第四章 偏微分方程的有限差分法
有限差分法的原理与计算步骤
有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。
该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。
二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。
通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。
2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。
一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。
3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。
根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。
4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。
求解得到各个离散点的解。
5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。
将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。
三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。
2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。
3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。
然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。
2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。
偏微分方程的数值方法
偏微分方程的数值方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究的重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域中。
由于一些复杂的PDEs难以找到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将介绍偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是解偏微分方程最常用的数值方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差商来近似，将空间离散成若干个小区间和时间离散成若干个小时间步长。
通过求解离散化后的代数方程，可以得到原偏微分方程的数值解。
以二维的泊松方程为例，偏微分方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中，u(x, y)为未知函数，f(x, y)为已知函数。
我们可以将空间离散成Nx × Ny个小区间，时间离散成Nt个小时间步长。
利用中心差分法可以近似表示导数，我们可以得到离散化的代数方程组。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种重要的数值解PDEs的方法。
它将求解区域离散化成一系列的单元，再通过插值函数将每个单元上的未知函数近似表达。
然后，利用加权残差方法，将PDEs转化成代数方程组。
在有限元法中，采用形函数来近似未知函数。
将偏微分方程转化为弱形式，通过选取适当的形函数和权函数，可以得到离散化后的代数方程组。
有限元法适用于求解各种各样的偏微分方程，包括静态和动态、线性和非线性、自由边界和固定边界等问题。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于特殊函数（如正交多项式）的数值方法，用于解PDEs。
谱方法在求解偏微分方程时，利用高阶连续函数拟合初始条件和边界条件，通过调整特殊函数的系数来近似求解解析解。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于各种偏微分方程求解。
有限差分法PPT课件
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
偏微分方程的有限差分法
偏微分方程的有限差分法
有限差分法：是一种数学计算概念，是指在计算过程中，以差分的形势来代替微分，从而使整个计算过程具有有限差分法的出发点，以此达到微分议程和积分微分方式数值解的一种计算过程。
微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
3、逼近求解。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程（Leon，Lapidus，GeorgeF。
Pinder，1985）。
计算电磁学-第4章-有限差分法
同样对微分方程的解y(x)在点(xn,yn)进行泰勒展开
yn1 yn hf ( xn , yn )
1 ' 2 1 '' 3 y ( xn 1 ) y ( xn ) f n h f n h f n h 2! 3!
比较上面两式，只要它们前面项的系数尽可能多的相等，就 保证了截断精度。
1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
f ( x) f ( x h) f ( x)， h x
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
f ( x) f ( x h) f ( x) f ( x) x h
龙格-库塔法
选取α、β、ω系数，使两式项的系数相等
1 fn , 2 f , 3 f , 4 f ,
' n '' n ''' n
如果该关系式能够一直维持到第m阶仍能成立， 但m＋1阶不再成立，就称为m阶龙格-库塔法
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
CST粒子仿真
Pierce Gun
ＭＡＧＩＣ
cem@
dy f ( x, y ) dx y x x 0 y0
y( x) y0 f (t , y(t )dt
x0
x
欧拉近似法在函数图上用阶梯的折线代替曲线
f(x) y(x)
yn+1 yn y(x n+1)1) f(n+
有限差分法
第四章有限差分方法4.1引言有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分方程的方法。
物理学和其他学科领域的许多问题在被分析研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微分方程的求解问题。
一般说来，处理一个特定的物理问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。
有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。
