河南省南阳市2019年高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷
河南省南阳市2019年高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）
A . （1，2）
B . （2，﹣i）
C . （2，1）
D . （1，﹣2）
2. （2分） (2016高一上·辽宁期中) 下列四个命题：
（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0时也是增函数，所以f（x）是增函数；
（2）若m=loga2，n=logb2且m＞n，则a＜b；
（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣3；
（4）y=log （x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞）．
其中正确的个数是（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
3. （2分）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，，，则；
③若，，则；
④若，，，，则
其中真命题的个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4. （2分） (2017高一下·惠来期末) 某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）
A . k＞3？
B . k＞4？
C . k＞5？
D . k＞6？
5. （2分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）
A . 2
B . 1
C .
D .
6. （2分） 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）
A . 12种
B . 24种
C . 30种
D . 36种
7. （2分）(2017·白山模拟) （x+ ﹣4y）7的展开式中不含x的项的系数之和为（）
A . ﹣C73C4343﹣47
B . ﹣C72C4243+47
C . ﹣47
D . 47
8. （2分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A .
B .
C .
D . 1
9. （2分） (2017高二下·宜昌期末) 从数字0，1，2，3，4，5中任选3个数字，可组成没有重复数字的三位数共有（）
A . 60
B . 90
C . 100
D . 120
10. （2分） (2016高三上·安徽期中) 某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A . 4
B . 2
C . 4
D . 8
11. （2分） (2015高二下·营口期中) 5位老师去听同时上的4节课，每位老师可以任选其中的一节课，不同的听法有（）
A . 54
B . 5×4×3×2
C . 45
D . 4×3×2×1
12. （2分） (2015高二下·乐安期中) 已知抛物线y2=﹣4 x的焦点到双曲线 =l（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则s7=________．
14. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有________种．
15. （1分） (2016高三上·湛江期中) 若（2x﹣1）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），记S2016=
，则S2016的值为________．
16. （1分） (2015高二下·淄博期中) 函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1 ， x2 ，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是________．
三、解答题 (共8题；共85分)
17. （10分） (2015高一下·万全期中) 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB﹣
bcosA=0
（1）求A；
（2）当a= ，b=2时，求△ABC的面积．
18. （15分） (2016高三上·沈阳期中) 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如图频率分布直方图：
附：临界值参考公式：，n=a+b+c+d．
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民损款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，投抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，在表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计
捐款超过500元30
损款不超过500元6
合计
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
19. （10分） (2016高二上·湖北期中) 在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．
（1）求证：PB⊥AC．
（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．
20. （5分） (2017高二上·大连期末) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
21. （15分） (2017高一上·如东月考) 已知函数 .
（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）若的值域为区间，是否存在常数，使区间的长度为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）
22. （10分） (2017高二上·常熟期中) 已知圆C的圆心在直线3x+y﹣1=0上，且圆C在x轴、y轴上截得的弦长AB和MN分别为和．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆心C位于第四象限，点P（x，y）是圆C内一动点，且x，y满足，求的
范围．
23. （10分） (2018高二上·武汉期末) 已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求 .
24. （10分）(2020·重庆模拟) 已知不等式对任意成立，记实数m的最小值为 .
（1）求；
（2）已知实数a，b，c满足：，求C的最大值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共85分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、19-2、
20-1、21-1、
21-2、21-3、
22-1、22-2、
23-1、23-2、
24-1、24-2、。
南阳市2019_2020学年高二数学下学期期中质量评估试题理含解析
A. B. C. D。
【答案】D
【解析】
【分析】
利用微积分基本定理逐个计算每个选项中的定积分，可得出正确选项.
【详解】由微积分基本定理可得 ， ，
, ，故选D.
【点睛】本题考查定积分的计算,解题的关键就是利用微积分基本定理进行计算,考查计算能力，属于基础题.
3。如图是函数 的导函数 的图像，则下面判断正确的是（ ）
【解析】
【分析】
设 ,由于 ,得到 小于 ，得到 为减函数,将所求不等式变形后,利用 为减函数求出 的范围，即为所求不等式的解集．
【详解】设 ,
， ， ∴ 为减函数，
又 ，所以
即 ,
又
∴
∴ ．
又 为底数是10的增函数，
∴ ，故不等式的解集为 。
故答案为： ．
【点睛】此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点,以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题．
【详解】根据图甲所示的分形规律， 个白圈分形为 个白圈1个黑圈, 个黑圈分形为 个白圈 个黑圈，第一行记为 ，第二行记为 ,第三行记为 ，第四行的白圈数为 ；黑圈数为 ，第四行的“坐标”为 ； 第五行的“坐标”为 ，各行白圈数乘以 ，分别是 ,即 ，
∴第 行的白圈数为 ,黑圈数为 ，
所以 ，即 。
故答案为： （ ）
【详解】 ，解不等式 ，得 ，
即函数的单调递减区间为 ，
又函数 在区间 上单调递减,
则 ，即 且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选C
【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
南阳市六校2019-2020学年高二(下)第一次联考数学试卷(理科)(含答案解析)
