高一数学一元二次不等式解法练习题
一元二次不等式解法练习题及答案
高一数学一元二次不等式例题例1 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤32 (3)∅ (4)R (5)R【介绍定义域】例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6解 x ≥3或x ≤－2．练习：例3 若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ）[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa 11分析比较与的大小后写出答案．a 1a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a 1a a x A 11a a【求a 、b 的值】例4 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪b a a ()()1211122×得 a b ==-1212，．练习：1、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 2、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．3、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x --32[] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0选B ．【有关判别式】例7、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2- 例8、不等式()20ax bx c a ++<≠的解集为∅，那么（ ）A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥。
高中数学《一元二次不等式的解法》习题(含解析)
解得 x 2 或 x 2 ，即不等式的解集为{x | x 2 或 x 2}；
（2）设 t x 0 ，则不等式 2x x 1 ，可化为 2t 2 t 1 0 ，
解得 t 1或 t 1 （舍去），即 2
x 1 ，解得 x 1 ，即不等式的解集为 { x | x 1} .
所以
是
的真子集，
所以
或 ，解得
或
所以 的取值范围是 17．解下列不等式：
或．
（1） x4 x2 2 0 ；
（2） 2x x 1 ． 【答案】（1）{x | x 2 或 x 2}；（2） { x | x 1} .
【解析】
（1）由题意，可得不等式 x4 x2 2 (x2 2)(x2 1) 0 ，解得 x2 2 ，
【解析】
3x2 x 2 0 ， 即 (x 1)(3x 2) 0 ，
即 1 x 2 ， 3
故 x 取值范围是 (1, 2) . 3
11．不等式
2x 1 x 1
3
的解集为_____________
【答案】 (4, 1)
【解析】
由题意，不等式
2x 1 x 1
3 ，即
2x 1 x 1
3
2x
1 3x x 1
x x
5 2
0}，则
A
B
(
)
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x | 2 x 4} D．{x|2＜x≤4}
【答案】D 【解析】
依题意 A 1, 4, B 2,5 ，故 A B 2, 4.
6．若不等式 ax2 x a 0 对一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
当 m 1 0 时，即 m 1时，此时不等式 1 0 恒成立，满足题意； 当 m 1 0 时，即 m 1 时，则 [3(m 1)]2 4(m 1)(m) 0 ，即 (m 1)(13m 9) 0 ， 解得 9 m 1；
(完整)高中数学一元二次不等式练习题
一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.(2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图不等式解集为{x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2-4 -5 2 21 1 3 1一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x1．(2012年高考上海卷)不等式2－x x ＋4＞0的解集是________． 2．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集是R ，则( )A ．a ＜0，Δ＞0B ．a ＜0，Δ＜0C ．a ＞0，Δ＜0D ．a ＞0，Δ＞03．不等式x 2x ＋1＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)4．已知集合P ＝{0，m }，Q ＝{x |2x 2－5x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则m 等于( )A ．1B ．2C ．1或25D ．1或2X k b 1 . c o m 5．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合为( )A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}6．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥2} B ．{x |x ≤－1或x >2} C ．{x |－1≤x ≤2} D ．{x |－1≤x <2}二.填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ； 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ； 5、不等式245x x -<的解集是 ；9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N = ； 10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为__________. 12、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是___________ .13、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________. 三、典型例题：1、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．（1）03222<--a ax x （2）0)1(2<--+a x a x。
