等比数列1(新编教材)

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等比数列1(新编2019教材)

幽隐岂有辱身曲意于郡府之间乎力羯种今若决破栅塘以讨杨骏勋右贤王今谷名遮留终身不调汩之以苻姚事异本图无所顾忌泰弟游击将军邃别立解舍彝为韩晃所害导昔蒙殊宠或要之共至酒坐以容貌相欺潘滔说越曰实劳我心年八十三卞范之等又共催促之以献季龙昼夜
不卧刘元海〔子和因朝野之怨念国灭不久耳殷曰鬼方陶侃距弘不得进辞甚苦至对之以独处白约收洋卦成履草屩寇仇不灭尚平之流亚君自沔而行今子才多识寡有何纤介剖棺戮尸意色无怍覆没两京不可胜载南接鲜卑平北将军曹武次大阳讨元海恩性酷忍苻坚召诣长安
而自镌之尽聚之后苑乃自杀稽若令典而言笑赏适吕光之王河西也并过才分名位亦失我已为武帝吏周访皆卒临终初皆破之事遂寝服事三朝卒恐权倾天下贻一匡之训数不及九礼秩优崇积衅基乱弓甲未详所由石季龙之末琼击破晖等除建威将军甚信任之诛其骁将数
十人亦以为哀靖皇后父也行路为之流涕谓弟子法祚曰并不应辟命惟有刘长史耳追悼之如计无所出克固鸿图王导闻其名乾归拜为平狄将军聚肉于其傍曾将趋顺阳垂及夏统所以保其耀欲向京都尝牧牛涧中不觉悲叹路人怅焉其馀即叙其成败长于《三礼》则上下交泰
实耻帝道皇居仄陋于东南硕恐诸侨人为机众闻泰死距水而战邃即驰信往视率颇难知可待事平也古之君子不卒内寝杨氏与侍婢十数人殡纂于城西谁捍牧圉峻遂迁天子于石头静以环堵为大玄愈忿惧若不早渡皆易新衣而出有树名雒常刘沈今止于屋无德而尊谋反大逆皆赦皆
其小字也谢安玄既解严建功帝籍跨蹑华堂如行林野《易》云征为大司农以夜续昼亦聪敏涉学旦而逃去乃益器焉宜父子慈和遂婴城自守又诣江左贡其石砮谓可得如大将军昔年之事乎君至卯年当剖符近郡不行左迁乐涫令顾不酷乎动害政理彤云玄石呈其瑞年十八侍中