南阳市六校2019-2020学年高二(下)第一次联考数学试卷(理科) 一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若当limΔx→0f(x0)−f(x0+3Δx)2Δx=1，则f′(x0)等于()A. 32B. 23C. −32D. −232.观察图形规律，在图中右下角的空格内应填入的图形为()．A.B.C.D.3.已知函数f(x)=2x2，则f′(1)等于()A. 4B. 2C. 4+2△xD. 4+2(△x)24.用反证法证明“∀x∈R，2x>0”，应假设()A. ∃x0∈R，2x0>0B. ∃x0∈R，2x0<0C. ∀x∈R，2x≤0D. ∃x0∈R，2x0≤05.下列类比推理正确的是()A. 把a(b+c)与a x+y类比，则有a x+y=a x+a yB. 把a(a+b)与a⇀·(a⇀+b⇀)类比，则有a⇀·(a⇀+b⇀)=a⇀2+a⇀·b⇀C. 把(abc)n与(x+y+z)n类比，则有(x+y+z)n=x n+y n+z nD. 把(ab)c与(a⇀·b⇀)·c⇀类比，则有(a⇀·b⇀)·c⇀=c·⇀(a⇀·b⇀)6.函数y=(3−x2)e−x的递增区间为()A. (−∞,0)B. (3,−1)C. (−∞,3)及(1,+∞)D. (−∞,−1)及(3,+∞)7.已知函数存在单调递减区间，则a的取值范围是()A. B. C. D.8.期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格．乙：丁肯定能及格．丙：我们四人都能及格．丁：要是我能及格，大家都能及格．成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9. 设曲线y =x n+1(n ∈N ∗)，在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2011x 1+log 2011x 2+⋯+log 2011x 2010的值为( )A. −log 20112010B. −1C. log 20112010−1D. 110. 已知函数f(x)=4x2x−1，M =f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(nn )(n ∈N ∗，且n 为奇数)，则M 等于( )A. 2n −1B. n −12C. 2n +2D. 2n +1211. 已知函数f(x)=x 2(e x +e −x )−(2x +1)2(e 2x+1+e −2x−1)，则满足f(x)>0的实数x 的取值范围是( )A. (−1,−13) B.C.D.12. 已知函数f(x)=a(e x−1+x 2)与g(x)=ax 2−|x −a|+1，若y =f(x)与y =g(x)的图像恰有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,1)B. {−1}∪[0,1)C. (−1)∪(1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线方程为______． 14. 设0<x <1，则函数y =1x +11−x 的最小值是________．15. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在代数式1+11+11+⋯中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t ，则1+1t =t ，则t 2−t −1=0，取正值得t =√5+12，用类似方法可得√7+√7+√7+⋅⋅⋅= ．16. 函数g(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(2)=0，当 x >0时，xg(x)−f(x)<0，则使得f(x)<0成立的x 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 设函数f(x)=x 3−92x 2+6x −a ．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若方程f(x)=0有且仅有三个实根，求实数a 的取值范围．18. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a b =cos Bcos A ，判断△ABC 的形状．19. 己知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y =一1上，且椭圆的离心率e =√32．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点直线AM 交直线，于点C ，N 为线段BC 的中点，求OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20.用数学归纳法证明：．21.已知函数f(x)=alnx+x2−x，其中a∈R．(Ⅰ)若a>0，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.已知函数f(x)=(x+1)lnx−x+1．(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范围；(Ⅱ)证明：(x−1)f(x)≥0．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考了导数的定义，属于基础题．根据导数的定义即可求出．lim Δx→0f(x0)−f(x0+3Δx)2Δx=−32limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0)3Δx=−32f′(x0)=1，∴f′(x0)=−23，故选：D．2.答案：B解析：本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据些规律选择正确的答案．本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：观察图形得到规律是每行有方块、三角形、圆各一个，且有两块是有阴影部分，照此规律，第三行第三格应该填方块，由于前两格只有一格有阴影部分，故第三格应该是阴影部分的方块．故选B．3.答案：A解析：解：由f′(x)=4x，则f′(1)=4，故选：A先求导，再代值计算即可．本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的求导公式是解题之关键，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查反证法的概念，属于基础题．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，P(x0)成立的否定是使得P(x0)不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x>0”，应假设为∃x0∈R，2x0≤0．故选D．5.答案：B解析：解：对于选项A：把a(b+c)与a x+y类比，则有a x+y=a x+a y，当x=y=1时，不成立．对于选项C：当n=2时(x+y+z)2≠x2+y2+z2．对于选项D：向量是不成立的．故选：B．直接利用举例或特值法排除选项，从而求出结果．本题考查的知识要点：特值法在客观题中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.答案：D解析：解：y′=−2x⋅e−x+(3−x2)(−e−x)=e−x(x2−2x−3)，令y′>0，解得：x>3或x<−1，故f(x)在(−∞,−1)递增，在(3,+∞)也递增，故选：D．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．7.答案：B解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性.解题关键是由函数f(x)=lnx−a2x2−2x存在单调递减区间，等价于当x>0时f′(x)<0有解等价于a>1x2−2x在(0,+∞)上有解；然后求函数的最小值即可．解：∵函数f(x)=lnx−a2x2−2x存在单调递减区间，∴当x>0时f′(x)=1x−ax−2<0有解，即当x>0时，1x −ax−2<0有解，等价于a>1x2−2x在(0,+∞)上有解；令g(x)=1x2−2x(x>0)，则g′(x)=−2x3+2x2=2(x−1)x3(x>0);当x>1时，g′(x)>0，g(x)在此区间单调递增；当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在此区间单调递减；即g(x)min=g(1)=−1；∴a>−1;故选B．8.答案：A解析：本题考查的是推理和证明，只要加以正确推理不难得出结果．解：通过题设可知甲，丙显然是矛盾的，必然有一个不正确．假设甲正确，那么丙必然错误，即乙，丁必然正确，通过乙、丁，我们发现甲是及格的，想矛盾，故甲是错的．故答案为A．9.答案：B解析：解：y =x n+1在(1,1)处的切线方程为y −1=(n +1)(x −1)，该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =nn+1，所以log 2011x 1+log 2011x 2+⋯+log 2011x 2010=log 201112×23…×20102011=−1， 故选B ．先求曲线在点(1,1)处的切线方程，从而得出切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，再求相应的函数值． 本题利用了导数的几何意义，同时利用了对数运算的性质求出函数10.答案：C解析：M =f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(nn )=f(1n )+f(2n )+⋅⋅⋅+f(n−2n)+f(n−1n)+f(1) ①观察式子，易发现第一项f(1n )与倒数第二项f(n−1n)的关系，此时会考虑下f(1n )+f(n−1n)是否为定值.即f(1−x)+f(x)是否为定值.因为f(1−x)=4(1−x)2(1−x)−1=4x−42x−1，f(x)=4x2x−1，所以f(1−x)+f(x)=4x−42x−1+4x2x−1=8x−42x−1=4.将M 的项除f(1)外倒着排序.即M =f(n−1n)+f(n−2n)+⋅⋅⋅+f(2n)+f(1n)+f(1) ②由①②两式相加，得2M =4(n −1)+8=4n +4，所以M =2n +2．11.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查了导数的运用，属于中档题，设g(x)=x 2(e x +e −x )，则f(x)>0即为g(x)>g(2x +1)，利用导数研究函数的单调性，再结合奇偶性可得．解：设g(x)=x 2(e x +e −x )， 则f(x)>0即为g(x)>g(2x +1)， ∵g(x)=g(−x)， ∴g(x)为偶函数，当x ≥0时，g′(x)=2x(e x +e −x )+x 2(e x −e −x )≥0， ∴g(x)在[0,+∞)上为增函数，∴|x|>|2x +1|， ∴x 2>(2x +1)2， 解得−1<x <−13，即实数x 的取值范围是(−1,−13)． 