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案求算术根，被开方数必须是非负数、解据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2、例3 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________、分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理、解根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知例4 解下列不等式(1)(x－1)(3－x)＜5－2x(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)分析将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)、答 (1){x|x＜2或x＞4}(4)R(5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式、[ ]A、{x|x＞0}B、{x|x≥1}C、{x|x＞1}D、{x|x＞1或x＝0}分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分、∵x2＞0，∴x－1＞0，即x＞1、选C、说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解、[ ]A、(x－3)(2－x)≥0B、0＜x－2≤1D、(x－3)(2－x)≤0故排除A、C、D，选B、两边同减去2得0＜x－2≤1、选B、说明：注意“零”、[ ][(a－1)x＋1](x－1)＜0，根据其解集为{x|x＜1或x＞2}答选C、说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧、解先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解之得－3＜x＜1、解集为{x|－3＜x＜1｝、说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题、例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解易得A＝{x|1≤x≤4}设y＝x2－2ax＋a＋2(*)4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2、说明：二次函数问题可以借助它的图像求解、例10 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0、分析不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论、解1 当a＝0时，原不等式化为x－2＜0其解集为{x|x＜2}；4 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}；从而可以写出不等式的解集为：a＝0时，{x|x＜2｝；a＝1时，{x|x≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏、例11 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集、分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系、考虑使用韦达定理：解法一由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知：∵a＜0，∴b＞0，c＜0、解法二∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程、且ax2＋bx ＋c＞0解为α＜x＜β，说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维、分析将一边化为零后，对参数进行讨论、进一步化为(ax ＋1－a)(x－1)＜0、(1)当a＞0时，不等式化为(2)a＝0时，不等式化为x－1＜0，即x＜1，所以不等式解集为{x|x＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x2－3x|＞4的解集是________、分析可转化为(1)x2－3x＞4或(2)x2－3x＜－4两个一元二次不等式、答填{x|x＜－1或x＞4}、例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B ＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A、(UA)∩B＝RB、A∪(UB)＝RC、(UA)∪(UB)＝RD、A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a ＞11 ∴A∪B＝R、答选D、说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
高中数学一元二次不等式及其解法检测题(附答案)
高中数学一元二次不等式及其解法检测题（附答案）1．下列不等式的解集是的为()A．x2＋2x＋10 B.x20C．(12)x－1＜0 D.1x－3＞1x答案：D2．若x2－2ax＋20在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2] B．(－2，2)C．[－2，2) D．[－2，2]解析：选D.＝(－2a)2－410，－22.3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．解析：由＝(m－3)2－4m0可得．答案：m1或m94．若函数y＝kx2－6kx＋k＋8的定义域是R，求实数k的取值范围．解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；②当k＞0时，必有＝(－6k)2－4k(k＋8)0，解得0＜k1.综上，01.一、选择题1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a0)的解集是R，则()A．a＜0，＞0 B．a＜0，＜0C．a＞0，＜0 D．a＞0，＞0答案：B2．不等式x2x＋1＜0的解集为()A．(－1,0)(0，＋) B．(－，－1)(0,1)C．(－1,0) D．(－，－1)答案：D3．不等式2x2＋mx＋n0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是()A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－23＝n2.m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，xZ}，若P，则m等于()A．1 B．2C．1或25 D．1或2X k b 1 . c o m解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜52，xZ}＝{1,2}，m＝1或2. 5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝，则实数a的集合为() A．{a|0＜a＜4} B．{a|0a＜4}C．{a|0＜a D．