中学生标准学术能力诊断性测试2019届高三11月测试理科数学 含答案
bc
sin C
（1）求角 C 的值；
（2）若 a + b = 4 ，当边 c 取最小值时，求 ABC 的面积．
18．（14 分）如图，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA⊥底面
ABCD，AB 垂直于 AD 和 BC，M 为棱 SB 上的点，SA=AB=BC=2，AD=1． （1）若 M 为棱 SB 的中点，求证：AM∥平面 SCD； （2）当 SM=2MB 时，求平面 AMC 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值； （3）在第（2）问条件下，设点 N 是线段 CD 上的动点，MN 与平面 SAB 所成的角 为 θ，求当 sin 取最大值时点 N 的位置．
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试 理科数学试卷（一卷）
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． z 是 z 1 2i 的共轭复数，则 z 的虚部为（ 1i
28、30(km)，它们出现的概率依次是 0.1、0.2、0.3、0.1、 t 、 2t ．
（1）求这一天中梁某一次行驶路程 X 的分布列，并求 X 的均值和方差； （2）网约车计费细则如下：起步价为 5 元，行驶路程不超过 3 km 时，租车费为 5 元，若行驶路程超过 3 km，则 按每超出 1 km（不足 1 km 也按 1 km 计程）收费 3 元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和 方差．
1， 4
则 E 的离心率为（ ）
A． 15 3
B． 3 2
C． 13 2
D．2
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x y70
13．设 x, y 满足约束条件 x 3y 1 0 ，则 z 2x y 的最小值为
．
3x y 5 0
14．每年的 9 月初是高校新生到校报道的时间，此时学生会将组织师兄师姐做好迎新接待工作，若某学院只有 3
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不等式 f (x) e 2018 x 0 的解集是
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（10 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 b2 + c2 − a2 = 2sin B − sin A ．
A． −2a2
B． − 3 a2 2
C． − 4 a2 3
D． −a2
9．设 P 是椭圆 x2 + y2 = 1 上一点， M, N 分别是两圆： (x 12)2 y2 1 和 (x 12)2 y2 1 上的点，则 169 25
PM PN 的最小值、最大值分别为（ ）
A．18，24
B．16，22
C．24，28
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a4
4 ， S5
15 ，则数列 1 的前 2018 项和为（ anan 1
）
A． 2018 2019
B． 2016 2018
C． 2016 2017
D． 2019 2018
位师兄在迎新现场，突然来了 4 位新生,要求一次性派发完迎新指引工作（可以有 1 位师兄接待 2 位新生），则安
排方案有
种．（用数字作答）
15．数列{an}的首项 a1
2 ，且 an 1
3an
2(n N*) ．令 bn
log3 (an
1) ，则 b1 + b2 + + b2018 = 2018
．
16．定义在 R 上的函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，若对任意实数 x ，有 f (x) f (x) ，且 f (x) 2018 为奇函数，则
5．已知函数 f (x) 是奇函数，当 x 0 时，f (x) xln( x) x 1，则曲线 y f (x) 在 x e 处的切线方程为（ ）
A． y 2x 1
B． y x e
C． y 2x 2e 1 D． y x e 1
8．已知 ABC 是边长为 2a ( a 0 )的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA(PB + PC) 的最小值是（ ）
A． − 1 2
B． 1 2
）
C． − 3 2
D． 3 2
2．全集U R ，集合 A {x y log2018 (x 1)} ，集合 B {y y x2 4x 8} ，则 A (CUB) =（ ）
A．[1,2]
B．[1,2)
C．(1,2]
D．(1,2)
3．设 p ：角 是钝角，设 q ：角 满足 ，则 p 是 q 的（ ）
19．（10 分）网约车的兴起,丰富了民众出行的选择,为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题， 据某著名网约车公司“滴*打车”官网显示，截止目前,该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多 万人次.梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是 20、22、24、26、
取值范围是（ ）
A．(2,3]
B．[ 2 + 3 ,4)
C．(4,5]
D．[5,6)
12．点 A, B,C, D 在同一个球的球面上， AB BC
球的表面积为（ ）
A． 125 16
B． 8
2 ， AC 2 ，若四面体 ABCD 体积的最大值为 4 ,则这个 3
C． 25 16
D． 289 16
D．20，26
10．已知函数
f
(x)
=
2x, log3
x,
x0 x0
，则函数
y
f ( f (x)) 1的零点的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
11．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 sin(A + C + ) = 3 ，且 a c 2 ，则 ABC 周长的 32
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
6．在[ 5,5]上随机取一个实数 m，能使函数 f (x) x2 2mx 2 在 R 上有零点的概率为（ ）
A． 2 5
B． 3 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C． 1 5
D． 3 10
7．已知
F1,
F2
是双曲线
E
:
x2 a2
y2 b2
1 (a＞0,b＞0) 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，sin MF2F1
【数学】中学生标准学术能力诊断性测试(11月)试卷 理科数学(PDF版)
A．恒等于 1
B．最大值为 1，无最小值
C．最小值为 1，无最大值
D．无最大值，也无最小值
4．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积（单位： cm2 ）是
A．16
B．32
C．44
D．64
5．已知 x + y 0 ，则“ 2|x| + x2 2|y| + y2 ”是“ x 0 ”的
点处的切线距离为 d，若
PF1
PF2
=
24 ，则 d
7
=
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作
答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）已知函数 f (x) = sin x − 3 cos x
D．4037
( ) 13．在 − 2,2 上随机地取一个实数 k ，则事件“直线 y = kx 与圆 x − 5 2 + y2 = 9 相交”发生的概率
为
．
14．如图，在 ABC 中， AB AC ， BC = 2 3 ， A = 60 ，ABC 的面积
等于 2 3 ，则角平分线 AD 的长等于
4
9．设函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a,b, c, d R 且 a 0) ，若 0 2 f (2) = 3 f (3) = 4 f (4) 1 ，则
f (1)+ f (5) 的取值范围是
A． (0，1)
B． (1，2)
C． (2,3)
D． (3,4)
( ) 10．已知 F1, F2 分别为双曲线
湖北武汉部分学校2019高三11月调研测试数学理
湖北武汉部分学校2019高三11月调研测试数学理数学〔理科〕【一】选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、假设复数z 满足i ·z ＝1－2i ，那么z ＝〔〕 A 、2＋iB 、－2＋iC 、－2－iD 、2－i2、“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的〔〕 A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、(x ＋12x )8的展开式中常数项为〔〕 A 、3516B 、358C 、354D 、1054、假设tan θ＋1tan θ＝4，那么sin2θ＝〔〕 A 、15B 、14C 、13D 、125、执行如下图的程序框图，假设输入n 的值为8，那么输出s 的值为〔〕A 、16B 、8C 、4D 、26、如下图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，那么点P 恰好取自阴影部分的概率为〔〕A 、14B 、15C 、16D 、177、某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润〔单位：万元〕为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润〔单位：万元〕为y 2＝2x ，其中x 为销售量〔单位：辆〕、假设该公司在这两地共销售16辆这种品牌车，那么能获得的最大利润是〔〕 A 、10.5万元B 、11万元C 、43万元D 、43.025万元8、椭圆x 2m ＋y 2＝1〔m ＞1〕和双曲线x 2n －y 2＝1〔n ＞0〕有相同的焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，那么ΔF 1PF 2的形状是〔〕A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、随m ，n 变化而变化9、如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上的任意一点，E 、F 是CD 上的任意两点，且EF 的长为定值、现有如下结论：①异面直线PQ 与EF 所成的角是定值； ②点P 到平面QEF 的距离是定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角是定值； ④三棱锥P-QEF 的体积是定值； ⑤二面角P-EF-Q 的大小是定值、 其中正确结论的个数是〔〕 A 、0B 、1C 、2D 、310、设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx 〔a ，b ∈R ，a ≠0〕，假设y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么以下判断正确的选项是〔〕A 、当a ＜0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＜0B 、当a ＜0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＞0C 、当a ＞0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0D 、当a ＞0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＞0【二】填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分、请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上、答错位置，书写不清，模棱两可均不得分〕11、在△ABC 中，假设∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，那么AC ＝、12、某几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积是、 13、正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么 〔Ⅰ〕→DE ·→CB 的值为； 〔Ⅱ〕→DE ·→DC 的最大值为、14、不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，那么当Ω的面积取得最小值时的k 的值为、 15、在如下图的数表中，第i 行第j 列的数记为ai ，j，且满足a 1，j ＝2j －1，a i ，1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j〔i ，j ∈N *〕；又记第3行的数3，5，8，13，22，39，…为数列{b n }、那么〔Ⅰ〕此数表中的第6行第3列的数为； 〔Ⅱ〕数列{b n }的通项公式为、【三】解答题〔本大题共6小题，共75分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 16、〔本小题总分值12分〕函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1〔A ＞0，ω＞0〕的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2、 〔Ⅰ〕求函数f (x )的解析式；〔Ⅱ〕设α∈(0，2π)，f (α2)＝2，求α的值、 17、〔本小题总分值12分〕在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2、〔Ⅰ〕求{a n }与{b n }的通项公式； 〔Ⅱ〕证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜23、 18、〔本小题总分值12分〕某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]、 〔Ⅰ〕求图中x 