线性代数与几何(张保才主编)思维导图
线性代数知识结构框架
第一章：行列式考试内容：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．第二章：矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算考试要求：1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．第三章：向量考试内容：向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间以及相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求：1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系5．了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．第四章：线性方程组考试内容:线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．第五章：矩阵的特征值及特征向量考试内容:矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵考试要求:1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. 2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．第六章：二次型考试内容：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求：1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变化和合同矩阵的概念了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法概率与统计第一章：随机事件和概率考试内容：随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．第二章：随机变量及其分布考试内容：随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求：1．理解随机变量的概念．理解分布函数的概念及性质．会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为λ（λ>0）的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．第三章：多维随机变量及其分布考试内容：多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求：1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布；理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度．会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
线性代数思维导图全6页及其总结
组成得向量组为对应齐次方程组的通解
求非齐次线性方程 组的通解
一组基中向量的个数称为子空间的维数
向量组A与B等价的充要条件是L(A)=L(B), 向量A组可由向量组B线性表示的充要条件
是 L(A)属于L(B) 其中L(A)表示由A生成的子空间
初等变换
第二章
通过行初等变化，可得阶梯形矩阵 通过行初等变换和列初等变换，可得等价标准型
注意：A必须是方阵且只可以进行行初等变换
等价标准型 A是可逆矩阵
A的秩等于n
detA不等于零
对于n阶矩阵A（方阵），下列条件等价
矩阵经初等变换之后秩不变，且称变换之前的矩 阵和变换之后的矩阵等价
A可表示为有限个初等矩阵的积
a的每个特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等于该特征值的重数注意p的逆矩阵在前施密特正交法将给定的一组基转化成正交基将给定的一个向量组变为单位正交的向量组先用施密特正交法将其正交化再将其单位化求齐次方程组的解空间w的正交基并将其扩充参见p95例58若矩阵a与其转置矩阵的乘积为单位矩阵则称a为正交矩阵即a的逆矩阵与其转置矩阵相等a为正交矩阵的充要条件是其列行向量组是rn中的单位正交基若a为正交矩阵则a的逆矩阵也为正交矩阵若ab为同阶正交矩阵则ab也为正交矩阵若a为正交矩阵则deta1实对称矩阵一定能与对角矩阵相似可对角化并且相似变换矩阵可取为正交矩阵实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必定正第四章线性表示向量b可由向量a1a2???am线性表示的充要条件是ranka1a2???amranka1a2???am向量b可由向量a1a2???am惟一线性表示的充要条件是ranka1a2???amranka1a2???am注意将其与非齐次线性方程组联系起来线性相关当向量组构成的齐次线性方程组只有惟一解零解时向量组线性无关当向量组构成的齐次线性方程组有无数非零解时向量组线性相向量组线性相关含有零向量的向量组线性相关仅含一个向量a的向量组线性相关的充要条件是若n维向量组线性无关那么把每个向量任意添加s个分量后所得向量组也线性无关向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由向量组织其他向量线性表示若n维向量组线性相关那么取这些向量的前r个分量rn组成的向量组也是线性相关的注意这条例题的思想相册内有清晰版与齐次线性方程组联系起来有n维向量组a若它的一个部分向量组a1线性无关且a1与a等价称a1是a的最大线性无关a1是a的最大线性无关组的充要条件rankaranka1r任意a1包含r个向量r同时称为向量组a的秩有向量组a和向量组bb可由a线性表示的充要条brankaa与b等价的充要条件是rankbrankaranka若b可由a线性表示则rankb小于等于ranka求齐次线性方程组的一个基础解系齐次方程组的一个基础解系是由一组线性无关的向量组成先用行初等变换简化系数矩阵得到同解方程组再令x1x2x3
初中数学思维导图完整版
初中数学思想导图完好版〔包含中考考点〕
2021-01-05 16:51脑记忆
一、全等三角形思想导图
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二、相像三角形思想导图
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三、几何初步和三角形思想导图
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四、投影与视图思想导图
五、圆思想导图
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六、实数思想导图
七、代数式思想导图
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线性代数各章知识及脉络图
M M
0 0
0
,n 3
Dn
A
B
a1
b1
,n 1
a1 a2 b1 b2 , n 2
-5-
○2 加边法专辑
加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，
从而实现计算的简化。
此种方法其实是反向利用 Laplace 展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更 易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。
1 n2
○3 爪型行列式专辑
爪型行列式形如：
方法：将 D 的第 i+1 列乘以 ci i 1, 2,L , n都加到第 1 列，得
ai
有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。
a1 x x L x a2 x L 【例】： Dn x x a3 L M M MO
x x xL
【例】：计算行列式
令 Dn C C AB ，
a2 1 0 L
a2 1 0 L
C
M
MM
a2 1 0 L
a2 1 0 L
0 1 1 L 0b1 b2 L M 0 0 L 0 M M 0 0 0 L
1 1
bn1 bn
0
0
【例】：
1、设行列式 det A 的元素为 aij ，行列式
n
试证： det D det A x Aij ，其中 Aij 为 aij 在 det A 中的代数余子式。 i, j1
证明：把 det D 升阶得到
n
n
n
思维导图：小学数学几何图形认识大全，收藏好，孩子数学高分不难