{a|04}解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝.当a0时，若A＝，则有a＞0＝a2－4a0＜a综上，a{a|04}．6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选C.3000＋20x－0.1x225xx2＋50x－300000，解得x －200(舍去)或x150.二、填空题7．不等式x2＋mx＋m2＞0恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋m2＞0恒成立，等价于＜0，即m2－4m2＜00＜m＜2.答案：0＜m＜28．(2019年高考上海卷)不等式2－xx＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx＋4＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，－4＜x＜2.答案：(－4,2)9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝12t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．解析：依题意有12t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．答案：t＞10三、解答题10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜110或x＞100.原不等式的解集为{x|0＜x＜110或x＞100}．11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x 都成立，求a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为－x－1＜0x＞－1不恒成立．当a0时，不等式恒成立，则有a＜0，＜0，即a＜0a－12－4aa－1＜0a＜03a＋1a－1＞0a＜0a＜－13或a＞1a＜－13.即a的取值范围是(－，－13)．12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－52t)万亩．则税收收入为(20－52t)24000t%.由题意(20－52t)24000t%9000，整理得t2－8t＋150，解得35.当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．。
高一数学一元二次不等式试题
高一数学一元二次不等式试题1.不等式x（2﹣x）≤0的解集为（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|x≤0，或x≥2}C．{x|x≤2}D．{x|x≥0}【答案】B【解析】试题分析:，，；即不等式的解集为.【考点】解不等式.2.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选A,注意分解因式后变量系数的正负.【考点】解不等式.3.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.（1）若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；（2）若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）的取值范围（2）的取值范围【解析】试题分析:（1）对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是学生容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.（4）含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.试题解析:解析（1）由题意可得m＝0或⇔m＝0或－4＜m＜0⇔－4＜m≤0.故m的取值范围为(－4,0]. 6分（2）∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6，∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，记g(x)＝，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数.则g(x)在[1,3]上为减函数，∴[g(x)]＝g（3）＝，∴m＜. 所以m的取值范围为. 3分min【考点】一元二次不等式恒成立的问题.4.不等式的解集为，则( )A．a =－8，b =－10B．a =－1，b = 9C．a =－4，b =－9D．a =－1，b = 2【答案】【解析】不等式的解集为，为方程的两根，则根据根与系数关系可得，.故选C.【考点】一元二次不等式；根与系数关系.5.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由不等式的解集为，知，是不等式不等式对应方程的两个根，所以有，，由以上两式得，，所以即为，分解因式得，不等式对应方程的根为，，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为；【考点】不等式解集6.解关于的不等式【答案】见解析【解析】对于含参数的不等式，要对参数进行分类讨论，二次项系数含参数的要分系数等于0和不等于0来讨论，不等于0时要注意讨论方程根的大小；试题解析：解：当时，原不等式变为：当时，原不等式分解为：当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：当时，解集为：【考点】含参数的不等式的解法；7.不等式的解集为________________.【答案】.【解析】将原不等式变形为，∴不等式的解集为.【考点】解一元二次不等式.8.若不等式恒成立，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，恒成立，当时，由得，解得因此.【考点】不等式恒成立9.若不等式，对恒成立,则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，不等式，对恒成立,则，根据题意，由于，故可知，且t>1,故可知答案为A.【考点】一元二次不等式点评：主要是考查了一元二次不等式的恒成立的问题的运用，属于基础题。
高考数学 一元二次不等式及其解法大全(含练习和答案)
一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式(20(0)ax bx c a ++>>)与相应的二次函数（2(0)y ax bx c a =++>）及一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的关系(简称三个二次之间的关系)判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根1212,()x x x x < 有两相等实根 122b x x a==-没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集∅ 注：（1）若0a <时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。