的值；〔Ⅱ〕从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上〔含90分〕的人数记为ξ，求ξ的数学期望、 19、〔本小题总分值12分〕如图，直三棱柱ABC-A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点、 〔Ⅰ〕证明：MN ∥平面A ′ACC ′；〔Ⅱ〕假设二面角A ′-MN-C 为直二面角，求λ的值、 20、〔本小题总分值13分〕椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1〔a ＞b ＞0〕的离心率为32，其长轴长与短轴长的和等于6、〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕如图，设椭圆E 的上、下顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上异于A 1、A 2的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点N 、M ，假设直线OT与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T 、证明：线段OT 的长为定值、 21、〔本小题总分值14分〕函数f (x )＝(a ＋1a )ln x ＋1x －x 〔a ＞1〕、 〔Ⅰ〕讨论f (x )在区间(0，1)上的单调性； 〔Ⅱ〕当a ≥3时，曲线y ＝f (x )上总存在相异两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，使得曲线y ＝f (x )在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1＋x 2＞65、参考答案【一】选择题1、C2、A3、B4、D5、B6、C7、C8、B9、D10、D 【二】填空题11、2312、9213、〔Ⅰ〕1；〔Ⅱ〕1 14、115、〔Ⅰ〕20；〔Ⅱ〕b n ＝2n －1＋n ＋1 【三】解答题16、〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2， ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2、 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x －π6)＋1、………………………………6分〔Ⅱ〕f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12、 ∵0＜α＜2π，∴－π6＜α－π6＜11π6， ∴α－π6＝π6，或α－π6＝5π6， 故α＝π3，或α＝π、………………………………………………………12分 17、〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕设{a n }的公差为d ，那么⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d q ．消去d ，得q 2＋q －12＝0，解得q ＝－4〔舍去〕，或q ＝3，从而可得d ＝3、∴a n ＝3＋(n －1)×3＝3n ，b n ＝3n －1、……………………………………………4分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，得S n ＝n (3＋3n )2＝3n (n ＋1)2，∴1S n ＝23n (n ＋1)＝23(1n－1n ＋1)、∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝23[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝23(1－1n ＋1)、∵n ≥1，∴0＜1n ＋1≤12，∴12≤1－1n ＋1＜1，∴13≤23(1－1n ＋1)＜23、 故13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n＜23、………………………………………………………12分 18、〔本小题总分值12分〕 解：〔Ⅰ〕由频率分布直方图，知3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018、……………4分〔Ⅱ〕成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上〔含90分〕的学生有0.006×10×50＝3人、 ∴ξ的可能取值为0，1，2、P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，P (ξ＝1)＝C 13C 19C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122、 ∴ξ的分布列为：ξP∴E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12、………………………12分 19、〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕法〔一〕：如图，连结AB ′，AC ′、由∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC-A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴M 为AB ′的中点、 又∵N 为B ′C ′的中点， ∴MN ∥AC ′；又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， ∴MN ∥平面A ′ACC ′、……………………6分 法〔二〕：取A ′B ′的中点P ，连结MP ，NP 、 ∵M ，N 分别为AB ′和B ′C ′的中点， ∴MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，∴MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′、 又MP ∩NP ＝P ，∴平面MPN ∥平面A ′ACC ′、而MN ⊂平面MPN ，∴MN ∥平面A ′ACC ′、…………………………6分〔Ⅱ〕以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O -xyz ，如下图、 设AA ′＝1，那么AB ＝AC ＝λ，∴A (0，0，0)，B (λ，0，0)，C (0，λ，0)，A ′(0，0，1)，B ′(λ，0，1)，C ′(0，λ，1)，∴M (λ2，0，12)，N (λ2，λ2，1)、设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎨⎧m ·→A ′M ＝0，m ·→MN＝0．得⎩⎪⎨⎪⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0．可取m ＝(1，－1，λ)、设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量， 由⎩⎨⎧n ·→NC ＝0，n ·→MN ＝0．得⎩⎪⎨⎪⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0．可取n ＝(－3，－1，λ)、∵A ′-MN-C 为直二面角，∴m ·n ＝0、 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2、……………………………12分20、〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2B 、①又2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3、② 解①②，得a ＝2，b ＝1、故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1、……………………………………4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，那么直线PA 1的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1； 直线PA 2的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1、设G (12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h 〕，那么r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2，|OG |2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2，∴|OT |2＝|OG |2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 201－y 20、∵x 204＋y 20＝1，即x 20＝4(1－y 20)，∴|OT |2＝4(1－y 20)1－y 20＝4，∴|OT |＝2、即线段OT 的长为定值2、……………13分 21、〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕f (x )的定义域为(0，＋∞)、求导数，得f ′(x )＝a ＋1a x －1x 2－1＝－x 2－(a ＋1a )x ＋1x 2＝－(x －a )(x －1a )x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或x ＝1a 、∵a ＞1，∴0＜1a ＜1，∴当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0；当1a ＜x ＜1时，f ′(x )＞0、故f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，1)上单调递增、……………………………6分 〔Ⅱ〕由题意得，当a ≥3时，f ′(x 1)＝f ′(x 2)〔x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2〕，即a ＋1a x 1－1x 21－1＝a ＋1a x 2－1x 22－1， ∴a ＋1a ＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2、 ∵x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2，∴x 1x 2＜(x 1＋x 22)2恒成立， ∴1x 1x 2＞4(x 1＋x 2)2，又x 1＋x 2＞0，∴a ＋1a ＝x 1＋x 2x 1x 2＞4x 1＋x 2，整理，得x 1＋x 2＞4a ＋1a、令g (a )＝4a ＋1a ＝4a a 2＋1，那么g ′(a )＝4(1－a 2)(a 2＋1)2＜0，∴g (a )在[3，＋∞)上单调递减， ∴g (a )在[3，＋∞)上的最大值为g (3)＝65， ∴x 1＋x 2＞65、…………………………………14分。
2019安徽高三诊断A卷理数及答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试诊断卷数学(理科)·A卷本套试题根据《课程标准》，遵循《2019年高考考试大纲》和《2019年高考考试大纲说明》，以能力测试为导向，以主干知识为载体，体现了“常规中考能力，基础中显功底”的命题理念．具体特点如下：1．重视对中学数学基础知识，基本技能和基本方法的考查．试题设置贴近教材，体现对“三基”的考查，试卷对中学数学主干知识和热点进行了重点考查，如：函数、导数及其应用、三角函数、立体几何、数列等内容在试题中占有较大比例．2．重视能力、思想方法的考查，提高应用意识．试题以基础知识为载体，以考查数学能力、核心数学思想为重点，并突出考查了应用意识和综合运用所学知识解决问题的能力．如：4题、8题、10题、12题、16题、19题、20题、21题．1．参考答案 B◎命题立意 本题主要考查分式不等式的解法以及集合的并集运算，考查数学运算能力．◎思路点拨 因为P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x －1>0＝{x |1<x <3}，所以P ∪Q ＝{x |0≤x <3}．故选B.,命题探究)本题通过分式不等式的求解考查了集合的并集运算，集合的概念、集合的基本运算是近年高考考查的重点和热点，预计2019年高考对集合的考查仍将以集合运算的形式出现．⎝⎛,意，6⎝⎛⎭⎫1－12n <60×⎝⎛⎭⎫12n －1，即1－12n <10×⎝⎛⎭⎫12n －1，所以2n <21，解得n ≤4，所以n 的最大值是4.,命题探究)等比数列是高考考查的重点之一，难度不大，预计2019年高考也会出现考查等比数列的定义、性质、通项公式、求和公式的题目．4．参考答案 D◎命题立意 本题主要考查三视图的识别和空间图形表面积的计算，考查空间想象能力． ◎思路点拨 由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去二分之一的圆柱后所得到的，所以该几何体的表面积S ＝2×2×5－π×12＋π×1×2＝20＋π.故选D.,2,6．参考答案 B◎命题立意 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查运算求解能力和逻辑推理能力． ◎思路点拨 设F (c ，0)，M (0，±b )，渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0.依题意，得|bc |b 2＋a 2＝3|ab |b 2＋a 2，即c ＝3a ，所以c2＝9a 2，即a 2＋b 2＝9a 2，所以b a ＝22，所以渐近线方程为y ＝±22x .故选B.,解题方法)近年高考题中，频频出现双曲线的题目，多涉及双曲线的定义、渐近线、离心率，难度中等偏易．解决双曲线简单性质的问题，要紧紧抓住三个量a ，b ，c ，依据题设条件找出它们之间的关系，再结合c 2＝a 2＋b 2即可解决问题．,◎命题立意 本题考查空间几何体的侧面积，考查运算求解能力和空间想象能力． ◎思路点拨 依题意O 是正三角形ABC 的中心，设AB ＝a ，分析计算易得0<a <23，则AO ＝33a .在Rt △AOA 1中，A 1O ＝r ＝2，则AA 1＝r 2－AO 2＝4－a 23，所以正三棱柱ABC－A 1B 1C 1侧面积S ＝3a ·AA 1＝3a4－a 23＝3－a 43＋4a 2＝3－13（a 2－6）2＋12，当a 2＝6，即a ＝6时，S 取得最大值，最大值为6 3.,解题方法)本题涉及球和三棱柱的组合体，关键是构造直角三角形，求出侧棱长，再利用配方法求最值．