会产生误差。
定量分析中误差及数据处理
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学习目的
原始测量数据如：m、V……
有效数字
测量误差 客观存在
测量结果:x1、x2、x3……
应记录几位数字？
计算公式
应保留几位数字？
误差的分类、特点及消除或减小
如何用测量值x1、x2、x3科学的表达样品真值
置信区间
可疑数值判断
=真值
和分别决定了正态曲线的位置与形状
描述了测量值x出现在某一位置的概率密度或出现在某一区域内的概率（如：出现在+内的概率为1）
反映数据集中趋势
反映数据分散趋势
3-4 随机误差的分布规律（2）
测量平均值 的分布规律
即一系列测定的平均值 （m）的分布规律（其中任一平均值均是n（有限）次测定平均结果）
01
系统误差（Systematic Error）
02
具有单向性、重现性、为可测误差，理论上可消除
03
随机误差（Random Error），亦称偶然误差
04
由不确定因素引起—服从统计规律（见3-4）
05
过失误差（mistake）
06
由粗心大意引起，可以避免，通常不算入误差范畴
误差的分类
3-1 误差的基本概念（4）
0.01 mL
0.02 mL
解：
常量滴定分析时，通常要求由滴定管读数引起的误差在0.1%以内，同时要求节约试剂，因此滴定体积一般应控制在2030 mL范围内（25 mL）
例5：滴定分析中称样质量的控制 万分之一分析天平的精度？ 称取一份试样的绝对误差？ 计算称样质量分别为20.0和200.0 mg时相对误差。
0.1 mg
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
分析化学第二章误差与分析数据处理
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
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重复性和再现性的差别
在相同条件下，对同一样品进行多 次重复测定，所得数据的精密度称为 方法的重复性。
在不同条件下，用同一方法对相同样 品重复测定多次，所得数据的精密度称 为分析方法的再现性。
三、提高分析结果准确度的方法
(一) 选择合适的分析方法
(二) 减小测量误差 仪器和量器的测量误差也是产生
系统误差的因素之一。
绝对误差 E －0.0001g －0.0001g
相对误差
0.0001100% 0.0001100%
2.1751
0.2176
0.005%
0.05%
(二) 精密度与偏差
1.在相同条件下重复测
定多次，然后计算n次测
定结果的符合程度，即 所谓精密度。
精密度表现了测定值的重复性和再 现性；精密度的高低决定于偶然误差的 大小。
2. 空白试验 是在不加试样的情况 下，按照与试样测定完全相同的条件 和操作方法进行试验，所得的结果称 为空白值，从试样测定结果中扣除空 白值就起到了校正误差的作用。
(四) 检查并消除测量过程中的系统误差
3. 校准仪器和量器 4. 回收实验：加样回收，以检验 是否存在方法误差
加 标 回 收 加率 标＝ 试加 样标 测量 定测值定－ 值 1试 0％ 0样
(二) 有效数字的整化(或修约)
3. 一次整化，不得分步整化
× 13.4565
13.456
13.5 14
13.46
√ 13.4565
13
(三) 有效数字运算规则
1. 加减法 以小数点后位数最少的数 据的位数为准，即取决于绝对误差 最大的数据位数；
2. 乘除法 以有效数字位数最少的数 据的位数为准，即取决于相对误差 最大的数据位数；
0.0054 ； 0.40%
有效数字 位数
五位 四位 两位
(二) 有效数字的位数
3. 改变单位，不改变有效数字位数
如：20.41mL
0.02041L
均为四位有效数字
pH=12.68 两位
4. pH、pC、lgK等对数值，其有效数
字的位数取决于小数部分，其整数部 分只说明该数的方次。
二、有效数字的运算规则
0.215 保 留两 位有 效数 字
(二) 有效数字的整化(或修约)
(2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。 27.1850 保 留四 位有 效数 字 27.18
0.215 保 留两 位有 效数 字 0.22 16.4050 保 留四 位有 效数 字
(二) 有效数字的整化(或修约)
(2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。 27.1850 保 留四 位有 效数 字
(二) 有效数字的整化(或修约)
(2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。 27.1850 保 留四 位有 效数 字 27.18
(二) 精密度与偏差
2. 偏 差 对同一待分析试样，在相同条件下重
复测定 n 次，测定结果分别为：x1、x2、
x3 …… xn
算术平均值 x xi
n
绝对偏差 d xi x
(二) 精密度与偏差
当表明三次以上测定值与测定平均
值的符合程度时：
n
平均偏差：各测定值绝
xi x
对偏差的算术平均值
(二) 有效数字的整化(或修约)
(2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。 27.1850 保 留四 位有 效数 字 27.18
