广义高斯函数及其积分问题
关于高斯函数［ !］，在很多数论书上都有详 尽的论述［’，(］，本 篇 重 点 讨 论 广 义 高 斯 函 数 及 其 积分问题 % 为了引出广义高斯函数，先略提一下高 斯函数 %
所谓高斯函数就是假定 ! 是实数，我们用记 号［ !］表示不大于 ! 的最大整数，叫做高斯函数 %
由高斯函数的定义立刻可以得到如下简单性 质：
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#
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利用（!）式 计 算 广 义 高 斯 函 数 的 积 分 极 为 方
便，例如吉林大学编《数学分析》教材下册 !’’ 面
第 # 题用此公式解就很方便 (
! 求 ［ % $ &］*%*& 的值 ( )" %"" )" &""
在 ," 上［ ! ’ "］# , ，在 ,+ 上［ ! ’ "］# " ，…，在 ,$&" 上［ ! ’ "］# $ & + ，在 ,$ 上［ ! ’ "］ # $ & " ，在 ,$’" 上［ ! ’ "］# $ ，…，在 ,+$&" 上 ［ ! ’ "］# + $ & + ，在 ,+$ 上［ ! ’ "］# + $ & " ，
+ 某些广义高斯函数的积分问题
高斯函数［ !］的积分 !
对于高斯函数［ !］的积分，由定义知高斯函
数是一个具有第一类间断点的函数，只要在积分
区间内有有限个这类间断点，则根据定积分的可
积性知函数［ !］在积分区间上可积，下面来求如
下积分 !
$
! 例 + 求积分 ［ !］-!（ $ 为有限自然数）! ,
且每 个 小 区 域 的 面 积 分 别 为 " ， . ， 1 ，…， +++
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2.期刊论文 曾宪华.罗四维.王娇.赵嘉莉.ZENG Xian-Hua.LUO Si-Wei.WANG Jiao.ZHAO Jia-Li 基于测地线距
相似文献(10条)
1.期刊论文 钟斌.战仁军.ZHONG Bin.ZHAN Ren-jun 基于广义高斯函数的二阶非线性系统滑模控制 -计算机仿
真2010,27(4)
为了减小被控对象跟踪参考信号在边界的跟踪误差,针对不确定二阶非线性系统,并考虑到模糊控制中控制灵敏度对隶属度函数形状的要求,利用 广义T-S模糊模型中广义高斯隶属函数本身对控制灵敏度的自适应性和广义T-S模糊系统,设计了自适应参数调节律和自适应模糊滑模控制器.克服和 补偿了系统的建模误差,在不加监督控制和有界控制的情况下,有效地改善了控制系统在参考信号边界的跟踪性能.比较采用高斯隶属函数的T-S模糊 模型,基于广义T-S模糊模型的控制系统在闭环稳定的前提下使跟踪误差收敛到了一个更小的邻域.对倒立摆二阶子系统的仿真,实验表明跟踪性能改 善的效果是明显的,证明控制器的设计是合理和有效的.
是有趣的，但更加绝妙的结论还在于广义高斯函
数［（+ !，"）］积分的几个公式，下面来推导这几
个公式 !
# 例 1 求 ［ ! ’ "］-!-" ! ,$ !$ $ ,$ "$ $
解 首先将区域 ,：, $ ! $ $，, $ " $ $ 分 为 + $ 个小区域，,%：% & " $ ! ’ " - %，! . ,， " . ,，% # "，+，.，…，+ $
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利用上述结果很而求出斜坡函数 ! &［ !］的
积分，即
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上述关于广义高斯函数［（+ !）］的积分结论
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# "+（ 01 ’ 02）! 其中 01 # " / . ’ + / 1 ’ . / 2 ’ … ’
’,
图法为平行线交点法 ! 例 " 作高斯函数［ !］的图象 ! 按作图步骤，先作出基函数 " # ! 的图象，然
后用平行线交点法确定平行线段的端点，连接这 些端点所 得 一 组 平 行 线 段 即 为 所 作 的 高 斯 函 数 ［ !］的图象 !
可类似地作出一些基本初等函数的广义高斯 函数的图象，如［#$! ］，［% !］，［&’$! ］，［()&! ］，… ! 尤其值得一提的广义高斯函数［&’$*］等图象十分 特别 !
