函数的定义域常见的三种类型
高中常见函数定义域
高中常见函数定义域
1、平面函数的定义域：
平面函数的定义域是整个实数集合R。
通过任意给定的实数值，可以计算出函数取值。
2、抛物线函数的定义域：
抛物线函数的定义域也是整个实数集合R。
通常情况下，函数取值定义域一般不超过一个实数区间，即[l,u]，l与u为两个实数值。
3、二元函数的定义域：
二元函数的定义域是一个二元空间，即：{(x,y)|x∈R , y∈R }，即以实数x，实数y组成的坐标点所组成的定义域。
4、对数函数的定义域：
对数函数的定义域为正实数集合R+; 即只有正的实数才存在对数函数的取值，若x<0，则没有y与之对应，故此时函数定义域为空。
5、三角函数的定义域：
三角函数的定义域是整个实数集合R。
实数x可以通过θ求出θ对应的
函数取值，例如π 的整数倍角度，都有其对应的函数取值。
6、几何函数的定义域：
几何函数的定义域是一个多元几何空间，即：{(x1,x2,...,xn)|x1∈R ,
x2∈R,x3∈R,...;xn∈R}。
其中，n是维度数，即函数中涉及变量的个数，如果是二元函数，则n=2；如果是三元函数，则n=3，以此类推。
只有
函数中涉及的变量，满足定义域规定的各个x项的要求，函数的取值
才可存在。
函数定义域的类型和求法之欧阳音创编
函数定义域的类型和求法时间：2021.03.11 创作：欧阳音本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。
现举例说明。
一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。
③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。
故所求函数的定义域为。
例2 求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分，得故函数的定义域为评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知的定义域，求的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。
例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。
解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。
（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为。
即函数f(x)的定义域是。
三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。
函数的定义域、值域、最值
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
THANKS
感谢观看
最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最
函数的定义域和值域
1 函数的定义域和值域要点梳理1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R(2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }． 求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 例2、函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是________． 例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________． 求函数的值域例4、求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x(x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围。
函数的定义域和值域
答案：C
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4．(2012· 合肥模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数
F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是 A．[－5，－1] C．[－6，－2] B．[－2,0] D．[1,3] ( )
解析：∵1≤f(x)≤3，∴1≤f(x＋3)≤3，
－6≤－2f(x＋3)≤－2，－5≤1－2f(x＋3)≤－1.
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1－t2 (3)法一：(换元法)令 1－2x＝t，则t≥0且x＝ 2 ， 1－t2 1 于是y＝ 2 －t＝－2(t＋1)2＋1，
1 1 由于t≥0，所以y≤2，故函数的值域是－∞，2.
法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1
1 1 1 1 －2x≥0，即x≤2，所以y≤f2＝2，即函数的值域是－∞，2.
答案： [－5，＋∞)
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函数的最值与值域的关系
函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也
就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值， 未必能求出函数的值域．
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[精析考题] [例 1] 义域为
1 － ，0 A. 2 1 C.－2，0∪(0，＋∞) 1 － ，＋∞ B. 2 1 D.－2，2
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[自主解答]
1－x2 2 2 (1)y＝ 2＝ 2－1，∵1＋x ≥1， 1＋x 1＋x
2 ∴0< ≤2. 1＋x2 2 ∴－1< －1≤1.即y∈(－1,1]． 1＋x2 ∴函数的值域为(－1,1]．
