函数奇偶性及单调性的综合应用专题
函数的单调性和奇偶性的综合应用
函数的单调性和奇偶性的综合应用对称有点对称和轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ⇒ 1x2x应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x相关练习：若()y f x =是R 上的减函数，则(1)f 2(22)f a a ++2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、ky x=、2y ax bx c =++相关练习：若()f x ax =，()bg x x=-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称，()()f x f x -= ⇒ ()f x 是偶函数定义域关于原点对称，()()f x f x -=- ⇒ ()f x 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好()()f x f x -=±，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（1）已知函数21()4f x ax bx a b=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b(2)若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。
(3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f = 。
(4)函数()y f x =的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像O点对称：对称中心O 轴对称：偶函数奇函数奇函数奇函数4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】相关练习：（1）根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上是 函数（增、减）(2) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x =(3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4f - 2(1)f a a -+ (4)设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、 (3)f 的大小顺序是（ ） A. ()(3)(2)f f f π->>- B. ()(2)(3)f f f π->-> C. ()(3)(2)f f f π-<<- D. ()(2)(3)f f f π-<-<(5)如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5，那么()f x 在区间[7,3]--上( )A. 最小值是5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是5(6)如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值是－５那么()f x 在[7,3]--上是( ) A. 增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C. 减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数，那么当10x <，20x >且120x x +<时，有（ ）A. 12()()f x f x ->-B. 12()()f x f x -<-C. 12()()f x f x -=-D. 不确定(8)如果()f x 是奇函数，而且在开区间(,0)-∞上是增函数，又(2)0f =，那么()0x f x ⋅< 的解是（ ）A. 20x -<<或02x <<B. 20x -<<或2x >C. 2x <-或02x <<D. 3x <-或3x >(9) 已知函数()f x 为偶函数，x R ∈，当0x <时，()f x 单调递增，对于10x <，20x >，有12||||x x <，则（ ）A.12()()f x f x ->- B. 12()()f x f x -<- C. 12()()f x f x -=- D. 12|()||()|f x f x -<-5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型2 利用单调性解不等式】相关练习：(1)已知()y f x =是(3,3)-上的减函数，解不等式(3)(2)f x f x +>-(2)定义在(1,1)-上的奇函数()f x 是减函数，且满足条件(1)(12)0f a f a -+-<，求a 的取值范围。
函数单调性和奇函数性质的综合应用题
函数单调性和奇函数性质的综合应用题题目描述给定函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，请回答以下问题：1. 函数 $f(x)$ 的定义域是什么？2. 函数 $f(x)$ 的奇偶性如何？3. 在开区间 $(0, 3)$ 上，函数 $f(x)$ 的单调性如何？4. 在闭区间 $[-1, 2]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大最小值分别是多少？解答1. 函数 $f(x)$ 的定义域是所有实数集 $(-\infty, +\infty)$，因为对任意实数 $x$，$f(x)$ 的定义都存在。
2. 函数 $f(x)$ 的奇偶性是奇函数。
为了验证函数的奇偶性，我们需要检查函数是否满足 $f(-x) = -f(x)$。
对于函数 $f(x) = x^3 -3x^2 + 2x + 1$，我们有 $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2(-x) + 1 = -x^3 +3x^2 - 2x + 1$。
可以看到 $f(-x) = -f(x)$ 成立，所以函数 $f(x)$ 是奇函数。
3. 在开区间 $(0, 3)$ 上，函数 $f(x)$ 是递增函数。
为了验证函数的单调性，我们需要检查函数在该区间上的导数是否大于等于零。
计算函数的导数 $f'(x)$，我们有 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。
将其带入$0 < x < 3$，我们可以看到 $f'(x) > 0$。
因此，函数 $f(x)$ 在开区间$(0, 3)$ 上是递增的。
4. 在闭区间 $[-1, 2]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大值是 $f(2) = 11$，最小值是 $f(-1) = -1$。
为了找出最大最小值，我们可以求函数在该区间内的驻点和区间的端点处的函数值。
计算导数 $f'(x) = 3x^2 -6x + 2$ 的根，可得 $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
函数的单调性、奇偶性的综合问题
函数的单调性、奇偶性综合运用【学习目标】1.进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题；2.利用单调性、奇偶性来解决相关问题。
【学习过程】一．复习回顾：1．函数单调性、奇偶性的定义2．设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是二．例题精讲：题型一：知单调性求参数的范围1．若()x f 是偶函数,其定义域为(),-∞+∞,且在 [)+∞,0上是减函数 则)43(-f ，)1(2+-a a f 的大小关系是 。
2．已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,且在定义域上为增函数,若2(2)(4)0f a f a -+-<,求 a 的取值范围.【变式】 已知()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在()1,0上为增函数,若)4()2(2a f a f -<-,求 a 的取值范围。