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广义高斯函数及其积分问题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
郭文秀， 朱永银， 张克新 武汉职业技术学院,基础部,湖北,武汉,430074
郧阳师范高等专科学校学报 JOURNAL OF YUNYANG TEACHERS COLLEGE 2002，22(3) 0次
参考文献(2条) 1.钱吉林 高等数学辞典 1999 2.徐利治 现代数学手册:经典数学卷 1999
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对于广义高斯函数［（, %）］的讨论只是一个
开始，得出了上述许多有趣的结论，如果进一步地
进行研究，还会获得更多、更重要的结论 (
［参考文献］
［!］钱吉林，等 ( 高等数学辞典［-］( 武汉：华中师范大学出 版社，!... (
［"］徐利治 ( 现代数学手册，经典数学卷［-］( 武汉：华中科 技大学出版社，!... (
解 将 " ! " 代入公式（!）便有：
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例#
! 求
［ %" $ &"］*%*& 的值 (
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%" $ &"" "
解 将区域 )：% ( )，& ( )，%" $ &" " " 分
为 " 个小区域，)*：% ( )，& ( )，* # ! " %" $ &"
如果假定 （) !），(（ !）为 * 上的连续函数，则 立刻可以将高斯函数的有关性质推广到广义高斯 函数中来 %
’）［（) !）］! （) !）"［（) !）］# ’ %
（) !）%［（) !）］# !（# !! ! ’）% (）［（) !）# $］%［（) !）］# $ ，$ 为整数 %
广义积分的计算方法
广义积分的计算方法广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间上的积分进行推广，可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解电荷的总量等问题。
在实际问题中，广义积分的计算方法非常重要，下面我们将介绍一些常见的广义积分的计算方法。
首先，我们来看一下对于无界函数的广义积分。
对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分，可以通过极限的方法来进行计算。
具体来说，如果极限lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx存在且有限，则称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx收敛，记为∫(a)^+∞f(x)dx=lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx。
否则，称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx发散。
在计算无界函数的广义积分时，我们需要先对函数进行适当的变形，使得积分变为有限的形式，然后再进行极限的计算。
其次，对于在有限区间上发散的函数，我们可以通过分段积分的方法来进行计算。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上有一个或多个无界点，那么我们可以将积分区间分成若干个有界区间，然后分别计算每个有界区间上的广义积分，最后将这些广义积分的极限相加得到原广义积分的值。
另外，对于奇异点的处理也是广义积分计算中需要注意的问题。
在计算广义积分时，如果积分区间上存在奇异点，我们需要先对奇异点进行适当的处理，例如使用柯西主值等方法，然后再进行积分的计算。
最后，需要注意的是，在计算广义积分时，我们还需要考虑函数的性质、积分区间的选择等因素。
有时候，我们需要对函数进行分解、变形，以便于进行积分的计算。
同时，选择合适的积分区间也是非常重要的，可以通过变量替换、对称性等方法来简化积分的计算。
总之，广义积分的计算方法涉及到许多微积分的知识和技巧，需要我们对函数的性质有深入的理解，熟练掌握各种积分计算方法。
通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用广义积分的计算方法，解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
《D55广义积分》课件
丰富了数学理论：D55广义积分是数学理论的重要组成部分，丰富了数学学科的内涵。
推动了数学发展：D55广义积分的应用推动了数学的发展，促进了数学理论的完善。
提高了数学应用价值：D55广义积分在数学中的应用提高了数学的应用价值，使其在 科学研究、工程技术等领域发挥重要作用。
促进了数学与其他学科的交叉融合：D55广义积分的应用促进了数学与其他学科的交 叉融合，推动了学科间的交流与合作。
光学中的D55广义 积分：用于描述光 在介质中的折射和 散射
光学中的D55广义 积分：用于描述光 在介质中的吸收和 辐射
光学中的D55广义 积分：用于描述光 在介质中的干涉和 衍射
量子力学中的D55广义积分：用于计算量子系统的能量和波函数 量子力学中的D55广义积分：用于求解薛定谔方程 量子力Байду номын сангаас中的D55广义积分：用于计算量子系统的动量和角动量 量子力学中的D55广义积分：用于计算量子系统的自旋和磁矩
数学：D55广义 积分是数学中重 要的积分公式， 广泛应用于微积 分、概率论、统 计学等领域。
物理：D55广义 积分在物理中用 于求解各种物理 问题，如力学、 电磁学、热力学 等。
工程：D55广义 积分在工程领域 中用于求解各种 工程问题，如结 构力学、流体力 学、热力学等。
经济：D55广义 积分在经济学中 用于求解各种经 济问题，如金融 学、经济学、管 理学等。
D55广义积分在物 理中的应用
计算物体的运动轨迹 求解物体的受力情况 计算物体的动量变化 求解物体的能量变化
