均匀传输线
第1章均匀传输线理论详解
第1章
1.1 1.2 1.3 1.4
均匀传输线理论
均匀传输线方程及其解 传输线阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、 效率与损耗
1.5
1.6 1.7
阻抗匹配
史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
习
题
第1章 均匀传输线理论
传输线
电路：导线
e.g.50Hz交流电电线
无纵向电磁场分量的电磁波称为横电磁波，即TEM
波，TEM波只能够存在于双导体或多导体中。
另外, 传输线本身的不连续性可以构成各种形式的
微波无源元器件 , 这些元器件和均匀传输线、 有源
元器件及天线一起构成微波系统。
第1章 均匀传输线理论
一、传输线的种类
1、双导体传输线（TEM波传输线）： 它由两根或两根以上平行导体构成 , 因其传输的电 磁波是横电磁波（ TEM 波）或准 TEM 波 , 故又称为 TEM波传输线。
dU ( z ) Z I ( z) dz
dI ( z ) Y U ( z ) dz
移相
dU 2 ( z ) dI ( z ) Z Z Y U ( z ) 2 dz dz
dI 2 ( z ) Z Y I ( z) 0 2 dz
dI 2 ( z ) dU ( z ) Y Y Z I ( z) 2 dz dz
从微分的角度，对很小的Δz, 忽略高阶小量,有： u ( z , t ) u ( z z , t ) u ( z , t ) z z i ( z , t ) i ( z z , t ) i ( z , t ) z z 从电路角度，应用基尔霍夫定律，可得： i ( z , t ) u(z, t)+R﹒Δz﹒i(z, t)+ L z - u(z+Δz, t)=0 t u( z z, t ) i(z, t)+G﹒Δz﹒u(z+Δz, t)+ C﹒Δz﹒ -i(z+Δz, t)=0
电路理论第18章均匀传输线
L0
•
R0 I
•
dI dx
jC0
•
G0 U
令：Z0 R0 jL0
Y0 G0 jC0
注意
1 Z0 Y0
Байду номын сангаас
dU dx
Z0
I
dI dx
Y0U
单位长度复阻抗
单位长度复导纳
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dU dx
Z0
I
两边求导
d2U dx2
Z0Y0U
2
U
dI dx
Y0U
传播常数
d 2 I dx2
Z Y0 0I
Z C I2s hx I2chx
例1 已知一均匀传输线 Z0=0.42779/km ,
Y0=2.710-690s/km. U2 220kV , I2 455A
求 f=50Hz，距终端900km处的电压和电流。
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解
UI((xx))UZUC22cshhxx
Z C I2s hx I2chx
令x l x，x为传输线上一点到终点的距离。
I(x)
I2
+
+
U(x)
-
U-2
l
x
0
以终端 为零点
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U(x)
1 2
(U2
e ZCI2 )
x
1 2
(U2
e ZCI2 )
x
I(x)
1 2
(U2 ZC
I2 )e
x
1 2
(U2 ZC
e I2 )
x
UI((xx))UZUC22cshhxx
(U1
ZC
I1)
传输线方程及其解
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
1
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
16
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
14
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
第1章 均匀传输线理论
60
式 中 , α 为 衰 减 常 数 , 单 位 为 dB/m( 有 时 也 用 Np/m, 1 Np/m=8.86 dB/m ); β为相移常数, 单位为rad/m。
对于无耗传输线,R=G=0, 则α=0, 此时γ=jβ, β=ω