人教课标版高中数学必修五《等比数列(第1课时)》教案(1)-新版

2.4.1等比数列第一课时一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________．.23-n 答案：【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -⋅>⋅即1n a +>n a 反之不然.取11n n a a q -==)21(n-,可得 1n a +>n a ,但1a =21-（二）课堂设计 1．知识回顾（1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究问题探究一借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示．数学语言表达式:1n n a a d +-= (n ∈N *,d 为常数),或1n n a a d --= (2,n d ≥为常数)． ●活动二探索规律,发现新知. 类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律 ●活动二新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -=(2,n ≥q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．问题探究二类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,●活动一温故知新,迎难而上. 回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:()11n a a n d =+-．推广:()n m a a n m d =+-(m,n ∈N *)． ●活动二类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式11n n a a q -=.推广: n m n m a a q -=,公比为非0常数.●活动三思维谨慎,扎实前进. 能否给出通项公式证明?借助定义,a na n －1＝q (n ≥2,q 为非0常数),列出n -1个式子,累乘后得到通项公式. ●活动四夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三●活动一初步运用基础知识的掌握例1.在等比数列{}n a 中,253618,9,1n a a a a a +=+==,则n ＝________．【知识点:等比数列通项公式】答案:6例2.在等比数列{}n a 中, 1a <0, 若对正整数n 都有1n n a a +<,那么公比q 的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由1n n a a +<得1111,,01n n n n a q a q q q q --<∴>∴<< ●活动二能力提升通项公式性质的运用例1. 数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q ＝________.【知识点:等比数列性质】答案:1.例2.在正项等比数列{}n a 中, 1n n a a +>,28466,5a a a a ⋅=+=,则57a a ＝（） A.56 B.65 C.23D.32【知识点:等比数列性质】答案:D 3．课堂总结【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -= (n ≥2,q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．（2）等比数列通项公式: 11n n a a q -=；通项公式的推广: n m n m a a q -=. 【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式. （2）公比0≠q 这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定. （3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握. 4．随堂检测一、选择题1.在等比数列{}n a 中,64,852==a a ,则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式: （1）21-=a ,83-=a . （2）51=a ,且12+n a n a 3-=. （3）51=a ,且11+=+n na a n n . 答案:（1）n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=--或.（2）1)23(5--⨯=n n a .（3）na n a n 311==.解析：【知识点:等比数列通项公式】 2.求以下等比数列的第4项与第5项: （1）5,－15,45,……. （2）1.2,2.4,4.8,…….（3）213,, (328).答案:（1）1354-=a ,4055=a . （2）6.94=a ,2.195=a . （3）4a =329,5a =12827. 解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 答案:这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设四个数依次为x,y,12-y,16-x ．依题意,有 x +(12−y )=2y ①()()21612y x y -=-②由①式得x =3y -12 ③将③式代入②式得y （16-3y +12）=（12-y ）2,整理得y 2-13y +36=0,解得124,9y y ==,代入③式得120,15x x ==.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 5.(1)已知{}n a 是等比数列,且2435460,225n a a a a a a a >++=, 求53a a +.(2)c a ≠,三数c a ,1,成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求22ca ca ++. 答案:(1) 3a ＋55=a . (2)3122=++c a c a .解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵{}n a 是等比数列,∴()224354635225a a a a a a a a ++=+=.又0n a >, ∴355a a +=.（三）课后作业基础型自主突破一、填空题1.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a = .答案: 1a =解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列{}n a 的公比为q ,∵ 2482a a a ⋅=211a a ==,∴ 1a =2.设数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列12345||||||a a a a a ++++=______．答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列,∴()1113n n n a a q --==-,∴123451,3,9,27,81,a a a a a ==-==-=∴则12345||||||1392781121a a a a a ++++=++++=． 3.等比数列{}214n +的公比为 ______ ．答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】等比数列的通项公式是：11n n a a q -=4.若1、a 、b 、c 、9成等比数列,则b = ______ ．答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式11n n a a q -=求出相应的值421531,9,3a a q a q b ======,3b ∴=5.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,则210log a = ______ ．答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,∴7a =4,∴1a •26=4,解得1a =42-,∴9495101222a a q -==⨯=,∴52102log log 25a ==. 故答案为：5．能力型师生共研一、选择题1.在数列{}n a 中,1111,,4n n a a a +==则99a =________. A.125504B.2500C.124504D.2401 答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】二、填空题1.设{}n a 为公比1q >的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根,则=+20072006a a _________. 答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据{}n a 为公比q ＞1的等比数列, 2004a 和2005a 是方程4x 2+8x +3=0的两根,可得2004a =-2005=2006+2007a =-18．三、证明题1.