高等数学第6章课件§4 基变换与坐标变换
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高等数学同济第七版上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；
（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)() (lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 四．闭区间上连续函数的性质 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
6.4 基变换与坐标变换
学习单元4：基变换与坐标变换 _________________________________________________________ 导学 学习目标： 了解线性空间的两个基之间的关系，掌握两个基之间的过渡矩阵的概念及过渡矩阵的计算；掌握一个向量在两个基下的坐标的变换关系。 学习建议： 建议大家多看书，正确理解概念，自己动手，用具体例子对比定义理解概念，多看例题，多做习题。 重点难点： 重点：会计算两个基之间的过渡矩阵。 难点：一个向量在两个基下的坐标的变换关系。 _________________________________________________________ 学习内容 一、基变换及过渡矩阵 命题设V为Pxxn维线性空间， 1,L, n与 1',L, n'为V的两个基，则 1,L,
1',L, n等价，即它们可以互相线性表示。定义设V为Pxxn维线性空间， 1,L, n与 1',L, n'为V的两个基，令 1' a 11 1 a 21 2L a n1 n ' 2 a
1 a 22 2L a n2 n L 'a a L a 1n12n2nnn nL(1)， 称矩阵 aa 22L 21 A LL
a n1a n2La 2n L a nn 为由基 1, 2,L, n到基 1',L, n'的过渡矩阵。记号将 x
1L x n n写成 x 1 ， ( 1,L, n) M x n 于是（1）可写成( 1',L, n')(
n)A。 性质设 1,L, n; 1,L, n为V中两个向量组，A,B为两个n阶方阵，则（1）(( 1,L, n)A)B( 1,L, n)(AB)； （2） ( 1,L, n)A( 1,L, n)B( 1,L, n)(A B)；
《高等数学》第七版课后练习题
第一章、函数、极限与连续 1、已知函数2,02 ()2,24 x f x x ≤≤?=? -<≤?，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3 ()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 (1)(1)f x + (2)()(0f a x a ≠ (3)(sin )f x (4)(s i n 1 f x + 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？ 1 (1)() y f x = (2))y = (3)l o g ()(0a a y f x a =>≠且 (4)a r c c o s (y f x = 5、求下列函数的定义域。 22(1)16x y x = +- 2 (2)a r c s i n 3x y -= (3)a r c 4 y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 211(1)()ln ;()2ln f x x g x x == 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+ 33(2)(3)(3)()3;()2 x x f x x g x x -+=+= - 44(4)()()1f x g x x ==- 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2 ()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2 211 (),()f x x f x x x +=+ 求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。 (1)()sin f x x x = (2)() s i n f x x t g x =+ (3)()f x = (4)()ln(f x x = 2(5) ()f x x x =- 12、判断下列函数的奇偶性。 3(1)()f x x x =+ (2)()c o s f x x x =? (3)()(0)tgx f x x x = ≠ (4)()ln(f x x x =- 13、求下列函数的周期。
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换 §1 线性空间的概念 定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。特别地，每个数域都包含整数0和1。 定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果 （1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈?y x ,，都有 V ∈+y x ； （2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈?x ,λ有 V ∈x λ； （3）上述两个运算满足下列八条规则： 1) V ∈?y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈?z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++； 3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈?x ，都有x x =+θ； 4) V ∈?x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。y 称为x 的负元素； 5) V ∈?x ，都有x x =1； P ∈,?μλ，V ∈?y x ,，下列三条成立： 6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(， 则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。 例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合 }|),,,{(21P x x x x V i n ∈?= ， 若对于V 中任两元素 ),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y = 及每个P k ∈（记作P k ∈?），定义加法及数量乘法为 ),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX = 则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。这个线性空间记为n P 。 例1－2 所有元素属于数域P 的n m ?矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与