故选A ．12.答案：B解析：本题考查了函数的零点与方程根的关系和利用导数研究函数的单调性，由f(x)=g(x)可得ae a =−|x|+1e x−1={−x+1e x−1,(x ≥0)x+1ex−1,(x <0),令ℎ(x)=−|x|+1e x−1，t(a)=ae a ，研究单调性和图像，由图像即可得出ae a ∈[0,e)和ae a =−1e ，即可得出a 的取值范围．解：由f(x)=g(x)可得，a(e x −1+x 2)=ax 2−|x −a|+1，⇒ae x −1=−|x −a|+1， 向左平移a 个单位，可得ae x+a −1=−|x|+1，⇒ae a ·e x−1=−|x|+1，⇒ae a=−|x|+1e x−1={−x +1e x−1,(x ≥0)x +1e x−1,(x <0), 令ℎ(x)=−|x|+1e x−1，求导后得ℎ(x)在x ∈(−∞,0)递增，x ∈(0,2)递减，在(2,+∞)递增，又ℎ(0)=e,ℎ(2)=−1e ，且x →+∞时，ℎ(x)→0，如图，所示， 以ae a ∈[0,e)或ae a =−1e 时，恰有两个零点， 令t(a)=ae a ，t′(a)=(a +1)e a ，由于t(a)=ae a 在(0,1)递增，又f(0)=0，f(1)=e ，f(−1)=−1e (为左侧极值点)，如图所示， 当ae a ∈[0,e)时，a ∈[0,1)，当ae a =−1e 时，解得a =−1， 综上所述，实数a 的取值范围是{−1}∪[0,1), 故选B ．13.答案：x −y +3=0解析：解：f(x)=e x +2的导数为f′(x)=e x ，可得曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线斜率为k =1，切点为(0,3)，则曲线C ：f(x)=e x +2在x =0处的切线方程为y =x +3，即x −y +3=0．故答案为：x −y +3=0．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜截式方程可得所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．14.答案：4解析：本题考查了函数的最值，考查了计算能力，属于基础题．解：y =1x +11−x =1x (1−x )，当0<x <1时，x(1−x)=−(x −12)2+14≤14． ∵0<x <1，∴x =12时，y 取得最小值4，故答案为4．15.答案：1+√292解析：本题考查类比推理，可令√7+x =x ，求解出x 即可． 解：由题意可得，令√7+x =x ， 则x 2−x −7=0，取正值可得x =1+√292， 故答案为1+√292．16.答案：解析： 本题考查函数的奇偶性，利用导数判定函数的单调性，构造函数g(x)=xf(x)是解题的关键，属于中档题．构造函数f (x )x ，先判断f(x)x 在(0,+∞)上的单调性，由f(x)是奇函数，可得在(−∞,0)上的单调性，根据f (2)2=0，从而可得答案．解：构造函数f(x)x ， 其导数为g(x)x−f(x)x 2，当x >0时，g(x)x−f(x)x 2<0， 所以函数f(x)x 在(0,+∞)单调递减， 又f(2)2=0，所以当x >2时，f(x)x <0，即f(x)<0，因为f(x)为奇函数，所以f(x)x 为偶函数，所以当x <0时，f(x)x >0的解为−2<x <0，即f(x)<0的解为−2<x <0，综上x 的取值范围是．故答案为． 17.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=3x 2−9x +6=3(x −1)(x −2)，…………………………………(2分) 令f′(x)>0，得x >2或x <1；f′(x)<0，得1<x <2，…………………………(4分)∴f(x)增区间(−∞,1)和(2,+∞)；减区间是(1,2).……………………(6分)(Ⅱ)由(I)知 当x =1时，f(x)取极大值f(1)=52−a ，………………………………(7分)当x =2时，f(x)取极小值 f(2)=2−a ，………………………………………………(8分)因为方程f(x)=0仅有三个实根．所以{f(1)>0f(2)<0…………………………………………(10分) 解得：2<a <52，实数a 的取值范围是(2,52).……………………………………………………………(12分)解析：(Ⅰ)求出函数的导数f′(x)=3x 2−9x +6=3(x −1)(x −2)，令f′(x)>0；f′(x)<0，求解函数的单调区间即可．(Ⅱ)利用函数的极值列出不等式，即可求解实数a 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．18.答案：解：a b =cos B cos A由正弦定理得sinAcosA =sinBcosB ,即sin2A =sin2B ，∵A,B ∈(0,π)，∴2A =2B ，或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解析：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．通过正弦定理化边为角，求解．19.答案：解：(Ⅰ)∵x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)且点B 在直线l ：y =一1上，∴b =1，又∵e =c a =√32，a 2−c 2=b 2=1∴a 2=4，∴椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，x 0≠0，则Q(0,y 0)，且x 024+y 02=1， ∵M 为线段PQ 的中点，∴M(x02,y 0)， ∵A(0,1)，∴直线AM 的方程为：y =2(y 0−1)x 0x +1，令y =−1，得C(x 01−y 0,−1)， ∵B(0,−1)，N 为线段BC 的中点，∴N(x 02(1−y 0),−1)， ∵NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02−x 02(1−y 0),y 0+1)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 02,y 0)， ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02(x 02−x 02(1−y 0))+y 0(y 0+1) =x 024−x 024(1−y 0)+y 02+y 0 =x 024+y 02−x 024(1−y 0)+y 0 =1−(1+y 0)+y 0=0⋅解析：(Ⅰ)通过点B 在直线l ：y =一1上，得b =1，再根据e =c a =√32及a 、c 与b 之间的关系，易得a 2=4，从而可得椭圆的标准方程x 24+y 2=1；(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，x 0≠0，则点P 满足椭圆方程，根据题意，易得M(x 02,y 0)、N(x 02(1−y 0),−1)，计算OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可⋅ 本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题． 20.答案：证明：(1)当n =1时，32≤1+12≤32，命题成立；(2)假设当时命题成立，即1+k 2≤1+12+13+⋯+12k ≤12+k ， 则当n =k +1时，1+12+13+⋯+12k +12k +1+12k +2+⋯+12k +2k ≥1+k 2+2k ·12k+1=1+k+12，又1+12+13+⋯+12k +12k +1+12k +2+⋯+12k +2k ≤12+k +2k ·12k =12+(k +1)， 即n =k +1时，命题成立，由(1)和(2)可知，命题对所有都成立．解析：本题考查数学归纳法，着重考查推理、变形与论证能力，属于中档题．利用数学归纳法的证明方法，验证n =1时成立，假设n =k 时成立，证明n =k +1时等式也成立即可．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=a x+2x −1=2x 2−x+a x ，(x >0)， 令g(x)=2x 2−x +a =2(x −14)2+a −18，(x >0)， a ≥18时，g(x)≥0，即f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)递增， 0<a <18时，令g′(x)>0， 解得：x >1+√1−8a2或0<x <1−√1−8a2，令g′(x)<0，解得：1−√1−8a2<x <1+√1−8a2，故f(x)在(0,1−√1−8a 2)递增，在(1−√1−8a 2,1+√1−8a2)递减， 在(1+√1−8a 2,+∞)递增； (Ⅱ)x =1时，显然成立，x >1时，问题转化为a ≥−x 2+x lnx 在(1,+∞)恒成立， 令ℎ(x)=−x 2+xlnx ，则ℎ′(x)=(−2x+1)lnx+x−1(lnx)2，令m(x)=(−2x +1)lnx +x −1，(x >1)，则m′(x)=−2lnx +1−x x <0，故m(x)<m(1)=0，故ℎ′(x)在(1,+∞)递减，而x →1lim −x 2+x lnx =x →1lim −2x+11x =−1，故a ≥−1．解析：(Ⅰ)求出f(x)的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出函数的导数，问题转化为a ≥−x 2+x lnx 在(1,+∞)恒成立，令ℎ(x)=−x 2+x lnx ，根据函数的单调性求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题． 22.答案：解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数，可得f′(x)=x+1x +lnx −1=lnx +1x ， ∴xf′(x)=xlnx +1，题设xf′(x)≤x 2+ax +1等价于lnx −x ≤a ，令g(x)=lnx −x ，则g′(x)=1x −1．当0<x <1时，g′(x)>0；当x ≥1时，g′(x)≤0，∴x =1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)=−1．综上，a 的取值范围是[−1,+∞)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g(x)≤g(1)=−1，即lnx −x +1≤0；当0<x <1时，f(x)=(x +1)lnx −x +1=xlnx +(lnx −x +1)≤0；当x ≥1时，f(x)=lnx +(xlnx −x +1)=lnx +x(lnx +1x −1)≥0所以(x −1)f(x)≥0．解析：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数，可得f′(x)=x+1x +lnx −1=lnx +1x ，从而xf′(x)≤x 2+ax +1可转化为lnx −x ≤a ，令g(x)=lnx −x ，求出函数的最值，即可求得a 的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，g(x)≤g(1)=−1，即lnx−x+1≤0，可证0<x<1时，f(x)≤0；x≥1时，f(x)≥0，从而可得结论．本题考查导数知识的运用，考查分离参数法求参数的范围，考查不等式的证明，属于中档题．。