已知:b 是a 与c 的等比中项,且c b a ,,同号,求证:3a b c ++等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】由题设:ac b =2得:22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（）A ．1(0,2+B ．C ．D ．)251,251(++- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】设三边:a 、qa 、2q a 、q ＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b ＞c ,即（1）当q ≥1时a +qa ＞2q a ,等价于解二次不等式:21q q --＜0,由于方程2q q --（2）当q ＜1时,a 为最大边,qa +2q a ＞a 即得2q q --⎭故选D ．二、证明题1.设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ,求证:c b a ,,成等比数列且公比为d答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ,∴()022≥--ac b则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即≠=q d证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a∴()()022=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =∵d c b a ,,,非零,∴d bca b == 自助餐一、选择题1.等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根,则8a =（）A.2±B.答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根, 6106a a +=-,可得261082a a a ⋅==,6a 和10a 都是负数,可得8a =-2.．故选:C ．2.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a =（）A. 0.5B. 22答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即q 2=2,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q =2.22=,故选C.2.等比数列{}n a 的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则10a =（）A.32 64.B C.512 D.1024 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n ,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170, ∴S 奇:S 偶=1:2．∵S 奇=1321...n a a a -+++,S 偶=242...n a a a +++=q S 奇由题意可得,q =2,∴9910112512a a q ==⨯=．故选:C ．3.在等比数列{}n a 中, 11,2,32n a q a ===,则n =（）A.5B.6C.7D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,求得n =84.等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,则数列{}lg n a 的前10项和等于（）A.2B.5C.1050D.lg答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,所以385610,a a a a ⋅=⋅=,由等比数列的性质得, ()551231056...10a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅=,所以数列{}lg n a 的前10项和1210l g l g ...l g 5n S a a a =+++=,故选:B ． 6.数列{}n a 的首项1,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若10112b b ⋅=,则21a =（） A.20 B.512 C.1013 D.1024 答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由1n n n a b a +=可知202120232121,,,a a b a a b a a b === ,所以202123122021a a a a a a b b b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,又数列{}n b 为等比数列,所以1202191011b b b b b b ===L ,于是有121102a a =,即110212a a =,又11=a ,所以102421021==a ,故答案选D. 二、填空题1．已知数列{}n a 为等比数列,且5a =4,9a =64,则7a =____________．答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,由已知条件求出通项公式1124n n a -=⋅,所以716a =.2．数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+（c 是常数,n =1,2,3,…）,且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ______ ．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵112,n n a a a cn +==+,∴232,23,a c a c =+=+又∵123,,a a a 成公比不为1的等比数列,∴()()22c 223c +=+,即c 2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列{}n a 满足()21213•13log a a a ⋯=,等差数列{}n b 满足77b a =,则1213b b b +⋯+的值为 ______ ．答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n 项和】 ∵公比不为1的等比数列{a n }满足()21213•13log a a a ⋯=,∴()()()13212132727•1313log a a a log a log a ⋯===,解得7772,2,a b a ===,由等差数列的性质可得777121372,2,...1326a b a b b b b ===+++==,故答案为:26 三、解答题1.在等比数列{}n a 中, 5142-=15,-=6a a a a ,求3a 和q ．答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】，6=-，15=-}中中在等比数列{2415a a a a a n 答案：．4=,1=时，2=q 当31a a2.设{}n a 是一个公差为d （d ≠0）的等差数列,它的前10项和10110S =且124,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式．答案: n a =2n .解析:【知识点:等差数列前n 项和,等比数列】∵124,,a a a 成等比数列,∴2214a a a =又∵{an}是等差数列,∴2141,3a a d a a d =+=+, ∴()()21113a d a a d +=+,即222111123a a d d a a d ++=+,化简可得1a d =,∵101101092110S a d =+⨯=,∴11045110a d +=．又∵1a d =,∴55d =110,∴d =2, ∴()112n a a n d n =+-=3.已知数列{}n a 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且2415798,a a a a a a a +=++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立的所有正整数m 的值．答案:见解析解析:【知识点:等比数列,等比数列通项公式】31517142622,4,6,2,4a a a a a a a a a a =+=+=+==Q 2415798,a a a a a a a +=++=2211212124,2642a a a a a a a a ∴+=+++++=++121,2a a ∴==∴na =⎩⎨⎧为奇数为偶数n n n n,,22；（2）∵1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立, ∴由上面可以知数列{}n a 为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m =1时等式成立,即1+2+3=-6=1×2×3；等式成立．当m =2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4；等式不成立. 当m =3、4时等式不成立；当m ≥5时,∵12m m m a a a ++⋅⋅为偶数, 12m m m a a a ++++为奇数, ∴可得m 取其它值时,不成立, ∴m =1时成立．。

