平移解决面积问题
利用平移知识解决面积问题
《用平移知识解决问题》【学情分析】：本课是《平移》的第二课时，它是《数学课程标准》“空间和图领域”中新内容，是培养学生空间观念的基础，要求学生通过平移，把一些不规则的图形转化成以前学过的规则图形，来求出图形的面积；同时让学生经历观察、操作、比较和归纳的过程,渗透转化的数学思想方法，增强数学问题意识，培养学生实际操作和数学思考能力及合作意识。
【教学目标】（一）知识与技能学生掌握运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题的过程中，培养学生迁移、转化的能力，发展学生的空间观念。
（二）过程与方法通过学生经历自主探究的过程，运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题，加深对“平移”这种图形变换方式的理解。
（三）情感态度和价值观体会数学知识之间的密切联系，感受数学美。
【教学重难点】教学重点：运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题。
教学难点：在解决问题的过程中，加深对平移的理解。
【教学准备】方格纸、课件。
【教学过程】（一）问题导入教师出示一个七巧板拼图1、师问：同学们，你们从这幅图中看到了什么？生：2、师问：整幅图是以什么拼成的？生：七巧板3、师问：你能求出七巧板拼图的面积吗？预设：七块拼图（三角形，正方形平行四边形）面积之和。
4、师：正方形，三角形有自己的名字，而且能用面积公式直接求出面积，这样的图形叫——规则图形（板书）。
师：你还认识哪些规则图形？生：5、师：没有名字也不能用面积公式直接求出面积的图形叫——不规则图形（板书）。
6、师：正方形面积可以用公式计算，但是，三角形、平行四边形面积公式我们没有学过，那这个拼图的面积还能求吗？7、一起来看数学奇迹：变成了一个正方形。
如果正方形边长是5cm，面积：5×5=25（cm2）正方形面积就是拼图面积。
8、实现这个奇迹的原因是：生；平移。
9、师：这节课我们就利用平移知识来解决问题。
板书课题，齐读课题。
（二）探索新知1．提出问题。
教师：这个单元用的最多的是方格图，现在在方格纸上又出现了一个新的图形，它有名字吗？同学们仔细观察，这个图形有什么特点？生：[两条曲边，与我们以前学的图形不一样。
平移齐次化法求面积
平移齐次化法求面积平移齐次化法是一种通过平移和齐次化来求解几何问题的方法。
在求面积的问题中，平移齐次化法可以将复杂的几何图形转化为简单的几何图形，从而简化计算过程。
假设我们要求一个平面几何图形的面积，我们可以按照以下步骤使用平移齐次化法：1.首先，将图形进行平移，使得其中一个顶点移动到坐标原点。
这样做的目的是为了简化计算，因为平移不会改变图形的面积。
2.接下来，将图形进行齐次化。
具体来说，将图形上的每个点都乘以一个非零常数，使得图形的所有顶点都位于坐标轴上。
这样做可以进一步简化计算，因为齐次化也不会改变图形的面积。
3.最后，利用简单的几何知识计算图形的面积。
由于我们已经将图形平移和齐次化，所以现在可以使用简单的几何公式来计算面积。
下面是一个具体的例子：假设我们要求一个直角三角形ABC的面积，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
我们可以按照以下步骤使用平移齐次化法：1.将点A移动到坐标原点(0,0)，得到新的点D(-x1,-y1)。
2.将图形进行齐次化。
具体来说，将三角形ABC上的每个点都乘以一个非零常数k，得到新的点E(-kx1,-ky1)，F(-kx2,-ky2)，G(-kx3,-ky3)。
3.由于平移和齐次化不会改变图形的面积，所以三角形ABC的面积等于三角形DEF的面积。
而三角形DEF是一个直角三角形，其面积为(1/2)*DE*EF。
4.最后，利用勾股定理计算DE和EF的长度，从而得到三角形ABC的面积。
通过以上步骤，我们可以使用平移齐次化法求出直角三角形ABC的面积。
这种方法可以推广到其他类型的几何图形，如平行四边形、梯形等。
人教版三年级数学下册 巧算面积(习题)
3．一个长方形，如果它的长不变，宽增加4米，面积 就增加36平方米，这时正好变成了一个正方形， 原来长方形的面积是多少平方米？
36÷4＝9(米) 9×(9－4)＝45(平方米) 答：原来长方形的面积是45平方米。
妙用 3 运用推理法解决面积问题
4．用14米长的绳子可以围成多少种不同的长方形？并 求出它们的面积。(长和宽都是整米数，绳子没有 剩余)
14÷2＝7(米) 7＝6＋1＝5＋2＝4＋3 6×1＝6(平方米) 5×2＝10(平方米) 4×3＝12(平方米) 答：可以围成3种不同的长方形，它们的面积 分别是6平方米、10平方米和12平方米。
巧算面积
习题课件
妙用 12)×(5－2)＝30(平方分米) 答：阴影部分的面积是30平方分米。
妙用 2 运用图示法解决面积问题
2．一个正方形，如果把边长增加2厘米，那么面积就 增加24平方厘米。求原来正方形的面积。 (24－2×2)÷2÷2＝5(厘米) 5×5＝25(平方厘米) 答：原来正方形的面积是25平方厘米。
