二阶瞬态响应特性与稳定性分析
二阶瞬态响应特性与稳定性分析
二阶瞬态响应特性与稳定性分析二阶系统是指具有两个自由度的动力学系统，广泛应用于控制系统、信号处理等领域。
瞬态响应特性与稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。
本文将从瞬态响应特性和稳定性两个方面进行分析，以深入理解二阶系统的行为。
瞬态响应特性是指系统对于输入信号的临时响应过程。
对于一个二阶系统，其瞬态响应特性主要包括过渡过程、超调和振荡频率等。
过渡过程是指系统从初始状态到最终稳态的响应过程。
具体地说，对于一个二阶系统，过渡过程的特性由系统的自然频率和阻尼比决定。
自然频率是指系统在没有任何外部干扰的情况下自由振荡的频率。
阻尼比是指系统阻尼量与临界阻尼量之比，描述了系统的阻尼程度。
超调是指系统响应过程中达到的最大偏离稳态值的幅度。
超调的大小与系统的阻尼比有关，当系统的阻尼比增大时，超调量会减小。
振荡频率是指系统在过渡过程中振荡的频率，与系统的自然频率相关。
稳定性是评估系统的动态性能和可靠性的重要指标。
一个二阶系统是稳定的，当且仅当其系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。
稳定性分析可以通过系统的传递函数进行。
传递函数是系统输入转换为输出的比例关系，在频域上可以用于确定系统的稳定性。
当传递函数的所有极点都位于左半平面时，系统是稳定的。
极点是指传递函数分母方程为零的点，也可以看作传递函数的零点。
对于一个二阶系统，其稳定性主要取决于极点的位置。
当极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
当极点的实部大于等于零时，系统是不稳定的。
稳定性分析还可以通过系统的阶跃响应特性进行。
阶跃响应是指系统对于阶跃输入信号的响应。
稳定系统的阶跃响应的幅值会在一些临界值附近趋于稳定。
当系统是不稳定的时，系统的阶跃响应会无限增大或者振荡。
综上所述，瞬态响应特性和稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。
瞬态响应特性包括过渡过程、超调和振荡频率等，可以通过自然频率和阻尼比进行调节。
稳定性分析可以通过传递函数的极点位置和阶跃响应特性进行评估。
二阶系统的瞬态响应
3.3 二阶系统的瞬态响应凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
标准形式的二阶系统的微分方程是(3.27)或(3.28)上两式中，T称为系统的时间常数。
称为系统的阻尼系数或阻尼比，称为系统的无阻尼自然振荡频率或自然频率。
K为放大系数。
图3.9是标准二阶系统的结构图。
图3.9 二阶系统的结构图标准形式二阶系统的闭环传递函数为(3.29)二阶系统的状态空间表达式为(3.30)(3.31)在式（3.30）和式（3.31）中，设K=1,u(t)为输入函数。
二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统。
同时，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础。
3.3.1 二阶系统的单位跃阶响应二阶系统的特征方程为(3.32)特征方程的二个根为(3.33)这也是二阶系统的闭环极点。
从式（3.33）可以看出，二阶系统的参数，是变化的，取值不同，特征方程的根（即闭环极点）可能是复数，也可能是实数。
系统的响应形式也因此会有较大的区别。
在单位阶跃函数输入下，二阶系统的输出为(3.34)下面分几种不同的情况来讨论二阶系统的单位阶跃响应。
1. 无阻尼状态（=0）当二阶系统的阻尼比时，我们称二阶系统处于无阻尼状态或无阻尼情况。
时，二阶系统特征方程的根是共轭纯虚数根闭环极点在s平面上的分布如图3.10所示。
随变动，闭环极点的位置沿虚轴变化。
系统的单位阶跃响应为(3.35)响应的时域表达式为(3.36)这是一个等幅的正弦振荡。
这说明在无阻尼状态下系统不可能跟踪单位阶跃输入的变化。
的变化曲线如图3.15所示。
图3.10 时特征根分布图3.11 欠阻尼状态下的闭环极点2. 欠阻尼状态（）当二阶系统的阻尼系数时，我们称二阶系统的单位阶跃响应是欠阻尼情况或者说二阶系统处于欠阻尼状态。
当时，二阶系统特征方程的根是一对共轭复数根：(3.37)闭环极点在s平面上的分布如图3.11所示。
特征方程的根具有相同的实部。
特征方程的根的虚部为，我们定义(3.38)称为阻尼频率。
二阶系统瞬态响应和稳定性