于损耗很小的传输线, 即满足R<<ωL、G<<ωC时, 有
。 LC 对
式中, Zl为终端负载阻抗。 上式表明: 均匀无耗传输线上任意一点的输入阻抗与观察 点的位置、传输线的特性阻抗、终端负载阻抗及工作频率有关, 且一般为复数, 故不宜直接测量。另外, 无耗传输线上任意相距 λ/2处的阻抗相同, 一般称之为λ/2重复性。 ［例1- 1］一根特性阻抗为50 Ω、 长度为0.1875m的无耗 均匀传输线 , 其工作频率为 200MHz, 终端接有负载 Zl=40+j30
得，为此，引入以下三个重要的物理量: 输入阻抗、 反射系数
和驻波比。 1. 由上一节可知, 对无耗均匀传输线, 线上各点电压U(z)、 电 流I(z)与终端电压Ul、终端电流Il的关系如下
U(z)=Ulcos(βz)+jIlZ0sin(βz) I(z)=Il cos(βz)+jUlZ0sin(βz) (1- 2- 1)
寸、形状、媒质分布、材料及边界条件均不变的导波系统称为
规则导波系统, 又称为均匀传输线。 把导行波传播的方向称为 纵向, 垂直于导波传播的方向称为横向。无纵向电磁场分量的
电磁波称为横电磁波，即TEM波。另外, 传输线本身的不连续
性可以构成各种形式的微波无源元器件, 这些元器件和均匀传 输线、 有源元器件及天线一起构成微波系统。
R G r jw LC ( 1 )( 1 ) jwL jwc
均匀传输线例题
1 Z ins j j arctan l Z ino
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•
1 j103 0.628 rad/m arctan 1.5 j54.6
结论 通过测量一段无损耗传输线在终端短
路和开路情况下的入端阻抗，可以计算出该传输 线的特性阻抗和传播常数。
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• 4. 均匀传输线上的行波 U ( x) A1e x A2e x U e x U e x I ( x) A1 e x A2 e x I e x I e x ZC ZC
短路和开路时分别测得入端阻抗 Z is j103Ω Z i 0 j54.6Ω 试求该传输线的ZC和传播常数。 2π 2π Z i 0 jZ C cot l 解 Z is jZ C tan l λ
Zi 0 Zis Z C
2
Z is Zi 0 (tan
2π
l)
2
ZC Zi 0 Zis j103 ( j54.6) 75 Ω
180 10 12 C0 1.8pF 100
27.72 10 6 L0 0.2772 H 100
1 8 1.416 10 m/s L0C0 3 2π 100 10 3 4.439 10 rad/m 8 1.416 10
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•
考察u+和i+
u x, t 2 U e ax cos t x U ax i 2 e cos t x z ZC
特点
① 传输线上电压和电流既是时间t的函数，又是空间 位置x的函数，任一点的电压和电流随时间作正 弦变化。
均匀传输线方程及其解
均匀传输线方程及其解
哎哟，说到这个均匀传输线方程嘛，可是咱们工程界里头的一个大头哦。
先给大家说说这方程是个啥玩意儿，然后再慢慢儿地给大家展开讲讲咋解。
咱们先从陕西话儿说起，这均匀传输线方程啊，就像是咱老陕地里的那条直溜溜儿的渠，水流稳稳当当地过去，不歪不斜。
这方程嘛，就是描述那条“水流”——也就是信号——在传输线上是怎么跑的。
再换到咱们四川话儿，这方程就像咱们四川的麻辣烫，各种调料都得恰到好处，多了少了都不行。
信号在传输线上跑，也得有个“度”，快了慢了都会影响效果。
那咋解这方程呢？这可得好好儿说说。
解这方程啊，就像咱们做川菜一样，得一步一步来，不能急。
首先得把方程里的各个量都弄清楚，哪些是已知的，哪些是未知的，这就好比咱们做菜前要准备好的各种食材。
然后就开始动手解啦。
这解的过程啊，有时候得用点儿小技巧，就像咱们川菜厨师炒菜时用的那些独门绝技。
有时候得加点儿这个，减点儿那个，才能让味道刚刚好。
解完之后呢，还得检查一下解得对不对。
这就像咱们做完菜后要尝尝味道一样，看看符不符合要求。
所以说啊，这均匀传输线方程及其解，虽然听起来挺复杂的，但只要咱们用心去做，就一定能把它搞明白。
就像咱们做菜一样，只要用心去做，就一定能做出美味佳肴来。