《运用平移知识解决面积问题》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解平移的基本概念。平移是指将一个图形整体沿着某一方向移动一定的距离，而不改变图形的形状和大小。平移是几何变换中的一种重要方式，它在解决面积问题时有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何运用平移知识计算平移后图形的面积，以及如何求解平面图形在平移过程中的重叠部分面积。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作表现得非常积极。他们通过实际动手操作，更好地理解了平移知识在解决面积问题中的应用。但在小组讨论中，我发现有些学生过于依赖同伴，缺乏独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我计划在今后的教学中，多设计一些个人任务，鼓励学生在小组讨论前先独立思考。
学生小组讨论环节，大家对于平移在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点。但在分享成果时，部分学生的表达不够清晰，逻辑性不强。针对这个问题，我将在今后的教学中加强学生的口头表达和逻辑思维能力训练，例如组织一些演讲活动和辩论赛。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平移性质和面积计算这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平移相为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示平移的基本原理，如使用纸片进行平移，并观察面积的变化。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《运用平移知识解决面积问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算图形面积或解决面积相关的问题？”比如，计算一块土地在平移后的新面积。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平移知识在解决面积问题中的奥秘。
利用平移知识解决面积问题
马瑛张琦填写时间8月28日学科数学年级/册四年级第八册教材版本人教版课题名称第七单元《利用平移知识解决面积问题》难点名称运用平移知识解决简单不规那么图形的面积问题难点分析从知识角度分析为什么难如何使学生体会在变与不变中体验化难为易的思想价值，体会数学知识之间的密切联系。
从学生角度分析为什么难学生抽象思维能力较弱，如何运用平移知识解决简单不规那么图形的面积问题的策略，开展学生的空间观念是难点。
难点教学方法1.通过微课直观学习能利用平移知识将不规那么图形转化为规那么图形并正确解决面积问题。
2.教学环节教学过程导入2、拼图游戏：〔1〕课件：将这个“风车〞图形平移后变换成一个长方形，组织学生观察并思考：什么变了？什么没变？怎么计算长方形的面积？〔2〕课件：将长方形变换成一个正方形，观察并思考：什么变了？什么没变？怎么计算正方形的面积？〔3〕进一步思考：平移可以将不规那么图转化成规那么图形，但什么没变？3、初步揭题：通过平移的方式我们可以变换图形，从而改变它的形状，它能帮助我们解决什么问题呢？今天这节课就来探讨运用平移的知识解决面积问题。
〔板书课题〕知识讲解〔难点突破〕探究新知1、课件直接呈现例4。
明确问题，思考：〔1〕我们会计算什么图形的面积？它与长方形有何不同？怎样计算这个不规那么图形的面积呢？〔2〕你有没有方法把它“变一变〞，变换成为面积不变但形状规那么的什么图形？2、观看微课学习。
3、提出要求，独立解决。
试着用平移的方式变换一下，再数一数、算一算这个图形的面积。
〔发送互动题板〕学生动手操作，体验转换的过程并尝试计算出这个图形的面积汇报：利用平移的方法，把不规那么的图形转化成规那么的图形，直接求长方形的面积。
预设1：你还有不同的转换方法吗？预设二：剪后面再平移；预设三：剪中间再平移；〔3〕比照辨析，加深理解。
什么变了？什么没变？小结：利用图形在平移的过程中大小不会改变的特性，运用剪拼的方法，将不规那么的图形先剪开，再平移，最后拼组成一个规那么的图形，求出面积。
四年级下册运用平移知识解决面积问题人教版12张
六、教学准备： 平板电脑、研学案。
( 3 ) ( 2 ) （2）老师有2元钱最多可以买几种商品？
学生：单位的转化，用线段图分析更清晰……
(1) (3)
课堂练习 求这个图形的周长和面积（每个小正方形的边长 是1cm）。
（5＋4）×2＝18（cm） 答：这个图形的周长是18cm。
探究新知 交流:说一说，从上一题中你学到了什么?不规则图形Fra bibliotek平移 转化
规则图形
面积不变
5
课堂练习 算出这个火箭的面积。
10厘米 厘 米
10×5＝50（平方厘米） 答：这个火箭的面积是50平方厘米。
课堂练习
涂色部分占整个图形的几分之几？
让学生到台上来，边演示边说自己的想法。 3、玩了一天，小丽准备乘出租车回家了。出租车上有数学问题吗？ （2）含有未知数的式子就是方程。 怎样才能做到“随意”而不“刻意”呢？ （1） 要解决什么问题？你想怎样解决？全班完成。 （引导说话如：黑板的面积比电脑屏幕面积大） 看图列方程 三、探究认识面积单位。 （一 ）利用小数加、减法解决问题，体会解决问题的步骤、策略与方法。 （一）知识与技能：