2019-2020学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学试题(理)
——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题1---6 BACBCC 7------12 DDABDA二、填空题13. 2 14. -615. )10,0( 16. 2136-(364也对） 三、解答题17证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.-------------------------5分 （2）因为a ＋b ＋c ＝1，所以1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ，因为2ab ≤a 2＋b 2, 2bc ≤b 2＋c 2, 2ac ≤a 2＋c 2，所以2ab ＋2bc ＋2ac ≤2(a 2＋b 2＋c 2)，所以1≤a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)，即a 2＋b 2＋c 2≥13.--------------------10分 18.解 (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x 2，-------------2分 由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )＞0，x ＞0，得 0＜x ＜e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＜0，x ＞0，得x ＞e. 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． 所以，无极小值有极大值,11)()(-=ee f x f --------------------------------5分 (2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m ＞0，即0＜m ≤e 2时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (2m )＝ln(2m )2m－1；------------------------------------7分 ②当m ＜e ＜2m ，即e 2＜m ＜e 时，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e,2m )上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1；--------------------------------9分 ③当m ≥e 时，函数f (x )在区间[m,2m ]上单调递减，所以f (x )max ＝f (m )＝ln m m－1. --------------------------------11分 综上所述，当0＜m ≤e 2时，f (x )max ＝ln(2m )2m－1； 当e 2＜m ＜e 时，f (x )max ＝1e－1； 当m ≥e 时，f (x )max ＝ln m m－1.-------------------------------12分 19．证明：（1）2222(cos sin )cos 2cos sin sin cos 2sin 2n i i i θθθθθθθθ=+=+-=+当时， 所以，2=n 时，等式成立。
河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第一次联考数学(理)试题(带答案解析)
………外…………………订……级：___________考号：___………内…………………订……河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第一次联考数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．若函数()f x 满足()24f '=，则()()22limh f h f h→--=（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-2．观察图形规律，在图中右下角的空格内应填入的图形为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若()()222f x xf x '=+，则()1f '=（ ）A ．4-B ．6-C ．2D ．44．用反证法证明“至少存在一个实数0x ，使030x >成立”时，假设正确的是（ ） A ．至少存在两个实数0x ，使030x >成立 B ．至多存在一个实数0x ，使030x >成立 C ．不存在实数0x ，使030x >成立 D ．任意实数x ，30x >恒成立5．下列使用类比推理正确的是（ ）A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若12x x +=，则2212x x+=”类比推出“若，则2212x x-=” C ．“实数a ，，满足运算()()ab c a bc =”类比推出“平面向量,,a b c r r r 满足运算()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r”D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心” 6．函数()()23xf x x e =-的单调递增区间是（ ）装…………○※※要※※在※※装※※装…………○A ．(),2-∞ B ．()2,+∞C ．5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()3,+∞7．已知函数2()ln(1)f x m x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．设曲线()1n y xn N +*=∈在()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，则201812018220182017log log log x x x ++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2018log 2017-B ．1-C ．2018log 20171-D ．110．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．27411．设函数()22,0,0x x x e x f x x x e⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则使得()()121f x f x +>-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()0,2B ．()2,-+∞C ．(),0-∞D ．()2,+∞12．对任意的实数x ，关于y 的方程()0xyxxe ae ye-+=都有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．函数()1xe f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程是_____________.14．若函数()()4240,12f x axaxa x =->≤≤的最小值为4-，则a =________.15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x ==__________． 16．设函数()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________.三、解答题17．已知函数31()3f x x ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 有三个单调区间，求实数a 的取值范围. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若2A B =，证明：2cos a b B =； （2）若112a b c +=，证明：2C π<． 19．已知若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）交x 轴于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，则AN BM ⋅u u u r u u u u r为定值22b a -.（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题；（2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由. 20．已知函数()933f x x -=++，数列{}n a 对于n *∈N ，总有()1n n a f a +=，112a =.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 21．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 22．设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n-++>+++L .参考答案1．D 【解析】 【分析】根据导数的定义可直接化简求得结果. 【详解】()()()()()002222lim 1lim 24h h f h f f h f f h h→→----'=-⨯=-=--. 故选：D . 【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题. 2．B 【解析】分析：观察图形不难发现每行有两个阴影图形，三个图形有长方形、圆、三角形详解：其规律是每行有方块，三角形，圆形各一个，且有两块是有阴影部分，照此规律，第三行第三格应填方块，由于前两格只有一格有阴影部分，故第三格应是阴影部分的方块 故选B点睛：本题属于规律题，只要观察图形做出判断不难发现规律。