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4 4 (2)∵x<0，∴x＋x＝－－x－x≤－4，
当且仅当x＝－2时“＝”成立． ∴y∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．
函数的定义域与解析式 - 解析版
函数定义域与解析式【教学目标】一、函数定义域【知识点】1.函数是一种非空的数集组成的映射，是从自变量x 到应变量y 的对应关系；期中x 的范围叫做定义域；2.定义域的常见形式有分式，根式，指数，对数，复合函数以及抽象函数；【定义域常见类型】一 、具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集二 、抽象函数常见类型1.已知()f x 定义域求()()f g x 定义域2已知()()f g x 定义域求()f x 定义域3. 已知()()f g x 定义域求()()f h x 定义域（一）具体函数【例题讲解】★☆☆例题1：求函数11y x =+的定义域； 答案： {}|1x x ≠−解析： 10,1x x +≠≠−，{}|1x x ∴≠−★☆☆练习1．求函数2123y x x =−−的定义域； 答案：{}|13x x x ≠−≠且解析：2230x x −−≠()()310x x −+≠，{}|13x x x ∴≠−≠且★☆☆例题2． 求函数y答案：{}R|1x x ∈≥解析：,x x −≥≥101，{}R|1x x ∴∈≥★☆☆练习1：求函数y =答案：[)(,-],−∞⋃+∞13解析：2230x x −−≥，()()310x x −+≥13x x ≤−≥或，(][),,∴−∞−⋃+∞13 ★☆☆例题3．求函数()023y x =−的定义域 3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭解析：230x −≠3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆练习1求函数0221x y x −⎛⎫= ⎪+⎝⎭的定义域 ()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆例题4．．求函数y解析：1010x x −≥−≥且★☆☆练习1．求函数()04y x =−的定义域； 答案：(][)(),13,44,+−∞−∞解析：2230x x −−≥且40x −≠(][)(),13,44,+x ∴∈−∞−∞（二）抽象函数★☆☆例题5．已知()f x 定义域是[]1,3，求()21f x +的定义域答案：[]0,1解析： 因为()f x 的定义是[]1,3,即()f x 中,[]1,3x ∈,那么()21f x +中,[]211,3x +∈,得[]0,1x ∈则()21f x +中,[]0,1x ∈∴ ()21f x +的定义域是[]0,1★☆☆练习1．已知()f x 定义域是()0,1，求()2f x 的定义域答案： ()()1,00,1−解析：因为()f x 的定义是()0,1,即()f x 中,()0,1x ∈,那么()2f x 中, ()20,1x ∈,得()()1,00,1x ∈−则()2f x 中, ()()1,00,1x ∈−∴ ()2f x 的定义域是()()1,00,1x ∈−★☆☆例题6．已知()1f x −定义域是[]3,3−，求()f x 的定义域.答案：[]4,2−．解析：∵()1f x −的定义域为[]3,3−，即33x −≤≤∴412x −≤−≤即函数()f x 定义域为[]4,2−．★☆☆练习1已知)2f 定义域是[]4,9，求()f x 的定义域答案：[]0,1即函数()f x 定义域为[]0,1．★☆☆例题7．已知()21f x +定义域是()3,5，求()41f x −的定义域答案：()2,3.解析：∵(21)f x +定义域为()3,5，即35x <<，∴72111x <+< ，则()f x 定义域为()7,11，∴(41)f x −定义域为74111x <−<，∴23x <<．即()41f x −的定义域为()2,3.★☆☆练习1已知()1f x +定义域是()2,3−，求()222f x −的定义域2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝解析：∵()1f x +定义域为()2,3−，即23x −<<，∴114x −<+< ，则()f x 定义域为()1,4−，∴()222f x −定义域为21224x −<−<， 2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝★☆☆例题8．若函数()f x = 的定义域为R ，则实数a 的取值范围.答案：(],0−∞解析：偶次根号下非负，当x 的范围为R 时，20x a −≥在R 上恒成立，等价于2a x ≤在R 上恒成立求出a 的范围为0a ≤，(],0a ∴∈−∞★☆☆练习1若函数()212f x x ax a=−+ 的定义域为R ，则实数a 的取值范围. 答案：()0,1解析：分式型函数分母不为零，当x 的范围为R 时，220x ax a −+≠恒成立；2(2)40a a ∆=−−<即01a <<； 所以a 的取值范围是()0,1.知识点要点总结：一 具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集5. 实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．二．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．二、函数的解析式【知识点】求函数解析式的四种常用方法1. 拼凑法：将等号右侧的式子拼凑成关于f 后括号内东西的表达式，然后将其直接写成x ．2. 换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.3.待定系数法：已知函数类型．①正比例函数：(0)y kx k =≠； ②反比例函数：(0)k y k x=≠； ③一次函数：(0)y kx b k =+≠；④二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠．4.方程组法：两个f ，将题目中的x 换成另一个括号内的东西构造方程组．比如：若给出()f x 和()f x −，或()f x 和1()f x 的一个方程，则可以x 代换x −（或1x），构造出另一个方程，解此方程组，消去()f x −（或1()f x）即可求出()f x 的表达式。