0.215 保 留两 位有 效数 字 0.22 16.4050 保 留四 位有 效数 字 16.40
(二) 有效数字的整化(或修约)
1.当尾数≤4，舍去;当尾数≥6，进位； 0.53664 保 留四 位有 效数 字 0.5366 0.58346 保 留四 位有 效数 字0.5835
2.当尾数=5时 (1) 若 5 后还有数字，则应进位
18.06501 保 留四 位 有 效 数 字
1. 系统误差
d. 操作误差 ： 正常操作情况下， 由于分析人员掌握 操作规程与控制条 件稍有出入而引起 的。
(二) 误差的分类
2. 偶然误差
(1) 产生原因：由于分析过程中某些 偶然因素引起的。
(2) 特 点 ： 时大时小，时正时负 难以察觉，也难以控制
(3) 规 律：
(二) 误差的分类
消除系统误差后，同样条件下重复测 定，偶然误差完全服从统计学规律
相对误差
0.0001100% 0.5180
0.001 100% 0.518
0.2‰
2‰
结论：在测量准确度范围内，有效数字
位数越多，测量越准确
(二) 有效数字的位数
2. “0”的作用 有双重作用：普通数字、定位
数
字
1.0005 0.5000； 31.05% ；6.023×1023
d i1 n
相对平均偏差：平均偏 差占平均值的百分比
d% d 100% x
(二) 精密度与偏差
3. 标准偏差(统计结果在某一时段内误差波动的幅度—） 目前，常采用数理统计方法来处理 测定数据。我们将研究对象的全体称 为总体；自总体中随机抽出的一部分 样品称为样本；样本的数目称为样本 容量。
• 定量分析的任务是准确测定试样中 组分的含量，因此分析结果必须具 有一定的准确度。
• 误差是客观存在
• 必须对分析结果进行评价
§2－1 有关的基本概念
一、误差及其产生原因
(一) 误差的定义 xi xT
分析结果与真实值之间的差值。
(二) 误差的分类
定条件下是恒定的，误差的符号
(二) 精密度与偏差
样本的标准偏差 S ：
n
(xi x)2
S i1 n1
式中(n－1)称为自由度，用 f 表示
相对标准偏差(RSD)或变异系数
RS% DS10% 0 x
(三) 准确度与精密度的关系
系统误差 (主要来源)
准确度
偶然误差
精密度
A、B、C、D 四个分析工作者对同一铁标样
（WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图
示，比较其准确度与精密度。
准确度高
A
精密度高
B 准确度低
C
精密度高
D
36.00 36.50 测量点
37.00
37.50
38.00 精密度差
平均值
真值
结 论：
精密度是保证准确度的前提。准 确度高一定需要精密度好；但精密度 好准确度不一定高。只有消除了系统 误差后，精密度好，准确度才高。若 精密度很差，说明所测结果不可靠， 已失去衡量准确度的前提。
偏向同一方向 单向性
b. 重复测定，重复出现 c. 其大小、正负可以测定出来，因而是
可以校正的。
1. 系统误差
(2) 产生原因 a. 方法误差———选择的分析方法不够 完善；例如：重量分析法中沉淀的溶解损失
b. 仪器误差———仪器本身不够准确或 未经校准； c. 试剂误差———试剂不纯或蒸馏水中 含有微量杂质；
方法回收标率 测准＝ 定物的质平的均保 ×1值0证 ％ 0值
§2－2 有效数字及运算规则
Si2O %0 0..4 1
3 5
7140% 0 38
30.277655%35
记录实验数据和计算结果应保留
几位数字是一件很重要的事，不能随
便增加或减少位数。
一、有效数字
(一) 有效数字的意义 1. 有效数字的问题是因为测量仪器 不同而产生的。测量得到的数据的最 后一位数字是根据仪器的精度所确定 的, 称为可疑数字。
(一) 有效数字的意义
有效数字是指在分析工作中实际能 测量到的数字，包括所有的准确数字 和最后一位可疑数字。 (二) 有效数字的位数 1. 直接与测量结果的相对误差（仪器 的精密度）有关。
(二) 有效数字的位数
例如：称得某物质的质量为0.5180g
记录值
0.5180g
0.518g
实际质量 0.5180±0.0001g 0.518±0.001g
a. 大小相等的正负误差出现的概率相等 b. 小误差出现的概率大，大误差出现的
概率小，特别大的误差出现的概率特 别小。
(二) 误差的分类
3. 过失误差 ——责任事故 由于分析人员粗心或疏忽而造成的
二、准确度与精密度
(一) 准确度与误差 1. 准确度是指测定值与真实值符合
的程度。误差愈小，准确度愈高
1.0
平 均 0.8 值 的 0.6 标 准 0.4 偏 差 0.2
0.0 0
5
10
15
20
25
测量次数
(四) 检查并消除测量过程中的系统误差
1. 对照试验
是检验和消除方法误差的有效方 法。用待检验的分析方法测定某标准 试样或纯物质，并将结果与标准值或 纯物质的理论值相对照。
(四) 检查并消除测量过程中的系统误差
Er
E 10％ 0 m(V)
(二) 减小测量误差
分析天平一般的绝对误差为±0.0002g，
欲使称量的相对误差不大于0.1%，那么应称
量的最小质量不小于 0.2g
在滴定分析中，滴定管的读数误差一般为
±0.02ml。为使读数的相对误差不大于0.1%，
则滴定剂的体积就应
不小于20ml
(三) 增加平行测定次数，减小偶然误差
(一) 记录数据时，只保留一位可疑数字 (二) 有效数字的整化(或修约)