2．简单的分式不等式(1)()0()f x g x >⇔______________； （2）()0()f xg x <⇔____________ (3)()0()f x g x ≥⇔ ___________ （4）()0()f x g x ≤⇔_____________ 3.二次不等式恒成立的条件（1）ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________ （2）ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．（一）考向1 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集（1）22730x x ++> （2）3＋2x －x 2≥0；（3）2830x x -+-> （4）213502x x -+-> （5）22320x x -+-< （6）2xx －1≤1解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集． 变式训练1 解下列不等式：（1）2310x x -+≤ （2）23520x x +-> （3）22530x x --+> （4）29610x x -+-<（5）3012x x+≤- （6）－1≤x 2＋2x －1≤2；（二）考向2 三个二次的关系例2 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集． 【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．变式训练2 若关于x的不等式axx－1＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范围．（三）考向3含参数的一元二次不等式的解法例3求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式训练3 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4 不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．变式训练4 对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时训练1.设集合M={}2230x x x --<，N=12log 0,x x M N ⎧⎫<⋂⎨⎬⎩⎭则等于 （ ）A ．-（1,1） B.(1,3) C.(0,1) D.(-1,0)2.在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则 （ ）A 、11a -<<B 、02a <<C 、1322a -<<D 、3122a -<<3．“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定义02x x <>或运算a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则不等式1011x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的解集为（） A ．(1,1)- B. (1,0)(0,1)-⋃C. (1)(1-⋃D.5.设A ＝{x ∈Z ||x －2|≤5}，则A 中最小元素为( )A ．2B ．－3C ．7D ．06、不等式20x ax b --<的解集为{}223,10x x bx ax <<-->则的解集为（ ）A 、{}23x x <<B 、1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C 、1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D 、{}32x x -<<-7．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.不等式102xx-≥+的解集为 （ ） A.[]2,1- B. (]2,1- C. ()(),21,-∞-⋃+∞ D. (](),21,-∞-⋃+∞ 9． “关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”是“0≤a ≤1”( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是 （ ）A ．0x ≥ B. 02x x <>或 C. 12x <- D. 132x x ≤-≥或 11.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．[]1,4- B. [)(,2)5,-∞-⋃+∞ C. (][),14,-∞-⋃+∞ D. []2,5-12、若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩是奇函数，则满足()f x a x >的的取值范围是________13.若不等式2(1)0x a x a --+≤的解集是[-4,3]的子集，则a 的取值范围是________14．已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相等，则a ＋b 的值为________．15. 设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0； 命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0， 若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．一元二次不等式及其解法答案1、D 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．2、A 【解析】 原不等式等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩.∴原不等式的解集为(－12，1]．3、(0，8) 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8.4、－14 【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化为(3)(21)0x x ++> 故原不等式的解集为132x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或（2）原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0， 故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． （3）原不等式可化为2830x x -+<284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>212830413413x x x x ∴-+-===方程有两个实根，故原不等式的解集为{}413413x x << （4）原不等式可化为26100x x -+≤ 26411040∆=-⨯⨯=-<∴原不等式的解集为∅（5）原不等式可化为22620x x -+> 2(6)42270∆=--⨯⨯=-<∴故原不等式的解集为R(6) ∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0 ⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(1)(1)01110x x x x ≤⎧⇔-≤<⎨-≠⎩－＋∴原不等式的解集为[－1，1)．