函数的定义与基本性质总结
函数的定义与基本性质总结在数学中，函数是一种特殊关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义和基本性质是数学学习的重要基础知识之一。
本文将重点总结函数的定义、函数的性质以及函数的常见类型。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中f表示函数名，x表示自变量，f(x)表示函数的值或因变量。
函数的定义通常包括定义域、值域和映射规则三个方面。
1. 定义域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合。
它决定了函数的输入范围。
2. 值域：函数的值域是函数映射到的所有可能的因变量值的集合。
它决定了函数的输出范围。
3. 映射规则：函数的映射规则描述了自变量和因变量之间的对应关系，即函数在定义域内的计算规则。
二、函数的性质函数具有一些基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。
1. 单调性：函数可以是单调增加的，也可以是单调减少的。
如果对于定义域内的任意x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为单调增加的。
当x1>x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为单调减少的。
2. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。
3. 周期性：函数可以具有周期性，即在一定范围内具有相同的函数值。
对于函数f(x)，如果存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数的周期为T。
4. 有界性：函数可以是有界的，即在定义域内存在上界和下界。
如果存在常数M，使得对于定义域内的任意x，有|f(x)|≤M，则函数为有界函数。
三、函数的常见类型在数学中，常见的函数类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1. 多项式函数：多项式函数是由常数和自变量的幂次幂相加或相乘而得到的函数。
函数定义域的类型
函数定义域的类型及解法
函数的定义域 函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。高考 中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在 大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。求函数的定义域 的基本方法有以下几种： 1、常规类型：已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式 有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 1、整式函数的定义域为一切实数； 2、分式中的分母不为零； 3、偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 4、指数式、对数式的底数大于零且不等于一，对数式的真数大于零
[ 5, 1] [1, 5]
（2）已知 f[g(x)]定义域，求f(x)的定义域 其解法是：已知f[g(x)]定义域是[a,b]求f(x)的定义域的方法是由a ≤x≤b,求g(x)的值域，即为所求f(x)的定义域。
例2、已知f(2x+1)的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
解:由1 x 2 2 2 x 4 3 2x 1 5 即函数f ( x)的定义域为[3,5]
练习:已知函数f ( x)= kx 7 的定义域为R, 求实数k的取值范围. 2 kx 4kx 3
3 [0, ) 4
4、参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对参数分类讨论。
例6：若函数y f ( x)的定义域为[0,1], 则g ( x) f ( x a) f ( x a)(其中a 0)的定义域为 _________
由x2项的系数是m，所以应分m 0或m 0进行讨论
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函数的定义域常见的三种类型
ywq334452010级分类：理工学科被浏览105次2013.06.28
jmmn9938668
采纳率：59% 10级 2013.06.29
函数定义域的三类求法一、给出函数解析式求其定义域，一般是先列出限制条件的不等式（组），再进行求解。
二. 给出函数的定义域，求函数的定义域，其解法步骤是：若已知函数的定义域为，则其复合函数的定义域应由不等式解得。
三. 给出的定义域，求的定义域，其解法步骤是：若已知的定义域为，则的定义域是在时的取值范围。
求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f〔g（x）〕的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
求定义域的规则及类型的演讲稿
leya027 10级分类：其他被浏览63次 2014.01.20
检举
高中课题研究:定义域的规则及类型。
第一次演讲，我急需一篇关于“定义域的规则及类型”的演讲稿。
希望大家给我找一篇……
一般来讲，只要给一个自变量的值，能求出因变量，那么该自变量的值就属于定义域。
定义域与非定义域的主要区别是，在非定义域内的值，无法求出函数值。
常见的就是，求值过程中遇到一元二次方程无解，或分母为零。
所以只要求出x在什么时候使得方程无解或分母为零，就可以了
总结求各类函数定义域的规则，并举例说明
hbhedy198410级分类：理工学科被浏览115次2013.06.28
要详细点啊
hong51
采纳率：42% 10级 2013.06.29
定义域顾名思义就是人为定义的函数自变量取值范围，一般来说么就是分母不能为0……总之你要符合让你求的这个函数的特点就好你最好拿具体的问……。