思维导图：小学数学几何图形认识大全，收藏好，孩子数学高分不难很多孩子经常是学了前面忘记后面，对知识没法融会贯通，主要的原因是没有一个完整的知识体系，找不到知识之间的关联性，我们可以利用思维导图这个工具，和孩子一起做一个有关小学数学几何图形的知识总结，这会让孩子对几何图形有个全面的认识和了解，把学过的知识都回忆起来，并且找到知识点之间的关联，也就会让孩子有个深刻的记忆，经常这样去做知识体系的思维导图，孩子的数学成绩获取高分也就不难了，并且成绩也会非常稳定，这些知识就像大脑细胞结构一样，深刻印在孩子大脑里，下面是我和孩子一起做的有关几何数学图形的思维导图，这只是上部分，下部分还要完善各种几何图形的计算公式，完善后到时再发出来分享。
小学数学几何图形，主要就分为三类：一、基本图形基本图形主要就是分为线和角。
线又分为：直线、射线、线段直线：线的两头无线延伸射线：一个端点，向另一端无线延伸线段：两个端点，不能超出两个端点距离：连接两点之间的线段长度，叫距离角可以分为：直角、钝角、锐角、平角、圆角对于角我们首先要了解角的表示方法，有边和顶点。
角的性质：角的大小是由两条边张开的程度决定，与边的长短无关。
直角：等于90º钝角：大于90º，小于180º锐角：小于90º平角：角的两条边成一条直线是180º圆角：是360º两条直线的位置关系：平行和相交二、平面图形平面图形分为圆、三角形、四边形圆：要了解原点、直径、半径的知识，是个轴对称图形三角形又可以分为：等腰三角形、等边三角形、直角三角形还有其它三角形。
对于三角形需要了解顶角、底角、底、腰、高这几个概念。
同时清楚等腰、等边、直角三角形的关系和构成。
等腰三角形：两腰相等，两底角相等等边三角形：三条边相等，三个角相等直角三角形：有一个角是直角当然除了这三种三角形，还有其它不规则的一些三角形。
四方形又可以分为平行四边形、长方形、正方形、梯形、菱形还有其它四边形。
精编考研线性代数知识框架图资料
考研线性代数知识框架图()000,nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间.()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩0有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量152p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-1⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ij nn i j n n n nx x x xx x x x x x x ≥≥≥---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或m nA ⨯()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= 注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1②1()()AE E A -−−−−→初等行变换③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m n m nA A A+= ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i iA c β= ，(,,)i s =1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O CB B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得√ 0Ax =与0Bx =同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组0Ax =与0Bx =同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔PQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 判断12,,,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材.⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()r A A O =⇔=0.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A ； 对A 施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑬ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10 ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑱ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.√ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15③()()r kA r A k =≠ 若0④()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70⑤ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭⑥()r AB ≤{}min (),()r A r B⑦ ,,()()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=⇒+若且0≤n ⑧()()A r AB r B ⇒=若可逆()()B r AB r A ⇒=若可逆⑨若0()()()m n Ax r A n r AB r B ⨯⇔=⎧=⇒⎨=⎩ 只有零解且A 在矩阵乘法中有左消去律0AB B AB AC B C =O ⇒=⎧⎨=⇒=⎩；若()()()n s r B n r AB r B ⨯=⇒= 且B 在矩阵乘法中有右消去律.√ 初等矩阵的性质：1212,,,0,,,()()A n n Ax n Ax A Ax r A r A Ax n βαααβαααβββ⇔=<⇔⇒⇔=−−−−−→=⇔=⇔=⇔==当为方阵时有无穷多解 表示法不唯一线性相关有非零解0 可由线性表示有解有唯一组解 1212,,,0()(),,,()(A n n Ax A r A r A Ax r A r αααββαααβ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⇔⎪⇒⇔=−−−−−→≠⇒⎪⎩⇔≠⇔=⇔<当为方阵时表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则 不可由线性表示无解)()1()A r A r A ββ⎧⎪⎨⎪⇔+=⎩注：Ax Ax ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解 √ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,⇒()()r A r A β=⇒Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限.n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+(,)(,)(,)c c c αβαβαβ==E A λ-.()E A f λλ-=.√ ()f λ是矩阵A 的特征多项式⇒()f A O =E A λ-=0. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关√12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.√ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr ,23n λλλ====0 p 指南358.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=② 若A 满足()0f A =,则A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0.√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++为A 的一个多项式.√ 1231122,T A mm k kAa b aA bE A A AA A Aλλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎨= 是的特征值则:分别有特征值 .