题型二：单调性的判断与证明：3．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则f (x ) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论4．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，并且f (x )<0对一切R x ∈成立，试判断)(1x f -在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论. 【课堂巩固】1.设()x f 是偶函数，且当[)+∞∈,0x 时，1)(-=x x f ， 则0)1(<-x f 的解是 .2. 定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若()122++a a f <()1232+-a a f ,求a 的取值范围.3.若奇函数)(x f 是定义域()1,1-上的减函数，且0)1()1(2<-+-m f m f 求实数 m 的取值范围4．已知f (x )是R 上的奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论函数的单调性、奇偶性综合运用(一)【学习目标】1、 进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题；2、 利用单调性、奇偶性来解决相关问题。
函数单调性和奇偶性的综合应用题
函数单调性和奇偶性应用【巩固练习】⑴函数y=（2k+1)x+b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围是 ______⑵函数f(x)=2x 2-mx+3当x ∈[2，+∞）时是增函数，则实数m 的取值范围 _____⑶设f （x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7）＝－17，求f(7）的值。
⑷已知f （x)是奇函数，g(x)是偶函数,且f （x ）－g(x ）＝ ,求f(x)、g(x).【学习探究】 一、函数单调性的判断及应用 例1、试讨论函数 上的单调性【变式训练】试讨论函数f(x) 上的单调性，其中a 为非零常数.例2、函数f （x)＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上单调，则（ ）A ．a ∈（－∞，1］B ．a ∈［2,＋∞）C ．a ∈［1，2］D ．a ∈(－∞，1]∪［2，＋∞)【变式训练】 已知函数f （x)＝x 2＋2（a －1)x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数,求实数a 的取值范围．例3、已知f （x)是定义在[－1，1]上的增函数,且f （x －2)〈f （1－x ），求x的取值范围二、函数奇偶性的判断和应用例4.判断下列函数的奇偶性(1）f （x)=5x+3 （2）f （x)=x －2+x 4（3） (4）【例5】已知)(x f 是定义域R 为的奇函数，当0<x 时，2)(2-+=x x x f ， 求11+x ),0()0(,)(+∞≠+=在a x a x x f ）在（1,1-12-=x ax 2211)(x x x f -++=⎪⎩⎪⎨⎧>++-=<-+=)0(32)0(0)0(32)(22x x x x x x x x f的解析式.三、单调性和奇偶性的的综合应用例1： 设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数,则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序练习：1：()y f x =在(0,2）上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则157(),(),()222f f f 的大小关系2：若函数2()f x x mx n =++，对任意实数x ,都有(1)(3)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f - 的大小关系3、已知函数21()4f x ax bx a b=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b4、若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。
函数的单调性奇偶性综合应用练习
函数的单调性、奇偶性综合应用一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －32. (1)判断并证明f(x)在R 上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y 可得：f(－x)= －f(x)，在R 上任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f(x 2) －f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2－x 1).因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0。
又因为x>0时f(x)<0，所以f(x 2－x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1).由定义可知f(x)在R 上是减函数.(2)因为f(x)在R 上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.所以f(－3)最大，f(3)最小。
所以f(－3)= －f(3)=2即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
二、复合函数单调性例2、求函数y=322--x x 的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=322--x x 的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.解：设u=x 2－2x －3，则y=u .因为u ≥0，所以x 2－2x －3≥0.所以x ≥3或x ≤－1.因为y=u 在u ≥0时是增函数，又当x ≥3时，u 是增函数，所以当x ≥3时，y 是x 的增函数。
又当 x ≤－1时，u 是减函数，所以当x ≤－1时，y 是x 的减函数。
所以y=322--x x 的单调递增区间是[3,+ ∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。
证明略三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定 思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x 轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x 1+x 2+x 3+x 4=0.答案：C四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m 的取值范围。
有关函数单调性、奇偶性的综合应用