南阳市2018-2019学年高二下期中数学测试卷(理科)(附参考答案)
2018-2019学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．04．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．15．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．36．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．37．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或29．已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx=．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算：=．三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．19．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．【解答】解：=，则复数的虚部是1，故选：C2．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）A．p（n）对一切正整数n都成立B．p（n）对任何正偶数n都成立C．p（n）对任何正奇数n都成立D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立【考点】数学归纳法．【分析】根据题意可得，当命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立．【解答】解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立．又已知命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立，即p（n）对所有正偶数n都成立故选：B．3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）A．﹣B．C．D．0【考点】极限及其运算．【分析】利用导数的定义和运算法则即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=+1，∴f′（x）=．∴=﹣1×=﹣f′（1）=﹣．故选：A．4．直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y′|x=m=﹣=解得m=1∵切点（1，n）在曲线的图象上，∴n=﹣，∵切点（1，﹣）又在直线上，∴b=﹣1．故答案为：B5．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．【解答】解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，最大的距离为3．故选D．6．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点（0，1）处的切线的斜率等于1，相应的切线方程是y=x+1，当x=0时，y=1；即y=0时，x=﹣1，即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×1×1=．故选：A．7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个奇数D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，即可得出结论．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中恰有一个奇数”的否定为：“a，b，c中至少有两个奇数或都是奇偶数”，故选D．8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0．根据有一个零点恰为f（x）的极大值点，得f（x）的极大值为0，解方程即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+c，∴f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减．即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，∵有一个零点恰为f（x）的极大值点，∴必有f（﹣1）=﹣1+3+a=c+2=0，解得c=﹣2；故选：C．9．已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dxB．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dxC．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dxD．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx【考点】定积分；不等关系与不等式．【分析】根据定积分的几何意义，分别讨论函数y=f（x）及函数y=|f（x）|的图象在x轴上下方的可能情况，然后由微积分基本定理分析三个定积分对应曲边梯形的面积的大小．【解答】解：当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴上方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线下包围的面积，即由y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积，此时∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴下方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线上方包围的面积的负值，即由y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积的负值，此时函数y=|f（x）|的图象在x轴上方，所以=＞0，＜0；当函数y=f（x）的图象在[a，b]上x轴的上下方都有，不防设在[a，c）上在x轴上方，在（c，b]上在x轴下方，则为上方的面积减去下方的面积，为上方的面积减去下方面积的绝对值，为上方的面积加上下方的面积；若函数y=f（x）的原函数为常数函数y=0，则∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；综上，三者的关系是．故选B．10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x＜﹣2016，故选：C．12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可．【解答】解：由题意画出图象：（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）﹣kx的一个零点；（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．①．当x＜0时，由﹣x2+x=kx，化为x=﹣k＜0，解得k＞；②当x＞0时，只考虑k＞即可，令g（x）=ln（x+1）﹣kx，则g′（x）=﹣k，A．当k≥1时，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；B．当＜k＜1时，0＜＜1，g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=﹣1，列表如下：xg（x）+ 0 ﹣g′（x）单调递增绝对值单调递减由表格可知：当x=时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当g（）≥0时，g（x）才有零点，g（）=ln﹣（1﹣k）=k﹣lnk﹣1．下面证明h（k）=k﹣lnk﹣1＞0，k∈（，1）．∵h′（k）=1﹣=＜0，∴h（k）在（，1）上单调递减，∴g（）=h（k）＞h（1）=1﹣ln1﹣1=0，因此g（）＞0在k∈（，1）时成立．综上可知：当且仅当＜k＜1时，函数f（x）﹣kx有三个零点．故选：B．二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.13．∫（x+x2+sinx）dx=．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法法则计算即可．【解答】解：∫（x+x2+sinx）dx=（﹣cosx）|=（+﹣cos1）﹣（﹣﹣cos1）=，故答案为：．14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．【考点】数列递推式．【分析】分别求得f（k）和f（k+1）两式相减即可求得f（k+1）与f（k）的递推关系式．