麦克斯韦方程组：描述电磁场与电荷、电流之间的关系 电磁波：电磁场在空间中的传播形式 电磁感应：电流在磁场中受到的力 电磁场与物质相互作用：电磁场对物质的作用和影响
数值分析课件高斯求积公式
1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0
高斯积分与积分换元法
高斯积分与积分换元法高斯积分和积分换元法是数学中常用的两种方法，用于求解复杂的积分问题。
它们的应用广泛，能够在很多领域中解决各种复杂的问题。
在此文章中，我将介绍高斯积分和积分换元法的基本概念和原理，并通过数学公式和实例进行说明。
首先，让我们来了解高斯积分。
高斯积分是一类特殊的形式，也被称为高斯型积分或高斯-鲁莽积分。
它的一般形式表示为：∫e^(-x^2)dx其中，e为自然对数的底数，x为积分的变量。
高斯积分在统计学、概率论、量子力学等领域有着重要的应用。
高斯积分没有一个确定的解析表达式，但可以通过一系列数值方法进行逼近计算。
高斯积分可以通过泰勒级数展开、数值积分方法等方式来计算。
在高斯积分的应用中，常见的一个重要特性就是它在负无穷到正无穷的区间上是对称的。
这使得高斯积分计算过程中可以进行变量替换，从而简化积分过程。
这就引出了我们接下来要讨论的积分换元法。
积分换元法是一种用于简化积分的方法，通过变量替换将原积分转化成更容易计算的形式。
积分换元法的基本原理是希望将原积分的被积函数替换成新的变量关于新的因变量的表达式。
这样，在新的变量下积分可以更简单地计算出来。
积分换元法可以通过一系列的步骤来进行。
首先，选择合适的变换，将原积分中的变量替换成新的变量。
然后，计算出新的被积函数以及对应的微分。
接着，将原积分变为新的积分，并将新的变量的取值范围与原积分变量的取值范围进行匹配。
最后，计算新的积分即可得到结果。
在使用积分换元法的过程中，我们需要根据具体问题选择合适的变量替换。
通过选择适当的变量替换，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的形式。
常见的变量替换包括三角函数的替换、指数函数的替换、倒数的替换等等。
不同的问题需要选择不同的变量替换，并根据问题的特点灵活运用。
举个例子来说明积分换元法的使用。
考虑以下积分问题：∫(3x+2)^5dx我们可以通过积分换元法来简化计算。
首先，令 u = 3x+2，然后计算出 du/dx = 3。
06.6-广义积分与Г-函数
.
故原广义积分发散.
第18页
例11 计算广义积分 0
解
3
dx ( x 1)
2 3
.
x 1瑕点
0 0 1
1
3
dx ( x 1) dx ( x 1) dx ( x 1) 3 dx
2 3 2 3 2 3
1 0
dx ( x 1)
1
2 3
3 1
第14页
设函数 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上仅有瑕点 x a , x b . 如果广义积分 a f ( x ) dx 和 c f ( x ) dx 都收敛，则 定义
c b
a
b
f ( x )dx
a
c
f ( x )dx f ( x )dx
c
b
lim
1 0
第6页
例 3 证明广义积分 当 p 1时 发 散 .
1 x
p
1
dx 当 p 1 时 收 敛 ，
证 ( 1 ) p 1 , 1
( 2 ) p 1,
1 x
p
dx
1
1 x
dx ln x 1 ,
1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 当 p 1时广义积分发散.
0 a
b
f ( x ) dx
其中函数 f ( x ) 在 b 的左邻域内无界
x b 称为 f ( x ) 的瑕点
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
第13页
设函数 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上仅有内部的瑕点
广义高斯函数积分
广义高斯函数积分广义高斯函数积分是一种数学函数的积分形式，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
广义高斯函数积分可以用来描述复杂的波动现象、概率分布和信号处理等问题。
本文将介绍广义高斯函数积分的定义、性质和应用，并探讨其在实际问题中的意义。
我们来定义广义高斯函数积分。
广义高斯函数积分是指形如以下形式的积分：∫exp(-ax^2)dx其中，a是常数，x是变量。
这个积分是一个特殊的积分形式，被称为广义高斯函数积分。
广义高斯函数积分具有以下几个重要的性质。
首先，积分结果是一个实数。
其次，当a大于零时，积分的结果是一个无穷大的实数。
当a等于零时，积分结果是一个常数。
当a小于零时，积分结果是一个开方函数。
这些性质使得广义高斯函数积分在概率分布、信号处理和波动现象等领域中得到了广泛的应用。
广义高斯函数积分在概率分布中的应用非常重要。
概率密度函数通常用广义高斯函数来描述，而积分就可以得到概率分布函数。
概率分布函数描述了随机变量取值落在某个区间的概率。
通过对广义高斯函数积分的计算，可以得到不同的概率分布函数，如正态分布、二项分布和泊松分布等。
这些概率分布在统计学和金融学等领域中有着广泛的应用。
广义高斯函数积分在信号处理中也起着重要的作用。
信号处理是指对信号进行采样、滤波和重构等处理的过程。
广义高斯函数积分可以用来描述信号的频率特性和时域特性。
通过对广义高斯函数积分的计算，可以得到信号的功率谱密度和频谱等重要参数。
这些参数对于信号处理和通信系统设计具有重要意义。
广义高斯函数积分在波动现象中也有广泛的应用。
波动现象是指波的传播和干涉等现象。
广义高斯函数积分可以用来描述波的传播和干涉过程。
通过对广义高斯函数积分的计算，可以得到波的幅度和相位等重要参数。
这些参数对于光学、声学和电磁学等领域的研究具有重要意义。
广义高斯函数积分在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
它可以用来描述复杂的波动现象、概率分布和信号处理等问题。
高斯求积公式及常微分方程初值问题
式
1
f ( x) 1 x
2
1
dx
f (x n 1
k 0
n
k
)
