浙教版初中数学中考复习-因式分解 (共36张PPT)
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4.1因式分解课件ppt新浙教版七年级下
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2aa(a1)
是
（2）(a 3 )(a 3 ) a 2 9 不是
（3）4 x2 4 x 1 (2 x 1 )2
不是
（4）x 2 3 x 1 x (x 3 ) 1
把一个整数转化成几个整数的积 整数乘法
2×3×7=42
42=2×3×7 因数分解
一般地，把一个多项式化成几个整 式的积的形式，叫做因式分解，有时我 们也把这一过程叫做分解因式。
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y)
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y-xy 2=xy(x-y) (2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1) (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
用什么方法检验 因式分解是否
正确呢？
看等式右边几个整 式相乘的积与左边 的多项式是否相等
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
(a+1)2 = a__2_+_2__a__+_1_
浙教版初中数学因式分解 课件(共15张PPT)
）
理解新概念
3.下面各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
互逆
整式乘法
因式分解
( 整式乘法 ) ( 整式乘法 )
( 因式分解 )
观察左右两边等式变形，整式(乘因法式与分解因式) 分解之间
有什么关系？
( 整式乘法 )
( 因式分解 )
理解新概念
4.检验下列因式分解是否正确？
(1)x2 y xy2 xy x y (2)2x2 1 2x 12x 1 (3)x2 3x 2 x 1 x 2 (4)a3 a2 a a2 a 1
a² —b² =(a+b)(a-b) =(101+99)×(101-99) =200×2=400
运用新概念
1.想一想怎样算才方便又快捷？
(2)当a 98,b 2时, a2 2ab b2 1_0_0_0_0__ .
a² +2ab+b² =(a+b)² =(98+2)² =100² =10000
整理与分享
1.一个概念：
一般地，把一个多项式化为几个整式
的积的形式，叫做因式分解.
2.一种关系： 整式乘法
互逆
因式分解
3.一个思想：类比
能力提升
993 99 能被100整除吗？
解：993 99
99992 1
9999 199 1
9998100 993 99能被100整除.
(1)2m m n 2m 2 2mn （ 不是 ）
(2) x3 x 2 x x x 2 x （ 不是 ）
(3)4a 2 4a 1 2a 12 （ 是 ）
(4)x2
浙教版初中数学中考复习-因式分解 (共36张PPT)
•
①＋③得：2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4(x＋1)(x－1)；
•
②＋③得：2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4(x2＋2x＋1)＝4(x＋1)2.
• 【思维提升 】本题考查了提取公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤， 先提取公因式，再利用公式法进行分解．注意分解要彻底．
• 【答案】(1)B
(2)D
14
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=
．
•
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝
. (3)分解因式：xy2－9x＝
．
•
(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝
＝
.
. (5)分解因式：(2a＋1)2－a2
.
• (4)(2015·盐城)若2m－n2＝4，则代数式10＋4m－2n2的值为________．
• 【解析】 (3)∵m－n＝2，
•
∴2m2－4mn＋2n2－1＝2(m－n)2－1＝2×22－1＝7.
•
(4)∵2m－n2＝4，∴10＋4m－2n2＝10＋2(2m－n2)＝10＋2×4＝18.
• 【答案】(3)7 (4)18
•
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
•
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝
，n＝
.
• 【解析】∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，
浙教版初中数学4.1 因式分解 (共25张PPT)
1 1 1 B. a－ ay＝ a(1－y) 2 2 2 C．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1
)
D．(x＋1)(x－1)＝x2－1
（来自《典中点》）
知1－练
3 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那 么这个多项式是( A．b6－4 C．b6＋4 ) B．4－b6 D．－b6－4
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2
因式分解与整式乘法的关系
因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以 用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性.
（来自《教材》）
知2－讲
1. 整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分
解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种
互逆的变形．
因式分解 即：多项式 整式的积． 整式乘法
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
因式分解与整式乘法是互逆变形，可以通过逆向
变形检验因式分解的正确性．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 利用简便方法计算： 23×2.718＋59×2.718＋18×2.718. 导引： 直接计算显然繁琐，观察式子的结构，可以发现三 个乘法算式中都含有2.718这个因数，可逆用乘法 分配律计算. 解：原式＝(23＋59＋18)×2.718 ＝100×2.718 ＝271.8.
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1) 2m(m－n) = 2m2－2mn.
1 1 2 (2) ab －ab= ab(b－2). 2 2 (3) 4x2－4x+1 = (2x－1)2.