9．参考答案 A◎命题立意 本题主要考查线性规划中已知最优解求参数的问题，考查数形结合思想以及运算求解能力．,小正周期为2，所以选项A 错；当x ＝12时，g (x )没有取得最值，所以选项B 错；因为g (x )＋g ⎝⎛⎭⎫32－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4＋1＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32－x π＋π4＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫7π4－πx ＋2＝2，所以函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫34，1对称；由g ⎝⎛⎭⎫54＝0，g ⎝⎛⎭⎫94＝2，知g ⎝⎛⎭⎫54<g ⎝⎛⎭⎫94，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫54，94上不单调递减．故选C.,命题探究)高考对三角函数的图象和性质的考查一般有两种方式：一是以图象的方式考查函数的解析式；二是以解析式的方式考查图象的平移、对称、最值和单调性等性质．预计2019年也会以类似的方式考查三角函数的图象和性质．,解，考查数形结合思想的运用和综合求解能力．◎思路点拨因为函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，f(x)过点(1，0)，函数F(x)＝f(x)－k(x－1)有5个零点，即方程f(x)－k(x－1)＝0有5个实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k(x－1)有5个交点．因为直线y＝k(x－1)过点(1，0)，只需直线y＝k(x－1)与f(x)＝x2－4x＋6(x>1)的图象有2个交点即可．将y＝k(x－1)代入y＝x2－4x＋6(x>1)，整理得x2－(4＋k)x＋6＋k＝0.结合图像知，令Δ>0，即(4＋k)2－4(6＋k)2>0，解得k>23－2.故选C.13．参考答案－30◎命题立意本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力．◎思路点拨令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.令x＝0，得a0＝25＝32，又a5＝C55·20·(－1)5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝1－a0－a5＝－30.,命题探究)二项式定理是高考常考的内容之一，一般以两种方式呈现：一是求某项的系数；二是已,15．参考答案1 6◎命题立意本题主要考查平面图形面积的计算，几何概型概率的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力．◎思路点拨因为△DEF是正三角形，可得△GHI是正三角形，依据拿破仑定理，△ABC是正三角形，且△ABC≌△DEF.设AB＝3，则阴影部分的六个小三角形都是边长为1的正三角形，而△GHI的边长为6.所以所求概率P＝6×34×1234×62＝16.,解题方法)高考对几何概型的考查主要是考查面积型．关键是弄清事件Ω构成的平面区域和事件A 发生时构成的平面区域．,◎思路点拨 (Ⅰ)由S △ABC ＝33，得12bc sin A ＝33，(1分)即12bc sin 60°＝33，得bc ＝12.(2分) 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－bc ＝13，(3分) 所以(b －c )2＝13－bc ＝1，所以b －c ＝1或b －c ＝－1.(4分) (Ⅱ)因为A ＝60°，所以B ＋C ＝120°，所以C ＝120°－B .(5分)1tan B ＋1tan C ＝cos B sin B ＋cos C sin C ＝sin （B ＋C ）sin B sin C ＝sin Asin B sin （120°－B ）＝32·1sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B＝32·134sin 2B ＋1－cos 2B 4＝332sin 2B －cos 2B 2＋12＝3sin （2B －30°）＋12.(8分),所以EM2＋MB2＝BE2，所以MB⊥EM.(2分)又因为BC⊥CD，即MB⊥MD，EM∩MD＝M，EM⊂平面DEM，MD⊂平面DEM，所以MB⊥平面DEM.(4分)因为MB⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面DEM.(5分)(Ⅱ)依题意知EB，ED，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系．可得E(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，F(0，0，1)，M(1，0，1)，(6分),到直线的距离，异面直线所成的角，二面角等．预计2019年仍将会以多面体为载体考查空间想象能力和运算求解能力．19．◎命题立意 本题主要考查非线性回归方程以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查数据处理能力、转化与化归思想以及运算求解能力．◎思路点拨 (Ⅰ)对y ＝kx a 两边同时取自然对数，得ln y ＝a ln x ＋ln k ，(1分) 由X i ＝ln x i ，Y i ＝ln y i ，得Y i ＝aX i ＋ln k ，(2分) 所以a ^＝错误!＝错误!＝0.5，(3分) ln k ＝2.26－2.52×0.5＝1，得k ＝e ，(4分)所以y 关于x 的回归方程为y ＝e x 12.(5分),近几年高考卷中的概率统计题都是实际应用题，特点是题干长，图表多，不易理解．因此要仔细阅读题目，提取有效信息，抓住要点，结合题意和相关概念，以达到理解题意，解决问题的目的．预计2019年仍将会出现与实际问题相结合的题目．20．◎命题立意 本题主要考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查逻辑推理能力、运算求解能力、综合处理问题的能力．◎思路点拨 (Ⅰ)依题意直线l 方程为y ＝x －1，代入椭圆方程，整理得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(2分)依题意，a 2a 2＋b 2＝35，即2a 2＝3b 2.(3分)又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝2， 的标准方程为x 23＋y 22＝由2|MN|＝|AB|，得2|－m ＋1|1＋k 2＝21＋k 2·18k 2＋62＋3k 2， ②(11分)将①代入②得3（1＋k 2）1＋k 2·（2＋3k 2）＝1＋k 2·18k 2＋62＋3k 2，化简得18k 2＋6＝9，得k 2＝16，所以m ＝－12＋3k2＝－25， 即存在点M ⎝⎛⎭⎫0，－25使得以MA ，MB 为邻边的平行四边形为正方形．(12分) ,命题探究)近几年高考卷中解析几何题目主要是以椭圆或抛物线为载体，考查椭圆或抛物线的方程、性质，直线与圆锥曲线的位置关系，其中会涉及到最值、定值、定点、范围等．力争第(Ⅰ)问得满分，第(Ⅱ)问中会出现一元二次方程、根与系数的关系等，力争多得步骤分．预计2019由题意，a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＋2＋a ＝2， 解得a ＝－2e.(5分)(Ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋2－2ex ，由直线l 恒在曲线y ＝f (x )上方可知方程kx ＋2＝－x ＋2－2e x (*)无实数解．(6分)当k ＝－1时，方程(*)无实数解．(7分) 当k ≠－1时，方程(*)变为－2k ＋1＝x e x ，(8分) 令g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(1＋x )e x .当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，(10分),◎思路点拨 (Ⅰ)由⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－1＋22t两式相加得x ＋y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得ρcos θ＋ρsin θ＝0，(2分)整理得 θ＝34π，(4分)所以直线l 的极坐标方程为 θ＝34π(ρ∈R )．(5分)(Ⅱ)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝3π4，ρ2＋（6cos θ－2sin θ）ρ＋4＝0，得ρ2＋⎝⎛⎭⎫6cos 3π4－2sin 3π4ρ＋4＝0，(6分)即ρ2－42ρ＋4＝0.(7分)设A ⎛⎭⎫ρ1，3π4，B ⎛⎭⎫ρ2，3π4，则ρ1＋ρ2＝42，ρ1ρ2＝4，(8分),当x≤－1时，由f(x)≥－2x得6≥－2x，解得x≥－3，故－3≤x≤－1.所以不等式f(x)≥－2x的解集为[－3，1]∪[3，＋∞)．(5分)(Ⅱ)函数F(x)＝f(x)－ax有3个零点，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝ax有3个交点．(6分)作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝ax如图所示，(7分)由图可知，当a>k OA，a>k OB且a<0时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝ax有3个交点．(8分),。
全国名校2019年高三11月大联考-理科数学(考试版)
绝密★启用前全国名校2019年高三11月大联考理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{|ln 1}A x x =<，{|}B x x a =≥，且{|0}A B x x =>，则实数a 的取值范围是 A ．{|0e}a a <≤B ．{|e}a a ≥C ．{|010}a a <≤D ．{|e}a a <2．在平行四边形ABCD 中，若AD =m AC +n AB ，则m +n = A ．1-B ．0C ．1D ．23．在等比数列{}n a 中，若2342,3,4a a a 成等差数列，则公比q 为 A ．1B ．2C ．1或12D ．124．设函数23()(1)f x ax a x =+-，若函数()f x 为偶函数，则曲线()()2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =5．已知实数0,0x y >>，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()sin cos f x x x x =⋅+在[,]-ππ上的大致图象是7．已知(,0)2απ∈-，1cos()63απ-=-，则tan()3απ+=A ．3-B ．3 C ．2 D ．2-8．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，则使得[()]1f f x =成立的x 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若610=10=9S S ，，则16=S A ．4B ．4-C ．2D ．2-10．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的12（纵坐标不变），得到函数()sin()(0,0,||)2g x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以是A ．π()2sin()3f x x =-B ．()2sin f x x =C ．π()2sin()3f x x =+D ．π()2sin()6f x x =+11．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根分别为12,x x ，则方程可写成1()(a x x x --2)0x =，即21212()0ax a x x x ax x -++=，容易发现根与系数的关系：12b x x a+=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实数根分别为123,,x x x ，以下命题中正确命题的序号是①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x x d ++=；④123dx x x a=-．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④12．已知ABC △中，9AB =，点O 为其外接圆的圆心，且12AO CB ⋅=，则当B ∠取最大值时，ABC △的面积为A． BC． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量a 与向量(1,2)=b 方向相同，则向量a 的坐标是___________．14．已知ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若60B =︒，2b ，则sin A 的值为___________．15．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下：2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是___________元． 16．函数(15sin 7)cos y x x =+的最大值是___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{an }的前n 项和为S n ，公差d 为整数，S 5=35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }满足b n =11n n a a +，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若03()5f x =，0[,]63x ππ∈，求0cos2x 的值． 19．（本小题满分12分）已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，tan 3tan A B =-，4c =． （1）求BA BC ⋅的值；（2）若2sin sin A B C ⋅=，求角C 的大小． 