称为 Gauss-Chebyshev 求积公式. 求积余项为
2 R 2 n 2 f 2 (2n 2)!
( 2 n 2)
( )
1 1
例 9.9 计算 1
1
x6 1 x
2
dx
(7) 6 f ( x) 0 , 故 取 四 点 f ( x ) x 解:此处 ,由于
ex
5 3.97746263
准确值
1
ex 1 x2
1
dx 3.97746326 1
3.Gauss-Laguerre(拉盖尔)求积公式
x [ a , b ] [ 0 , ) ( x ) e 设 ， ，对应正交多项式
n d x n x L ( x ) e ( x e ) .由此构造的求积公式 n n 族为 dx
Gauss-Chebyshev 求积公式可计算出此积分准 确值.
2k 1 xk cos( ) 8
1
1
6 6 6 3 5 7 dx cos cos cos cos 2 4 8 8 8 8 1 x
由对称性不妨设 x1 x2 ，解得
A1 A2 11 1 935 1 935 x x 2 24 , 1 2 110 , 2 110
此时所给求积公式为 Gauss 型，其代数精度达到了 3 次.
Gauss 型求积公式 定理 9.3 对插值型求积公式(*)， 结点 x0 ,, xn 是 Gauss 点的充分必要条件为：
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
高斯函数
平顶山学院本科毕业论文（设计）平顶山学院本科毕业论文（设计）- 1 -前言函数()[]f x x =早在十八世纪就为“数学王子”高斯所采用，因此，()[]f x x =得名为高斯函数．实际上高斯函数虽然定义简单，但它的应用却相当的广泛．高斯函数是一个常用的函数．在离散数学中，要用到高斯函数；在计算机算法分析中，常常用到高斯函数；在微积分中，也经常看到高斯函数的身影．然而与高斯函数最密切相关的就是竞赛数学了．为什么这样说呢?首先，高斯函数的定义域为全体实数，值域为全体整数．而数论研究整数性质的比较多，因而我们可以利用数论中的定理，公式来解决有关高斯函数的问题．数论题通常又是竞赛数学的压轴题，由此可见，高斯函数在竞赛数学中的重要地位；其次，高斯函数又与含阶乘的整除问题密切相关，这表明高斯函数又与组合数学息息相关．组合数学是数学竞赛的重要组成部分，所以，高斯函数在数学竞赛中的重要地位不容忽视．此外，课本中没有对高斯函数进行专门的讲解，但高斯函数的定义容易理解，做为竞赛题比较灵活，横跨课本，容易变通，尤其是利用高斯函数可以编出许多方程与不等式，它们是小学，中学乃至大学数学竞赛的重要组成部分．因此，本论文中主要探讨高斯函数在数学竞赛中的广泛应用．下面，我举两个例子简单的说明：例1 解方程[]33x x -= (1957年 原苏联)．解 根据题分析易知0x >.若0x ≤则30x ≤，[]0x ≤，且[]30x x -≤则原方程无实数解.由性质[]{}x x x =+知[]{}x x x =-,将此式代入原题可得{}33x x x -=-．注意{}01x ≤<，两式联立便可得出()2213x x <-≤且0x >, 解 不等式组很容易就得出12x <<，所以[]1x =，代入原方程知3x =4，x例2［１］ 证明方程[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++=没有实数解． 证明 这道题从证明很难入手，在数学的思维中，解决这类问题，我们常采用反证法．假设方程有实数解x n a =+，,01n Z a ∈≤<.于是[]x n =，[]2x =高斯函数在数学竞赛中的应用- 2 -[]22n a +，[][]444x n a =+，[][]888x n a =+，[][]161616x n a =+，[]3232x n =+ []32a ．代入原方程化简、变形得到[][][][][][]24816321234563a a a a a a n +++++=-由于01a ≤<,因而[]01ka k ≤≤-,k Z ∈．故有0≤12345-63n ≤1+3+7+15+31=57.得1228863≤n ≤1234563,即195.04…≤n ≤195.95….与n 是整数矛盾，所以假设不成立，即原方程无实数解．由此可见高斯函数是一类重要的数论函数，尤其是高斯函数与数学竞赛息息相关，这就要求我们要深刻理解高斯函数的基本性质，掌握解决高斯问题的常用方法．为此，本文首先列举出了一些高斯函数的基本性质；其次，归纳和总结了解决高斯函数问题的常用方法;最后对高斯函数进行了进一步的探讨．平顶山学院本科毕业论文（设计）- 3 -第一章 高斯函数的基本知识1.1 概念定义 函数[]x 与{}x 是对于一切实数都有定义的函数，函数[]x 的值为不大于x 的最大整数；则()[]f x x =称为高斯函数，又称为取整函数．函数{}x 的值是[]x x -，{}x 叫做x 的小数部分．例 []3π=，[]2e =，[]4π-=-，203⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，315⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦； 3255⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭，{}0.14159...π-=，0.414...=，{}0.95840...π-=函数图像 []y x = 的定义域为R ， 值域为Z ；{}y x = 的定义域为R ，值域为[)0,1．图像如图1所示，{}y x =是以1为周期的周期函数．如图22.2 性质[1]由定义立即可得出函数[]x 与{}x 的基本性质．对任意的实数x ，y 有高斯函数在数学竞赛中的应用- 4 -甲 []{}x x x =+,且01x ≤<.乙 [][]11x x x x -<≤<+.丙 x y ≤，有[][]x y ≤．丁 [][]n x n x +=+ n Z ∈．戊 若0,0x y ≥≥,则[][][]xy x y ≥.己 对任意正整数n 和任意实数x ,有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 庚 [][][]1x x Z x x x Z⎧-∈⎪-=⎨--∉⎪⎩ ．辛 若,a b 是任意两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 壬 (1) [][][][][]1x y x y x y +≤+≤++，其中等号有且仅有一个成立；(2) [][][][]1x y x y x y -≤-≤-+，其中等号有且仅有一个成立；(3) [][][][][]22x y x y x y +≥+++；平顶山学院本科毕业论文（设计）- 5 -第二章 数学竞赛中解决高斯函数问题常用方法解决有关高斯函数的问题，不仅要了解高斯函数的定义、性质，而且要了解 解决高斯函数问题的常用方法．