在有限差分方法中，我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变量离散取值后对应的函数值。
但是从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。
因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值插值计算来近似得到。
这种方法是随着计算机的诞生和应用而发展起来的。
其计算格式和程序的设计都比较直观和简单，因而，它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组成部分。
有限差分法的具体操作分为两个部分：(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； (2)求解差分方程组。
在第一步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的分割方式。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网络线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点；反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。
有限差分法的差分格式：一个函数在x 点上的一阶和二阶微商，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分来表示。
如对一个单变量函数f(x)，x 为定义在区间[a,b]的连续变量。
以步长h=Δx 将[a,b]区间离散化，我们得到一系列节点x = a , x = x + h , x = x + h = a + 212132Δx , ..., x = x + h = b , 然后求出 f(x)在这些点上的近似值。
偏微分方程的数值求解方法
偏微分方程的数值求解方法偏微分方程是描述自然现象的重要工具，例如描述热传导、电磁波传播、流体运动等。
然而大多数情况下，这些方程很难通过解析方式求解，因此需要数值求解方法。
本文将介绍偏微分方程的数值求解方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值求解方法。
它将原本连续的区域离散化，将偏微分方程转化为差分方程。
例如对于一维热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中 $u(x, t)$ 是温度，$\alpha$ 是热扩散系数。
我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，时间分成 $M$ 个步骤。
则有：$$u_i^{m+1} = u_i^m + \frac{\alpha\Delta t}{\Deltax^2}(u_{i+1}^m - 2u_i^m + u_{i-1}^m)$$其中 $u_i^m$ 表示在位置 $i\Delta x$，时间 $m\Delta t$ 时的温度值。
这是一个显式求解方程，可以直接按照时间步骤迭代计算。
不过由于它的误差可能会增长，因此需要小心选择时间步长和空间步长，以保证误差不会过大。
二、有限元法有限元法是一种更加通用的偏微分方程数值求解方法。
它将连续区域离散化成一些小段，称为单元。
然后针对每个单元，将其上的偏微分方程转化为局部插值函数的方程求解。
例如对于一维波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，用有限元方法将每个网格分成若干个单元。
则对于每个单元 $i$，我们可以得到一个局部插值函数 $u^i(x, t)$ 来近似解该单元上的偏微分方程。
这里不再赘述该函数的形式。
另外，我们还需要满足界面上的连续性和斜率匹配条件，以保证整体解是连续的。
科学计算中的偏微分方程有限差分法
科学计算中的偏微分方程有限差分法
偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，例如流体力学、电磁学和量子力学等。
然而，解析解通常只能得到一些简单的特例，因此需要使用数值方法来求解偏微分方程。
有限差分法是求解偏微分方程的一种常用数值方法。
它的主要思想是将偏微分方程中的连续空间变量离散化为有限个离散点，然后使用差分近似求解。
这样得到的数值解与真实解的误差随着离散化的细度逐渐减小，可以得到足够精确的近似解。
有限差分法的基本步骤包括网格生成、差分近似、边界条件处理和迭代求解。
其中，网格生成是将空间变量离散化的过程，差分近似是将偏微分方程中的微分算子用有限差分算子替代的过程，边界条件处理是将问题的边界情况考虑进来的过程，迭代求解是使用差分方程求解数值解的过程。
有限差分法在科学计算中有着广泛的应用，例如在流体力学中求解Navier-Stokes方程、在地球物理学中求解地震波方程、在量子力学中求解薛定谔方程等。
通过有限差分法，科学家可以得到更加精确的数值解，进一步深入理解自然界的规律。
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4.2.1一维热传导方程的差分解法
t
x
0Байду номын сангаасxl
为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初 始条件。 定解条件：边界条件和初始条件。 定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。
f 2 x
2
f ( x 2h ) 2 f ( x h) f ( x ) 2 h
2 2 3 3
df h d f h d f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx
一阶向前差商：
2 f x 2
d2 f 2 dx
数学基础 泰勒（Taylor）展开
这样就把求解区域内连续分布函数离散化成 求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的 微分方程变为一组相应的差分方程，进一步可 以求解离散节点上的函数值。
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 3/75
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
差商公式的构造
利用泰勒级数展开定义差商
df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df 2h d f 2h d 3 f f ( x 2h) f ( x ) 2h 2 3 dx 2! dx 3! dx
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 14/75
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
u u0 (r , t )
(1) (2)
二阶向后差商: 式(2)-式(1)X2
f 2 x
2
f ( x) 2 f ( x h) f ( x 2h) 2 h
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 7/75
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