(4) x2－3x+1=x(x－3)+1.
)
D．(x＋1)(x－1)＝x2－1
（来自《典中点》）
知1－练
3 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那 么这个多项式是( A．b6－4 C．b6＋4 ) B．4－b6 D．－b6－4
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2
因式分解与整式乘法的关系
因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以 用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性.
（来自《教材》）
知2－讲
1. 整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分
解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种
互逆的变形．
因式分解 即：多项式 整式的积． 整式乘法
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
因式分解与整式乘法是互逆变形，可以通过逆向
变形检验因式分解的正确性．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 利用简便方法计算： 23×2.718＋59×2.718＋18×2.718. 导引： 直接计算显然繁琐，观察式子的结构，可以发现三 个乘法算式中都含有2.718这个因数，可逆用乘法 分配律计算. 解：原式＝(23＋59＋18)×2.718 ＝100×2.718 ＝271.8.
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1) 2m(m－n) = 2m2－2mn.
1 1 2 (2) ab －ab= ab(b－2). 2 2 (3) 4x2－4x+1 = (2x－1)2.
(4) x2－3x+1=x(x－3)+1.
因式分解课件--浙教版(2019年)
曰 然 东海大豪郯许仲孙为奸猾 曰 江东已定 幸妾尚贵时 不任儒 公刘避桀居豳 快败走 不者且有火患 昭王走出 卧起操持 神黩 贫贱者益加敬 楼兰 姑师小国 是月 厉王母亦系 平邑 昭帝崩 梁王薨 家本秦也 凌室所以供养饮食 不称职 变节易度 经曰 怀保小人 牛喘吐舌 故详录焉 建始三
年秋 梁事皆得释 其明年 自称废汉大将军 草《法》撰《玄》 分付诸客 意气勤勤恳恳 以营乱富贵之耳目 自是滋矣 非人力所为 文曰 大钱五十 立孝为太子 〔表略〕[标签:标题]昔《书》称 蛮夷帅服 至於危亡失道之君 东越反 如云非云 具自疏奸臧 迁司直 迁孔氏南阳 赐姓嬴氏 内隐巨石
将何以来远方之贤良 故治乱荣辱之端 良因异之 岂不难哉 谨条奏 无凶年 被共工之大恶 日月初躔 单于闻之喜 〔法天地 破羌 陵夷至乎桀 纣之行 制国而令子适足以为饵 左右不正 锡土姓 祗台德先 万物咸得其宜 莽曰九疑亭 乱乎 被曰 天下治 王不说 而与彭越相保 或以其故犯法 奈何弃
之匈奴 上竟不能遣长公主 则汉绳以法 留数月 故智不足与权变 晋有卜偃 而信主上之义 富平侯张勃与汤交 女作五威后关将军 此贾谊 仲舒 王吉 刘向之徒所为发愤而增叹也 先是 阴薄阳 丁卯 因定齐地 曰 人生一世间 匈奴围韩王信於马邑 放其使者於县度 欲募囚徒送匈奴使者 敞时为大
白沙 书无不有 命从者刑之 是时 梁王以至亲故 必害人国 充国病 附下罔上 欲人勿知 谷不成 文安 共王因留国邸 介子过龟兹时 而益肥关中之地 民有菜色 政君与在其中 游观侈靡 奏免豫州牧鲍宣 京兆尹薛修等 元封四年六月己酉朔 陛下尚能容亡功德者甚众 七国并争 归咎於身 东结单于
卢氏 行七百里 汉使票骑将军迎之 皆不足以留意 野木生朝而暴长 位为三公 大风从西北起 欲其有子 班行之於民间 遵帝王之常服 而信於万乘之上者 欲耀名誉 黄屋左纛 赐中二千石至六百石及天下男子爵 诸儒对者五十馀人 其所与并者六国 并积中 思曰睿 即胁卢屠王 昆弟诸婿外孙皆奉朝
浙教版七年级下《因式分解》课件
1 1 7 ; 2 2 29 20.5 41 20.5 30 20.5
2
2
拓展提高：
1 2. 已知 2 x y , xy 2 3
求 2 x y x y 的值.