3.1.2二阶系统瞬态响应和稳定性一. 实验目的1.了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及I 型二阶闭 环系统的传递函数标准式。
2.研究I 型二阶闭环系统的结构参数 --无阻尼振荡频率3 n 阻 尼比E 对过渡过程的影响。
3.掌握欠阻尼I 型二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能 指标Mp tp 、ts 的计算。
4.观察和分析I 型二阶闭环系统在欠阻尼，临界阻尼，过阻尼的 瞬态响应曲线，及在阶跃信号输入时的动态性能指标 Mp tp值，并与理论计算值作比对。
二. 实验原理及说明图3-1-13是典型I 型二阶单位反馈闭环系统。
图3-1-13 典型I 型二阶单位反馈闭环系统(3-1-1 )I 型二阶系统的开环传递函数G(S)TiS US 1)I 型二阶系统的闭环传递函数标准式：（s ） 0S _____________ 2（）1 G （s ）S2 2 n S 2（3-1-2 ）自然频率（无阻尼振荡频率）：n’KT?阻尼比：石（3-1-3）有二阶闭环系统模拟电路如图3-1-14所示。
它由积分环节（A2 单元）和惯性环节（A3单元）的构成，其积分时间常数 Ti=R1*C1 = 1 秒，惯性时间常数T=R2*C2=秒。
模拟电路的各环节参数代入式（3-1-1 ），该电路的开环传递函数 为:K G (S) K 其中 K R 2100kRRG (S)TiS US 1)S(0.1S 1)数为:2nS 2 2 n S模拟电路的各环节参数代入式 （3-1-3 ），阻尼比和开环增益K 的关系式为:模拟电路的开环传递函数代入式（3-1-2 ），该电路的闭环传递函10K S 2 10S 10K(s)图3-1-14 I 型二阶闭环系统模拟电路临界阻尼响应：E =1, K二，R=40k Q欠阻尼响应：0<E <1，设R=4k Q, K=25 E =过阻尼响应：E>1,设R=70k Q, K=E =>1计算欠阻尼二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态指标Mp tp、ts : （K=25 二、n =）超调量：M p ©厂100% 35.1% 峰t p j 20.21值时间：调节时间：ts —0.6n三.实验内容及步骤1. I型二阶闭环系统模拟电路见图3-1-14，改变A3单元中输入电阻R来调整系统的开环增益K,从而改变系统的结构参数，观察阻尼比E对该系统的过渡过程的影响。
二阶系统的瞬态响应分析
实验二 二阶系统的瞬态响应分析一、实验目的1．掌握二阶系统的传递函数形式并能够设计出相应的模拟电路； 2．了解参数变化对二阶系统动态性能的影响。
二、实验设备1．THBDC-1型 控制理论·计算机控制技术实验平台；2．PC 机一台(含“THBDC-1”软件)、USB 数据采集卡、37针通信线1根、16芯数据排线、USB 接口线。
三、实验内容1．观测二阶系统在10<<ζ、1=ζ和1>ζ三种情况下的单位阶跃响应曲线； 2．调节二阶系统的开环增益K ，使系统的阻尼比7070.ζ=，测量此时系统的超调量σ、调节时间s t (Δ= ±0.05)；3．ζ为定值时,观测系统在不同n ω时的阶跃响应曲线。
四、实验原理1．二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
其微分方程的一般形式为)t (r ω)t (c ωdt )t (dc ζωdt)t (dc n n n 22222=++ 上式经拉普拉斯变换整理得到二阶系统的传递函数的一般形式为2222n n n ωs ζωs ω)s (R )s (C )s (W ++==从式中可以看出，ζ和n ω是决定二阶系统动态特性的两个非常重要的参数。
其中，ζ称为阻尼比；n ω称为无阻尼自然振荡频率。
由二阶系统传递函数的一般形式可知，二阶系统闭环特征方程为0222=++n n ωs ζωs解得闭环特征方程的根1221-±-=ζωζωs n n ,，当阻尼比ζ不同范围内取值时，特征方程的根也不同，下面针对ζ的三种不同取值范围进行讨论。
1)10<<ζ（欠阻尼）系统特征根为一对具有负实部的共轭复根，即2211ζωj ζωs n n ,-±-=，系统的单位阶跃响应的时域表达式为)βt ωsin(e ζ)t (C d t n ζω+--=-2111其阶跃响应曲线呈衰减震荡过程，如图2-1（a ）所示。
其震荡频率就是阻尼震荡频率d ω，而其幅值则按指数规律衰减，两者均由参数ζ和n ω决定。
控制工程基础实验指导书(答案) 2讲解
实验二二阶系统的瞬态响应分析一、实验目的1、熟悉二阶模拟系统的组成。
2、研究二阶系统分别工作在ξ=1，0<ξ<1，和ξ> 1三种状态下的单位阶跃响应。
3、分析增益K对二阶系统单位阶跃响应的超调量σP、峰值时间tp和调整时间ts。
4、研究系统在不同K值时对斜坡输入的稳态跟踪误差。
5、学会使用Matlab软件来仿真二阶系统，并观察结果。
二、实验仪器1、控制理论电子模拟实验箱一台；2、超低频慢扫描数字存储示波器一台；3、数字万用表一只；4、各种长度联接导线。
三、实验原理图2-1为二阶系统的原理方框图，图2-2为其模拟电路图，它是由惯性环节、积分环节和反号器组成，图中K=R2/R1，T1=R2C1，T2=R3C2。
图2-1 二阶系统原理框图图2-1 二阶系统的模拟电路由图2-2求得二阶系统的闭环传递函1222122112/() (1)()/O i K TT U S K U S TT S T S K S T S K TT ==++++ :而二阶系统标准传递函数为(1)(2), 对比式和式得n ωξ==12 T 0.2 , T 0.5 , n S S ωξ====若令则。
调节开环增益K 值，不仅能改变系统无阻尼自然振荡频率ωn 和ξ的值，可以得到过阻尼(ξ>1)、临界阻尼（ξ=1）和欠阻尼（ξ<1）三种情况下的阶跃响应曲线。
（1）当K >0.625， 0 < ξ < 1，系统处在欠阻尼状态，它的单位阶跃响应表达式为：图2-3 0 < ξ < 1时的阶跃响应曲线（2）当K =0.625时，ξ=1，系统处在临界阻尼状态，它的单位阶跃响应表达式为：如图2-4为二阶系统工作临界阻尼时的单位响应曲线。
(2) +2+=222nn nS S )S (G ωξωω1()1sin( 2-3n to d d u t t tgξωωωω--=+=式中图为二阶系统在欠阻尼状态下的单位阶跃响应曲线etn o n t t u ωω-+-=)1(1)(图2-4 ξ=1时的阶跃响应曲线（3）当K < 0.625时，ξ> 1，系统工作在过阻尼状态，它的单位阶跃响应曲线和临界阻尼时的单位阶跃响应一样为单调的指数上升曲线，但后者的上升速度比前者缓慢。
二阶系统瞬态响应和稳定性分析
2020年第10期136信息技术与信息化电子与通信技术二阶系统瞬态响应和稳定性分析李明辉* LI Ming-hui摘 要 在控制工程中，二阶系统的应用极为普遍，其重要性不言而喻。
本文利用MATLAB 软件对二阶系统三种阻尼情况下的响应及稳定性情况进行分析，并结合磁盘驱动读取系统具体分析其在实际工程中的应用，仿真结果直观明了。
关键词 磁盘驱动读取系统；二阶系统；稳定性doi：10.3969/j.issn.1672-9528.2020.10.043* 泰州学院 江苏泰州 225300[基金项目] 泰州学院2020年大学生创新训练计划项目校级项目（项目编号：2020CXXL049）0 引言在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术展现出愈加关键的作用。
如何对控制系统进行设计分析已得到广泛关注[1-3]。
实际工程之中有许多控制系统都可以建立起高阶系统[4-6]，但在某些条件下，可以忽略一些次要因素，把高阶系统视为二阶系统来研究[7]。
因此，分析和理解二阶系统特点有着重要意义。
1 原理及说明典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统如图1所示。
图1 典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统Ⅰ型二阶系统的开环传递函数为：（1）Ⅰ型二阶系统的闭环传递函数标准式为：（2）其中，为自然频率（无阻尼振荡频率），为阻尼比。
2 二阶系统的单位阶跃响应令（2）式的分母为零，得到二阶系统的特征方程，可以发现值的大小决定了二阶系统的特征根。
当，说明方程有两个实部大于0的特征根，系统单位阶跃响应为：式中，。
或者因为阻尼比，指数部分为正，该系统的动态过程展现为发散正弦振荡或单调发散，说明系统是不稳定的。
当，那么方程有一对纯虚根，，与s 平面上一组共轭极点照应，系统的阶跃响应为等幅振荡，该系统对应无阻尼状态。
当，那么特征方程有一对共轭复根，，与s 平面左半部分的共轭复数极点照应，其阶跃响应是一个衰减的振荡过程，该系统对应欠阻尼状态。
当，特征方程有两个相等的负实根，，与s平面负实轴上的两个相等的实极点照应，其阶跃响应非周期地趋于稳态输出，系统处于临界阻尼状态。
第三节二阶系统的瞬态响应
15
⒉ 峰值时间 t p ：当t = t p 时， c′(tp ) = 0