20．（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，43()n n a S n =+． （1）求证：数列{1}n a +是等比数列； （2）求证：123111149n a a a a ++++<． 21．（本小题满分12分）已知函数ln ()x f x x =，()()ag x x a x=+∈R ． （1）讨论方程()()f x g x =的实数根的个数；（2）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的范围． 22．（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--．（1）若函数()f x 的图象与x 轴相切，求实数a 的值； （2）讨论函数()f x 的零点个数．全国名校2019年高三11月大联考理科数学·答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． 14 15．12610 16．645三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）【解析】（1）由S 5=5a 3=35，得a 3=7，由a 2，a 3+1，a 6成等比数列，得a 2a 6=(a 3+1)2=64， 即(3a d -)(33a d +)=64，整理得2314d d -+15=0， 又因为公差d 为整数，所以d =3，所以数列{a n }的通项公式为a n =32n -．（5分） （2）b n =11n n a a +=1(32)(31)n n -+=1311()3231n n --+， 所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =11111111[(1)()()()]34477103231n n ⨯-+-+-++--+ =11(1)331n ⨯-+ =31nn +．（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）2()sin cos f x x x x =+21sin 22sin )2x x =+- 1sin 22x x =sin(2)3x π=+，（4分）由正弦函数的性质，令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ， 所以函数()f x 的单调递区间为5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z．（6分） （2）因为003()sin(2)35f x x π=+=，0[,]63x ππ∈，所以022[,]33x ππ+∈π，04cos(2)35x π+=-，（8分） 所以0000cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 333333x x x x ππππππ=+-=+++（10分）413525=-⨯+=．（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）由tan 3tan A B =-，得sin sin 3cos cos A BA B=-⋅，则sin cos 3sin cos 0A BB A +=，3(sin cos sin cos )2sin cos A B B A A B +=，3sin()2sin cos A B A B +=，（3分）根据A B C ++=π，得sin()sin A B C +=，所以3sin 2sin cos C A B =，由正弦定理，得32cos c aB =，又4c =，所以cos 6a B =， 所以cos 4624BA BC ca B ⋅==⨯=．（6分）（2）根据正弦定理及2sin sin A B C ⋅=，4c =，得ab =8分）根据余弦定理及cos 6a B =，得221668a b a a+-⨯=，即2232a b -=，解得4a b ==（负值舍去）， 所以cos C ==，又0C <<π，所以6C π=．（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）当1n =时，1143(1)a a =+，所以13a =，当2n ≥时，1143(1)n n a S n --=+-，结合43()n n a S n =+，得11443(1)n n n n a a S S ---=-+， 又1n n n a S S -=-，所以1443(1)n n n a a a --=+，（4分） 143n n a a -=+，114(1)n n a a -+=+，1141n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是以4为首项，4为公比的等比数列．（6分） （2）根据（1）得1144n n a -+=⨯，所以41n n a =-，（8分）由于141n -≥，即1144341n n --⨯-⨯≥，所以14134n n --≥⨯，即14134n n n a -=-≥⨯，11134n n a -≤⨯， 所以1231111na a a a ++++21111()1()11111141444(1)(1)13344433949144n nn n ---≤⨯++++=⨯=⨯=⨯-<-．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（1）由()()f x g x =，得ln x ax x x=+，2ln a x x =-，（1分） 令2()ln p x x x =-，则2112()2x p'x x x x-=-=，当2(0,)x ∈时，()0p'x >，当2(,)x ∈+∞时，()0p'x <， 所以函数()p x 在2(0,)上单调递增，在2(,)+∞上单调递减，（3分） 2211()ln (ln 21)22p =-=-+，函数()p x 的大致图象如下：所以当1(ln 21)2a >-+时，方程无实数根；当1(ln 21)2a =-+时，方程有唯一的实数根；当1(ln 21)2a <-+时，方程有两个不同的实数根．（6分）（2）ln ()(1)x a h x x x x x =++>，22221ln ln 1()1x a x x a h'x x x x ---+=+-=，（7分） 令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0h'x >，()h x 在(1,)+∞上单调递增，无极值；（8分） ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->， 所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立，（10分） 所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()h x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，此时函数()h x 存在极小值． 综上，若函数()h x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >．（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）1()ax f 'x x -=，令()0f 'x =，则1x a =， 因为函数()f x 的图象与x 轴相切，所以1()0f a =，（2分）即111()ln (1)1ln 0f a a a a a a =--=--=，令()1ln h x x x =--，则1()1h'x x=-，当01x <<时，()0h'x <，函数()h x 单调递减；当1x >时，()0h'x >，函数()h x 单调递增，所以min ()(1)0h x h ==， 所以1ln 0a a --=有唯一解1a =，即实数a 的值为1．（4分） （2）1()axf 'x x-=， ①当0a ≤时，()0f 'x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f =，函数有唯一零点；（6分）②当0a >时，函数()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减，max 1()()1ln f x f a a a==--，由（1）()1ln h x x x =--的单调性知：（Ⅰ）当1a =时，max ()0f x =，所以函数只有一个零点；（8分）（Ⅱ）当01a <<时，1()1ln 0f a a a =-->，(1)0f =，所以函数()f x 在1(0,)a上有一个零点， 211()2ln f a a a a=--， 令1()2ln p x x x x =--，则22212(1)()10x p'x x x x -=+-=≥， 所以函数()p x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0p =，故 当01x <<时，()0p x <，所以211()2ln 0f a a a a=--<， 所以函数()f x 在1(,)a+∞上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点；（10分）（Ⅲ）当1a >时，(1)0f =，1()1ln 0f a a a =-->，所以函数()f x 在1(,)a+∞上有一个零点， 当10e ax <<时，ln x a <-，()ln (1)(1)0f x x a x a a x ax =--<---=-<， 所以函数()f x 在1(0,)a上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点，综上，当0a ≤或1a =时，函数()f x 有唯一零点； 当01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点．（12分）。
2019届河南省名校联盟高三年级11月调研考试(三)数学(理)试题(解析版)
2019届河南省名校联盟高三年级11月调研考试（三）数学（理）试题一、单选题1．若复数z＝，则复数z的虚部为A．－i B．－C．－D．【答案】B【解析】利用复数除法的运算，化简复数为的形式，由此求得虚部.【详解】依题意，，故复数的虚部为，故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的实部和虚部的概念.属于基础题.2．已知集合A＝{x∈Z｜（x＋1）（x－2）＜0}，B＝{－2，－1，0}，则CA∪B（A∩B）＝A．{－2，－1，1} B．{－2，1} C．{－1，1} D．{－2，－1，0，1}【答案】A【解析】解出集合的元素，然后求得的值作为全集，然后求，再求的补集.【详解】依题意，，，而，故，故选A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集、并集、全集和补集等知识，属于基础题.3．已知等差数列{}的前n项和为，且S8＝92，a5＝13，则a4＝A．16 B．13 C．12 D．10【答案】D【解析】利用等差数列前项和公式化简已知条件，并用等差数列的性质转化为的形式，由此求得的值.【详解】依题意，，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，以及等差数列的性质，解答题目过程中要注意观察已知条件的下标.属于基础题.4．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则不等式f（x）＜f（2x－1）的解集为A．（－∞，）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1）∪（－，＋∞）C．（，1）D．（－1，－）【答案】A【解析】函数图像关于轴对称，故函数在上递增，由此得到，两边平方后可解得这个不等式.【详解】依题意，函数是偶函数，且在上单调递增，故，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的对称性，考查函数的单调性以及绝对值不等式的解法，属于中档题.5．已知命题p：∈R，＜－1；命题q：在△ABC中，“BC2＋AC2＜AB2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．则下列命题中的真命题是A．B．p∧q C．p∨（）D．（）∧q【答案】D【解析】对于命题，注意到图像在图像的上方，故命题为假命题.对于命题，只是说明为钝角，故为充分不必要条件，所以为真命题.故为真命题.【详解】因为，故命题p为假命题；因为，故，故“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，命题q为真，故为真，故选D.【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，考查一次函数以及指数函数的图像与性质，还考查了三角形为钝角三角形的判断方法以及充要条件等知识，综合性较强，属于中档题.解题过程中主要用分层推进，一步一步来完成，分别求得的真假性，然后结合逻辑联结词判断真假性.6．对于空间中的直线m，n以及平面，β，下列说法正确的是A．若∥β，m，nβ，则m∥nB．若∥β，m⊥，m⊥n，则n∥βC．若⊥β，m∥，n∥β，则m⊥nD．m∥n，∥β，m⊥，则n⊥β【答案】D【解析】根据空间直线和平面的位置关系对四个选项逐一排除，由此确定正确的选项【详解】对于A选项，可能异面，故A错误；对于B选项，可能有，故B错误；对于C 选项，的夹角不一定为90°，故C错误；因为，故，因为，故，故D正确，故选D.【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查直线和平面、平面和平面位置关系的判断，属于基础题.7．如图，在△ABC中，AB＝4，tanB＝2，点D在线段BC上，∠ADC＝，则AD＝A．B．C．D．【答案】C【解析】由求得的值，由求得的值，再利用正弦定理求得的长.【详解】在△ABC中，∵，∴，因为∠ADC＝，故∠ADB＝，在△ABD中，，∴AD＝，故选C.【点睛】本小题主要考查同角三角函数关系，考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.8．已知正项等比数列{}满足a5－a1＝30，a4＝a2＋12，则a6－a4＝A．48 B．72 C．24 D．96【答案】A【解析】利用基本元的思想，将题目所给条件转化为的形式，解出公比，由此求得表达式的值.【详解】依题意，，，两式相除可得，故，即，因为数列为正项数列，结合题中条件可知，则，故选A.【点睛】本小题主要考查利用等比数列通项公式求解等比数列的基本量问题，将已知条件转化为和的形式，解方程组求得的值.9．