有关函数单调性、奇偶性的综合应用函数的单调性是对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质，它反映了函数()f x 在区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性．作为函数的两个最重要的性质，我们往往将二者结合起来研究．本文将针对这一方面的综合应用举例说明．例1 已知()y f x =是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <，试问1()()F x f x =在(,0)-∞上是增函数还是减函数？证明你的结论． 【分析】根据函数的单调性的定义，可以设210x x x ∆=-<，进而判断21()()Y F x F x ∆=-2111()()f x f x =-=1212()()()()f x f x f x f x - 的正负号． 【解析】任取12(,0)x x ∈-∞、，且210x x x ∆=-<，则有21()()0x x x -∆=--->． ()y f x =在(0,)+∞上是增函数，且()0f x <，∴12()()0f x f x ---<，又 ()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-所以12()()0f x f x ->．于是21()()Y F x F x ∆=-2111()()f x f x =-=1212()()()()f x f x f x f x - 0>， ∴1()()F x f x =在(,0)-∞上是减函数． 【评析】本题最容易发生的错误是一开始就在(0,)+∞内任取21x x <，展开证明，这样就不能保证12,x x --在(,0)-∞内的任意性而导致错误．例2 已知函数()y f x =，(1,1)x ∈-，即是偶函数又是减函数，解不等式(1)(23)0f x f x -+-<．【解析】先求(1)(23)f x f x -+-的定义域：1111231x x -<-<⎧⎨-<-<⎩得0212x x <<⎧⎨<<⎩，∴定义域为{|12}x x <<∴不等式(1)(23)0f x f x -+-<即可写为：(1)[(23)]0f x f x ----<， 因为函数()y f x =是偶函数，有(23)(23)f x f x --=-，原不等式就是(1)(23)0f x f x ---<，已知函数是减函数，所以(1)(23)0x x x ∆=--->，即43x <， 由于x ∈{|12}x x <<，所以原不等式解集为：4{|1}3x x <<． 【评析】利用函数的性质，将不等式(1)(23)0f x f x -+-<中函数符号f 去掉，化为普通的不等式，同时要注意函数的定义域对x 的限制．。
函数单调性与奇偶性的综合应用
解：原不等式化为 f(1－3a)＜－f(1－a)． ∵f(x)是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)． ∴原不等式化为 f(1－3a)＜f(a－1)． ∵f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
三、抽象函数的奇偶性与单调性的综合
【例3】已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－12， 试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
三、抽象函数的奇偶性与单调性的综合
跟踪训练 3 已知函数 f(x)，当 x，y∈R 时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果 x∈R＋，f(x)<0，并且 f(1)＝－12，试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值．
递减．若f(a)＜f(2)，求实数a的取值范围.
迁移与应用 1．B 解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)． 又 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)＞f(1)＞f(0)， 即 f(－2)＞f(1)＞f(0)． 2．解：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)． ∵f(a)＜f(2)，∴f(|a|)＜f(2)， ∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴|a|＞2，即 a＞2 或 a＜－2. ∴实数 a 的取值范围是 a＜－2 或 a＞2.
(1)证明 ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称． ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x， 则f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0， 则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0. ∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
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函数奇偶性与单调性的综合应用 专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；.2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.【复习旧识】1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；2.当题目中出现“2121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；3.证明或判断某一函数的单调性；4.证明或判断某一函数的奇偶性；5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）；6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.二、常用解题方法1.画简图（草图），利用数形结合；2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论.三、误区1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”；4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制.四、函数单调性证明的步骤：（1） 根据题意在区间上设；（2） 比较大小；（3） 下结论 .函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域； （2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；（3）下结论.【典型例题】例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)31(log 2f ，b ＝)21(log 3f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞C ．b a c ＞＞D ．a b c ＞＞【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质.【解析】因为log2 3<log 2 2＝2， 0<log3 2<log3 3＝1， 所以log 3 2<log 23<2. 因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (log 3 2)<f (log 2 3)<f (2)，因为f (x )是偶函数，所以a ＝)31(log 2f ＝f (－log 2 3)＝f (log 2 3)，b ＝)21(log 3f ＝f (－log 3 2)＝f (l og 3 2)，c ＝)2( f ＝f (2)．所以b a c ＞＞.【答案】C例2 （2014•一模）已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m ，n ∈[﹣1，1]，m+n ≠0时有＞0．（1）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f （x+）＜f （）；（3）若f （x ）≤t 2﹣2at+1对所有x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，数t 的取值围．【考点】函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问题．【解析】解：（1）任取﹣1≤x 1＜x 2≤1，则f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1）+f （﹣x 2）= ∵﹣1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+（﹣x 2）≠0，由已知＞0，又x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，故有（3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1．