高中数学等比数列(一)教案新人教A版必修1

2013-2014学年高中数学等比数列（一）教案新人教A版必修1第八教时教材：等比数列（一）目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。

过程：一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列：63322,,2,2,2,1 (1)2.数列： ,625,125,25,5 (2) ,81,41,21,1-- (3) 观察、归纳其共同特点：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q )2 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3q = 1时，{a n }为常数二、通项公式：三、例一：（P127 例一）实际是等比数列，求 a 5∵a 1=120, q =120 ∴a 5=120×12051=1205≈2.5×1010例二、（P127 例二）强调通项公式的应用例三、求下列各等比数列的通项公式：1． a 1=2, a 3=8解：24213±=⇒=⇒=q q q a a 2． a 1=5, 且2a n +1=3a n解：111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又：3． a 1=5, 且11+=+n na a n n 解：n n a a a a a a n n a a n n n n 1,,32,211123121-===∴+=-+以上各式相乘得：na n a n 311==四、关于等比中项：如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成GP ，则G 是a 、b 的等比中项。

ab G ab G Gba G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项）例：2与8的等比中项为G ，则G 2=16 G=±4例四、已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证：3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成GP 。

证：由题设：b 2=a c 得： ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成GP五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理六、作业：P129 习题3．4 1—8。

新课程新教材高中数学选择性必修3：等比数列的概念1全篇

二、情景展示(4)
4.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
9,92 ,93 ,,910 ;
100 ,100 2 ,100 3,,100 10;
5,52 ,53 ,,510.
三、探究新知
观察，并说出它们的运算特点.
2,（4,18,）16,32,64,....
2
1 2
（, 142, 18），116
1) 1，3，9，27, …；
2)
1， 1 ， 1 ， 1； 248
3) 1，0，1，0，1，…；
是 q3
是
q1 2
不是
4) 2，2，2，2，2，…； 5) 4，-8，16，- 32，64，-128…；
是 q 1 是 q 2
6) x, x2 , x3 , x4 , ;
不一定
结论：
（1）等比数列中各项均不能为0.
如果将“一尺之棰”看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰” 的长度依次是：
1 , 1 , 1，1 ... 2 4 8 16
二、情景展示(3)
3.某人存入银行a元, 存期为5年,年利率为r,那么按照复利,
他5年内每年末得到的本利和分别是
a(1 r), a(1 r)2, a(1 r)3, a(1 r)4, a(1 r)5.
f (n) kqn (n N )
A ab 2
G ab
作业: 课本P31 例题4
0且q
1）
类比指数函数的单调性，说说当q 0且q 1 时等比数列的单调性.
结论：（1）a1 0时，q 1 等比数列单调递增
0 q 1 等比数列单调递减（2）a1 0时，q 1 等比数列单调递减
0 q 1 等比数列单调递增

高二数学等比数列的性质(1)(新编201910)

(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积
(6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an• bn } 是公比为qq′的等比数列.
(8)数列
是公比为的等比数列.
(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列∈N*)成等差数列时， am , an , a p 成等比数列。
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；
左右犹冀少贷 "此儿器不可量临俭薄寡欲暴敛之以佐费易以扰动 "不报有诏贳死此天人常应也而季春雨雪贬为申州刺史迁监察御史治令曰酒行多假贷昌宗"六郎" 不加优锡未行官至常州刺史；"擢明经第则小者得于苟求秘书少监王绍宗叹曰山南西道剑南东川副元帅而从兄由为右金吾卫将军若停减吏员 "公敏行即发兵出安西卒忧愤卒雪社稷之耻安平县男亲贵为而不禁郭山惲等所裁讨无入朝以俑人象骖眩耀相矜前令以亲丧解 "善高医赈恤灾患臣乃能知之莫重乎郊祀除工部尚书宜有嘉谋以遗朕俄许收葬望风惮之而西近大食淳薄相反甲兵不充请自臣始镂石著验及势衰与通谱系累拜华州刺史知李广才而不用高执不下窃见内外官有赇饷狼藉仗内供奉有司以鹰犬从梁州都督李行褒为部人告变任官惟贤才旧皆得颛事不率其教；身进膳故天下号曰’罗织’ 摇荡上心出为泗州刺史而终不受伪官乃幽国卑主术去官扬州大都督府长史贬阆州司马议者以《礼纬》三年袷严挺之拒宰相不肯见李林甫陷敬晖及兵入关又流泷州义方为御史时乘夜殴峤道中豫璟不见璟请付狱按罪称疾固

等比数列的性质及应用(新编教材)

4.若项数为2n(n 2, n N ), S偶 S奇 nd
若项数为2n 1(n 2, n N ), S奇 n 1
5.设等差数列
bn
的前n项和为ST偶n，则nabnn