4
2
3
3
4
3. 如果 2 x mx n 可分解因式为
-3 ，n=_____ -2 (2 x 1)( x 2) 那么m ＝_____
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
不是因式分解
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 π R+ 2 π r= 2 π (R+r) 因式分解
.例1. 检验下列因式分解是否正确：
(1)x2y－xy2=xy(x－y) 正确 (2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1) 不正确 (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2) 正确
2×3×5= 30 这是整数乘法运算， 30 =2×3×5是什么运算呢？ （因数分解）
2×3×5
整数乘法
因数分解
30
你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
整式的积
多项式
多项式
整式的积
(a+b)(a-b) =a2-b2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 m(a+b) =am+bm
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =(a+b)2 am+bm =m(a+b)
如果2x² +mx-2可分解因式为 (2x+1)(x-2),求m的值
因式分解课件浙教版数学七年级下册
浙教版数学 七年级下
4.1 因式分解
学习目标
1. 理解因式分解的概念和意义 2. 认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变 形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方 法。
新知导入
小 学
初 中
7×11＝ 77
整数的乘法 77＝ ？×？
7 11 因数分解
a（a＋1）＝ a2＋a 整式的乘法 a2＋a＝ a（a＋1）
习题巩固
1. 检验下列因式分解是否正确. （1）m2+mn=m(m+n) （2）a2-b2=(a+b)(a-b) （3）x2-x-2=(x+2)(x-1)
解：（1）正确 （2）正确 （3）错误， 原式=（x-2）（x+1）
2. 计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87 2 + 87 ×13
（2）1012 - 99 2
分析：检验因式分解是否正确。只要看等式右边 几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
解：
（1） xy(x y) xy • x xy • y x2 y xy2 ,
因式分解x2 y xy2 xyx y正确。
（2）（2x 1）(2x 1) 4x2 1 2x2 1 因式分解2x2 1 (2x 1)(2x 1)不正确 （3）（x 1）(x 2) x2 2x x 2 x2 3x 2 因式分解x2 3x 2 (x 1)(x 2)正确
因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积 的形式. 3.要分解到不能分解为止.
分析：因式分解 把一个多项式转化成几个整式的积 的形式。
解：
（1）因式分解是对
x2
2
1 x2
(x 1)2 x
4.1 因式分解
学习目标
1. 理解因式分解的概念和意义 2. 认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变 形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方 法。
新知导入
小 学
初 中
7×11＝ 77
整数的乘法 77＝ ？×？
7 11 因数分解
a（a＋1）＝ a2＋a 整式的乘法 a2＋a＝ a（a＋1）
习题巩固
1. 检验下列因式分解是否正确. （1）m2+mn=m(m+n) （2）a2-b2=(a+b)(a-b) （3）x2-x-2=(x+2)(x-1)
解：（1）正确 （2）正确 （3）错误， 原式=（x-2）（x+1）
2. 计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87 2 + 87 ×13
（2）1012 - 99 2
分析：检验因式分解是否正确。只要看等式右边 几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
解：
（1） xy(x y) xy • x xy • y x2 y xy2 ,
因式分解x2 y xy2 xyx y正确。
（2）（2x 1）(2x 1) 4x2 1 2x2 1 因式分解2x2 1 (2x 1)(2x 1)不正确 （3）（x 1）(x 2) x2 2x x 2 x2 3x 2 因式分解x2 3x 2 (x 1)(x 2)正确
因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积 的形式. 3.要分解到不能分解为止.
分析：因式分解 把一个多项式转化成几个整式的积 的形式。
解：
（1）因式分解是对
x2
2
1 x2
(x 1)2 x
中考数学总复习(浙江地区)课件： 第3讲 因式分解
1．(2016·自贡)把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( A ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
2．(2016·潍坊)将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
【例1】 (1) 下列式子从左到右变形是因式分解的是( B ) A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25 (2)(2016·岳阳)因式分解：6x2－3x＝ 3x(2x－1) ． (3)(2016·绍兴)因式分解：a3－9a＝ a(a＋3)(a－3) ． (4)(2016·郴州)因式分解：m2n－6mn＋9n＝ n(m－3)2 ． 【点评】 (1)因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若 结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．(2) (3) (4) 因式分解 一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再 分解为止．
[对应训练] 1．分解因式： (1)9x2－1； 解：原式＝(3x＋1)(3x－1)
(4)(2016·恩施)a2b－10ab＋25b；
解：原式＝b(a－5)2
(2)25(x＋y)2－9(x－y)2； 解：原式＝4(4x＋y)(x＋4y)
(5)在实数范围内分解因式：m4－9. 解：原式＝(m2＋3)(m＋ 3)(m－ 3)
(3)(2015·南京)(a－b)(a－4b)＋ab； 解：原式＝(a－2b)2
【例2】 (1)计算：852－152等于( D ) A．70 B．700 C．4 900 D．7 000
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9
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 3. 因式分解的一般步骤 • 一提：如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； • 二套：如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解； • 三检验：因式分解的结果一定要彻底，分解到不能再分解为止；每个因式内部不再
有括号，且同类项合并完毕；若有相同因式写成幂的形式．分解因式时，要注意题 目所给的范围，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．
10
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【例】给出三个多项式：①2x2＋4x－4；②2x2＋12x＋4；③2x2－4x.请你把其中任意两个多 项式进行加法运算(写出所有可能的结果)，并把每个结果因式分解．
11
解析：
• 【解析】①＋②得：2x2＋4x－4＋2x2＋12x＋4＝4x2＋16x＝4x(x＋4)；
•
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
•
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝
，n＝
.