均匀传输线及其方程
均匀传输线及其方程
1、均匀传输线
均匀传输线沿线的电介质、导体截面、导体间的几何距离处处相同。
均匀传输线的特点：
①电容、电感、电阻、电导连续且均匀地分布在整个传输线上；可以用单位长度的电容C0、电感L0、电阻R0、电导G0来描述传输线的电气性质；
②整个传输线可以看成是由许许多多微小的线元△x 级联而成；
③每一个线元可以看成是集总参数的电路，因而可以将基尔霍夫定律应用到这个电路的回路和结点。
2、均匀传输线的方程
在如图所示的传输线电路模型中，对回路列写KVL方程得到
当时，
对节点列写KCL方程得到
当时，
综上所示，得到均匀传输线方程
图传输线电路模型
注意
①均匀传输线方程也称为电报方程，反映沿线电压电流的变化；
②均匀传输线沿线有感应电势存在，导致两导体间的电压随距离x而变化；沿线有位移电流存在，导致导线中的传导电流随距离x而变化；
③均匀传输线方程适用于任意截面的由理想导体组成的二线传输线。
电路分析基础_2 第11章 均匀传输线
将此式代入 β = ω LC 可得： β = ω = 2π λf λ 此式是相移常数与波长的重要关系式。 传播常数与特性阻抗一样，都是只与线路的参数和使 用频率有关，而与负载无关。
实践证明：α表示波每行进一个单位长度时，其振幅 就减小到原振幅的eα分之一，因此α称为衰减常数。 α称为衰减常数 传播常数的虚部β表示沿波传播方向每行进一个单位 长度，波在相位上滞后的弧度数，因此称β为相移常数 β为相移常数。 又因为 β = 2π ，即β又表示在2π长的一段传输线上波的个 数，的以又称β为波数 又称β为波数。 传播常数显然与传输线长度上的原始参数及信号的频 率有关，其实部衰减常数α与虚部相移常数β经过整理还 2 可表达为： R C G L 1 R G 1 − + α ≈ − 2 2 L 2 C 8ω L C
R ( + jω ) L L L = ZC = G C ( + jω )C C
11.3.3 传播常数
无损耗传输线上的传播常数为 ν = α + j β = j ω L • j ω C = j ω LC 由式可看出，此时衰减常数α=0，而 β = ω LC 行波的传播速度 1 ω
β LC 若将传播速度写成频率与波长的乘积，有
•
ν
R + jω L
( A 1 e −ν z − A 2 e ν z )
d ( R + jω L ) I = − ( A 1 e −ν z + A 2 e ν z ) = A 1ν e −ν z − A 2ν eν z dz I=
•
•
ν
R + jω L
( A 1 e −ν z − A 2 e ν z )
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均匀传输线1 分布参数电路分布参数电路与集总参数电路不同，描述这种电路的方程是偏微分方程，它有两个自变量即时间t 和空间x 。
这显示出分布参数电路具有电磁场的特点。
集总参数电路的方程是常微分方程，只有一个自变量。
均匀传输线是分布参数电路的一种。
均匀传输线何时采用分布参数电路，何时采用集总参数电路，是与均匀传输线的长短有关的。
均匀传输线的长短是个相对的概念，取决于它的长度与它上面通过的电压、电流波波长之间的相对关系。
当均匀传输线的长度远远小于工作波长)100/(λ<l 时，可当作集总电路来处理，否则，应作为分布参数电路处理。
对于集总参数电路，电压、电流的作用，从电路的始端到终端是瞬时完成的，但在分布参数电路中则需要一定的时间。
集总参数电路的连接线，只起到“连接”的作用，若电源通过连接线接在负载上，则负载端的电压、电流，也就是电源端的电压、电流；而均匀传输线不同，沿线的电压电流都在发生变化。
2 均匀传输线及其方程2.1 均匀传输线上的电压和电流传输线上的电流和来回两线之间的电压不仅是时间的函数，还是距离的函数。
()()x t i i x t u u ,,==传输线的电压情况：是连续变化的。
电流在导线的电阻中引起沿线的电压降；电流在导线的周围产生磁场，即沿线有电感的存在，变动的电流沿线产生电感电压降。
传输线的电流情况：沿线各处的电流不同。
线间有分布电容的效应，存在电容电流；导体间还有漏电导，当两线间电压较高时，则漏电流也不容忽视。
2.3 均匀传输线的原参数0R ----两根导线每单位长度具有的电阻。
其单位为m /Ω，km /Ω。
0L ----两根导线每单位长度具有的电感。
其单位为H/m ，H/km 。