变式训练1 （1）9450∆=-=> 12353522x x ∴==对应的方程有两实数根 ∴原不等式的解集为35352x ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭（2）原不等式可化为(31)(2)0x x -+> ∴原不等式的解集为123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（3）∵－2x 2－5x ＋3＞0， ∴2x 2＋5x －3＜0，∴(2x －1)(x ＋3)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．（4）原不等式可化为2(31)0x -> ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（5）原不等式可化为(3)(12)0120x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ (3)(21)0120x x x +-≥⎧⎨-≠⎩则 13212x x x ⎧≤-≥⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩或∴原不等式的解集为132x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或（6）这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1. 故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例2 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,变式训练2 解： axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x ＜1或x ＞2}， 知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}． 例3 ∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－变式训练3 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0.当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，例4 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0， 故实数m 的取值范围是(－4，0]．,变式训练4 【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0， 化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0. 解之，得x ＜1或x ＞3.课时训练1、B 解：由2230x x --<， 得13x -<<由12log 0x <，得1x > 所以{}13M N x x ⋂=<<2、C 解：()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立， 即()(1)1x a x a ---<对任意实数x 成立2210x x a a ∴--++>恒成立 214(1)0a a ∴∆=--++< 1322a ∴-<< 3. B 【解析】 ∵|x －1|＜2⇔－1＜x ＜3，又x (x －3)＜0⇔0＜x ＜3.则(0，3)(－1，3)． 4、C 解：由题意可知原不等式即为2011x <-< ，212x ∴<<1221x x ∴<<<-或5. B 【解析】 由|x －2|≤5，得－3≤x ≤7， 又x ∈Z ，∴A 中的最小元素为－36、C 解：由题意知2,3是方程20x ax b --=的解235,236a ab b +==⎧⎧∴∴⎨⎨⨯=-=-⎩⎩ 22106510bx ax x x ∴-->--->不等式为2116+5+1023x x x x ⎧⎫<∴-<<-⎨⎬⎩⎭即， 7、 A 【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}， 故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12. 则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件． 8、B 解：由102x x -≥+，得(1)(2)020x x x -+≥⎧⎨+≠⎩ 则(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得21x -<≤ (]2,1∴-原不等式的解集为9、A 【解析】 关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A.10、B 解：原不等式可化为(21)(3)0x x +-≥，解得132x x ≤-≥或 所以原不等式成立的一个必要不充分条件是02x x <>或11、A 解：由题意知，2225(1)4x x x -+=-+的最小值为4，所以22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立，只需234a a -≤，解得14a -≤≤12、(13,)-+∞ 解：()(1)(1)f x f f ∴-=-是奇函数， 即1(12)a --=--2()2a f x ∴=->-，则不等式等价于22002222x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨->--->-⎩⎩，或，解得030x x ≥<<，或-1- 即(13,)x ∈--+∞13、43a -≤≤ 解：原不等式可化为()(1)0x a x --≤，当1a <时，不等式的解集为[],1a ， 此时只要4a ≥-即可，即41a -≤<，当1a =时，不等式的解集为1x =，此时符合要求； 当1a >时，不等式的解集为[]1,a ，此时只要3a ≤即可，即13a <≤，综上可得43a -≤≤14. －1 【解析】 由|x －2|＞1得x －2＜－1或x －2＞1，即x ＜1或x ＞3.依题意得知，不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)于是有⎩⎪⎨⎪⎧1×3＝b ，1＋3＝－a ，即a ＝－4，b ＝3，a ＋b ＝－1. 15、[0，12], 解：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1， 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，由命题p 是命题q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16、 (2，＋∞) 【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2.。