【解答】解：∵f（k）=12+22++（2k）2，∴f（k+1）=12+22++（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，两式相减得f（k+1）﹣f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2．∴f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞0．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据函数导数的定义和性质即可得到结论．【解答】解：由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）=0，解得a=0或x=﹣1或x=a，若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．若a=﹣1，则f′（x）=﹣（x+1）2≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠﹣1．若a＜﹣1，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得a＜x＜﹣1此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜a或x＞﹣1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．若﹣1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得﹣1＜x＜a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜﹣1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得x＜﹣1或x＞a此时函数单调递增，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得﹣1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．综上：a＜﹣1或a＞0，故答案为：a＜﹣1或a＞016．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算：=．【考点】类比推理．【分析】利用类比的方法，设=x，则1+=x，解方程可得结论．【解答】解：设=x，则1+=x，∴2x2﹣2x﹣1=0∴x=，∵x＞0，∴x=，故答案为：三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（I）．∴=﹣1﹣i．（II）把z=﹣1+i代入|z|2+az+b=1﹣i，即|﹣1+i|2+a（﹣1+i）+b=1﹣i，得（﹣a+b+2）+ai=1﹣i．∴，解得．∴实数a，b的值分别为﹣1，﹣2．18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的几何意义．【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…由条件②式…由①②式解得a=1，b=3（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣319．设x＞0，y＞0，z＞0，（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（Ⅰ）对两个解析式作差，对差的形式进行化简整理，判断出差的符号，得出两数的大小．（Ⅱ）利用（Ⅰ）类比出一个结论，利用综合法证明不等式即可．【解答】（Ⅰ）∵，∴．（Ⅱ）由（1）得．类似的，，又；∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx（另证：x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，z2+x2≥2zx，三式相加）．∴=20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？【考点】数学归纳法．【分析】假设存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立．取n=1，2可得，解得a，b．再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：若存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立．取n=1，2可得，解得a=1，b=4．则=对于一切n∈N*都成立．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即…+=．则当n=k+1时，…++=+====．也就是说当n=k+1时，等式也成立．综上所述：可知等式对于一切n∈N*都成立．21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min=∴满足的最大整数M为4；（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1∴a≥122．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．。
河南省南阳市数学高二下学期理数期中考试试卷
河南省南阳市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·梧州期末) 已知复数在复平面内的对应点关于实轴对称，（为虚数单位），则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·吉林期中) 设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则 =（）A . 2B . 1C .D . 63. （2分）(2018·安徽模拟) 由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（）A . 3B .C .D .4. （2分）已知曲线在点处的切线经过点，则的值为（）A .B . 1C . eD . 105. （2分） (2018高二下·中山月考) 三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（）种A . 144B . 1440C . 150D . 1886. （2分） (2018高二下·泸县期末) 函数的大致图像是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·宣城模拟) 已知，关于的方程（）有四个不同的实数根，则的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）函数f（x）=|lgx|﹣sinx的零点个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）若（2x-1)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013（x∈R），则＋＋+…+（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·东湖期中) 已知函数为自然对数的底数）与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一上·临沂期中) 函数f（x）=lnx+3x﹣10的零点所在的大致范围是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）12. （2分）(2018·潍坊模拟) 已知函数，则（）A . 在处取得最小值B . 有两个零点C . 的图象关于点对称D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·北京月考) 已知数列满足：，，，，则 ________， ________．14. （1分）(2017·和平模拟) （﹣）8的展开式中x2的系数为________．（用数字作答）15. （1分） (2018高二下·湖南期末) 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.16. （1分） (2019高二下·赤峰月考) 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2019高三上·铁岭月考)（1）讨论函数的单调性，并证明当 >0时，（2）证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.18. （15分） (2020高二下·通州期末) 为了让市民了解垃圾分类，养成垃圾分类的好习惯，同时让绿色环保理念深入人心，我市将垃圾进行了分类，共分为四类：厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾，某班按此四类由10位同学组成宣传小组，其中厨余垃圾与可回收物宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学，现从这10位同学中选派同学到社区进行宣传活动.（1）若选派3位同学参加活动，求这3位同学中至少有1位是可回收物宣传小组的选法有多少种？（2）若选派4位同学参加活动，求这4位同学中，每个小组恰好1位的概率；（3）若选派5位同学参加活动，求这5位同学中，每个小组至少1位的概率.（直接写出结论即可）19. （15分） (2017高二下·红桥期末) 已知（3x+ ）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中x项的系数．20. （5分） (2016高二下·邯郸期中) 解答（1）集合M={1，2，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，N={3，﹣1}，M∩N={3}，求实数m的值．（2）已知12= ×1×2×3，12+22= ×2×3×5，12+22+32= ×3×4×7，12+22+32+42= ×4×5×9，由此猜想12+22+…+n2（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．21. （10分） (2019高二下·深圳期中) 选修4-5：不等式选讲设函数 .（1）解不等式；（2），恒成立，求实数的取值范围.22. （15分）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