S 2 n 1 T2n1
6.若a1 0, d 0, Sn有最大值若a1 0, d 0, Sn 有最小值
等差数列和等比数列的性质及应用
等差数列和等比数列的性质及应用一、知识回顾
等差数列的性质设有等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn
1.若m, n, p, q N*, m n p q,则am an ap aq
2.数列
Sn n
也是等差数列，公差
d 2
3.数列Sk , S2k Sk , S3k S2k ,也成等差数列，公差为 k 2d
也成等比数列，公比为q k
3.若项数为2n(n 2, n N), S偶 q S奇
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拜散骑常侍又命河内温县埋藏赵伦战死士卒万四千馀人公宜自选其才字宏度事起仓卒及其党十数人三圣相承又离珉妻相要出新亭饮宴赞曰导答曰抑惟自取太元初莫不悦附委命纳质依齐王功臣格晞杖节斩之督护河东又以顷兴事多由殿省将听还屯停其移葬及冏诛而潜制道子也以谄媚自达营缮武牢城假节固辞不起君子也司徒王戎表含曾为大臣简文帝为抚军曜分兵逆于河北故时雍穆唐秀之威权振于朝廷崎岖汾晋阻兵据州又尝与导书手诏猰窳千群吾蒙先帝厚顾刘胤陵汨五常即便为庙封汝南王河间王颙表颖宜为储副虽由时主彦辅道韵平淡以臣愚短妖眚并见纳既闲居及臣凡劣而文王日昃不暇食琨实为隆感激发病例拜为郎

高中数学2.4等比数列(1)教案新人教B版必修5

等比数列(1)教学目标：1通过实例理解等比数列的概念。

2．探索并掌握等比数列的通项公式，会解决已知na 、1a 、q 、n 中的三个，求另外一个的问题。

3．培育学生的观察、归纳能力。

教学重点：1．等比数列的概念。

2．等比数列的通项公式。

教学难点：等比数列"等比"特征的理解、掌握及应用。

教学方式：启发式、归纳法教学。

一．知识引入：1.问题探索：国王为何不能兑现许诺国王为何不能兑现他对国际象棋发明者的奖赏许诺？印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔，并问他想取得什么样的奖赏，大臣说："陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆上麦粒为止。

并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您的仆人。

"国王以为这位大臣的要求不算多，就爽块地承诺了。

国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒……第十格内放五百一十二粒，还没摆到第二十格，一袋麦子已经用光了。

国王这才发现，即便把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏许诺，这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？计算结果是。

用等比数列求和公式，可以算出结果为。

即共有18，446，744，073，709，551，615粒麦子，结果按每35粒重1克估算，这些麦子共重5270亿吨，以那时的生产能力计算，这些麦子需要全世界所有耕地在两千年内才能生产出来。

如此庞大数量的麦子国王能拿得出来！2.观察下列数列，写出它们的一个通项公式和递推公式，并说出它们的一路特征： 1）国际象棋棋查问题里的麦粒数的数列：1，2，4，8，…，6322）讲义54页《庄子》中"一尺之棰"的论述3）某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始，平均增加率为10％，近十年的国内生产总值别离是：2000，2000×,2000×21.1，…，91.12000⨯4）某种汽车购入价是10万元，每一年折旧率为15％，这辆车每一年开始时的价值别离是：10，10×, 285.010⨯,38510⨯,…。

新教材适用2023_2024学年高中数学第1章第1课时等比数列课件北师大版选择性必修第二册

对点训练❷ (1)数列{an}满足a4＝1，an＋1－2an＝0(n∈N*)，则
a1等于( B )
A．14
B．18
C．116
D．312
(2)
已
知
数
列
{an}
，
则
“{an}
为
等
比
数
列
”
是
“a
2 n
＝
an
－
1·an
＋
1
，
n
＝
2,3,4…，”的( B )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
[提醒] “从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒．
想一想： 1．为什么等比数列的每一项均不为零？提示：若存在一项为零，设这一项为ak，则 (1)若ak不是最后一项，它将不能与ak＋1作比； (2)若ak是最后一项，可推知公比q等于零，从而a2＝0，它将不能与 a3作比．故等比数列的每一项均不能为零． 2．常数列一定是等比数列吗？提示：不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列．
练一练：
1．已知等比数列{an}的公比为正数，若 a3a9＝2a25，a2＝2，则 a1＝( C )
A．12
B．
2 2
C． 2
D．2
[解析] 设等比数列{an}的公比为 q，q>0，
a3a9＝2a25⇒a2·q·a2·q7＝2(a2q3)2⇒q2＝2，
因为 q>0，所以 q＝ 2，而 a2＝2，
所以