若cos（－）＝，则cos2－sin2的值为A．B．－C．D．－【答案】C【解析】用诱导公式将已知的余弦转化为正弦的形式，然后利用辅助角公式化简所求的式子，再用二倍角公式求得所求式子的值.【详解】依题意，,，故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查辅助角公式以及二倍角公式的应用.诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，在解题过程中，要注意的是出现相应的形式，要会变，没有相应的形式，也可以转变，如可转化为.余弦的二倍角公式公式有三个，要利用上合适的那个.10．已知三棱锥S—ABC的直观图及其部分三视图如下所示，若三棱锥S—ABC的体积为，则三棱锥S—ABC的外接球半径为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据体积公式求得高，然后通过底面的外心和球心，以及底面的一个端点建立直角三角形，解这个直角三角形可求得外接球的半径.【详解】如图所示，，解得；过球心作垂直平面于点，则为的中心，连接，观察可知，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查椎体的体积公式以及几何体外接球球心的寻找方法，属于中档题.11．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝6，E为线段D1D的中点，则直线C1D与直线BE夹角的余弦值为A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，通过补形，将直线平移到的位置，作出线线角，然后通过解三角形求得线线角的余弦值.【详解】依题意，在原长方体的上方作出形状、大小相同的长方体如图所示；取的中点，连接，则即为直线与直线的夹角或补角，故，故直线与直线夹角的余弦值为，选B.【点睛】本小题考查空间两条直线的位置关系，考查异面直线所成角的作法，考查解三角形等知识，属于中档题题.12．已知函数f（x）的定义域为（－∞，0），且函数f（x）的导函数为，若x－＞，则不等式（2x＋2019）2f（2x＋2019）＜f（－1）的解集为A．（－1010，－1009）B．（－∞，－）C．(－1010，－) D．(－1010，0)【答案】C【解析】构造函数利用导数判断函数在上递减.将求解不等式转化为的形式，利用单调性可求得的取值范围.【详解】依题意，；构造函数，所以；因为，故函数在上单调递减，故【点睛】本小题主要考查利用构造函数法，以及函数导数求解不等式.在解题过程中，首先根据题意构造出与题目本身相对应的函数.如本题中的函数，在不同的题目中，构造的函数是不相同的.构造函数之后，利用导数，研究所构造函数的单调性，再结合所求不等式来解.属于偏难的题目.二、填空题13．已知平面向量m、n满足｜m｜＝4，｜n｜＝，若（m＋n）⊥（m－3n），则m、n的夹角的余弦值为____________．【答案】【解析】两个向量垂直，则它们的数量积为零，由此列方程，可求得两向量夹角的余弦值.【详解】依题意，，故，设的夹角为，故，故.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的数量积表示，考查向量数量积模的运算，属于基础题.14．已知实数x，y满足则z＝x－3y的最小值为__________．【答案】【解析】画出可行域，平移直线到可行域的边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示；观察可知，当直线过点A时，有最小值；联立解得，即；故所求最小值为.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题.解决这类问题，要先画出可行域，然后通过平移基准直线到可行域的边界位置，来求得最大值或者最小值.常见的类型有线性型：，斜率型或者等，还有两点间的距离型，或者，还有点到直线距离的类型.15．已知函数f（x）＝sin（3x－），x∈[，π]，则函数f（x）的单调递增区间为__________．【答案】【解析】将代入三角函数的递增区间，求得的的范围，然后对进行赋值，从而求得在范围内的增区间.【详解】令，解得，故，令，解得，故函数的单调递增区间为.【点睛】本小题主要考查正弦型类型的三角函数的单调区间的求法，采用的是先求得所有的增区间，然后对进行赋值，来求得给定区间内的单调增区间.16．已知函数f（x）＝lg（1－x）－lg（1＋x），函数g（x）＝2－（a＞0且a≠1）．若当x∈[0，1）时，函数f（x）与函数g（x）的值域的交集非空，则实数a的取值范围为__________．【答案】【解析】先求得函数的值域为，然后对分成和两类，讨论函数的值域，使得这两个值域有交集，来求得的取值范围.【详解】依题意，；当时, 是减函数，当时,时单调递减,，；当时, 时单调递增, 显然不符合题意；综上所述，实数的取值范围为 .【点睛】本小题考查对数的运算，考查对数函数求值域的方法，考查指数函数的单调性以及值域的取法，属于中档题.三、解答题17．已知函数f（x）＝，求函数f（x）的极值．【答案】极小值；极大值.【解析】先对函数求导，通分后根据导数的正负求得函数的单调性，由此求得函数的极小值与极大值.【详解】依题意，，故，故当时，；当时，；当时，；故当时，函数有极小值；当时，函数有极大值.【点睛】本小题主要考查利用函数导数研究函数的单调性、极值.函数求导后，往往要通分和因式分解，解不等式求得导数大于零和小于零的范围，由此得到函数的单调区间和极值. 18．已知△ABC中，（sinA－sinB）（sinA＋sinB）＝sinAsinC－sin2C．（1）求sinB的值；（2）若△ABC的面积S△ABC＝20，且AB＋BC＝13，求AC的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用正弦定理将已知条件正弦值转化为边的形式，在利用余弦定理求得的值，进而求得的值.（2）利用三角形面积公式和余弦定理列方程组，解方程组来求得的值.【详解】（1）记中，角所对的边分别为；依题意，，，，；（2）因为的面积为，所以；，即，得.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理来解三角形.这类型的题目第一步，往往是利用正弦定理进行边角互化，另外还考查了三角形的面积公式.属于中档题.19．已知函数f（x）＝mx3－2x2．（1）若m＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝f（x）－mx2在[1，3]上单调递增，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求得函数在处的导数，再利用点斜式写出切线方程.（2）对函数求导后，利用分离常数发，转化为，再利用单调性求得的最大值，由此求得的的取值范围.【详解】（1）依题意，，，故，而，故所求切线方程为，即；（2）依题意，，则；由在区间上是增函数，则对于1≤≤3恒成立，所以；因，故，记，则，而函数在上为减函数，则，所以4；故实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用函数导数，根据题目所给函数单调性，求参数的取值范围的题目.利用导数求切线方程的关键点有两个，一个是切点的坐标，另一个是切点处的斜率，也即是，求得这个斜率后，利用点斜式可求得切线方程.20．已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ADC＝90°，DC＝AB，F，M 分别是线段PC，PB的中点．（1）在线段AB上找出一点N，使得平面CMN∥平面PAD，并给出证明过程；（2）若PA＝AB，DC＝AD，求二面角C—AF—D的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，取的中点，连接，然后通过中位线，证明线线平行，进而得到线面平行，进而得到面面平行.（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，来求得面面角的余弦值.【详解】（1）证明：取AB的中点N，连接CN,MN，取PA的中点Q,连接QM，DQ；在中，MQ AB，，而，故AB//CD，故QM//DC，且QM=DC，四边形CDQM为平行四边形，CM//DQ，又平面PAD，平面PAD，平面PAD；∵MN PA，平面PAD，PA平面PAD，MN//平面PAD；因为，故平面CMN//平面PAD；（2）由已知得：两两垂直，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，则，，，所以，.设是平面的一个法向量，则，令，得.设是平面的一个法向量，则，令，.又二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查线面平行、面面平行的证明方法，考查利用空间直角坐标系来求面面角的余弦值.属于中档题，计算过程中要注意坐标不要求错.21．已知数列{}、{}满足＋＝，数列{}的前n项和为．（1）若＝，且数列{}为等比数列，求a1的值；（2）若＝，且S71＝2088，S2018＝1880，求a1，a2的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据，利用累加法求得的通项公式，进而求得的值.（2）根据，可证明数列是一个周期为的周期数列.并且连续项和为，由此化简两个已知条件，解方程组求得的值.【详解】（1）依题意，，即；故当时，，，……，，将以上各式累加得，故，因为为等比数列，故；（2）依题意，，故①，②，①+②得，，数列是一个周期为6的周期数列，设，，则，，，，，，……，即数列的任意连续6项之和为0，因为，故；因为，故；解得，，即.【点睛】本小题主要考查利用累加法求数列的通项公式，考查利用数列的特殊项找到数列的规律来解题，属于中档题.22．已知函数f（x）＝lnx－2ax，a∈R．（1）探究函数f（x）在[1，＋∞）上的单调性；（2）若关于x的不等式f（x）＋≥e－2a在[1，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减；（2）.【解析】（1）对函数求导后，对分成三类，讨论函数的单调性.（2）将原不等式转化为当时，恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】（1）依题意，，当时，，故；当时，，故当时，，当时，；当时，，故；综上：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减；（2）由题意得，当时，恒成立；令，求导得，设，则，因为，所以，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以；①当时，，此时，在上单调递增，而，所以恒成立，满足题意；②当时，，而；根据零点存在性定理可知，存在，使得.当时，单调递减；当时，，单调递增.所以有，这与恒成立矛盾，舍去；综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用单数求解不等式恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法.属于难题. 利用导数研究函数的单调性，首先要求的函数的定义域，要在定义域的范围内研究函数的单调性，求导之后往往需要通分，并根据参数所在的位置来分类讨论.。
2019年高三11月期中联考(数学理)
2019年高三11月期中联考（数学理）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准备考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合}3=n∈-<NnmZmBA，则<},2{|1=3∈-<|{≤A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2.下列命题中的假命题是A. B.C. D.3.已知条件，条件，则是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为A. B.C. D.5.已知，若，则=A.1B.-2C.-2或4D.46.设等比数列中，前n项和为,已知，则A. B. C. D.7.设3.0log ,9.0,5.054121===c b a ，则的大小关系是A. B. C. D.8.函数的图象大致是9.在中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且，面积，则等于A. B.5 C. D.2510.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若,则实数的取值范围是 A. B.C. D.11.已知是的一个零点，，则A. B.C. D.12.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则=A. B. C. D.第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
13.不等式 的解集是 .14.若实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x ，则的值域是 .15.已知奇函数满足，且当时，，则的值为x -1 02 4 5 F(x) 1 2 1.5 21下列关于函数的命题；①函数的值域为［1，2］；②函数在［0，2］上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当时，函数最多有4个零点.其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分。
2019年11月中学生标准学术能力诊断性测试数学理科试卷附答案解析