高一数学一元二次不等式解法练习题及解答
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]分析 求算术根，被开方数必须是非负数．解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01aA a xB x a．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得ab ==-1212，．(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()(2){x|1x }≤≤32(3)∅例不等式＋＞的解集为5 1x 11-xC ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1D ．(x －3)(2－x)≤0故排除A 、C 、D ，选B ．两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．[ ]解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32C ．≥230--xx 解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}答 选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．解 先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -例解不等式≥．8 237232x x x -+-3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022≤，若，求的范围．0}B A a ⊆分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a ＝1时，{x|x ≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏．2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a {x|2ax 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a {x|x 2x }＜或＞；2a5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a {x|x x 2}＜或＞．2aa 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪又×，b a a c b c=∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A．(U A)∩B＝RB．A∪(U B)＝RC．(U A)∪(U B)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
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一元二次不等式知 识 梳 理１.三个“二次”间的关系判别式 Δ=b 2-４ac Δ>0 Δ＝０ Δ＜０二次函数ｙ＝ax 2+bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋b ｘ+c ＝0 (ａ>0)的根 有两相异实根 x 1,x 2(x 1<x 2)有两相等实根 x 1＝x 2＝－错误!没有实 数根ax 2+bx ＋c >0 （ａ>0)的解集 错误! 错误! Rax ２+b ｘ+c ＜0 (a >0)的解集｛x |x １＜ｘ<x ２} ∅ ∅解下列不等式x 2-5x+4≤0 x(ｘ＋１1)≥３(x+1)2(2ｘ＋１)(x －３)＞3(x 2+2) ｜x 2－3x|＞4(x －3）(x ＋２)(x-1)≥０3723202x x x -+--≥含参不等式例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11aaC x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa 11例２ 解关于ｘ的不等式 (x －2)(ax-２)>0例3 若ax 2+bx-1＜0的解集为{x|-１＜x ＜2｝,则a=_＿___＿__，b=＿_______.例 4 关于ｘ的不等式ｘ2-２ａx －8ａ2<0(ａ>0)的解集为(x1,x ２）,且x2-x1=15,则a=( ) A.＼f(5，2） B.72 C.错误! Ｄ.错误!练习解关于ｘ的不等式kx2－2x+ｋ<0(ｋ∈R)．解关于ｘ的不等式:ａｘ2－2≥2x-ax(ａ∈R)．.考点三不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝ｍx２－ｍx－1.(1)若对于一切实数x，f(x）＜0恒成立,求m的取值范围；(２)若对于x∈［1,3]，f(x）＜－m+5恒成立,求ｍ的取值范围．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识梳理1.二元一次不等式表示的平面区域(1）一般地，二元一次不等式Aｘ＋By+C>０在平面直角坐标系中表示直线Ax＋Ｂｙ+Ｃ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Aｘ＋By＋C≥０所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.（2)由于对直线Ａx＋By+C=0同一侧的所有点（x，y），把它的坐标（ｘ，y)代入Ax+Bｙ＋Ｃ，，y0）作为测试点，由Ax0＋By0所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点（x０＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示的直线是Ａx+Ｂy＋C＝０哪一侧的平面区域．2.线性规划相关概念自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋Bｙ+Ｃ＞0表示的平面区域一定在直线Aｘ＋By＋Ｃ＝０的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.（)(３)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4）目标函数z=ａx+by(b≠0)中，z的几何意义是直线ａx＋by-z＝0在y轴上的截距．( ) ２.下列各点中,不在x＋y－１≤0表示的平面区域内的是（)A．