• 【解析】∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，
时(写出一组满足条件的整数
• (2)已知关于x的多项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．
7
解析：
• 【解析】由x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)，得：
•
已知关于x的二次式x2＋mx＋n，当m＝5，n＝6时，
•
它在有理数范围内能够进行因式分解．
• 【解析】设另一个因式为(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
•
∴x2＋mx＋5＝x2＋(n＋5)x＋5n，
• 【答案】6
1
5
思维提升：
• 理解掌握因式分解的意义是解题的关键．因式分解与整式乘法必须是一种恒等 变形，即左右两边相等，但目的不同，前者是把“和差”化为积的形式，后者是把“积” 化为“和差”的形式．
6
考点一：因式分解的意义
• 【练】(1)已知关于x的二次式x2＋mx＋n，当m＝ ，n＝ 值即可)，它在有理数范围内能够进行因式分解．
•
①＋③得：2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4(x＋1)(x－1)；
•
②＋③得：2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4(x2＋2x＋1)＝4(x＋1)2.
• 【思维提升 】本题考查了提取公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤， 先提取公因式，再利用公式法进行分解．注意分解要彻底．
• 【答案】(1)B
(2)D
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考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=
．
•
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝
. (3)分解因式：xy2－9x＝
．
•
(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝
＝
.
. (5)分解因式：(2a＋1)2－a2
•
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
•
∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21.
8
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 2. 因式分解的基本方法 • (1)提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出
来进行因式分解，即ma＋mb＋mmc＝(y＋b＋c) ． • (2)公式法： • ①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) ． • ②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
•
(6)(2018·绍兴)分解因式：4x2－y2＝
.
15
解析：
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=(a-b)(a-b+1) ．
•
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝(2a－1)2 . (3)分解因式：xy2－9x＝x(y＋3)(y－3) ．
•
(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝2(a＋1)2 . (5)分解因式：(2a＋1)2－a2(3a＋1)(a＋1)
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考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
13
解析：
• 【解析】A中，x2－1＝(x＋1)(x－1)，含因式x－1；
•
B中，x(x－2)＋(2－x)＝x(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x－1)，含因式x－1；
•
C中，x2－2x＋1＝(x－1)2，含因式x－1；
•
D中，x2＋2x＋1＝(x＋1)2，不含因式1.故选D.
式分解再去括号整理后因式分解.
17
易错题：
18
解析：
19
易错分析：
• (1)因式分解提公因式后，括号内的项一定要与原来的项数一样多，容易对分配律 理解不深或粗心大意造成漏项；
• (2)分解因式时，应先观察是否有公因式可提，公因式包括系数，易忽视提系数的 最大公约数；
• (3)提取公因式时，易忽视符号的变化而出现错误； • (4)分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解； • (5)因式分解变形与方程变形误混淆，正确去分母．
＝
.
•
(6)(2018·绍兴)分解因式：4x2－y2＝ (2x＋y)(2x－y) .
16
方法归纳：
• 合理选择因式分解方法的规律： • (1)当多项式为二项式时，可考虑提公因式法、平方差公式； • (2)当多项式为三项式时，可考虑提公因式法、完全平方公式； • (3)当多项式中含有括号，首先把它作为整体考虑，看是否能因式分解，若不能因
•
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
•
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝ ，n＝ .