c(t) = 1− e−ζωnt[cos( 1− ζ 2ωnt) +
ζ sin(
1−ζ 2
1− ζ 2ωnt)],
t≥0
let 1− ζ 2ωnt = B and ζ = cos A
sin ( A + B) = sin Acos B + cos Asin B
s(s + 2ζωn )
开环传递函数为:
G(s)
=
s2
ω
2 n
+ 2ζωns
闭环传递函数为:
Φ(s) = G(s) =
ω
2 n
1+ G(s)
s2
+
2ζω n s
+
ω
2 n
Φ(s) 称为典型二阶系统的传递函数，ζ 称为阻尼系数，ωn 称为 无阻尼振荡圆频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征
参数。 10/8/2013
此时输出将以频率ωn做等幅振荡，
所10/8以/2013，ωn称为无阻尼振荡圆频率。
4
⒉ 当 0 < ζ < 1时，称为欠阻尼系统，
C(s)
=
1⋅ s
s2
ω
2 n
+ 2ζωns
+
ω
2 n
=
1 s
−
s2
s + 2ζωn + 2ζωns + ωn2
=
1 s
−
s2
+
2ζωns
s + 2ζωn + (ζωn )2 −
2
特征方程为：
自动控制原理课件4第四节二阶系统的瞬态响应
在航空航天领域的应用
飞行控制系统设计
在飞行控制系统的设计中，二阶系统的瞬态响应特性被广泛应用 于飞行器的姿态控制和轨迹跟踪控制中。
航天器姿态控制
利用二阶系统的瞬态响应特性，可以对航天器的姿态进行快速、准 确的控制，确保航天器在空间运行中的稳定性和安全性。
火箭推进系统控制
在火箭推进系统的控制中，二阶系统的瞬态响应特性被用于实现快 速、稳定的燃烧控制和推进力调节。
THANKS
感谢观看
特点
系统几乎不会发生振荡，很快就会 停止运动。
数学模型
过阻尼振荡可以用二阶非齐次微分 方程表示，其解为非振荡的函数。
03
CATALOGUE
二阶系统瞬态响应的物理意义
瞬态响应与系统性能的关系
瞬态响应是系统对输 入信号的即时反应， 反映了系统的动态性 能。
瞬态响应的超调和振 荡程度影响系统的稳 定性和抗干扰能力。
在机械系统设计中的应用
振动控制
利用二阶系统的瞬态响应特性， 可以对机械系统的振动进行控制 ，提高机械设备的运行平稳性和
使用寿命。
动态特性分析
通过分析二阶系统的瞬态响应， 可以对机械系统的动态特性进行
评估，优化机械设计。
减震降噪
利用二阶系统的瞬态响应特性， 可以设计减震降噪装置，降低机
械设备运行时的噪音和振动。
02
二阶系统由系统传递函数和微分 方程共同定义，其动态性能由系 统的极点和零点决定。
二阶系统的数学模型
二阶系统的数学模型通常由二 阶微分方程表示，如： (mfrac{d^2x}{dt^2} + cfrac{dx}{dt} + kx = f(t))。
其中，(m) 是质量，(c) 是阻尼 系数，(k) 是刚度系数，(x) 是 位移，(f(t)) 是作用力。
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广西大学实验报告纸
组长： 组员：
指导老师： 成绩：
学院：电气工程学院 专业：自动化 班级：163
实验内容：实验五 二阶瞬态响应特性与稳定性分析 2018年5月11日
【实验时间】 2018年 5月 11日 【实验地点】 综合808 【实验目的】
1、以实际对象为基础，了解和掌握典型二阶系统的传递函数和模拟电路图。
2、观察和分析典型二阶系统在欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的响应曲线。
3、学会用MATLAB 分析系统稳定性。
【实验设备与软件】
1、Multisim 10电路设计与仿真软件
2、labACT 试验台与虚拟示波器
3、MATLAB 数值分析软件
【实验原理】
1、被模拟对象模型描述
永磁他励电枢控制式直流电机如图1（a ）所示。
根据Kirchhoff 定律和机电转换原理，可得如下方程
u k Ri dt
di
L
e =++ω （1） l t T i k b dt
d J
-=+ωω
（2） ωθ
=dt
d （3） 式中，各参数如图1（a ）所示：L 、R 为电机和负载折合到电机轴上的转动惯量，Tl 是折合到电机轴上的总的负载转矩，b 是电机与负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数；kt 是转矩系数（Nm/A ），k
e 是反电动势
系数（Vs/rad ）。
令R
L /e
