2014西城区高二下学期期末理

北京市西城区2013-2014学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. 复数31i i-等于（ ）A.1122i + B.1122i - C. 1122i -+ D. 1122i -- 2. 3244A C -＝（ ）A. 6 B. 12C. 18D. 203. 计算定积分2xdx ⎰＝（ ）A. 2 B. 1 C. 4 D. －24. 已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为13，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为25。

现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ） A.215B.25C.715D.355. 从0，1，2，3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（ ） A. 24个B. 20个C. 18个D. 15个6. 如果用反证法证明“数列{}n a 的各项均小于2”，那么应假设（ ） A. 数列{}n a 的各项均大于2B. 数列{}n a 的各项均大于或等于2C. 数列{}n a 中存在一项,2k k a a >D. 数列{}n a 中存在一项k a ，2k a ≥7. 已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（ ）A. 21398C CB. 21398A AC. 21397C CD. 21397A A8. 由直线2,,033x x y ππ===与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 1B.12C.32D.39. 若5个人站成一排，且要求甲必须站在乙、丙两人之间，则不同的排法有（ ） A. 80种B. 40种C. 36种D. 20种10. 函数32()=-+f x ax bx cx 的图象如图所示，且()f x 在0=x x 与1=x 处取得极值，给出下列判断：①0>c ；②(1)(1)0+->f f ；③函数()'=y f x 在区间(0,)+∞上是增函数。

其中正确的判断是（ ）A. ①③ B. ② C. ②③D. ①②二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

11. 已知函数()sin =f x x ，则()2'f π＝____________。

12. 已知某一随机变量X 的分布列如下：X 3 b 8 P0.20.5a且()6E X =，则a ＝__________；b ＝__________。

13. 曲线2y x=在点（1，2）处切线的斜率为__________。

14. 二项式61(3)x x-的展开式中，常数项等于__________；二项式系数和为__________。

15. 抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为____。

16. 已知函数2()ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点。

给出以下几个问题：①010x e<<；②01x e >；③00()0f x x +<；④00()0f x x +>其中正确的命题是__________。

（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分13分）已知数列{}n a 中，111,247n n a a a n +==-+，其中1,2,3,n =。

（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明。

18. （本小题满分14分）已知函数32()34f x x ax =-+，其中0a ≥。

（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点和极值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值。

19. （本小题满分13分） 某企业主要生产甲、乙两种品牌的空调，由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关，甲、乙两种品牌空调的保修期均为3年，现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取50台，统计数据如下： 品牌 甲乙首次出现故障时间x 年 01x <≤12x <≤23x <≤ 3x > 02x <≤ 23x <≤ 3x >空调数量（台） 12 4 43 2 3 45每台利润（千元）12 2.5 2.7 1.5 2.6 2.8将频率视为概率，解答下列问题：（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （Ⅱ）若该厂生产的空调均能售出，记生产一台甲品牌空调的利润为X 1，生产一台乙品牌空调的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌空调销量相当，但由于资金限制，只能生产其中一种品牌空调，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的空调？说明理由。

20.（本小题满分13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球。

（Ⅰ）求取出的4个球中没有红球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。

21. （本小题满分13分）已知函数(),x xf x m m R e=+∈。

（Ⅰ）当0m =时，求()f x 的单调区间、最大值；（Ⅱ）设函数()|ln |()g x x f x =-，若存在实数0x 使得0()0g x <，求m 的取值范围。

22. （本小题满分14分）已知()ln 1f x ax b x =+-，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =。

（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）设函数2()()2x g x mf x mx =+-，其中13m <<。

求证：当[1,]x e ∈时，23(1ln 3)()222e g x -+<<-。

【试题答案】一、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C 二、11. 0 12. 0.3，613. －214. －540，6415.2916. ①③注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或③得3分；错选得0分。

三、17. 解：（Ⅰ）根据已知，21241721475a a =-⨯+=⨯-+=；32242725879a a =-⨯+=⨯-+=； 4324372912713a a =-⨯+=⨯-+=。

3分 （Ⅱ）猜想43n a n =-。

5分证明：①当1n =时，由已知，等式左边＝1，右边＝4131⨯-=，猜想成立。

7分 ②假设当*()n k k N =∈时猜想成立，即43k a k =-， 8分 则1n k =+时，12472(43)47414(1)3k k a a k k k k k +=-+=--+=+=+-，所以，当1n k =+时，猜想也成立。

12分综合①和②，可知43n a n =-对于任何*n N ∈都成立。

13分18. 解：（Ⅰ）当1a =时，322()34,()36f x x x f x x x '=-+=-。

2分令()0f x '=，得0x =或2x =。

所以，在区间(,0)-∞上，()0f x '>，函数()f x 是增函数；在区间(0,2)上，()0f x '<，函数()f x 是减函数；在区间(2,)+∞上，()0f x '>，函数()f x 是增函数。

4分所以，函数()f x 的极小值点为2x =，极小值为(2)0f =；极大值点为0x =，极大值为(0)4f =。

8分（Ⅱ）当0a =时，3()4f x x =+是R 上的增函数，在区间[0,)+∞上的最小值为(0)4f =。

10分当0a >时，()3(2)f x x x a '=-。

在区间(0,2)a 上()0,()f x f x '<是减函数，在区间(2,)a +∞上()0f x '>，()f x 是增函数。

所以，在区间[0,)+∞上()f x 的最小值为(2)f a ，13分333(2)812444f a a a a =-+=-。

14分综上，函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为344a -。

19. 解：（Ⅰ）设“甲品牌空调首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则1247()5050P A ++==。

4分（Ⅱ）依题意1X 的分布列如下：1X1 2 2.5 2.7P150 125 225 43507分2X 的分布列如下：2X1.52.62.8P125 350 9109分（Ⅲ）由（Ⅱ）得111243()12 2.5 2.7 2.62250252550E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）； 11分2139() 1.5 2.6 2.8 2.736255010E X =⨯+⨯+⨯=（千元）。

12分所以12()()E X E X <，故应生产乙品牌空调。

13分 20. 解：（Ⅰ）设“取出的4个球中没有红球”为事件A 。

则223322461()10C C P A C C ==，所以取出的4个球中没有红球的概率为110。

4分（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件B ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C 。

由于事件B ，C 互斥，且2113332246133()2510C C C P B C C ⋅=⋅=⨯=， 6分12332246111()2510C C P C C C =⋅=⨯=。

8分所以，取出的4个球中恰有1个红球的概率为312()()()10105P B C P B P C =+=+=。

9分（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0，1，2，3。

10分由（Ⅰ）（Ⅱ）知12(0),(1)105P P ξξ====。

111223333322224646333332(2)6156155C C C C C P C C C C ξ⨯⨯⨯==⋅+⋅=+=⨯⨯。

12332246111(3)2510C C P C C ξ==⋅=⨯=，所以，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P110 25 25 11012分所以ξ的数字期望1221301231055102E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。

13分21. 解：（Ⅰ）当0m =时，()()(1)x x x x f x xe e xe x e ----''==-=-。