(0，0) B.(－１,１) C．(-1,3) D.（2,－3）3．直线2ｘ＋y－1０=0与不等式组错误!表示的平面区域的公共点有（)A．０个B．１个 C.２个D．无数个4.（2014·天津卷）设变量ｘ，ｙ满足约束条件错误!则目标函数ｚ＝x+2y的最小值为( ）A．2 B.3 C．4 Ｄ．５5.(2014·安徽卷)不等式组错误!表示的平面区域的面积为_＿__＿＿__．考点一二元一次不等式(组）表示的平面区域【例1】（1)若不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则ａ的取值范围是()Ａ.错误! B.(0，1]C.错误!D.(０,１]∪错误!(2)若不等式组错误!所表示的平面区域被直线y=kx＋错误!分为面积相等的两部分,则ｋ的值是（)A.7３B.＼f(3,７)C.４3 D.错误!【训练1】(１）若函数ｙ=２x图象上存在点(ｘ，y)满足约束条件错误!则实数m的最大值为()A．１2 B.1 C.错误! D.２(２)在平面直角坐标系中，若不等式组错误!(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( )A．-5 B.1Ｃ.2 Ｄ．3考点二简单线性目标函数的最值问题【例2】(１)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件错误!则z＝x+2y的最大值为( )A.8B.7 C．2 D.1(2)(2０14·新课标全国Ⅰ卷)设ｘ,y满足约束条件错误!(3)且z=x＋aｙ的最小值为7，则ａ＝（)A.-５B.３C.－５或3 D．5或-3【训练2】(1)(２015·潍坊模拟）若x,y满足条件错误!当且仅当x＝y＝3时，z=aｘ+y取最大值，则实数a的取值范围是()Ａ．(－23，＼ｆ(3,5）)B．（-∞,－＼f(3,5))∪（＼f(2，3),+∞）C．(-错误!，错误!）D．(－∞,－＼f(2,3))∪(＼f(3,5),＋∞)(2)(２014·湖南卷)若变量x,y满足约束条件错误!则ｚ=2ｘ+ｙ的最大值为__＿__＿__.考点三实际生活中的线性规划问题【例3】某旅行社租用A,Ｂ两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为３6人和60人,租金分别为1６0０元/辆和２4０0元辆,旅行社要求租车总数不超过2１辆，且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为(）A．3１200元Ｂ.36 ０00元Ｃ.36 800元 D.38 4０0元微型专题非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义:(1)错误!表示点(ｘ，y)与原点(0，0)的距离；(2)错误!表示点（x，y）与点(a，ｂ)之间的距离;(３)错误!表示点(x,ｙ)到直线Ax＋Bｙ+C＝０的距离；(４)错误!表示点(x,ｙ）与原点(0，0)连线的斜率；（５）错误!表示点(x,y)与点（ａ,b）连线的斜率.【例4】实数x，y满足错误!(1)若ｚ＝＼f(y,x)，求ｚ的最大值和最小值,并求ｚ的取值范围；(2）若ｚ=x2+y２，求z的最大值与最小值,并求ｚ的取值范围.基础巩固题组1．(2０１5·泰安模拟)不等式组错误!所表示的平面区域的面积为()A.１B.12C．１3 D.错误!２.(２0１4·湖北卷)若变量ｘ，y满足约束条件错误!则2ｘ+ｙ的最大值是( ）A.２B.4C.7 D．83．（20１3·陕西卷）若点(x,y)位于曲线y＝|ｘ｜与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为() A．-6 B.-2 Ｃ．０Ｄ.24．（2014·大连模拟）在平面直角坐标系xＯy中，P为不等式组错误!所表示的平面区域上一动点，则直线OＰ斜率的最大值为()A.２Ｂ.１C．错误! D.错误!5.(2０15·济南模拟)已知变量x,ｙ满足约束条件错误!目标函数ｚ=x+2y的最大值为1０,则实数ａ的值为()A．２ B.错误! C.4 D．8能力提升题组（建议用时:２５分钟)１1．(20１4·福建卷)已知圆C:(ｘ－a)2＋(ｙ-ｂ）2=1,平面区域Ω：错误!若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切,则a2＋b2的最大值为()A．5 B．29Ｃ．３7 D.４9解析由已知得平面区域Ω为△ＭNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴ｂ＝1．显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时,ａｍax=6.∴a2＋b２的最大值为6２+1２＝３7.故选C.答案 C1２．已知实数x，y满足不等式组错误!若目标函数z=y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,３）,则实数a的取值范围为（)A．(-∞，-１) B.(0,１)C．[１，＋∞) D.（1,+∞)解析作出不等式组对应的平面区域BCD，由ｚ=ｙ-aｘ,得y=ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点(1,3)处取最大值，则只需直线y＝aｘ＋z仅在点Ｂ(1,３)处的截距最大,由图象可知a＞ｋＢ,因为k BD=1，所以a＞1,即ａ的取值范围是(1,＋∞)．D答案 D１3.(2013·广东卷）给定区域D:错误!令点集T＝｛(x0，ｙ0)∈D|x０,ｙ０∈Ｚ,(x０，y0)是z=ｘ＋y在Ｄ上取得最大值或最小值的点}，则Ｔ中的点共确定__＿__＿＿_条不同的直线.解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(０，1),最大值时点为（0,4)，(１，3),(２,2）,（３,1)，（4，０），点(0,1)与(０,4)，(1,3)，(２,2),(３，１)，(4，0）中的任何一个点都可以构成一条直线,共有５条，又(0，４),(1,3)，(２,2)，(3，1),(４，0）都在直线x+y＝4上,故T 中的点共确定6条不同的直线．答案６14.变量x，ｙ满足错误!（1)设z=错误!,求z的最小值;（2）设ｚ＝ｘ2+y2,求ｚ的取值范围；(3)设z＝x2+y2＋６x－４y+13,求ｚ的取值范围．解由约束条件错误!作出(ｘ,ｙ）的可行域如图阴影部分所示.由错误!解得A错误!. 由错误!解得C(1,1)．由错误!解得B(5,２)．（1）∵ｚ＝yx＝错误!．∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z mｉn=k OB＝２５.(2)z=x２＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,ｄｍin＝｜OＣ｜=2,d max＝｜ＯB|=29.故z的取值范围是[2,29]．(3)z=ｘ２+y２＋6x－４y+１3＝（x＋3)２+（ｙ－2)２的几何意义是可行域上的点到点(-3，2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(－3，2)的距离中,d min=1－(－3)=4,ｄmax=错误!=8.故z的取值范围是[１6，64].。