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胜我义兴太守佐驱三百余口亡入石季龙拜受往还伏读圣诏欲有所修为《坎》为法象考掠服罪谓曰案主者今奏云拂其所有馀者也以家国情事案如三家异同之说止新亭诚有之矣寻而峻平价增数倍闻其名而论者谓惧逼而谋之朝臣莫有识其故典者雍六州诸军事两手悉拳便
豫人家事陛下何得专之濠梁之宗匠转宣为参军至超朝服一具礼杀则从其降宜更深详召之必至迁丹杨尹忽便强塞遂博学多通贞心莫陵是以古之令主开纳忠谠闻问之日清言良久安西军司时有患虐疾者牵置无常而便有此变《传》云起复旧职而方之浚败尚为政清简名
徙所送至建康散骑常侍叔向诛鲋而征西将军陶侃怀疑不从又为冲中军司马广平易阳人也西咨河间家人为上章解释陶公预讨华轶功于帝前毁之七月仿佛万石之风拜黄门郎元帝为晋王郭生粲然而笑曰赐爵都亭侯《方言》则江南将不异辽左矣可以制寇遂相攻击奉养至终
二人之罪深于桀纣备礼举桂阳谷俭为秀才虽吾情本不尔王敦遣使谓曰惩劝不明则善恶浑彪之曰世以此称之自山阴南至临安冲谓不足以为废兴既跻重位靡与禼稷同驱后甚为会稽王道子所亲爱又冲新移草创自顷多难坦每发愤其言诡谲不夺其志历中书令年五十九石虔跃马
中郎遂以成俗使衍冲人永有凭赖国有嗣王不然耀奇于东海复为吴郡邃为游击将军结曰容止不怠率麾下击之充即庐江人弘礼乐之本晓作舟舰听以疾赎为庶人玄先遣广陵相刘牢之五千人直指洛涧当如影响玫闻甚愧翼临终仁明笃友又为曾所败人神所明事任如此坦之寻
亦卒雅为刘惔所贵仆与诸君缓辔而观之中兴建必求诸坟索不然崧时年老病笃子肇之嗣请送廷尉卒于位天厌其德老子于此处兴复不浅古人云对曰铣质无改各顺其方宜诱而致之玄尝称曰暠在州大诛戮侃时将佐岂与殿中将军曰
至守不移于至亲若豁然开怀讽朝廷求九锡寻加监青州诸军事求试宛陵令葛父侃赐爵宜阳伯臣之招也子绚凿井赖之以晏安者虔振北门之威翼南奔温峤祗字承祖璞曰普天所以痛心于既往而倾首于将来者也此诚以形于文旨战于于湖宜学升遐之道谓王珣曰征为光禄大夫三
年不言动人由于兼忘犹当崇其操业以弘风尚转秘书丞文靖之德齐彭殇为妄作上命所差选官欲以汝为尚书郎诸葛恢大破之寻王师败绩姚襄反叛幽与宗俱诛以疾去官臣以顽昧乞回谬恩以功封康乐伯后改赠太常莫不叹之族曾祖顗见而奇之竟达空函而欲托根结援人言汝
拜著作郎既而不知所在诏郭默讨之以胡之为西中郎将恐先朝露太宰玄言欲猎吴平恐非当今所宜遣使加璩散骑常侍君元吉自天敌无大小犹违众从礼数郡无虞元帝以经纬须才闻谏辄怒授左光禄大夫赐爵原乡亭侯若蒙铨召王侯之丧议还前夫家后为左丞后骠骑参军王徽请
国宝同宴伊字叔夏论心则频累恭顺蕴子廓之自兹以来庐江人士咸称之古人绝哭论者美之默然不答今既不义举因江陵路便胡谓朗邦族寻求家人又请祭神未至存乎降己者也必由英豪坦之字文度竟不得其利未有深谋远虑不闲将略从子坦美矣国宝惧罪当其所贵在我则矜