所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，即要t2﹣2at+1≥1成立，故t2﹣2at≥0成立．即g（a）=t2﹣2at对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，只需g（a）在[﹣1，1]上的最小值大于等于零．故g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．【课堂练习】一、选择题1.函数y ＝2－|x |的单调递增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，如果f (lg x )>f (1)，那么x 的取值围是( )A ．(110，1)B ．(0，110)∪(1，＋∞) C ．(110，10) D ．(0,1)∪(10，＋∞) 3.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．f (x )＝x 1 C ．y ＝1－x1D ．f (x )＝x 3 4.如图是偶函数y ＝f (x )的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是( )A ．f (－1)－f (2)>0B ．f (－1)－f (2)＝0C ．f (－1)－f (2)<0D ．f (－1)＋f (2)<05.定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图像与f (x )的图像重合，设a >b >0，给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )<g (a )－g (b )；③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )．其中成立的是________．6.设f (x )为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (－π)<f (3)<f (－2)D ．f (－π)<f (－2)<f (3)7.已知f (x )是奇函数且对任意正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有2121)()(x x x f x f -->0，则一定正确的是( )A ．f (3)>f (－5)B ．f (－5)>f (－3)C ．f (－5)>f (3)D ．f (－3)>f (－5)8．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )<f (b )，则一定可得( )A ．a <bB ．a >bC ．|a |<|b |D ．0≤a <b 或a >b ≥09.若偶函数f (x )在(－∞，0)单调递减，则不等式f (－1)<f (lg x )的解集是( )A ．(0,10) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛10101，C.⎪⎭⎫⎝⎛∞+，101 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1010，∪(10，＋∞) 二、选择题10.若奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为________.11．若函数f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f (π)<f (a )的实数a 的取值围是________．三、解答题12.已知函数f (x )＝x 2－2|x |－1，－3≤x ≤3. (1)证明：f (x )是偶函数；(2)指出函数f (x )的单调区间；(3)求函数的值域．13.定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )．数m 的取值围．14.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域是[a －1,2a ]，求f (x )的值域．15.(1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上为增函数，求不等式f (4x －5)>0的解集；(2)已知偶函数f (x )(x ∈R )，当x ≥0时，f (x )＝x (5－x )＋1，求f (x )在R 上的解析式．16.(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ）（31＝1，当x >0时，f (x )>0. (1)求f (0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值围．参考答案BCDCADCD5.答案①③解析－f(－a)＝f(a)，g(－6.b)＝g(b)，∵a>b>0，∴f(a)>f(b)，g(a)>g(b)．∴f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)>g (a )－g (b )＝g (a )－g (－b )，∴①成立．又∵g (b )－g (－a )＝g (b )－g (a )，∴③成立．10.答案 －1511.答案 (－π，π)解析 若a ≥0，f (x )在[0，＋∞)上是减函数，且f (π)<f (a )，得a <π.若a <0，∵f (π)＝f (－π), 则由f (x )在[0，＋∞)上是减函数，得知f (x )在(－∞，0]上是增函数．由于f (－π)<f (a )，得到a >－π，即－π<a <0.由上述两种情况知a ∈(－π，π)．12.解析 (1)略(2)f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．(3)f (x )的值域为[－2,2]．13.解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (1－m )<f (m )可化为f (|1－m |)<f (|m |)，又f (x )在[0,2]上是减函数，∴|1－m |>|m |，两边平方，得m <12，又f (x )定义域为[－2,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解之得－1≤m ≤2，综上得m ∈[－1，12)．14.解 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在区间[a －1,2a ]上的偶函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1.∴f (x )＝13x 2＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3127.15.解 (1)∵y ＝f (x )在R 上为奇函数，∴f (0)＝0. 又f (4x －5)>0，即f (4x －5)>f (0)， 又f (x )为增函数，∴4x －5>0，∴x >54.即不等式f (4x －5)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >54.(2)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x (5＋x )＋1，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝－x (5＋x )＋1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5－x ＋1x ≥0，－x 5＋x ＋1x <0.16.解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2. ∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2<23，解之得x <－23.故x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。