1. 坐标系与坐标变换
第七章解析几何与微分几何 解析几何是运用代数方法研究几何图形的性质，它的主要研究对象是直线、平面、二次曲线与二次曲面.微分几何是运用无穷小分析方法研究几何图形的性质，它的主要研究对象是曲线与曲面. 本章的所有内容都只在欧氏(没有包括仿射和射影)空间中讨论. 全章有十一节.前六节属于解析几何，叙述了平面及空间的坐标系、坐标变换与基本计算公式；平面上和空间中直线与平面方程的各种形式以及它们之间的相互关系，较详细地列出了各种类型的二次曲线和二次曲面的基本元素、标准方程、主要性质和各量的计算公式.最后还从一般的二次方程出发研究了二次曲线与二次曲面的一般性质，并利用不变量写出标准方程和形状的判定. 后五节的内容属于微分几何，关于曲线论这里给出了：平面曲线和空间曲线的雪列-弗莱纳公式和基本定理，以及它们的曲率、挠率的概念和计算公式；等距线、渐开线、渐屈线和包络线的定义和方程，较详细地收集了重要平面曲线和一些特殊空间曲线的方程、图形及其各种特征.关于曲面论这里只叙述了几个特殊曲面的方程、图形和性质，并且给出曲面的基本元素(弧长、面积、夹角、切面、法面等方程和公式)、基本形式、基本方程、基本定理、曲率线、渐近曲线、共轭曲线、测地线与法曲率、测地曲率、总曲率、平均曲率、波恩涅公式等. 本章中凡是有关矢量的概念、运算和公式，请查阅第八章. § 1 坐标系与坐标变换 一、平面坐标系及其变换表
[坐标轴的平移] [坐标轴的旋转] 二、空间坐标系及其变换表 坐标系与图
(c) 坐标系与图形[圆柱面坐标系] [圆柱面坐标与直角坐标的
[坐标轴的旋转] （i ） 章动角θ 为OZ 与Oz 两轴正向夹角(0≤θ<π). （ii ） 进动角ψ为OA 与Ox 的夹角(0≤ψ<2π)，OA 为OXY 与Oxy 两平面的交线，面对Oz 轴的正向，ψ按逆时针方向从Ox 轴开始计算. （iii ） 自转角?为OA 与OX 的夹角(0≤?<2π)，面对OZ 轴正向，?按逆时针方向从OX 轴开始计算 若设 c 1=c os θ， c 2=c os ψ， c 3=c os ? s 1=sin θ， s 2=sin ψ， s 3=sin ? 则 l 1 = c 2c 3 - c 1s 2s 3, m 1 = s 2c 3 + c 1c 2s 3， n 1 = s 1s 3 l 2 = - c 2s 3 – c 1s 2c 3, m 2 = -s 2s 3+c 1c 2c 3, n 2 = s 1c 3 l 3 = s 1s 2, m 3 = - s 1c 2, n 3 = c 1 变换行列式 Δ= 13 2 1321 3 21 ±=n n n m m m l l l 当右手系变为右手系(或左手系变为左手系)时，Δ=1.当右手系变为左手系(或左手系变 为右手系)时，Δ= -1 .
坐标变换基础知识
0、前言 本文主要介绍了三相电力变换设备中常用的坐标变换理论已经多端口网络的功率计算方法。不是什么创新内容，目的是帮助理解而已。因为坐标变换本来很简单，但是还是有好多人在其中纠结，或者搞不明白为什么，或者不理解为什么会有多种变换形式。 同时也表达我的一些观点： 一、任何高深的理论经过在实际应用中总是会转化为简单的计算或者简单的计算式，尤其以信号处理为代表。很厚的一本书，看了半天也看不懂什么是IIR ，但是拿到别人的程序，其中只有一句话。因为用的人不一定要懂很多，只要知道是什么，如果需要修改怎么改就可以了，所以本文的介绍力求深入浅出。 二、恰恰相反，实际应用中很简单的过程可能都有特定的甚至十分深奥的理论支持。所以，搞工程的人很可能对所有的过程讲的头头是道，但是在深问为什么就打不上来了。这样就是深度达不到，眼界也达不到。所以，本文避免了许多论文里一上来就“在三相对称系统中通常采用……坐标变换”，而是尽可能地把自己了解到的相关的知识加进来。种水稻的人可能没有系统的理论知识，但是袁隆平不可能在没有系统的知识的前提下就发现了天然不孕系水稻，并培育出两系、三系杂交水稻。 注：相关知识的拓展可以自行上网搜索；另外，本文没有仔细检查，难免有疏忽和错误之处，请阅读时注意。 一、背景知识介绍 1.巴拿赫（Banach ）空间：完备的赋范线性空间。 略去完备性定义。 2.希尔伯特（Hilbert ）空间：定义了内积的Banach 空间或者完备的内积空间。 设U 为数域K （实数或者复数）上的线性空间，对于U y x ∈?,，如果存在唯一的 K y x >∈<,，内积满足下列三条（内积定理） ： a ）对第一变元的线性：><+><>=+
维数基与坐标
第六章 线性空间 本次课的内容: §3 维数·基与坐标 §4基变换与坐标变换 目的要求: 掌握线性空间维数﹑基与坐标的概念 掌握过渡矩阵的概念及坐标变换公式. 复习: 线性空间定义:(1)设V 是非空集合, P 是一个数域. (2) V 的元素之间定义两种运算???数乘 加法 V 对于加法与数乘封闭,则称V 为P 上线性空间. 例如: [] ,,,n n n P P x P ? §3 维数·基与坐标 注: 第三章 n 维向量空间的一切定义与性质可以搬到任意线性空间中. 定义2 (线性组合 线性表出) (1) Ｖ是数域P 中的一个线性空间， (2) P k k k r ∈,,,21 ,)1(,,,,21≥∈r V r ααα , (3) r r k k k αααα+++= 2211 向量组r ααα,,,21 是一个线性组合。称向量α可以用向量r ααα,,,21 线性表出。 定义３ （等价） 设 r ααα,,,21 ； （1） s βββ,,,21 （2） 是Ｖ中的两个向量组。如果（１）中的每个向量都可以用向量组（２）线性表出，那么称向量组（１）可以用向量组（２）线性表出。如果（１）与（２） 可以互相线性表 ，那么向量组（１）与（２）称为等价的。 定义４ 线形看见Ｖ中向量)1(,,,21≥r r ααα 成为线形相关，如果在数域Ｐ中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使 02211=+++r r k k k ααα 。 （3） 如果向量r ααα,,,21 不线形相关，就称为线形无关。换句话说，向量组r ααα,,,21 称为线形无关，如果等式（３）只有在021====r k k k 时才成立。 性质： １．单个向量组α线性相关的充分必要条件是α=0．两个以上的向量r ααα,,,21 线