=τ(电磁时间常数)，b J /m
=τ（机械时间常数）
，于是可由这三个方程画
出如图1（b ）的线性模型框图。
将Tl 看成对控制系统的扰动，仅考虑先行模型框图中()()s s U
Θ→的传递函数为
()()()()()s
Rb k k s s Rb k s U s s G t e m e t 1
/11/⋅+++=Θ=
ττ （4） 考虑到电枢电感L 较小，在工程应用中常忽略不计，于是上式转化为
()()())
1(+=Θ=
s T s K s U s s G em d （5）
式中，()t e t d
k k Rb k K +=/为传动函数，()t e em k k Rb JR T +=/为机电时间常数。
本实验中，去
s T 1.0em =，传动系数可变。
2、系统的稳定性
线性系统稳定的充要条件是闭环系统特征值均在左半平面。
3、接线和操作
输入信号产生的操作方法：用信号发生器（B1）的‘阶跃信号输出’和‘幅度控制电位器’构造输入信号r(t)，即B1单元中电位器的左边K3开关拨下（GND ），右边K4开关拨下（0/+5V 阶跃）。
阶跃信号输出（B1-2的Y 测孔）调整为2.5V （调试方法：调节电位器，用万用表测量Y 测孔）。
构造有源放大电路用模拟运算单元和阻容库A1-A9资源。
输入和输出信号的测量利用虚拟示波器，直接将信号接入CH1和CH2测孔，运行LABACT 程序，打开单迹示波器或双迹示波器，便可以得到波形。
【实验内容、方法、过程与分析】
1、用运算放大器搭建出实验原理给出的电机模型，并在Mulsitim10中仿真，选择合适的电阻R0改变速度增益K0，观察和分析典型二阶系统在欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的响应曲线，并记录波形、超调量、峰值时间、调节时间。
并计算出在欠阻尼下阶跃信号输入时的动态指标，与仿真时的测量值进行比较。
Mulsitim 仿真电路图如下所示
参数项目电阻0
R
（kΩ）增益0
K
(1/s)
自然频率
n
ω（计算
值）
(1/s)
阻尼比ξ
（计算
值）
超调量
）
（%
σ
峰值时间
p
t（s）
调节时间
s
t(s)
测量值
计算值
测量值
计算值
测量值
计算值
1 >ξ
过阻尼502 4.472 1.118
——
——
——
——
15
15.6
1 =ξ
临界阻尼40 2.551
——
——
——
——
1.02
1.5
1 0< <ξ
欠阻尼23.46 3.8 6.1630.8
4.0
4.5
0.62
0.65
1.1
1.2 2057.070.707
16.3
16.5
0.36
0.4
0.97
0.97 42515.80.316
35.1
36.0
0.21
0.25
0.96
0.96
ξR=10kΩ
=
1
ξR=25.64kΩ=
8.0
ξR=20kΩ
=
707
.0
ξR=4kΩ
316
=
.0
ξR=50kΩ>
1
2、用运算放大器搭建出实验原理给出的电机模型，在labACT实验平台上实验，选择合适的电阻R0改变速度增益K0,观察和分析典型二阶系统在欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的响应曲线，并记录波形、超调量、峰值时间、调节时间。
并计算出在欠阻尼下阶跃信号输入时的动态指标，预实验测量值比较。
表2：实验数据记录表格及实验波形
1 0< <ξ
欠阻尼2057.070.707
15.3
16.5
0.32
0.4
0.85
0.97 42515.80.316
34.5
36.0
0.21
0.25
0.80
0.96
过阻尼
临界阻尼
欠阻尼
分析实验：
1、比较过阻尼和临界阻尼达到稳定的时间，分析它们之间存在差异的原因？
答：调节时间一般近似表达式为n
s t ξω3
=
（按5%误差）,可知
n ξω决定系统响应的快
速性，所以临界阻尼情况下系统达到稳定的时间比过阻尼短。
2、在欠阻尼情况下，随着阻尼比的改变，超调量、平稳性和调节时间会怎样变化？ 答：阻尼比越小，超调量越大、达到峰值的时间和调节时间越小。
3、过阻尼、临界阻尼和欠阻尼情况下曲线在同一坐标系如下图所示。
4、对于欠阻尼系统，如果阶跃输入信号过大，会在实验和实际中产生什么后果？ 答：会使波形超出示波器显示范围，造成失真，影响实验测量和图形的读取。
【实验总结】
通过这次实验，我对二阶系统瞬态响应和稳定性有了更深刻的理解，虽然实验过程中因为仪器问题出了几次差错，但是在老师和学姐的帮助下，还是克服了困难，数据有些偏差，但是影响不大，同时让我对图像得理解更加清晰，总之，这次实验收获颇多。