0G ----每单位长度导线之间的电导。
其单位为S/m ，S/km 。
0C ----每单位长度导线之间的电容。
其单位为F/m ，F/km 。
这几个参数称为传输线的原参数。
2.4 均匀传输线方程⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+=∂∂-∂∂+=∂∂-tu C u G xi t i L i R x u0000 这就是均匀传输线方程，它是一组对偶的常系数线性偏微分方程。
方程中的负号“-”号说明随着X 的增加电压电流在减小。
第一个方程表明，由于均匀传输线上连续分布的电阻和电感分别引起相应的压降，致使线间电压沿线变化；第二个方程表明，由于均匀传输线导线间连续分布的电导和电容分别在线间引起相应的泄漏电流和电容电流，致使电流沿线变化。
这是我们研究均匀传输线工作状态的基本依据。
3 均匀传输线的正弦稳态解3.1 正弦稳态解在外加正弦电压激励下，求解均匀传输线方程的稳态解可以采用相量法。
(1)已知始端电压电流11,∙∙I U ，0=x传输线上与始端的距离为x 处的电压和电流：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∙∙-∙∙∙∙∙-∙∙∙xc x c xc x c e I Z U e I Z U I e I Z U e I Z U U γγγγ1111111121212121 或写成()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∙∙∙∙∙∙x Sh Z U x Ch I I x Sh I Z x Ch U U c c γγγγ1111 (2)已知终端电压电流22,∙∙I U ，l x =传输线上与终端的距离为'x 处的电压和电流：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∙∙∙∙∙-∙∙∙∙∙''''2222222221212121xc x c x c x c e I Z U e I Z U I e I Z U e I Z U U γγγγ 或写成()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∙∙∙∙∙∙'2'2'2'2x Sh Z U x Ch I I x Sh I Z x Ch U U c c γγγγ 3.2 均匀传输线的副参数传播常数： ()000000)(C j G L j R Y Z j ωωβαγ++==+=， 实部α为衰减常数，虚部β为相位常数。
特性阻抗（又称波阻抗）：=C Z 000000C j G L j R Y Z ωω++=，是复数，也是均匀传输线的一个副参数。
3.3 均匀传输线的行波把上面所得到的均匀传输线的稳态解写成两项之和，即：∙-∙+∙∙-∙+∙-=+=II I U U U以电压行波为例：可以导出电压相量的表达式如下：=∙U +0U ()x j x e e βψα--++-0U ()x j x e e βψα+--把电压相量化为时间函数形式，得=u 2+0U ()+-+-ψβωαx t e x cos +2-0U ()-++ψβωαx t e x cos =-++u u这样，u 可看成是上面两个电压分量的叠加。
第一项称为正向行波，第二项为反向行波。
3.4 反射系数反射系数：在线上距终端'x 的反射系数定义为该处反射波与入射波电压相量或电流相量之比。
是一个复数，用n 表示。
''22222222x cc x c c eZ Z Z Z e I Z U I Z U II UUn γγ--∙∙∙∙∙+∙-∙+∙-+-=+-===式中∙∙=222I U Z 为传输线终端的负载阻抗。
反射系数反映了反射波和入射波在幅值和相位上的差异。
（1） 当终端负载c Z Z =2时，在线上任何处均有n=0，即不存在反射波，称为终端阻抗和传输阻抗匹配。
（2） 当0'=x 时，即终端的反射系数比以2n 表示。
第一种情况：∞=2Z ，即终端开路时，12=n ； 第二种情况：02=Z ，即终端短路时，12-=n 。
1||2=n 称为全反射。
所以上述两种情况均为全反射，但相位不同。
4 终端接负载阻抗的均匀传输线4.1 工作于匹配状态下的均匀传输线匹配的概念：如果在均匀传输线的终端接入的负载2Z 和特性阻抗c Z 是相等的，这时反射系数为0，也就是反射波不存在。
即传输线工作于匹配状态。