仔细观察图形， 你有什么发现？
探究新知
交流:你能解决这个问题了吗?试一试，并展示你的答案。
下面这个图形的面积是多少?(每个小正方形的边长 为1厘米)。
探究新知 交流:你能解决这个问题了吗?试一试，并展示你的答案。
下面这个图形的面积是多少?(每个小正方形的边长 为1厘米)。
6×4＝24（cm²） 答：这个图形的面积是24cm²。
人教版 数学 四年级 下册
7 图形的运动(二)
平移解决面积问题
三Hale Waihona Puke 练习稳固学生独立完成书上第87页的做一做。
说一说，你是通过怎样的变化，把这个图形变成我们熟悉的图形。然后量一量，算一算。
四、小结提高
今天你有什么收获？
作业：完成书上第88页第3，4题。
后
记
教材分析
教学重点:运用平移的方法解决简单不规那么图形的面积问题。
教学难点:在解决问题的过程中，加深对平移的理解。
板书设计
教学过程设计〔师生活动〕
备注
一、情境引入
出示长方形，学生求周长面积。
长4厘米，宽2厘米。
周长：
面积：
今天我们一起来学习运用平移解决面积问题。
二、协同探索
出例如4情景图〔不规那么的图形〕
长郡雨花外国语洪塘学校电子教案
科 目
班 级
上课时间
课题
第3课时 运用平移知识解决面积问题
教学目标
1、让学生经历自主探究的过程，运用平移的方法解决简单不规那么图形的面积问题，加深对“平移〞这种图形变换方式的理解。
2.在解决简单不规那么图形面积问题的过程中，培养学生迁移、转化的能力，开展空间观念。
3.体会数学知识间的密切联系，感受数学美。
你能试着想方法求出这个图形的面积吗？
学生说自己的想法，合理即可。
1、估一估：1个小格子是1平方厘米，超过半个算1个，少于半个的不算。数出有多少个格子。
2、你能试着将不规那么的图形试着变成我们熟悉的图形吗？
通过观察，发现图形的两头可以拼接起来。所以沿着一条垂线剪开，再拼接起来，变成了一个长方形。
最后计算出这个图形的面积也就是变化后的长方形的面积：4×6=24平方厘米。
巧用平移妙求面积
巧用平移妙求面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT巧用平移妙求面积求解与长方形有关的面积是日常生活、生产中常见的问题之一，解决这类问题有一种巧妙的方法那就是采用平移.通过平移，使分散、零碎的图形得以集中，从而方便运用整体思想进行求解.例1如图1－1是小明家一个长方形花坛，空白部分准备用于种花，种草部分分别是一大一小的正方形.已知大正方形的面积为49平方米，小正方形的面积为9平方米.问种花的面积是多少平方米析解：采用平移，将小正方形向上平移到边缘，如图1－2所以.由已知易得种花部分是长方形，长为大正方形的边长减去小长方形的边长，即7-3=4（米），宽恰好是小正方形的边长3米.因此，种花的面积为3×4=12（平方米）.想一想：如果图形不加处理，解题思路又是怎样的呢例2如图2－1，某小区规划在一个长为AD=40米，宽为AB=26米的长方形场地ABCD上，修建三条宽都是2米的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.问种草区域的面积是多少析解：将图2－1的小路分别沿BA，BC平移到如图2－2所示的位置，则易知种草的长方形的长为40-2×2=36（米），宽为26-2=24（米），所以，种草区域的面积为36×24=864（平方米）.想一想：如果图形不加处理，分别求出三条小路的面积，然后用场地的总面积减去三条小路的面积，求得种草区域的面积.与运用平移来解，感觉怎样例3 如图3－1所示，在一块长为24米，宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路，你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗析解：小路的面积只与小路的宽度和长度有关，与其位置没有关系.可以将路分解成向下和向右分别平移的两部分，平移后如图3－2所示.这时，绿地转化为长22 米，宽18 米的长方形，可求得绿地的面积为：22×18=396 （平方米）.想一想：直接求小路的面积是无法求解的， 那么，本题中将曲折的小路进行平移，意义何在坐标系中求图形的面积图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标.现对这类题目的解法举例说明如下.一、计算三角形的面积例1 如图1所示，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-4，-3），B （0，-3），C （-2，1）.求三角形ABC 的面积.分析：观察图形，在坐标系中读取三角形ABC 的一边的长度，和该边上的高的长度.因为AB ∥x 轴，所以AB 可以作为底边.图3-（1）图3-（2）yB CA O 11 图1解：因为AB=0-（-4）=4，AB 边上的高为h=1-（-3）=4，所以三角形ABC 的面积是：21AB ·h=21×4×4=8. 