在此根据题目自身的特点归纳和总结了几种常用的解决高斯函数问题的方法．2.1 定义（或性质）法例1对于一切实数x ， 有()[]f x x =．计算：()()()0.31 1.3___f f f -++=；若*,,3n n n f n N S a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭为数列{}n a 的前n 项和，则30___S =． 分析 由高斯函数[]x 的定义第一小题不难解决，答案为1．第二小题把高斯函数和数列联系起来，由33n n n a f ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦知1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，333a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1=,4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,5513a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,663a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2=，…,于是有， 300213233343...9310145S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=．本题主要考察了对高斯函数定义的理解，简单易懂，我们不再深入研究．例2 (2008年上海市TI 杯高二年级数学竞赛)求出所有的正整数使得692345n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 分析 看到这个问题如果我们单从题出发，按照常规思路来解得话会有点难度，数学问题中如果直接不好得出答案，不妨转换一下思想，从侧面来解决问题．解 由性质乙可知，1222n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1333n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1444n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦，1555n n n ⎡⎤-<≤⎢⎥⎣⎦， 由此得 4234523452345n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-<+++≤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦高斯函数在数学竞赛中的应用- 6 - 化简可得423452345n n n n n n n n +++-<69≤+++最终我们可得出5357n <<．于是54,55,56n =，经检验55n =满足题意，故满足题意的正整数解为55n =．解答本题的关键是利用高斯函数的性质，先确定n 的范围，再代入原方程，求出符合题设条件的正确答案.2.2 反证法例3[2] 求证：不存在实数x ，使得[][][][][]24816307x x x x x ++++=．分析 要证明方程无实数解，常用反证法，我们可利用[]x 的性质，通过估计的方法来导出矛盾．解 由于[][][][][]248162481631x x x x x x x x x x x ++++≤++++=若原方程有解，则一定有31307x ≥即30731x ≥ 当10x ≥时，[][][][][]2481610204080160310307x x x x x ++++≥++++=> 即x 必须小于10． 当3071031x ≤<时， [][][][][]()()()()()248161012014018011601305307x x x x x ++++<-+-+-+-+-=<所以对于一切实数x ，原方程都不能成立，即原方程无解．2.3 换元法例4 [2]解方程[]13222x x +⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦． 分析 解决有关方程类型题的时候，直接从题本身出发不容易得出答案，我们可采用换原法，将问题转化为简单的问题．解 可设12x n +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]32x m -=则原方程可化为平顶山学院本科毕业论文（设计）- 7 -2m n += (1) 由定义可知，112x n n +≤<+，即 2121n x n -≤<+ (2)及321m x m ≤-<+，即12m -＜x ≤32m - (3) 可见，原方程的解均满足(1)、(2)、(3)中的x ．为此，设法求出的整数解(1)，事实上，由(2)、(3)得12123212m n m n ⎧-<+⎪⎪⎨-⎪-≤⎪⎩ 即4045n m n m +>⎧⎨+≤⎩，故045n m <+≤，又由,m n 是整数知 4n m +=1,2,3,4,5 (4)将(1)，(4)联立得两整数解02n m =⎧⎨=⎩ 或11n m =⎧⎨=⎩再分别代入到(2)，(3)得12x 0<≤与1x =，此即为原方程的解．2.4 分类讨论法所谓分类讨论，是当问题所给对象未能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论时”化整为零，各个击破，再积零为整“的数学策略．例5 (1991年北京市高中一年级数学竞赛)能使25n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为素数的所有自然数n 的倒数之和等于多少?解 设25n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，下面分情况讨论：高斯函数在数学竞赛中的应用- 8 - (1)当5n k =(k 是正整数)时，222555k m k ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，且当1k =时，m 为素数，此时5n =；(2)当51n k =+(k 为非负整数)时，22(51)152(52)55k m k k k k ⎡⎤+⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且当k =1时，m 为素数，此时6n =；(3)当52n k =+(k 为非负整数)时，22(52)454(54)55k m k k k k ⎡⎤+⎡⎤==++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且当1k =时，9m =为合数，因此对所有正整数k ，m 都是合数；(4)当53n k =+(k 为非负整数)时，2(53)(1)(51)5k m k k ⎡⎤+==++⎢⎥⎣⎦，当0k =时 1m =，当k 为正整数时，m 为合数；(5)当54n k =+(k 为非负整数)时，2(54)(1)(53)5k m k k ⎡⎤+==++⎢⎥⎣⎦，当0k =时3m =是素数，此时4n =，当k 是正整数时，m 是合数．所以n =4,5,6时，25n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是素数，这样的n 的倒数之和为1113745660++=． 评注：采用分类讨论法时，一定要根据题目自身的特点，进行合理的分类，此题是按除5所得余数进行分组来分类讨论的，从而使问题得到简化．以后我们做题要因题而异，不要盲目下结论．2.5 数学归纳法例6[5] (1981年第10届美国数学奥林匹克)若x 为正实数，n 为正整数，证明：[][][][]2...12x x nx nx n ≥+++ 证 记[]1n n i ix x i ==∑，于是问题变为证明[]n nx x ≥．下面用数学归纳法证明这个不等式．(1)当n =1时，显然有[]1x x =，所以当n =1时，命题成立；(2)假设当k =l ，2，…，1n -时，命题成立，即[]k x kx ≤（1,2,...,1k n =-）由[]1k k kx x x k-=+得()[]111kk k kx k x x kx --=-++，对k 取,1,...,3,2n n -得 ()[]111,n n n nx n x x nx --=-++()()[]12212(1)n n n n x n x x n x ----=-++-， ()()[]23323(2)n n n n x n x x n x ----=-++-，……,[]322323x x x x =++， []21122x x x x =++，将以上(1)n -个不等式的两边分别相加，消去两边相同的项，得[][][]12211...(1)...2n n n nx x x x x x nx n x x --=+++++++-++由归纳假设如[][][][][][][][](1)(2)...2(1)...2n nx n x n x x x x nx n x x ≤-+-++++++-++ (1) 再由高斯函数的性质壬，对上式继续推导，(1)式右端等于[][]()[][]()[][][]()()()[][](1)(2)2...((1))122...1n x x n x x x n x nx n x x n x x x n x nx n nx -++-++++-+≤-++-++++-+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是[]k x kx ≤，即k n =时，命题成立．故对所有正整数n ，命题成立．2.6 枚举法例7 (1999年加拿大数学奥林匹克)求方程[]2440510x x -+=的所有实数解． 解 由高斯函数的定义知，[]x x ≤，因此原式可化为[]()()220440514405123217x x x x x x =-+≥-+=--即31722x ≤≤，于是[]x =l ，2，3，4，5，6，7，8． 当[]1x =时，方程化为2411x +=0，无实数解；当[]2x =时，方程化为24290x -=，得2x =；当[]3x =时，方程化为24690x -=，可得42x =>与[]3x =矛盾；当[]4x =时，方程化为241090x -=，可得5x =>与[]4x =矛盾；当[]5x =时，方程化为241490x -=，可得6x =>与[]5x =矛盾；当[]6x =时，方程化为241890x -=，可得x =，此时6=⎣⎦，因此2x =是方程的解；当[]7x =时，方程化为242290x -=，可得2x =，此时72=⎣⎦，因此x =是方程的解；当[]8x =时，方程化为242690x -=，可得x =，此时8=⎣⎦，因此x =是方程的解；综上可知，方程的解集为⎪⎪⎩⎭． 评注 此题可以改编为求方程[]2440510x x ++=的所有实数解，其解法与例6是一样的．枚举法相对比较简单，适合于中小学数学竞赛，但要注意枚举时千万不要漏举与多举．2.7 数形结合法在求解含有高斯函数的方程中，可以根据方程的特点，利用数形结和把方程转化为求两个图像的交点解决，但利用此法，只能从图像中找到解的大体位置及解的个数，因此，必须对此进行逐个的计算和检验，才能得到正确的答案．例8[3] 解方程1142x x +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 分析 本例为[][]u v =型的方程，首先由高斯函数的性质可知，若[][]u v =，则1u v -<，求出x 的区间，但此条件为原方程成立的必要但非充分条件，故还须对函数()u h x =和()v q x =的图像进行分析才能得到正确结果．由1u v -<得11142x x +--<-<1，得7x -1<<．令()()11,42x x h x q x +-==，在同一坐标系中画二者的图像：分析两者在区间(1,7)-内的图像，观察可知，当(1,1)x ∈-时，104x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而112x -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，方程不成立； 当[)1,3x ∈时，11042x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 当[)3,5x ∈时11142x x +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当[)5,7x ∈时，114x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而122x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，方程不成立． 综上所述，原方程的解是15x ≤<．2.8 [9]凑整、估值法针对求的[]x 值的题目，可以利用不等式中的放缩技巧或其他性质，将难以处理的求和转化为可以裂项相消的代数式之和，从而使问题迎刃而解．例9设1...S =+++，求[]S ． 分析 为求[]S 的值，如果对各项直接求解，会比较麻烦，这时我们就考虑有没有简单的方法来解决，而题中是一个和式问题，我们可以考虑来缩小它的范围，>最小的整数范围．