沿线的电压和电流：⎪⎩⎪⎨⎧==∙∙∙∙xxeI I e U U γγ22 沿线任一点的输入阻抗当终端接特性阻抗后，沿线任一点的电压相量和电流相量之比值都等于特性阻抗，即有c Z I U I U IU ===∙∙∙∙∙∙1122因此，对于匹配的传输线，从沿线任何处向终端看的输入阻抗in Z 总等于特性阻抗c Z 。
4.2 终端开路的均匀传输线，即∞=2Z沿线的电压和电流：当终端开路时，02=∙I ，则可求得距终端x 处的电压∙oc U ，∙oc I 为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∙∙∙∙x sh Z UI x ch U U c oc oc γγ22始端的输入阻抗为()l x =()()()l cth Z l sh l ch Z I U Z c cl x ococ oc γγγ====∙∙4.2 终端短路的均匀传输线，即02=Z沿线的电压和电流：当终端短路时，02=∙U ，则可求得距终端x 处的电压∙sc U ，∙sc I 为：()()⎪⎩⎪⎨⎧==∙∙∙∙x ch I I x sh Z I U sc c sc γγ22 始端的输入阻抗为()l x =()()()l th Z l ch l sh Z I U Z c cl x scsc sc γγγ====∙∙4.3 终端接任意阻抗2Z沿线的电压和电流,距终端x 处的电压电流为：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∙∙∙∙∙∙x Sh Z U x Ch I I x Sh I Z x Ch U U c c γγγγ2222 始端的输入阻抗为()l x =()()()()l th Z Z l th Z Z Z x Sh Z U x Ch I l Sh I Z l Ch U IU Z ccccc lx in γγγγγγ++=++==∙∙∙∙=∙∙22222215 无损耗传输线5.1无损耗传输线的定义把原参数0,000==G R 的均匀传输线称为无损耗线。
5.2 无损耗线的副参数传播常数： ()00000000)(C L j C j L j C j G L j R ωωωωωγ=⨯=++=，虚数。
即：00,0C L ωβα==。
特性阻抗（又称波阻抗）：=c Z 0000000C L C j G L j R Y Z =++=ωω，实数，为纯电阻。
5.3 驻波无损耗现在终端开路、短路和接有纯电抗负载的情况下，线路上的电压和电流是纯驻波。
（1） 终端开路时，在终端和离终端的距离为2λkx = （k 为整数）的各点处，总出现电压的波腹和电流的波节。
而在离开终端的距离为()412λ+=k x （k 为整数）的各点处，总出现电压的波节和电流的波腹。
终端开路时始端的输入阻抗为：l ctgZ j I U Z c lx ocococ λπ2-===（2） 终端短路时，在终端和离终端的距离为2λkx = （k 为整数）的各点处，总出现电压的波节和电流的波腹。
而在离开终端的距离为()412λ+=k x （k 为整数）的各点处，总出现电压的波腹和电流的波节。
终端短路时始端的输入阻抗为：l tgZ j I U Z c lx scsc sc λπ2===5.4 无损耗线的应用（1） 长度为l 的终端开路的无损耗线，当4λ<l 时，为纯容抗，可以用作电容元件；当24λλ<<l 时，为纯感抗，可以用作电感元件。
当所要求的电容元件的容抗c X 为已知，用无损耗开路线代替，可得线路的长度πλ21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c c Z X ctg l（2） 长度为l 的终端短路的无损耗线，当4λ<l 时，为纯感抗，可以用作电感元件；当24λλ<<l 时，为纯容抗，可以用作电容元件。
当所要求的电容元件的容抗L X 为已知，用无损耗短路线代替，可得线路的长度πλ21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c L Z X ctg l（3）4λ长无损耗线作为阻抗变换器 设无损耗线的特性阻抗为1c Z ，负载阻抗为2Z ，且设2Z 为纯电阻。
要求设法使2Z 和1c Z 匹配，为此需在传输线的终端与负载之间插入一段4λ=l 的无损耗线。
无损耗线的特性阻抗c Z 为21Z Z Z c c ⋅=因此4λ长无损耗线相当于一个阻抗变换器。