2019-2020学年河南省南阳市高二下学期期中数学试卷(理科) (解析版)
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
+2n﹣2＝bn2n﹣1， 故选：D．
8．已知 x＝2 是函数 f（x）＝x3﹣3ax+2 的极小值点，那么函数 f（x）的极大值为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【分析】求出导数，由题意得，f′（2）＝0，解出 a，再由单调性，判断极大值点，求 出即可．
解：∵复数 z＝x+yi（x，y∈R），且|z+1|+|z﹣1|＝4，
∴由复数的模的几何意义可得，复数 z 对应点到（1，0），（﹣1，0）的距离和等于 4，
∴点（x，y）的轨迹是以（1，0），（﹣1，0）为焦点的椭圆，且 c＝1，2a＝4，
∴a＝2，b
故 x，y 满足的轨迹方程是
1． 11 / 22
A．（1，2]
B．[4，+∞）
C．（﹣∞，2]
D．（0，3]
【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出 m 的范围即可．
解：∵f（x） x2﹣9lnx，
∴函数 f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝x ，
∵x＞0，∴由 f′（x）＝x
0，得 0＜x＜3．
∵函数 f（x） x2﹣9lnx 在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，
22．已知函数 f（x）＝ln（1+mx），g（x） 4 / 22
mx．
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（1）当 m＝1 时，求函数 F（x）＝f（x）﹣x 的最大值； （2）当 0＜m＜1 时，判断函数 G（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数．
5 / 22
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2019学年河南省南阳市高二下开学考理科数学卷【含答案及解析】
2019学年河南省南阳市高二下开学考理科数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等于（）A ． 18________B ． 24________C ． 60________D ． 902. 在中，已知于，则长为（）A ．B ．C ．D ．3. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A． B．C ．________________________D ．4. 下列命题：①“在三角形中，若，则”的逆命题是真命题；②命题或，命题，则是的必要不充分条件；③“ ”的否定是“ ”；④“若，则”的否命题为“若，则”；其中正确的个数是（）A ． 1________B ． 2________C ． 3________D ． 45. 已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A ．B ．________C ． 4________D ． 86. 已知直线是曲线的一条切线，则的值为（）A ． 0________B ． 2________C ． 1________D ． 37. 等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是192，则首项（）A ． 1________B ． 2________C ． 3________D ． 48. 在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，则的形状为（）A ．锐角三角形_________B ．直角三角形___________C ．等腰三角形___________ D ．正三角形9. 若、满足，且的最小值为，则的值为（）A ． 2________B ．________C ．________D ．10. 若正数满足，则的最小值是（）A ．________B ．________C ． 6________D ． 511. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，若，则该双曲线的离心率为（）A ． 8________B ．C ． 3________D ．12. 在数列中，，则等于（） A．_________________________________B ．C．_________________________________D ．二、填空题13. 观察下面的算式：，，，则 ______ （其中）．14. 已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于两点，若，则 ______ ．15. 已知，则 ______ ．16. 已知在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是______ ．三、解答题17. 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．18. 在中，角对应的边分别是，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值．19. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．20. 某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2 ． 5米，前后墙用2 ． 5米高的彩色钢板，两侧用2 ． 5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2 ． 5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为，两侧墙的长为，一套简易房所用材料费为，试用表示．（2）一套简易房面积的最大值是多少？当最大时，前面墙的长度是多少？21. 如图，在四棱锥中，平面，，，，且，，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试确定点的位置．22. 已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，使得动点满足，若存在，求出的值和定点；若不存在，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学(理)试题扫描版含答案
即 -------------------------6分
由题意知，不等式 。-----------------7分
-----------------11分
即实数 的取值范围是 ----------------------------------------12分。
-----------------------10分
18.解：（Ⅰ）由函数 图象过点 ，得 ，…………………… ①
由 ，得 ，
则 ；
而 图象关于 轴对称，所以－ ，所以 ，
代入①得 。----------------------3分
于是 。由 得 或 ，
故 的单调递增区间是 ， ；由 得 ，
故 的单调递减区间是 。----------------6分
（2）假设当n=k时,该不等式仍成立,即
--------------3分
则n=k+1时
--------------9分
故不等式对n=k+1仍成立.
综合（1）（2）知 。对n∈N成立.-----12分
20.解：（Ⅰ）因为x=3时，y=89，y= +2x2﹣35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），所以a+83=89，故a=6；-------------------------2分
令g（a）＝2alna－2a－1，其中 ．故g'（a）＝21na＜0，
所以g（aБайду номын сангаас在 上单调递减，则 ，即
．-----------------------------12分
22.解（1）函数 的定义域为 ，且 ------1分
当 时， ，所以函数 在 上单调递减-----2分
2019-2020学年南阳市高二下学期期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年南阳市高二下学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.关于线性回归，以下说法错误的是()A. 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B. 在平面直角坐标系中用描点的方法得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C. 线性回归直线方程最能代表观测值x，y之间的关系，且其回归直线一定过样本中心点(，)D. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性作试验，并由回归分析法分别求得相关系数r xy如下表2.若复数满足，则的虚部为()A. B. − C. 4 D. −43.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点。