中学生标准学术能力诊断性测试2019年11月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知集合{}1,1,3,5,7,9U =−,{1,5}A =,{}7,5,1−=B ，则()U C A B =A ．{}3,9 B ．{}1,5,7 C ．{}1,1,3,9− D ．{}1,1,3,7,9−2．已知空间三条直线n m l ,,，若l 与m 垂直，l 与n 垂直，则A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 平行、相交、异面均有可能 3．复数z 满足31+=−z z ，则zA ．恒等于1B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为1，无最大值D ．无最大值，也无最小值 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是 A ．16 B ．32 C ．44D ．64 5．已知0>+y x ，则“2||2||22y x y x +>+”是“0>x ”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 6．函数ln cos(2)2y x x π=⋅−的图像可能是A B C D7．已知两个不相等的非零向量b ,a ，满足1=a ，且a 与a b −的夹角为 60，则b的取值范围是A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛230，B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 D ．()∞+，1 8．已知随机变量ξ的分布列为：ξx y Pyx则下列说法正确的是 A ．存在x ，y ()1,0∈，1()2E ξ>B ．对任意x ，y ()1,0∈，1()4E ξ≤C ．对任意x ，y ()1,0∈，()()DE ξξ≤ D ．存在x ，y ()1,0∈，1()4D ξ>9．设函数()d cx bx ax x f +++=23(),,,0a b c d a ∈≠R 且，若()()()14433220<==<f f f ，则()()51f f +的取值范围是A ．()10， B ．()21，C ．()3,2D ．()4,3 10．已知21,F F 分别为双曲线()0012222>>=−,b a by a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，使得点2F 到直线1PF 的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛251， B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，25 C ．()51， D ．()∞+，511．如图，在菱形ABCD 中，60ABC∠=，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，现将ΔABC沿着对角线AC 翻折，则直线EF 与平面ACD 所成角的正切值最大值为A ．2 B ．321C ．33 D ．22（第11题图）12．已知数列}{n a 满足11=a ，11ln 1++=+nn n a a a ，记[][][]n n a a a S +++= 21，[]t 表示不超过t 的最大整数，则2019S 的值为A ．2019B ．2018C ．4038D ．4037 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在[]2,2−上随机地取一个实数k ，则事件“直线kx y =与圆()9522=+−y x 相交”发生的概率为 ．14．如图，在ABC ∆中，AC AB >，32=BC ，︒=60A ，ABC ∆的面积等于32，则角平分线AD 的长等于 ．15．已知数列}{n a 满足n a a n n 2151−=++，其前n 项和为n S ，若n S 8S ≤恒成立，则1a 的取值范围为 ．16．已知P 为椭圆C ：22+143x y =上一个动点，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆C 在P 点处的切线距离为d ，若12247PF PF ⋅=，则d = ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（12分）已知函数x x x f cos 3sin )(−=（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是a ,b ,c ，若()3f B =，3b =，求ABC∆面积的最大值．18．（12分）如图，已知四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，BC =2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点． （1）求证：AE //平面PDC ；（2）若BC =CD =PD ，求直线AC 与平面PBC 所成角的余弦值．19．(12分) 已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．20．(12分)如图，斜率为k 的直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，直线PM 垂直平分弦AB ，且分别交AB 、x 轴于M 、P ，已知()4,0P ． （1）求M 点的横坐标；（2）求PAB △面积的最大值．21．（12分）已知函数xaxx x f −=ln )(，R a ∈． （1）若函数)(x f 有且只有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）设函数)(x f 的两个零点为21,x x ，且21x x ≠，求证e x x 221>+．（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为2sin 96ρθπ⎛⎫−= ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点，直线l 上有两点A,B ，始终满足AB 4=，求MAB △面积的最大值与最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知c b a ,,为正实数，且满足3=++c b a ．证明：（1）3≤++ac bc ab ； （2）3222≥++ac c b b a ．（第14题图）l中学生标准学术能力测试诊断性测试2019年11月测试理科数学（一卷）答案一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3814．315． (,7]−∞16．2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．解：()sin 2sin()3f x x x x π==− ………………………………2分（1）令22232k x k πππππ−≤−≤+（k Z ∈）得52266k x k ππππ−≤≤+（k Z ∈） 故函数()f x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈） …………………5分（2）由()f B = ，得sin()3B π−=323πππ+=−k B 或,3223πππ+=−k B∴222,3B k B k k Z ππππ=+=+∈或 ，32π=∴B B 是三角形的内角， ． ………………………………7分∵B ac c a b cos 2222−+= ∴922=++ac c a∴92≤+ac ac ，即3≤ac ………………………………9分 ∴133sin 24ABC S ac B ∆=≤． ………………………………11分 当且仅当3a c == 时，ABC ∆面积的最大值是334． ……………………………12分 18．（1）取PC 的中点F ，连接DF ，EF ， ∵ E 是PB 的中点， ∴ EF //BC ，且BC =2EF ， 又 AD //BC ，BC =2AD∴ AD //EF 且AD =EF ， ………………………………2分 ∴ 四边形ADFE 是平行四边形，∴ AE //DF ，又DF ⊂平面PDC ,AE PCD ⊄平面 ， ……………………………… 4分 ∴ AE //平面PDC ． ………………………………5分 （2）若PD =DC ，则△PDC 是等腰三角形， ∴ DF ⊥PC ，又AE //DF ，∴ AE ⊥PC∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴ PD ⊥BC ， 又 BC ⊥CD ,CDPD D = ∴ BC ⊥平面PDC ， ………………………………7分 ∵ DF ⊂平面PDC ∴ BC ⊥DF ∴ BC ⊥AE 又 AE ⊥PC ,PCBC C =∴ AE ⊥平面PBC ， ………………………………9分 连接EC ，AC ，则∠ACE 就是直线AC 与平面PBC 所成的角． ………………………10分 设PD =CD =BC =2，EBAPCD F在Rt △PCB 中，求得PC=，PB= ，EC在Rt △ADC 中，求得AC∴ 在Rt △AEC中，c s o EC ECA AC ==∠． ………………………………12分19．（1）设事件i A 为“甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“乙盒中取出j 个红球”则()()2223332256,i ij ji j C C C C P A P B C C −−== 设事件C 为“4个球中恰有1个红球”()()()021111022333233301102222565639633C 1015101510C C C C C C C C P P A B P A B C C C C ∴=+=⋅+⋅=⋅+⋅=…………………………………3分（2）ξ可取的值为0,1,2,34，()()02022333002256C C C C 30B =C C 50P P A ξ∴===⋅ ……5分 ()()31C 10P P ξ===()()()()022011112002233323332333021120222222565656112++25C C C C C C C C C C C C P P A B P A B P A B C C C C C C ξ==+=⋅+⋅⋅=………………………………7分()()()112020112333233312212222565693++50C C C C C C C C P P A B P A B C C C C ξ===⋅⋅= …………………9分()()20202333222256C C C C 14B =C C 50P P A ξ∴===⋅ ………………………………10分的分布列为：33119190123+450102550505E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯⨯= ………………………………12分20．（1）设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则121200,22x x y y x y ++==，……1分 ∴ 121212042y y k x x y y y −===−+ ， ………………………………3分而004MP y k x =−， ………………………………4分 由1MP k k ⋅=− 得042x −=− ，即02x =． ………………………………5分（2）设直线0:()2AB x m y y =−+ 即0:2AB x my my =−+ ， 与抛物线24y x = 联立得204480y my my −+−= ，220164(48)0,2m my m =−−>∴<△则121204,48y y m y y my +==−， ………………………………7分所以12|||AB y y =−=， 而P 到直线AB的距离为d =所以01||2|22PAB S d AB my ∆==+ ………………………………9分 又由于012y m k ==，所以222(24(PAB S m m ∆=+=+（22m <）， …………………10分t =，则0t >且222m t =−， 所以234(3)124PAB S t t t t ∆=−=− ， 令3()124(0)g t t t t =−> ，则2()121212(1)(1)g t t t t '=−=−+，当01t << ，()0g t '> ，当1t >时，()0g t '<，故3()124(1)8g t t t g =−≤=，即PAB ∆面积的最大值为8． ………………………12分21．（1）解：21ln ')0,xf x x e x−==∴=（ 当')00,()0)f x x e f x e ><<∴（时，在（，上单调递增 ， 当')0,(),)f x x e f x e <>∴+∞（时，在（上单调递减． 1)()f x f e a e∴==−极大值（ ……3分，1)0f x a e∴<<（有且只有两个零点，，00()0x x f x >→<又且时，0()0x a f x →+∞=>时，若时，不符合题意，0lim ()0x a f x a →+∞<=−>若时,不符合，0lim ()0x a f x a →+∞>=−<若时,满足，综上，若使()f x 有且只有两个零点，10a e∴<< …………………… 4分 （2）证法一：ln ln )0ln ,ln x xf x a x ax x a e x=−=∴=∴=⋅（，，12ln ,ln x x x xe a −∴=是的两根 tt e t t g e t t g x t x t −−−=⋅===)1()(',)(,ln ,ln 2211设，上单调递减上单调递增，在，在（),1[]1-)(+∞∞∴t g ， ………………………………6分,10,),()(212121t t t t t g t g <<<<=则必有设 ），（构造函数10),1()1()(G ∈−−+=t t g t g t ，,01-()1(')1(')(G'21>=−++=+）tt e ett g t g t,0)0()(,)1,0()(G =>∴∈∴G t G t t 上单调递增在 ………………………………9分)()()2(211t g t g t g =>−∴，上单调递减，在又),1()(),,1(,221+∞∈+∞∈−t t g t t 2,-22121>+∴<∴t t t t ,12ln ln 2x x ∴+>，即212x x e ⋅>；122x x e +∴>>，即122x x e +>．……12分 证法二：不妨设121x e x <<<，)()(21x f x f = ，1212ln ln x x x x ∴=，即2211ln ln x x x x ∴=， ………………………………6分设21(1)x tx t => ，1111ln ln ln ln ln tx t x t x x +∴==，1ln ln 1t x t ∴=−， 1ln 1ln ln ln ln )ln(ln 112−=−+=+==t t t t t t x t tx x ，t t t x x ln 11ln ln 21⋅−+=+∴，122x x +> ，要证122x x e +>，只需证212x x e ⋅>， 即证121ln ln ln 21t x x t t ++=⋅>− ，即证2(1)ln 01t t t −−>+． …………………………9分 设2(1)()ln ,(1)1t g t t t t −=−>+， 22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t −=−=>++，()g t ∴在(1,)+∞单调递增． 0)1(=g ，0)1()(=>∴g t g ，12ln ln 2x x ∴+>，122x x e +∴>>，即122x x e +>．