⎪⎪⎪⎪⎪⎩ √ 1231122,A mm k kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. √ 2,mA A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.1B P AP -= （P 为可逆矩阵） 记为：A B1B P AP -= （P 为正交矩阵）A 与对角阵Λ相似. 记为：AΛ （称Λ是A√ A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n PPA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎛⎫⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 注：当i λ=0为A 的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-= 0Ax =基础解系的个数. √ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 可相似对角化.√ 若A Λ⇒k A =1k P P -Λ=，1211()()()()()n A P P P P ϕλϕλϕϕϕλ--⎛⎫⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭√ 相似矩阵的性质：① A B =tr tr② A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ③ ()()r A r B = ④TT AB ；11A B -- （若,A B 均可逆）；**A B⑤kk AB （k 为整数）；()()f A f B ，()()f A f B =⑥,A B A B CD C D ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑦E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量.√ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；② 不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ④ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑤ 一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--）.TAA E =√ A 为正交矩阵⇔A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：① 1TA A -=；② TTAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.1211(,,,)n nTn ij i j i j f x x x x Ax a x x ====∑∑ ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =T B C AC =. 记作：A B （,,A B C 为对称阵为可逆阵）二次型的规范形中正项项数pr p -；2p r -. (r 为二次型的秩)√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：AB√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x x Ax =经过正交变换合同变换可逆线性变换x Cy =化为21ni i f d y =∑√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数唯一确定的.√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 惯性定理：任一实对称矩阵A 与唯一对角阵1111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量正交化、单位化；③ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()TT T T Tn n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni if d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.123,,ααα线性无关,112122111313233121122()()()()()()T TT T T Tβααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎪⎩正交化 单位化：111βηβ=222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
线代命题点思维导图
二次型的秩：矩阵A的秩
存在可逆矩阵C使得CT AC = B, 则A与B合同
基本概念
合同
合同具有传递性 合同矩阵不唯一 两个二次型矩阵合同，则正负惯性指数相同
向量组I :α1,,αs中所有向量都能由向量组II : β1,, βt 线性表出， 则称I 可由II 线性表出 ⇔ r(β1, β2 ,, βt ) = r(β1, β2 ,, βt ,α1,α2 ,,αs )
向量组等价：α1, ,αs 与β1,, βs 可相互线性表出
设α1,,αs 可由β1,, βs 线性表出, 则r(α1, ,αs ) ≤ r(β1,, βs )
余子式M 为划去aij 所在行和列， 剩下的元素按原来位置排列的行列式（是一个值）
余子式与代数余子式
代数余子式Aij = (−1)i+ j M ij
展开
化为上下三角行列式 递推法
数学归纳法 直接按某一行（列）展开
逐行（列）相加 把每一行（列）都加到第一行（列）
把第一行（列）的k倍加到第i行
具体型
行列式计算
非齐次线性方程组
矩阵形式
解的性质
非齐次方程组的两个解之差是对应齐次方程组的解 非齐次方程组的解加上任意一个对应的齐次方程组的解后任然是该非齐次方程的解
解的结构：非齐次方程组的解等于一个特解加上对应齐次方程组解的任意线性组合
1.对增广矩阵做行变换得到行阶梯矩阵/行最简据矩阵
计算方法
2.判断解的情况 3.求对应齐次方程组的基础解系
= a11a22a33ann
ann an1 an2 ann
拉普拉斯
A O
* B
=
A *
O B
=| A || B |
高中数学几何知识点思维导图
高中数学几何知识点思维导图1. 平面几何- 点、线、面的基本概念点、线、面的基本概念- 点：没有大小和形状的几何元素。
- 线：由无数点连成的一根直线。
- 面：有无穷多个点组成的平面。
- 角的概念和分类角的概念和分类- 角：由两条射线共享一个端点构成的几何图形。
- 顶点：角的公共端点。
- 分类：锐角、直角、钝角、平角等。
- 三角形的性质三角形的性质- 三角形：由三条线段连接而成的图形。
- 性质：内角和为180度，外角和为360度，等边三角形的三条边相等。
- 四边形的性质四边形的性质- 四边形：由四条线段连接而成的图形。
- 性质：对角线相互平分，平行四边形的对边对应相等。
- 圆的基本概念和性质圆的基本概念和性质- 圆：平面上一组到一个固定点距离相等的点的集合。
- 弧：圆上的一段弯曲的线段。
- 性质：半径相等的圆相似，圆内任意两点间的线段最短。
2. 空间几何- 立体图形的表面积和体积立体图形的表面积和体积- 表面积：立体图形表面的总面积。
- 体积：立体图形所占的空间大小。
- 常见立体图形：球体、圆柱体、正方体等。
- 平行线与平面的关系平行线与平面的关系- 平行线：在同一个平面上永不相交的两条线。
- 平面：空间中没有限制的延伸的面。
- 射影定理和相似三角形射影定理和相似三角形- 射影定理：平行线与平面相交时，对应的线段成比例。
- 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形。
- 球体的性质和计算球体的性质和计算- 性质：球体表面积和体积的计算公式。
- 计算：根据给定的半径或体积计算球体的表面积或体积。
3. 向量几何- 向量的定义和运算向量的定义和运算- 向量：有大小和方向的几何量。
- 定义：用起点和终点表示的有向线段。
- 运算：向量的加法、减法和数乘运算。
- 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积- 数量积：两个向量的数量积为它们的模乘积与夹角余弦的乘积。
- 向量积：两个向量的向量积为它们的模乘积与夹角正弦的乘积。