评注：当两点在平行于x 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y 轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.如果三角形中有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可以直接利用三角形的面积公式求解.例2 如图2所示，在三角形AOB 中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB 的面积.分析：三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角系的特点，可以将三角形的面积转化为正方形EFCD 的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求出此三角形的面积.解：如图2，作正方形EFCD ，则该正方形的面积为EF ·FC=3×3=9.因为三角形AEB 的面积是：21×AE ·EB=21×2×1=1，三角形BFC 的面积是：21BF ·FC=21×2×3=3，三角形ACD 的面积是：21×AC ·AD=21×3×1=23，所以三角形ABC 的面积是：9-1-3-23=27.点评：如果三角形的三边中没有任何一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，则应将其进行转化为几个规则图形的面积和或差.二、计算四边形的面积E FD图2例3 如图3，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A（-2，2），B （-3，-3），C （3，3），D （2，1），求四边形ABCD 的面积.分析：四边形ABCD 不是规则的四边形，要求其面积，可将该四边形的面积转化为两个直角三角形和一个梯形的面积的和来计算.解：作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，则四边形ABCD 的面积=三角形ABE 的面积+梯形AEFD 的面积+三角形DFC 的面积，因为三角形ABE 的面积为：21BE ·AE=21×1×5=25，梯形AEFD 的面积为：21（DF+AE ）·EF=21×（4+5）×4=18，三角形DFC 的面积为：21FC ·DF=21×1×4=2，所以四边形ABCD 的面积为：25+18+2=2221. 点评：解决平面直角坐标系中的四边形的面积问题，一般思路是将不规则的图形转化为规则的图形，再利用相关的图形的面积公式求解.。
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5.求这个图形的周长和面积（每个小正方形的边长是1cm）。
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六（2）班的总人数一定，满意的人数和 比较满意的人数成正比例吗？为什么？
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人教版小学数学四年级下册
图形的运动（二）
一、请你说说每个图形的面积是多少。
二、探索新知
这个图形的面积是多少？
数方格
平移
平移
平移
回顾一下这道题，我们利用了哪种运动方式，使图形 发生了怎样的变化，从而求出了不规则图形的面积？
割--平移—补
不规则图形
转化 面积不变
规则图形
•
割 补 法
割补法是计算平面几何图形面积的推导方法，也 是一种思考方法。在面积和体积学习中，都有着广泛 的应用。 割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填 补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使 其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推 导和运用。平行四边形通过割补可转化为长方形（或 正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通 过割补可转化为近似长方形等等。
利用图形的 运动试一试。
.. . ..源自.（5＋4）×2＝18（cm） 答：这个图形的周长是18cm。
5.求这个图形的周长和面积（每个小正方形的边长是1cm）。
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（5＋2）×2＝14（cm² ） 答：这个图形的面积是14cm² 。
放眼一观
这堂课你有哪些收获？ 你对自己的表现满意吗？
三、知识运用
1. 涂色部分占整个图形的几分之几？
( 1 ) ( 3 )
( 1 ) ( 2 )
( 1 ) ( 3 )
这些都是不规则图 形，怎么想呢？
可以用图形运动 的知识试一试。
3、求下图中阴影部分的面积。 单位：米
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50 ×30＝1500(平方米)
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