………………………12分 证法三：不妨设121x e x <<<，12()()f x f x =，1212ln ln x x x x ∴=， ………………………………6分 要证122x x e +>，只需证122112112ln ln ln x x x x xe x x x +−>=>− ， ……………………7分 变形，得：2121212()ln ln x x x x x x −−>+，即2212112(1)ln 1x x x x x x −>+．设212(1)ln (1)1x t t t t x t −=∴>>+ ，设2(1)()ln ,(1)1t g t t t t −=−>+，……………………10分 22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t −=−=>++，()1g t ∴+∞在（，）上单调递增， ()(1)0g t g ∴>=，12112ln x x xe x +∴>=成立，122x x e ∴+>．………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．【选修4−4：坐标系与参数方程】（10分） （1）因为直线l 的极坐标方程为2sin 96ρθπ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，即12sin cos 922ρθθ⎛⎫−⋅= ⎪ ⎪⎝⎭．由cos ,sin x y ρθρθ==，可得直线l 的直角坐标方程为90x +=． ………………………………2分将曲线C 的参数方程4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为224161x y +=． ………………………………4分（2）设()Q 4cos ,2sin αα ，[)0,2απ∈ ．点P 的极坐标4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标为(2, ．则(M 2cos +1,sin αα+． ………………………………6分所以点M 到直线l 的距离d ==，（其中，tan θ=），所以77d 22⎡+∈⎢⎣⎦ ………………………………8分AB 4= ，12772ΔMAB S AB d d ⎡∴=⋅=∈−⎣ ∴MAB △面积的最大值为77+，最小值为77− …………………………10分23．【选修4−5：不等式选讲】（10分）23．（1）因为,,a b c 为正实数，且满足3a b c ++=．所以，()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++ac c bc,a c ab,b b a 222222222≥+≥+≥+ ，ac bc ab c b a ++≥++∴222 ……2分()2333a b c ab ac bc ∴++≥++ ，3a b c ++=，∴3ab bc ac ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立 ………………………………5分（2）2222,2,2a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥ ， ()2222a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++ ………………………………8分222a b c a b c b c a ∴++≥++ ，3a b c ++= ，2223a b c b c a∴++≥ ，当且仅当a b c == 时，等号成立 ………………………………10分。
2019届中学生标准学术能力诊断性测试理科数学(一卷)试卷及答案11月测试-精编
位师兄在迎新现场，突然来了 4 位新生,要求一次性派发完迎新指引工作（可以有 1 位师兄接待 2 位新生），则安
排方案有
种．（用数字作答）
15．数列{an}的首项 a1
2 ，且 an 1
3an
2(n N*) ．令 bn
log3 (an
1) ，则 b1 + b2 + + b2018 = 2018
．
16．定义在 R 上的函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，若对任意实数 x ，有 f (x) f (x) ，且 f (x) 2018 为奇函数，则
（2）若直线
l
与曲线
C2：xy
= =
2
cos 点，点 C(2,1) ，求 AC + BC ．
23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) = x +1 + 3x + a ，若 f (x) 的最小值为 1．
（1）求实数 a 的值；
AM 平面SCD [6 分]
（2）以点 A 为坐标原点，建立分别以 AD、AB、AS 为 x 轴、y 轴、z 轴，如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)， C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，[7 分] 由条件得 M 为线段 SB 近 B 点的三等分点．[8 分]
D．20，26
10．已知函数
f
(x)
=
2x, log3
x,
x0 x0
，则函数
y
A．4
B．3
f ( f (x)) 1的零点的个数是（
C．2
） D．1
11．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 sin(A + C + ) = 3 ，且 a c 2 ，则 ABC 周长的 32
湖南重点高中2019届高三11月大联考理科数学(精编含解析)
2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（1，3）C．[1，3]D．[3，+∞）2．已知函数f（x）＝是偶函数，则g（﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．254．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．5．已知xy满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．76．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称8．设a＝log23，b＝ln3，c＝（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．10．如图所示几何体是由正四棱锥P﹣A1B1C1D1与长方体ABCD﹣A1B1C1D1组成，AB＝BC＝，AA1＝2，若该几何体存在一个外接球，则异面直线PD1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知△ABC的外心为O，且||＝4，+2+2＝，则cos A的值为（）A．﹣B．﹣C．D．12．设函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，则x1+x2＝（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝．14．已知函数f（x）＝x cos x，则（x2+f（x））dx＝．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，，若S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，则正整数λ的最小值为．16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝3，鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，则阳马A1﹣BCC1B1体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．20．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E、F分别为SA、SD的中点．（1）当SA＝时，证明：平面BEF⊥平面SAD；（2）若平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，求直线SC与平面BEF所成角的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|a﹣2＜x＜a+3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（1，3）C．[1，3]D．[3，+∞）【分析】可解出B＝{x|x＜1，或x＞4}，根据A∪B＝R即可得出，解出a的范围即可．【解答】解：B＝{x|x＜1，或x＞4}；∵A∪B＝R；∴；∴1＜a＜3；∴a的取值范围是（1，3）．故选：B．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的概念及运算．2．已知函数f（x）＝是偶函数，则g（﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）与f（﹣）的值，结合函数奇偶性的性质可得f（）＝f（﹣），即﹣1＝g（﹣）﹣1，分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（）＝﹣1＝﹣1，f（﹣）＝g（﹣）﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（）＝f（﹣），即﹣1＝g（﹣）﹣1，解可得：g（﹣）＝；故选：A．【点评】本题考查分段函数的奇偶性，涉及函数的求值，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．25【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴＝a1•a5，∴（1+d）2＝1•（1+4d），解得d＝2．∴S5＝5+＝25．故选：D．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，根据锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝（1+2）×1＝，高h＝1，故体积V＝Sh＝，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5．已知xy满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图形可知A（2，2）当直线y＝﹣2x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：6．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．【分析】由已知＝1，结合cos（π﹣B）＝可得a cos B，结合余弦定理可求a及cos B，代入△ABC的面积S＝可求．【解答】解：∵AB＝1，AC＝3，＝1，∴cos（π﹣B）＝＝，∴a cos B＝﹣1，由余弦定理可得，a×＝﹣1，∴a2+1﹣9＝﹣2，∴a2＝6即a＝，cos B＝﹣，则△ABC的面积S＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，解题中要注意向量夹角定义的应用．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称【分析】由图象经过两点，解方程可得函数f（x）的解析式，由对称轴的特点可判断A；由对称中心解方程可判断B；运用正弦函数的图象解不等式可得解集，可判断C；运用图象平移规律和函数奇偶性的性质，可判断D．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），可得2sinφ＝1，由|φ|＜）即有φ＝，由2sin（ω+）＝﹣2，0＜ω＜1，即有ω+＝，可得ω＝，则f（x）＝2sin（x+），由f（﹣）＝2sin（﹣+）＝0不为最值，故A错；可令x+＝kπ，可得x＝2kπ﹣，k∈Z，即有对称中心为（2kπ﹣，0），故B错；由f（x）≥1即sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤2kπ+，即4kπ≤x≤4kπ+，k∈Z，故C对；f（x）的图象向右平移个单位可得y＝2sin（x﹣+），即y＝2sin x，所得函数图象关于原点对称，故D错．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数解析式的求法和对称性、图象平移，考查化简运算能力，属于中档题．8．设a＝log23，b＝ln3，c＝（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】利用对数的换底公式及单调性比较a，b，c的大小．【解答】解：∵a＝log23＝，b＝ln3＝，且lge＞lg2＞0，∴b＜a＝log23＜log24＝2，而c＝（）＞＝2．∴b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．9．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，结合三角函数的性质求出极小值点即可．【解答】解：∵f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x﹣x＝x（cos x﹣），令f′（x）＝0，解得：x＝0或x＝2kπ±，令k＝1，则k＝1时，x＝或，显然x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，函数的极小值点是，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道常规题．10．如图所示几何体是由正四棱锥P﹣A1B1C1D1与长方体ABCD﹣A1B1C1D1组成，AB＝BC＝，AA1＝2，若该几何体存在一个外接球，则异面直线PD1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意知∠PD1A1是异面直线PD1与BC所成的角，长方体的对角线是外接球的直径，由此求出异面直线PD1与BC所成角的余弦值．【解答】解：由题意，BC∥B1C1，B1C1∥A1D1，∴BC∥PD1，∴∠PD1A1是异面中心PD1与BC所成的角；连接BD1，取BD1的中点O，连接OP，如图所示；由题意知该几何体外接球的直径为BD1，半径为OP；连接A1C1，则交OP于点O1，且O1是A1C1的中心；∴BD1＝＝4，∴OP＝2，∴O1P＝1；又O1D1＝××＝，∴PD1＝＝2；取A1D1的中点M，连接PM，则△PMD1是直角三角形，∴cos∠PD1M＝＝＝，即异面直线PD1与BC所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查了异面直线所成角的大小计算问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，是中档题．