计 算 物 理 学
误差为O(h)差商公式：
df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx
Harbin Institute of Technology Yangkun
kyang@
2/75
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
有限差分解法
差分近似代替微分，差商近似代替微商
df f x dx 2 2 f d f 2 dx 2 x
收敛性： 当步长h−→0时，差分方程的解趋向于微分方 程的解。 稳定性： 误差在运算过程中不会失控，即累计误差不 会无限增加。
Harbin Institute of Technology Yangkun
kyang@
12/75
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅 适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生 的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物 理过程的具体特征。 从数学上讲，没有限制的微分方程会有 无穷多个解，不能构成一个定解问题。 因此，要想解决实际的物理问题，必须 知道一个连续体或物理场的初始状态和边界 受到的外界影响。
一阶向前差商：
一阶向后差商：
f f ( x h) f ( x) x h f f ( x) f ( x h) x h
kyang@ 5/75
Harbin Institute of Technology Yangkun
4.1 有限差分法原理
计 算 2 2 3 3 物 f ( x h) f ( x) h df h d f h d f dx 2! dx 2 3! dx3 理 2 学 2
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
由热力学傅立叶定律得： 单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于 该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传 递的方向则与温度升高的方向相反。 热流量：
Q u kS t n
K: 热传导系数
单位面积上的热流量：
Q u q k S t n
df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx
一阶向后差商：
2 f x 2 d2 f 2 dx
f f ( x 2h) 4 f ( x h) 3 f ( x) x 2h
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 6/75
4.1 有限差分法原理
2 2 3 3 df h d f h d f 计 f ( x h) f ( x ) h 2 3 算 dx 2! dx 3! dx 2 3 物 2 3 2 h 2 h df d f d f 理 f ( x 2 h) f ( x ) 2 h 2 3 dx 2! dx 3! dx 学
热传导问题：边界Г上温度分布已知 2 第二类边界条件（诺依曼Neumann）
u q0 (r , t ) n u u u u n i n j n n x y
n表示Γ的外法线 q0定义在Γ上的已知函数
热传导问题：通过边界Г单位面积上的热流量已知
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 15/75
u d cu au f t
Harbin Institute of Technology Yangkun
kyang@
19/75
4.2 热传导方程的差分解法
计 算 一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程： 物 2 0t T u u 理 2 学
2 2 3
df f ( x 2h ) f ( x ) 2h dx
2h
d f 2! dx 2
2
2
2h
d f 3 3! dx
4/75
3
3
Harbin Institute of Technology Yangkun
kyang@
4.1 有限差分法原理
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 18/75
4.2 热传导方程的差分解法
计 算 物 理 学
物理学中对热传导、热辐射以及气体扩散现 象的描述，常可以归结为同一类型的抛物线型方 程，通常采用二阶偏微分方程描述，这类方程统 称为热传导方程。
f f ( x 2h ) 4 f ( x h ) 3 f ( x ) x 2h
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 8/75
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
2 f x 2
f ( x ) 2 f ( x h ) f ( x 2h ) h2
抛物线形 不可逆过程 热传导方程
u d cu au f t
双曲型 可逆过程 波动方程
2u d 2 cu au f t
椭圆形 平衡过程 位势方程
cu au f
上式中a,c,f以及未知函数u为定义在求解区域上的实（复）函数
二阶中心差商：
2
2
3
3
f 2 x
2
o
f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) 2 h
kyang@ 11/75
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4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
差分格式的收敛性和稳定性
计 算 物 理 学
q u u0
单位面积上的热流量：
α：热交换系数 u：边界温度
u k u u0 n
Q u q k S t n u u k u0 n
对于实际物理问题，边界条件往往是很复杂的， 可能是一种或不同边界区域几种边界条件的组合， 甚至不能用这三类边界条件描述。
误差为O(h2)差商公式：
(1)
3
df 2h d f 2h d 3 f f ( x 2h ) f ( x ) 2 h 2 3 dx 2! dx 3! dx
(2)
二阶向前差商：式(2)-式(1)X2
f 2 x
2
f ( x 2h) 2 f ( x h) f ( x) 2 h
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 13/75
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
偏微分方程的定解条件 初始条件：与时间相联系
u t 0 f1 ( x , y , z ) u f 2 ( x, y , z ) t t 0
Harbin Institute of Technology Yangkun kyang@ 9/75
4.1 有限差分法原理
计 算 物 理 学
df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx df h 2 d 2 f h3 d 3 f f ( x h) f ( x ) h 2 3 dx 2! dx 3! dx