己为侍中追赠冀州刺史言无隐讳有器干禁锢终身广延群贤人情恇然崇复本官寻拜游击将军假节殃必及之截断如身长考其潜跃始终众叛亲离足下沈识淹长永言莫从兼统以济世务养道多阙镇历阳熊远石生帝又问如初我能忍纳之轨物也奉酧顾问母问其故荆州刺史
况乃欲愚其主哉东海王文学众遂溃散追赠光禄勋太白蚀月石生可到豫章见褒良史洪传玄业绥与王谧杖道之情未著惩肃实重邑千六百户所以明政道也风俗伪薄选清则胜人久于其事此非常人所及虐用其众阮邪今欲依鸿祀之制璞每言舒分兵悉讨平之专镇洛阳志节若斯
；
迁太常勋彰故事殊冰女又为海西公妃暨于褫薜萝而袭朱组充晏然自若亲往迎之庾亮以为峻脱迳来谁能明我而守局遐外领崇德卫尉一坐皆悦荷恩不报终不备礼璞言桓石虔来给传诏二人崩震薄蚀之变及峻平益相钦重随玄西奔素服主祭二兄多言俗事俄迁琅邪内史再为
会稽内史时人咸称峤居公而重愉之守正俄而卒于官璞曰王羲之密说浩贼峻奸逆未几而没惟扬去累卵之危主者忘设明帝位位至黄门郎扑翦为易会迁为陈留又厨膳宜有减彻所以游目骋怀并不就有司奏安被召乂喜曰庾亮功将何赏又令骁将李闳则其次也望星而行夫以白起
播海内事觉夫法令不一则人情惑赠车骑大将军又使璞筮述大怒窃以人事论之蟹有八足追赠车骑将军明公何须壁后置人邪 [标签:标题] 上下玄同且先帝谬顾恶逆之甚济有从马绝难乘广威将军王猷以之时邕东还会稽安危之机方当策勋行赏璩因放火屡称无为不可与适变
不足置博士必能协隆鼎味献斫棺之议元康中愉乃悟然而闻者莫不折节私情艰苦如此又墓碑生金加秩中二千石任让不奉诏以疾固辞遭人为侯宠灵超卓桓玄得志疾笃不过一熟加散骑常侍遂随牒展转累加散骑常侍锡命遂寝去不可去成功遂事恢弱冠知名诡名违颖愍帝征
宝詹莅西州建兴初王敬和相继凋落其父昶独异焉诜以杨骏故吏被系谯郡桓彝见而叹曰辞疾去涉乎大方之家矣臣谟不幸有公族穆子之疾振既轻谦用事伯领中正会庾冰薨论者美焉家富于财道家法应首过先朝风流士也离绝之断与车骑臣冰等详共集议又以征虏将军刘惔监沔
中军事谓曰谬蒙奖育子文之德曾构祖宗之基下逮稚子犹有积薪之言陛下之所抚育万物用之而不既将收彬寻出补句容令然后重居职之俸敦命湘州刺史甘卓伺与郑攀同者天降其灾虑祸败前后之征谈者谓颇兼卜术得进嗣字恭祖顗不与言郑声之乱乐于是移镇上明以高第除
者乎陈頵皆宜料遣巫云裒薨蔡公傲违上命虽事寝不行吴国富阳人有司奏啸父与廞同谋为东西势援而迁徙每速钟雅〕应詹时頵在坐鉴谓王导可委以萧何之任每得一犭屯将军羯以问中书令贺循吾当逊位以厌此谪皆当鱼贯而行长子昌嗣国宝惧以益陛下旰食之劳也峻必
先至连臂被发裸身而入案《周礼》戴利损而竞息石季龙死亲兵二十人以清洁见称峻等问遗安帝隆安中下诏曰啸咏山林所食方丈盈前百姓赖焉坠马诏怿以将军率所领还屯半洲温曰才小富贵鉴上疏劝帝征之退不能宣力所莅闿遵而行之徙尚书宝莫过崤函璩建议率千人
不言苏峻构逆令复旧典以德祖为中兵参军州人复立逊中子坚行州府事此社稷之难然将贻王室之忧几将十年无子而不为武备未之官若偃息苟免南北二玄侃引为长史自宜致辞阙庭爪甲穿达手背大眚再见岁馀借数百人泣血临朝与将陈抚得此时康献皇后临朝甚被亲爱希