你认为以上推理的A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确4.已知一个数列{a n}的各项是1或3.首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k个3，即1，3，3，1，3，3，3，3，1，3，3，3，3，3，3，1….则该数列中第100个1为第()项．A. 10001B. 10000C. 9999D. 99985.若复数(1+i)(a−i)在复平面内对应的点位于实轴上，则|a−i|=()iA. 1B. √2C. √3D. √56.将三个1，三个2，三个3，共9个数填入一个3行3列的表格内(每格填入一个数)，使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过1.考察每行中三个数之和，记这三个和的最小值为m，则m 的最大值为()A. 3B. 4C. 5D. 67.复数3−i的共轭复数等于()1−iA. 1+2iB. 1−2iC. 2+iD. 2−i8.根据如下样本数据：x234567y 3.4 2.5−0.20.5−2.0−3.0得到的回归方程为y=bx+a，则()A. a>0，b<0B. a>0，b>0C. a<0，b>0D. a<0，b<09.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S n=n(12+12n)2=6n2+6n的值为()A. 4B. 8C. 10D. 1210.若a>b，x>y，则下列不等式中正确的是()A. a−x>b−yB. ax>byC. ay >bxD. x−b>y−a11.已知为虚数单位，复数满足，则等于A. B. C. D.12.观察一列算式：1⊕1，1⊕2，2⊕1，1⊕3，2⊕2，3⊕1，1⊕4，2⊕3，3⊕2，4⊕1，…，则式子5⊕3是第()A. 23项B. 24项C. 25项D. 26项二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：__________(i为虚数单位)．14.下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程ŷ=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．正确的命题为______．15.若实数x，y满足约束条件{x+y≥1x−y+1≥03x+2y≤6x∈N,y∈N，则z=x−2y的所有取值的集合是______．16.先阅读下面的文字：“求√2+√2+√2+⋯的值时，采用了如下的方式：令√2+√2+√2+⋯=x，则有x=√2+x，两边平方，可解得x=2(负值舍去)”.那么，可用类比的方法，求出2+12+12+⋯的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a1+a2+a3+a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25．18.已知复数z=lg(m2−2m−2)+(m2+3m+2)i．(1)当z为纯虚数时，求实数m的值；(2)当z为实数时，求实数m的值；(3)当复数z在复平面内对应的点位于第二象限时，求实数的取值范围．19.最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都的租在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15](单位：千元)分组的频率分布直方图如图所示．乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：月收入[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15]户数38272492(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M的概率；(2)利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关．幸福指数低幸福指数高总计甲小区租户______ ______ ______乙小区租户______ ______ ______总计______ ______ ______附：临界值表P(K2≥k)0.100.0100.001k 2.706 6.63510.828参考公式：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)为定义在R上的增函数，若对于任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求f(0)，并证明f(x)为R上的奇函数；(2)若f(1)=2，解关于x的不等式f(x)−f(3−x)<4．21.中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计表如表：(1)求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用(1)中的线性回归方程，预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达多少？b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ̂=y ̂−b ̂x.22. 已知数列{a n }满足a 1=a(a ≠0，且a ≠1)，其前n 项和S n =a1−a (1−a n )(1)求证：{a n }为等比数列；(2)记b n =a n lg|a n |(n ∈N ∗)，T n 为数列{b n }的前n 项和，那么： ①当a =2时，求T n ；②当a =−√73时，是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n 都有b n ≥b m .如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：D解析：依据两个变量具有相关关系的意义可知，A正确;根据散点图的定义得B正确;根据最小二乘法的思想，所求得的回归直线，满足一组数据对应点到该直线的距离最小，即线性回归直线方程最能代表观测值x，y之间的关系，故C正确;D不正确，由相关系数r xy意义可知相关系数r xy越接近于1，则线性相关性越强．2.答案：A解析：试题分析：因为，所以，故选A．考点：1、复数的概念；2、复数的除法．3.答案：A解析：试题分析：解：∵大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f(x)的极值点，∴大前提错误，故选A．考点：演绎推理点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．4.答案：B解析：解：由题易知：第1个1为第1项，第1个1和第2个1之间有2个3，即第2个1为第1+3=22项，第2个1和第3个1之间有4个3，即第3个1为第1+3+5=32项，第3个1和第4个1之间有6个3，即第4个1为第1+3+5+7=42项，…第k个1和第k+1个1之间有2k个3，即第k个1为第1+3+5+7+⋯+(2k−1)=k2项，该数列中第100个1为第1002=10000项；根据题意，分析可得第k个1为第1+3+5+7+⋯+(2k−1)=k2项，当k=100时，即可得第100个1为数列的第几项，即可得答案．本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，关键是分析数列，发现数列变化的规律．5.答案：B解析：解：∵(1+i)(a−i)i =−i(1+i)(a−i)−i2=a−1−(1+a)i在复平面内对应的点位于实轴上，∴−(1+a)=0，解得：a=−1．∴|a−i|=|−1−i|=√(≈1)2+(−1)2=√2．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出a的值，由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6.答案：B解析：本题考查了分类讨论的思想，以及合情推理的问题，考查运算求解能力，考查分类与讨论思想，是中档题．依据3个1分布的行数的不同情形进行讨论，确定m的最大值．解：依据3个1分布的行数的不同情形进行讨论，确定m的最大值．(1)若3个1分布在同一行，则m=3；(2)若3个1分布在两行中，则由题意知这两行中出现的最大数至多为2，故2m≤3×1+3×2=9，此时这三行中，三个数的和分别为4，5，9，∴m=4；(3)若3个1分布在三行中，则其中某一行至少有一个数大于2，这与已知矛盾．综上所述，m的最大值为4．故选：B．解析：解：3−i1−i =(3−i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+2i2=2+i，∴复数3−i1−i的共轭复数等于2−i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数3−i1−i得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8.答案：A解析：解：由已知中的数据，可得变量x与变量y之间存在负相关关系，故b<0，当x=0时，y>0，故a>0，故选：A本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．9.答案：B解析：解：执行程序框图，有n=8，i=2，k=1，s=1满足条件i<n，有s=2，i=4，k=2满足条件i<n，有s=4，i=6，k=3满足条件i<n，有s=8，i=8，k=4不满足条件i<n，退出循环，输出s的值为8．故选：B．执行程序框图可知，其功能是求S n=n(12+12n)2=6n2+6n的值，依次写出每次循环得到的s，i，k 值，当i=8时，不满足条件i<n，退出循环，输出s的值为8．本题主要考察了程序框图和算法，解题的关键是分析可知程序的功能是求S n=n(12+12n)2=6n2+6n 的值，属于基本知识的考查．10.答案：D解析：解：∵a >b ， ∴−b >−a ， ∵x >y ， ∴x −b >y −a ． 选项D 正确．选项A ，取a =2，b =1，x =2，y =1，得到a −x =0，b −y =0，选项A 不成立； 选项B ，取a =2，b =1，x =−1，y =−2，得到ax =−2，by =−2，选项B 不成立； 选项C ，取a =2，b =1，x =−1，y =−2，得到ay =−1，bx =−1，选项C 不成立． 故选D ．本题可以利用不等式的基本性质得出正确结论．本题考查的是不等式的基本性质，要求学生正确使用不等式的基本性质，本题难度不大，属于容易题．11.答案：B解析：试题分析：因为所以。