11．已知△ABC的外心为O，且||＝4，+2+2＝，则cos A的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】取BC的中点为D，由+2+2＝，得4＝﹣，所以点A，O，D三点共线，又OD⊥BC，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，再算出|AB|，|BC|后用余弦定理算出cos A【解答】解：取BC的中点为D，由+2+2＝，得4＝﹣，所以点A，O，D三点共线，又OD ⊥BC，∴AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，∴|AD|＝1，|OD|＝3，∴|BD|＝，∴|AB|＝＝2，∴cos A＝＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理．属中档题．12．设函数f（x）＝，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，则x1+x2＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】先利用导数求出函数的极小值，再分类讨论，即可求出关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0（a∈R）有且仅有两个整数解x1，x2，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴f（x）在x＝2处取得极小值f（2）＝，若a＜0，则a≤f（x）≤0，由图可知，无论a取何值均有无数个整数解，当a＞0时，则0≤f（x）≤a，此时f（x）在x＝2取得最小值，故有一整数根x＝2，∵f（1）＝，f（3）＝＜，∴另一整数根为x＝3，此时≤a＜，∴x1+x2＝5，故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝﹣．【分析】利用两个向量垂直的性质求得tanθ的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则•＝2cosθ﹣sinθ＝0，故tanθ＝2．故sin（θ+）cos（θ+）＝sin（2θ+）＝cos2θ＝•＝•＝•＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，二倍角公式的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）＝x cos x，则（x2+f（x））dx＝．【分析】根据奇函数的性质和定积分的计算法则计算即可．【解答】解：因为f（x）＝x cos x为奇函数，所以f（x）dx＝0，因为x2dx＝＝[23﹣（﹣2）3]＝，故（x2+f（x））dx＝，故答案为：．【点评】本题考查定积分的计算和奇函数的性质，属于基础题15．已知数列{a n}的前n项和为S n，，若S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，则正整数λ的最小值为2．【分析】先根据裂项求和求出S n，即可得到λ＞1+，问题得以解决【解答】解：a n＝＝＝1+＝1+＝1+﹣，∴S n＝n+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝n+1﹣＝n+，∵S n＜nλ对任意的n∈N*恒成立，∴n+＜nλ对任意的n∈N*恒成立，∴λ＞1+，∵数列为单调递减数列，∴λ＞1+＝，故正整数λ的最小值为2，故答案为：2【点评】本题考查了求和公式，以及数列的函数特征，属于中档题16．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝3，鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，则阳马A1﹣BCC1B1体积的最大值为4．【分析】利用外接球的表面积求解外接球的半径，推出A1B的长，设出设AC＝x，BC＝y，转化求解阳马A1﹣BCC1B1体积，求解最大值．【解答】解：鳖臑A1﹣BCC1外接球的表面积为25π，可得外接球的半径为r，4πr2＝25π，可得r＝，则A1B＝5，设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2+9＝25，x2+y2＝16，∵当阳马A1﹣BCC1B1体积最大，∴V＝×x×3×y＝xy，∵xy≤＝8，当且仅当x＝y＝2时，取等号，V的最大值为：4．故答案为：4．【点评】本题考查阳马A1﹣BCC1B1体积的求法，外接球的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）利用正弦定理转化求解即可．（2）利用余弦定理以及正弦定理，以及两角和与差的三角函数求解即可．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得，∴，∴；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C⇒c2＝2+4+4，∴，由，∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）分n＝1和n≥2两种情况，根据数列的通项公式的定义求得a n＝2n﹣1，然后代入已知条件推知{b n}的通项公式；（2）利用错位相减法求得T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1．＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1当n＝1时也适合，故a n＝2n﹣1，所以1+log2a n＝n，故nb n+1＝n（b n+2）．b n﹣b n+1＝2，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）a n b n＝（2n﹣1）•2n﹣1．T n＝1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①2T n＝2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，②由①﹣②得：﹣T n＝1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝1+2（2n﹣2）﹣（2n﹣1）•2n，T n＝（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了数列的求和、“错位相减”法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．【分析】（1）利用和与差公式打开，化简，即可求解单调递增区间；（2）根据区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，结合单调性即可求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．＝（cosπx cos﹣sinπx sin）（cosπx cos+sinπx sin）＝cos2πx sin2πx＝＝cos2πx令2kπ﹣π≤2πx≤2kπ，k∈Z得：k﹣≤x≤k∴f（x）的单调递增区间为[k﹣，k]，k∈Z．∵x∈[，a]上∴2πx∈[，2πa]上f（x）值域为[﹣，﹣]，≤cos2πx．结合余弦函数的性质：π≤2πa．解得：故得a的取值范围是[，]．【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，E、F分别为SA、SD的中点．（1）当SA＝时，证明：平面BEF⊥平面SAD；（2）若平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，求直线SC与平面BEF所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC，交BD于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BEF⊥平面SAD．（2）设OS＝h，则S（0，0，h），求出平面BEF的法向量和平面ABCD的法向量，由平面BEF与底面ABCD所成锐二面角为，得h＝，利用向量法能求出直线SC与平面BEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点O，建立如图所示空间直角坐标系，∵SA＝，∴OS＝，则S（0，0，），A（，0，0），D（0，﹣，0），B（0，，0），E（，0，），F（0，﹣，），设G是AD的中点，则G（，﹣，0），＝（，﹣，﹣），＝（﹣，﹣，0），＝（﹣），∵＝0，＝0，∴SG ⊥EF ，SG ⊥EB ，∵EF ∩EB ＝E ，∴SG ⊥平面BEF ， ∵SG ⊂平面SAD ，∴平面BEF ⊥平面SAD ．解：（2）设OS ＝h ，则S （0，0，h ），E （，0，），F （0，﹣，），则＝（﹣，﹣，0），＝（﹣，，﹣），设平面BEF 的法向量为＝（x ，y ，z ），则，取x ＝1，得＝（1，﹣1，﹣），取平面ABCD 的法向量＝（0，0，1），∵平面BEF 与底面ABCD 所成锐二面角为，∴cos ＝＝，解得h ＝，∴＝（），∴sin ＜，＞＝＝＝．∴直线SC 与平面BEF 所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f （x ）＝，a ∈R ．（1）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性； （2）若x ＞0时，f （x ）＞2，求整数a 的最小值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出a ＞在（0，+∞）恒成立，令g （x ）＝，根据函数的单调性求出a 的最小值即可．【解答】解：（1）f ′（x ）＝，令y ＝x 2+ax ﹣a ，当△≤0即﹣4≤a ≤0时，f ′（x ）≥0， f （x ）在（0，+∞）递增，当a ＞0时，△＞0，x 2+ax ﹣a ＝0的两根为x 1＝，x 2＝，∵x 2＜0＜x 1，∴f （x ）在（0，x 1）递减，在（x 1，+∞）递增， 当a ≤﹣4时，△＞0，0＜x 2＜x 1，故f （x ）在（0，x 2），（x 1，+∞）递增，在（x 2，x 1）递减；（2）由已知得a ＞在（0，+∞）恒成立，令g （x ）＝，则g ′（x ）＝，令h （x ）＝2﹣e x ﹣2x ，h ′（x ）＝﹣e x ﹣2＜0， 故h （x ）＜h （0）＝1，∵h （）＜0，∴h （x ）在（0，）上存在零点，设为x 0，则＝2﹣2x 0，g （x ）≤g （x 0）＝，x 0∈（0，），设m （x ）＝，则m ′（x ）＝＞0，故m （x ）在（0，）递增，故m （x ）∈（0，），故整数a的最小值是1．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．【分析】（1）根据x1，x2是方程2a（x+1）2﹣（x+1）+1＝0的两正实根，得到a的取值范围，（2）求出f（x1）+f（x2）＝﹣﹣2a﹣ln（2a）+1，令2a＝t，0根据函数令2a＝t，，的单调性证明即可．【解答】解：（1）＝；∵函数f（x）＝ax2+（2a﹣1）x+ln（x+1）有两个极值点x1，x2．∴y＝2at2﹣t+1有两个正实根x1+1，x2+1，∴．∴0．（2），由，（（x2+1）＝．f（x1）+f（x2）＝+ln（x1+1）（x2+1）＝a[（2﹣2x1x2]+（2a﹣1）（﹣2）﹣ln（2a）＝﹣﹣2a﹣ln（2a）+1令2a＝t，0，，．∴g（t）单调递增，g（t）＝2ln2﹣．∴f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论数思想，是一道综合题．。
中学生标准学术能力测试2019届高三11月测试(一卷)理科综合试卷(含答案)
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试理科综合试卷（一卷）本试卷共 300 分，考试时间 150 分钟。
可能用到的相对原子质量：锆（Zr ）-91 Cl-35.5 O-16 Si-28 Ge-73一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分，共 78 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于细胞内所含有的“骨架”说法错误的是： A ．“细胞的蓝图—DNA”的骨架是磷酸和脱氧核糖交替连接构成的 B ．多糖、蛋白质、核酸等生物大分子都以碳链为骨架C ．单糖、氨基酸、核苷酸等单体也以若干个相连的碳原子构成的碳链为基本骨架D ．真核细胞中维持细胞形态的细胞骨架是由蛋白质和磷脂构成的网架结构2．右图是物质进出细胞的运输方式示意图，以下有关说法正确的是：A ．胰岛素通过丁图所示过程进入细胞发挥作用B ．通过丙图出细胞的物质并不一定是大分子C ．甲图所示跨膜方式使膜两侧离子趋于平衡D ．乙图所示过程与小肠绒毛上皮细胞吸收葡萄糖的方式相同3．自 2017 年 7 月以来，宫颈癌疫苗（HPV 疫苗）在国内得到推广。
该疫苗是 HPV （DNA 病毒，宿主细胞为上皮细胞）灭活纯化制备，接种三针可预防宫颈癌症的发生，下列说法错误的是： A ．HPV 的核酸彻底水解后可以获得 6 种化合物B ．若想用 32P 标记 DNA 可把 HPV 培养在含 32P 的磷酸盐溶液里C ．若想验证 HPV 遗传物质是 DNA ，可用含有同位素标记的 T 或 U 的上皮细胞来培养病毒，观察其子代病毒的放射性D ．HPV 侵入人体后，大多数情况下人体可以通过体液免疫和细胞免疫来清除病毒4．美国生物学家发现 1-甲基环丙烯（1-MCP ）可作为保鲜剂用于储存果蔬。
科学家用适宜浓度 1-MCP 对柿子果实的细胞呼吸速率和乙烯产生量的影响进行了研究，结果如图。
请据图选出错误的是：A ．由图甲可推测，1-MCP 可能抑制呼吸酶来减弱细胞呼吸延迟呼吸高峰的到来，从而对果蔬进行保鲜，降低果蔬营养物质的损耗B ．由图乙可推测，1-MCP 是通过抑制乙烯的产生延长了果蔬的储运期C ．研究发现柿子细胞表面乙烯受体数量正常，1-MCP 可能优先结合乙烯受体，抑制果蔬对乙烯的反应，延缓果蔬成熟D ．农业生产上可在一开始坐果时立即使用 1-MCP ，使果实延迟成熟上市5．生态果园是利用生态工程学原理，科学配置各成分及资源而建立的可持续发展的果园生产体系。