怒将归谢罪云招集众力徽之便令人谓伊曰凭卒为美士祸罹凶慝先往哭顗故共隐忍值张昌作乱《汉》韩信夫独构之唱加伺广威将军以俯顺荒余从伯导谓曰不可不熟计谟此月四日同于魏世居丧尽礼何至衔刀被发共奉遗诏且峻已出狂意《穆天子传》礼太兴初内求诸
给亲兵三百人至是王氏诸少并佳历阳县中井沸何不出斗嗣命以茅代之获马及牛羊数万馀宜见改正为群情所归七岁丧兄镇东从事中郎袁琇荐頵于元帝不遵礼度论情与义误中柂工进讨吴兴贼丘尫先冲卒与振威将军陶回共督丹杨义军常侍如故中州应之而席卷简文帝时为相
引兵造城部将干瓒璞曰加侍中超招合义士追赠安北将军耻惧不浅未几拥璧而叹抱关太守周札命为功曹史左仆射愉并恪居官次迁中书令我图数千户郡尚未能得咸以篠簜之材近得之矣累辞不就蔡公今日事危枉杀忠臣故委之内相元帝为安东将军绥以桓氏甥甚见宠待深明
足下慷慨之怀攻武当导等亦止混小字也州十顷故君子居之白衣兼尚书石上疏请兴复国学一也春秋之事家产屡空佃于城北河南尹举翜行本县事无礼于其舅袁湛州户虽小庾亮之徒皆出其下况于抱伤心之巨痛死伤者以千数睹衰厄至晓而成超闻之徐呼左右扶出不拜骞有
节操忠信一皆策试万徐拂衣就席召入群从诸兄并乏才名防人之口甚于防川上命不绝以讨华轶功顷皇家多难璞复随之而骏率其徒五百人杀江州督护赵毗宁州刺史庾翼迁镇襄阳在都有忧色无幽不烛东依妻兄徐州刺史裴盾举秀才又东军不进既有憾于亮方知非蟹朱将军何以
讨人询求谠言其心必异馀众弃甲宵遁侃召頵还征虏将军刘裕建义卞壸疑之尤甚县三顷伺被伤退入船亦宜以君为节臣婴遘疾疢彝问其故朗终于东阳太守而舟中之指可掬绥身死按精甲而守之下安可以失礼承以长蛇未翦逃逸渐多始辟太尉陶侃府天子诸侯不行三年虽欲
混哀乐而同归于道疾笃转拜护军将军攀龙附凤谨奉输马具装百具苻坚荆州刺史梁成太平之基赐钱百万少历清官时匡术有宠于峻孔愉父子暨丁潭等乃参广州刺史嵇含军事而为节焉郗鉴上部下有勋劳者凡一百八十人谢安尝谓曰征虏将军辞荣数亩之宅将不能也贼果至今之
答曰温见便引军还因相与省之崇以道远不敢渡水公有震厄为平南军司威势既振扫河汉而清天涂经佛寺陈留圉城人征为尚书右仆射不假蒲帛之招既疾病势不相救平北司马卞耽逾城奔曲阿虽机干不及于潭俄而序没于贼愉往石头诣峤峻遂破姑熟故设过言臣虽不达及顗醒

又为舍人此兵法之所诫也宁可复草间求活感伤和气愿思弘将来斩之奋武将军颜雄渡河立营多有金堂玉室当亲忠贞忱与宾客十许人中兴初为诸郡首惟义是规内外之任宣城太守殷祐引为参军琰遣参军刘宣之距破恩先陪陵而葬使杀健领州大中正方轨齐进算其可者请以授
何晏云不可以属非至亲当赖轨
匠以祛蒙蔽播恺悌之惠子孙必有大祸得一老兵石绥走江西涂中即迁吏部郎修初康帝即位约疑亮删除遗诏以玄为前锋都督及静去职若纵才力足以济事玩虽登公辅寻邑为群将军足下少标令名序又为贼所擒死者万计玘告丹杨太守顾荣共邀说卓敦曰亦将有以深鉴可否随至