解 设*1100,n n N <≤∈>><<，即22<<．不等式两边对n求和可得，1001001002222n n n ===<<∑∑故)212118S <-<=，但210- =17，2220317>>-=，所以1819S <<，即[]18S =．以上是我们常见的几种比较简单的方法，当然，解有关高斯函数题的方法还有很多，比如：分组拆项法、命题转化法、共轭因数法、不等式法等等，这就要求我们根据实际情况来选择合适的方法来进行求解，以便达到事倍功半的效果．第三章 关于高斯函数的进一步探讨高斯函数的许多问题在日常生活中有很广泛的应用，它们都是数学竞赛题的来源，在本章中我们主要讨论高斯函数在积分、数列以及高斯和式问题．3.1 积分问题[10]对于高斯函数[]x 的积分，由定义知高斯函数是一个具有第一类间断点的函数，只要在积分区间内有有限个这类间断点，则根据定积分的可积性知函数[]x 在积分区间上可积，下面来求如下积分． 例1 求积分[]0nx dx ⎰（n 为有限自然数）．解 [][]()()01111112nnnkk k k x dx x dx k n n -====-=-∑∑⎰⎰利用上述结果很容易求出斜坡函数[]x x -的积分，即[]{}[]()222000111222222nn nnn n n n x x dx xdx x dx x n n ⎡⎤-=-=--=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．例2 求积分ln(1)ln1n x e dx +⎡⎤⎣⎦⎰． 解 ()()ln(1)ln(1)ln(1)ln1ln ln 111[][]ln 1ln nnnn k k xxkkk k k e dx e dx k dx k k k +++======+-∑∑∑⎰⎰⎰()1ln!nn n +=上述关于高斯函数积分的问题即简单又有趣，下面来推导几个有关高斯函数积分的公式． 例3 求[]00x ny nx y dxdy ≤≤≤≤+⎰⎰．解首先将区域(){},0,0D x y x n y n=≤≤≤≤分为2n 个小区域，(){},1,0,0k D x y k x y k x y =-≤+<><，1,2,3 (2)n =，在1D 上[]0x y +=，在2D 上[]1x y +=，…，在1n D -上[]2x y n +=-，在n D 上[]1x y n +=-，在1n D +上[]x y n +=，…，在21n D -上[]22x y n +=-，在2n D 上[]21x y n +=-，且每个小区域的面积分别为1352131,,,,,,222222n -⋯于是有 21[][]knk DD x y dxdy x y dxdy =+=+∑⎰⎰⎰⎰1352121012(1)22222n n n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-+⨯+⋯ 31(22)(21)22n n +-⨯+-⨯1[132537(1)(21)(21)2n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+--+-+⋯(22)3(21)n n +-⨯+-⨯ 121()2s s =+ 其中12132537(1)(21)(21)(22)3(21)1s n n s n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+--=-+⋯+-⨯+-⨯经计算得2212(431),(831)66n ns n n s n n =--=-+，故 []()21212Dx y dxdy n n +=-⎰⎰． 利用上述公式可解下题： 例4 求[]0202x y x y dxdy ≤≤≤≤+⎰⎰的值．解 将2n =代入公式[]()21212Dx y dxdy n n +=-⎰⎰便有[]()202021222162x y x y dxdy ≤≤≤≤+=⨯⨯⨯-=⎰⎰ 例5 求22220,0x y x y nx y dxdy >>+≤⎡⎤+⎣⎦⎰⎰的值 ．解 将区域(){}22,,,0D x y x y n x y =+≤>分为n 个小区域，(){}22,1,,0kD x y k x y k x y =-≤+<>，1,2,3...,2k n =这n 个小区域的面积为4π，在这些区域上，函数22[]x y +的值分别为0,1,2,1n ⋯- 于是便有()()2222111114k knnnk k k DD D xy dxdy x y dxdy k dxdy k π===⎡⎤⎡⎤+=+=-=-⎣⎦⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()18n n π=-上述两个积分公式在以后解决高斯函数积分问题上会有很大的帮助，如果我们进一步的研究将会得到更多更有用的结论．3.2 高斯和式问题定理（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x 为实数，则[]10n i i x nx n -=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑．证明 令[]10()n i i f x x nx n -=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑则[]110011111n n i i i i f x x n x x nx n n n n n --==⎡⎤⎡+⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎤+=++-+=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎦⎣⎦⎣∑∑ [][][][]()101011n i n i i x x x nx n i x nx n f x -=-=⎡⎤=+-++--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦=∑∑故()f x 是以周期为1n 的周期函数．当1[0,)x n∈时，显然有()0f x =，故对上式任意实数x 均成立．例6 设n 为整数，计算和式232341222...2222n n n n ⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 解 上式可简化为232341222...2222n n n n ⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1022k k k n ∞+=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑ 由Hermite 恒等式可得，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，则[][]122x x x ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦．于是111112122222222k k k k k k k n n n n n n +++++⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此，1100022222k k k k k k n n n n n ∞∞++==⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-==⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑．例7 设n 为正整数， α，i x ，i y ()1,2,...,i n =为实数，证明：123...n x x x x ≤≤≤≤ 123,...n y y y y ≥≥≥≥．且满足1n i i ix =∑=1n i i iy =∑，则[][]11n ni i i i i y i x αα==≥∑∑．证明 记i i i x y z =-，则12...n z z z ≤≤≤且10ni i iz ==∑ 故只需证明[]10nii i zα=≥∑ (1)即可．令112211,0,...,0n n n z z z z z -∆=∆=-≥∆=-≥，则1ii j j z ==∆∑（1i n ≤≤），于是111110jn n i n i j j i i j j i iz i i ======∆=∆=∑∑∑∑∑从而211n njj i jni ii===∆=∆∑∑∑ (2)于是[][][][]11112211[]n n n i n n n n nn i j i j j j j n i i j j i j j i j j i i i i z i i i i i ααααα===========⎛⎫⎪ ⎪=∆=∆∆-∆ ⎪ ⎪⎝⎭=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑[][]121n n n ni ji j n nj i j i j i i i i i i αα======⎛⎫ ⎪ ⎪=∆- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 由于20n nj j i ji ==∆≥∑∑，则(1)式成立等价于[][][][][][]111111111111nn j j nn i ji ji i i i nnnj nj i ji i j i i i i i i i i i iiiiiiαααααα--======--======≥⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (3)故只需证明对任意的1k ≥，有[][]111111k ki i k ki i i i i iαα+==+==≥∑∑∑∑而上述不等式等价于()[]()[]()()1111102k ki i kk i k i k i ααααα==+≥⇔+--+-≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑．注 有性质知[][][]x y x y +≥+对任意的,x y 均成立，上述不等式显然成立．参考文献[1]闵嗣鹤，严士健编.初等数论（第三版）高等教育出版社，2003．[2]梅向明．国际数学奥林匹克30年［Ｍ］．北京出版社，1991．[3]王朝霞.含有[x]或{x}的方程的解法[J].唐山师院学报,2004,(5)[4]刘诗雄等．奥数教程(高二年级)．(第二版)．华东师范大学出版社，2003.[5]陈景润著.初等数论Ⅱ.科学出版社.1980[6]宋庆龙．高斯函数的应用．唐山师范学院学报．2005，(3)．[7]余红兵著.奥数教程(高二年级).华东师范大学出版社.2006．[8]柳柏镰，吴康著.竞赛数学的原理与方法.广东高等教育出版社.2003．[9]殷堰工.整数部分[x]与小数部分{x}问题的解法[J]. 1994,(10-11)．[10]钱吉林等，高等数学辞典[M] 武汉：华中师范大学出版社，1999．平顶山学院本科毕业论文（设计）致谢在大学四年的学习过程中，我得到了数科院各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高．在此谨向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师李文老师，她严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；李老师以丰富的科研经历，解说学问，侄释为师之道，旁征博引，使我受益匪浅.在此向李老师表示衷心的感谢!感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩．她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情．她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生．在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！- 19 -。
高斯函数
d2 2 0 2 d
不难证明，
时， ~ e
不妨令（4）的解为 可得，
u ( ) 满足的方程：
e
2 / 2
u( )
（5）
此即Hermite方程，可在 =0的邻域用幂级数展开求解。为保证束 缚态边界条件，必须要求 u ( )中断为一个多项式，可以证明只有 当方程（6）中的参数满足如下条件 ，才有一个多项式解记为 H n ( )
xe
ax 2
1 ax 2 dx e 常数 2a
代入积分的上下限，即可得到上表A2的表达式
求A1
可采用极坐标（r，），面元为 rdrd 被积函数为
e
ar 2
e
0
a( x2 y 2 )
B rdr de
0
2
ar 2
2A2
用直角坐标，我们有
令 （1）
ax
m /
E 1 2
（2）
则方程（1）化为
d2 2 ( ) 0 2 d
理想的谐振子势是个无限深势阱，只存在束缚态，即： 在
x 处 ( x) 0
，
（3）
当
时，方程（2）近似表示为： （4）
2 / 2
ax 2 ik0 x
e
F ( k ) A e
ax 2
e
i ( k k 0 ) x
dx 2
ay 2
A exp[(k k0 ) / 4a ] e
2
dy 2
A exp[(k k0 ) 2 / 4a ] 2a
x x 2 ຫໍສະໝຸດ [ y x i(k k0 ) / 2a]