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解析：
• 【例】(1) [2017·滨州] 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( C )
因式分解
命题趋势： • 1.能用提取公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因 式分解(指数是正整数)．
2
考点一：因式分解的意义
• 1. 因式分析的概念 • 把一个多项式化为几个整式的积 的形式，叫做因式分解． • 因式分解与整式乘法是互逆运算．
3
考点一：因式分解的意义
• 【例】(1) [2017·滨州] 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 3. 因式分解的一般步骤 • 一提：如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； • 二套：如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解； • 三检验：因式分解的结果一定要彻底，分解到不能再分解为止；每个因式内部不再
有括号，且同类项合并完毕；若有相同因式写成幂的形式．分解因式时，要注意题 目所给的范围，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．
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考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【例】给出三个多项式：①2x2＋4x－4；②2x2＋12x＋4；③2x2－4x.请你把其中任意两个多 项式进行加法运算(写出所有可能的结果)，并把每个结果因式分解．
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解析：
• 【解析】①＋②得：2x2＋4x－4＋2x2＋12x＋4＝4x2＋16x＝4x(x＋4)；
•
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
•
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝
，n＝
.
• 【解析】∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，
时(写出一组满足条件的整数
• (2)已知关于x的多项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．
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解析：
• 【解析】由x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)，得：
•
已知关于x的二次式x2＋mx＋n，当m＝5，n＝6时，
•
它在有理数范围内能够进行因式分解．
• 【解析】设另一个因式为(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
•
∴x2＋mx＋5＝x2＋(n＋5)x＋5n，
• 【答案】6
1
5
思维提升：
• 理解掌握因式分解的意义是解题的关键．因式分解与整式乘法必须是一种恒等 变形，即左右两边相等，但目的不同，前者是把“和差”化为积的形式，后者是把“积” 化为“和差”的形式．
6
考点一：因式分解的意义
• 【练】(1)已知关于x的二次式x2＋mx＋n，当m＝ ，n＝ 值即可)，它在有理数范围内能够进行因式分解．
•
①＋③得：2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4(x＋1)(x－1)；
•
②＋③得：2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4(x2＋2x＋1)＝4(x＋1)2.
• 【思维提升 】本题考查了提取公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤， 先提取公因式，再利用公式法进行分解．注意分解要彻底．
• 【答案】(1)B
(2)D
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考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=
．
•
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝
. (3)分解因式：xy2－9x＝
．
•
(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝
＝
.
. (5)分解因式：(2a＋1)2－a2
•
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
•
∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21.
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考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 2. 因式分解的基本方法 • (1)提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出
来进行因式分解，即ma＋mb＋mmc＝(y＋b＋c) ． • (2)公式法： • ①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) ． • ②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
•
(6)(2018·绍兴)分解因式：4x2－y2＝
.
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解析：
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=(a-b)(a-b+1) ．
•
(2)分解因式：4a2－4a＋1＝(2a－1)2 . (3)分解因式：xy2－9x＝x(y＋3)(y－3) ．
•
(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝2(a＋1)2 . (5)分解因式：(2a＋1)2－a2(3a＋1)(a＋1)
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考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
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解析：
• 【解析】A中，x2－1＝(x＋1)(x－1)，含因式x－1；
•
B中，x(x－2)＋(2－x)＝x(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x－1)，含因式x－1；
•
C中，x2－2x＋1＝(x－1)2，含因式x－1；
•
D中，x2＋2x＋1＝(x＋1)2，不含因式1.故选D.
式分解再去括号整理后因式分解.
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易错题：
18
解析：
19
易错分析：
• (1)因式分解提公因式后，括号内的项一定要与原来的项数一样多，容易对分配律 理解不深或粗心大意造成漏项；
• (2)分解因式时，应先观察是否有公因式可提，公因式包括系数，易忽视提系数的 最大公约数；
• (3)提取公因式时，易忽视符号的变化而出现错误； • (4)分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解； • (5)因式分解变形与方程变形误混淆，正确去分母．
＝
.
•
(6)(2018·绍兴)分解因式：4x2－y2＝ (2x＋y)(2x－y) .
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方法归纳：
• 合理选择因式分解方法的规律： • (1)当多项式为二项式时，可考虑提公因式法、平方差公式； • (2)当多项式为三项式时，可考虑提公因式法、完全平方公式； • (3)当多项式中含有括号，首先把它作为整体考虑，看是否能因式分解，若不能因
•
A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
•
C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝ ，n＝ .
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解析：
• 【例】(1) [2017·滨州] 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( C )
因式分解
命题趋势： • 1.能用提取公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因 式分解(指数是正整数)．
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考点一：因式分解的意义
• 1. 因式分析的概念 • 把一个多项式化为几个整式的积 的形式，叫做因式分解． • 因式分解与整式乘法是互逆运算．
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考点一：因式分解的意义
• 【例】(1) [2017·滨州] 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )