最新三角形外角的性质及证明
三角形的外角性质定理
三角形的外角性质定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它的性质及定理数不胜数。
本文将讨论三角形的外角性质定理，通过论述和推导，我们将揭示出这一性质的内涵和相关特点。
一、三角形的外角定义与性质我们首先来定义三角形的外角。
对于三角形ABC，若点D在边BC 的延长线上，且∠ADB为三角形ABC的外角，则称∠ADB为三角形ABC的外角，其性质如下：1. 外角定理三角形的外角等于其不相邻内角之和。
设∠ABC和∠ACB为三角形ABC的两个内角，∠ADB为该三角形的外角，根据外角定理，我们可以得到以下等式：∠ADB = ∠ABC + ∠ACB该等式表明，三角形的外角与其不相邻内角之和相等。
2. 外角大小三角形的外角是相邻内角的补角。
根据补角的概念，我们知道相邻的两个内角之和为180度。
因此，我们可以得到以下等式：∠ADB + ∠ABC = 180°∠ADB + ∠ACB = 180°这意味着三角形的外角与相邻的两个内角之和的和为180度。
3. 外角的性质三角形的外角可以大于、等于或小于360度。
当三角形的内角为锐角时，其外角为钝角；当内角为直角时，外角为直角；当内角为钝角时，外角为锐角。
这一性质与三角形的内角性质相对应，增加了我们对三角形的认识和理解。
二、外角性质定理的证明接下来，我们将证明外角性质定理。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 根据直角三角形的性质，证明直角三角形的外角等于90度。
2. 假设三角形ABC内角∠ABC + ∠ACB = α，三角形ABC外角∠ADB = β，通过对∠ADB进行角平分，我们得到角∠ADE = β/2。
3. 因为α + β/2 = α + (∠ADB/2) = 180度（直角三角形性质），所以有α + β/2 = 180度，从而推导出β = 2（180度 - α），即β = 360度 - 2α。
通过以上证明，我们可以得出结论：三角形的外角等于360度减去两个相邻内角的和的两倍。
三角形外角性质
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质和定理。
其中之一就是三角形的外角性质。
在本文中，我们将详细讨论三角形外角的定义、性质以及与内角之间的关系。
正文内容：一、三角形外角的定义1.外角是指一个三角形的某一个角和该角所对的边的外侧角。
2.外角的度数等于其相邻内角的度数之和。
二、三角形外角的性质1.三角形的外角之和等于360度（或2π弧度）。
这意味着一个三角形的三个外角的度数之和始终等于一个圆的度数。
例如，对于任意三角形ABC，外角A、外角B和外角C的度数之和等于360度。
2.外角大于对应的内角。
对于任意三角形ABC，对于任意一条边，其外角大于对应的内角。
例如，对于边AB，外角A大于内角ABC。
3.外角与其相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于其相邻两个内角的和。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角B和内角C的和。
4.三角形的三个外角可以构成一条直线。
对于任意三角形ABC，通过连接外角A和外角B可以得到一条直线。
例如，连接外角A和外角B，即可得到直线AB。
5.外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于所对内角的补角。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角ABC的补角。
三、三角形外角的证明与推导1.证明外角之和等于360度。
可以通过利用平行线、内角和补角的性质来证明此定理。
2.证明外角大于对应的内角。
利用外角和内角的定义以及相关的几何定理，可以证明外角大于对应的内角。
3.证明外角等于相邻两个内角的和。
利用内角之和等于180度的性质以及平行线和内角的性质，可以推导出外角等于相邻两个内角的和。
4.证明三角形的三个外角可以构成一条直线。
可以通过利用外角和内角的定义、平行线和内角的性质，以及三角形内角和等于180度的性质来证明此定理。
5.证明外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
利用内角和补角的性质、平行线和内角的性质以及三角形内角和等于180度的性质，可以证明外角等于所对内角的补角。
三角形的外角与内角
三角形的外角与内角三角形是几何学中最基本的图形之一。
在三角形中，我们可以通过角度来描述其形状和特性。
其中，外角和内角是我们常常研究和讨论的两个角度。
本文将介绍三角形的外角和内角的概念、性质以及它们之间的关系。
一、三角形的外角1. 外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过延长其中一条边（比如边AB）来得到一个外角。
外角定义为该外角和与之相邻的内角的和。
2. 外角的性质（1）任何一个三角形的外角都小于360度。
这是因为在三角形中，所有的内角的和已经等于180度，如果再加上外角，总和将超过360度，这是不可能的。
（2）三角形的相邻外角互补。
这是因为相邻两个外角加上与之相邻的内角，总和等于180度。
3. 外角与其他角度的关系（1）外角与内角的关系：一个外角等于与之相邻的两个内角的和。
即外角A等于内角B和内角C的和，外角B等于内角A和内角C的和，外角C等于内角A和内角B的和。
（2）外角与对应内角的关系：对于一个三角形的任意一对对应内角和外角来说，它们的度数之和等于180度。
即外角A等于内角C的度数，外角B等于内角A的度数，外角C等于内角B的度数。
二、三角形的内角1. 内角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过三个顶点来确定三个内角，分别为角A、角B、角C。
2. 内角的性质（1）三个内角的和等于180度。
这是因为三个内角加起来就是三角形所有内角的总和，而任何一个三角形的所有内角总和都等于180度。
（2）任意两个内角的和大于第三个内角。
这被称为三角形的内角和定理。
例如，在三角形ABC中，角A + 角B大于角C，角A + 角C 大于角B，角B + 角C大于角A。
三、三角形的外角与内角之间的关系根据前文提到的性质可知，一个三角形的外角与其对应的内角之间存在以下关系：（1）外角等于与之相邻的两个内角的和。
（2）外角与对应内角的度数之和等于180度。
（3）三个内角与三个外角的对应关系：外角等于相应内角的度数。
综上所述，三角形的外角与内角之间有着密切的关系。
三角形的外角关系及其推论
04 三角形外角关系推 论
推论一：三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角
定理：三角形的外角大于任何一 个与它不相邻的内角
应用：在解决几何问题时，这个 推论可以帮助我们快速判断三角 形的外角大小关系
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证明：通过三角形内角和为180 度，以及三角形外角的定义，可 以得出这个结论
应用实例：在数学竞赛中，经常出现涉及三角形外角的题目，需要运用三 角形外角关系进行解答 技巧总结：掌握三角形外角关系，有助于在数学竞赛中快速解题，提高解 题效率
THANK YOU
汇报人：
05
三角形外角在实际 问题中的应用
在几何作图中的应用
确定三角形的形状：通过已知的外角，可以判断三角形的形状 计算角度：通过已知的外角，可以计算出其他角度的大小 判断三角形的相似性：通过已知的外角，可以判断两个三角形是否相似 计算面积：通过已知的外角，可以计算出三角形的面积
在解决实际问题中的应用
判断三角形的形状：根据外角和定理，可以判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。
计算角度：利用外角和定理，可以计算出三角形中某个角的大小。
证明三角形全等：在证明两个三角形全等时，外角和定理可以作为一个重要的依据。
解决实际问题：在解决一些实际问题时，如建筑、测量等领域，外角和定理可以帮助我们 更好地理解和解决问题。
外角定理的证明：通过三角形内角和为180度，以及三角形外角的定义，可 以证明外角定理。
外角定理的应用：在解决三角形问题时，外角定理可以帮助我们快速找到 答案。
外角定理的推广：外角定理可以推广到多边形，即多边形的外角和等于360 度。
外角定理的证明
外角定理的定义：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形外角定理
数学定理
目录
01 基本介绍
03 推论及证明
02 的证明
三角形外角定理(exterior angle theorem of a triangle)是平面几何的重要定理之一，指三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和。由此可得：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
基本介绍
反证法 图3 假设∠ACD ∠CAB，那么∠ACD=∠CAB，或∠ACD<∠CAB。 (1)若∠ACD=∠CAB(图3)， 在CD上截取CF= AB，连AF， 在△ABC和△FCA中， ∵AB=CF，AC=AC，∠CAB=∠ACD， ∴△ABC≌△FCA ∴∠BCA=∠FCA， 但是，∠BCA+∠FCA= 180°， ∴∠CAF+∠BAC= 180°.
的证明
证法一
证法二
利用三角形内角和定理证明有 ∠1=∠A，∠2=∠B，∴ ∠1+∠2=∠A+∠B(图2) . 图2
全等形证法 如图2,设E为AC的中点，连BE且延长到F，使EF= BE，连CF。 在△ABE和△CEF中， ∵∠AEB=∠CEF，BE= EF，AE= EC ∴ △ABE≌△CEF ∴∠1=∠A ∴CF// AB ∴∠2=∠ABC， ∴∠1 +∠2=∠A+∠ABC， 即 ∠ACD=∠A+∠B.
三角形外角定理三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。如图1，△ABC的一个外角 ∠CBE=∠A+∠C。
这个定理的证明，如图1所示，利用平行线的性质证明；也可以直接用三角形内角和定理证。
图1
由三角形外角定理不难推出：三角形任意一个外角，大于和它不相邻的任意一个内角。如图1，∠CBE>∠A， ∠CBE>∠C 。
三角形的外角与内角和计算技巧
三角形的外角与内角和计算技巧一、三角形的外角1.定义：三角形的一个外角是指与三角形的一个内角不在同一直线上的角。
a)三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。
b)三角形的外角大于任何一个不相邻的内角。
c)外角与它相邻的内角互补（即外角加相邻内角等于180°）。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角的外角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的一个内角和一个外角，求另一个内角：用180°减去这个外角。
二、三角形的内角和1.定理：三角形的三个内角和等于180°。
a)画出任意一个三角形，将其分为两个三角形。
b)每个小三角形的内角和都是180°，因此，整个三角形的内角和是360°。
c)由于两个小三角形的公共角被计算了两次，所以将其减去一次，得到三角形的内角和为180°。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的三个内角，验证内角和是否等于180°。
三、外角与内角和的联系1.每个三角形的三个外角和等于360°。
2.三角形的外角与它相邻的内角互补，即外角加相邻内角等于180°。
3.利用外角可以转换求解内角，利用内角和定理可以验证外角的计算结果。
四、应用拓展1.利用三角形外角性质解决几何问题，如证明线段平行、求解三角形面积等。
2.利用内角和定理求解三角形的问题，如求解三角形的角度、边长等。
3.外角与内角和的知识在实际生活中的应用，如测量土地面积、建筑物的设计等。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形外角与内角和的计算技巧，并能运用到实际问题中。
习题及方法：1.习题：已知三角形ABC的内角A、B分别为90°和45°，求三角形ABC的外角D的度数。
答案：外角D的度数为180° - 90° - 45° = 45°。
三角形外角定理
三角形外角定理三角形外角定理是指一个三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。
该定理用于求解三角形内角或外角的关系，为解决三角形相关问题提供了重要的数学工具。
在本文中，我将详细介绍三角形外角定理的概念、证明方法以及应用实例。
一、概念三角形外角即指一个三角形的内角的补角。
为了方便讨论，我们分别用A、B、C表示一个任意三角形的三个内角，而用X、Y、Z表示其对应的外角。
根据三角形内角的性质，我们知道三个内角的和等于180度，即A+B+C=180度。
根据外角的定义，有X=180度-A、Y=180度-B和Z=180度-C。
二、证明方法要证明三角形外角定理，我们可以通过几何推理进行证明。
具体步骤如下：1. 假设存在一个任意三角形ABC，将其一个内角A的补角记作X。
2. 连接点A和点C，构成线段AC。
3. 在线段AC上选取一点D，使得线段BD与线段AC重合。
4. 连接点A和点D，构成线段AD。
5. 通过B点画一条平行于线段AC的直线，与线段AD相交于点E。
6. 观察三角形ABC和三角形ABE。
根据平行线性质，我们可以得出∠A和∠ECD为同位角，它们是对应线段AC的内角，因此它们相等，即∠A=∠ECD。
又根据三角形内角的性质，得出∠A+∠B+∠C=180度，即∠ECD+∠ECA+∠B=180度，整理得∠ECD=∠B。
由此可知∠A=∠B。
同理，我们可以利用同样的方法证明三角形内角A与其对应的外角X相等。
综上所述，我们证明了三角形外角定理的正确性。
三、应用实例三角形外角定理在解决实际问题时具有广泛的应用。
以下举例说明：例1：已知一个三角形的两个角分别是40度和70度，求其第三个角的度数以及对应的外角。
解：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度-40度-70度=70度。
根据三角形外角定理，外角X的度数等于对应内角的补角，即X=180度-40度=140度。
例2：已知一个三角形的两个外角的度数分别为120度和150度，求其第三个外角的度数。
三角形的外角性质及证明
三角形的外角性质及证明三角形是几何学中最基本的图形之一。
它具有丰富的性质和关系，其中之一就是外角性质。
本文将介绍三角形的外角性质，并给出相应的证明。
一、外角的定义首先，我们来定义三角形的外角。
在任意三角形ABC中，我们可以选择一条边AB，并将其延长到D点。
则角ADC和角B是三角形ABC的外角。
如下图所示：[插入示意图]二、外角性质三角形的外角具有一些特殊的性质。
我们来逐一介绍。
1. 性质一：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
证明：设三角形ABC的外角ADC和角B，内角分别为角A和角C。
根据角度的定义，可以得出：角ADC + 角A = 180°（内角和为180°）角ADC + 角C = 180°（内角和为180°）将上述两个等式相加，即可得到：2角ADC + (角A + 角C) = 2角ADC + 180° = 360°而两个外角之和为360°。
因此，得证角ADC = 角A + 角C，即一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
2. 性质二：三角形的所有外角之和等于360°。
证明：在三角形ABC中，有三个外角，分别为角ADC、角B和角C。
根据性质一可知，角ADC = 角A + 角C。
将此等式代入外角之和的计算中，得：角ADC + 角B + 角C = (角A + 角C) + 角B + 角C= 角A + 2角C + 角B根据内角和为180°的性质，可知角A + 角B + 角C = 180°。
将此等式代入上述等式中，即可得到：角ADC + 角B + 角C = 180° + 2角C又根据角ADC + 角B + 角C = 360°的定义，可以得到：180° + 2角C = 360°解以上方程，得到2角C = 180°，即角C = 90°。
因此，角ADC + 角B + 角C = 180° + 2(90°) = 360°，三角形的所有外角之和为360°。
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25° A
95° B
D
E
1
A
D 145°
C
1 A
55° B
20° B
30° C
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的 顺序排列
∠1 ＞∠2 ＞∠3
例题1
已知: 如图，在△ABC中,
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
E
方法一
A
D
方法二 方法三
B
C
我们知道三角形的内角和是180°， 那么三角形的外角和是多少？
(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A
B
G
E
F
解：∵∠A+ ∠C= ∠EFA
∠B+ ∠D= ∠EGD
D
C
∠EGD + ∠EFA + ∠E = 180°
∴ ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= 180°
（4）如图，试计算∠BOC的度数．
A
90º D
110°
20º O B
30º
C
（5）如图，在直角△ABC中，CD是
A
B
C
D
∵∠ACD + ∠ACB=180 °， ∠A+ ∠B+ ∠ACB=180 ° ∴∠ACD= ∠A+ ∠B。
（２）如图：
过点C作C E∥A B 。 ∴∠1=∠ B，∠2=∠A。 ∴∠A CD=∠1+∠2=∠B+∠A。
A
E
E
21
B
C
D
三、归纳： 三角形外角的性质：
（１）三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和；
∠C=80°，∠A=45°，
求∠B的度数。
B
AF
E
C
D
已知D是△ＡＢＣ的BC边上一 点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80° ， ∠BAC=70 ° ，求∠Ｂ， ∠Ｃ的 度数。
A
B
D
C
练一练（1）
B
A
1 N3
P
F
C
2M
D
E
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360°.
（2）.已知图中∠A、∠B、∠C分别为80°， 20°，30°，求∠1的度数
（２）三角形的一个外角大于任 何一个和它不相邻的内角。
如图：D是△ABC边BC上一点， ∴∠ADC= ∠DAB+ ∠B 。
∴∠ADC> ∠DAB, ∠ADC> ∠B。 问： ∠ ADB= ∠_D__A_C_+ __∠_C__。
A
B
D
C
练习1：求下列各图中∠1的度数。
A
l
1
30° B
75° C
D C
注意：我们讲三角形的外角和时， 在三角形的每一个顶点处只取一个 外角。
例3.如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC 的外角，求证： ∠1+∠2+∠3=360°
A 1
3 B
C 2
（3）三角形三个外角和是 360°
练习：在△ ABC中， ∠A+ ∠B=100°， ∠C=4∠A， 求∠A，∠B及与∠C相邻的外角。
三角形外角的性质及证明
1、画一个△ABC。 2、指出它所有的内角。 3、延长线段BC至D，给∠ACD取名。
A
B
C
D
1、外角的概念：三角形的一边与另
一边的延长线所组成的角叫做三角形
的外角。
A
思考：
B
C
D
1、
△ABC有多少个外角？
2、作出△ABC的所有外角，并说出来。
判断下列∠1是哪个三角形的外角：
斜边AB上的高，∠BCD＝35°，
求∠A与∠EBC的度数.
E
B
D
35°
A
C
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A
A
1
C B
（1）
A
1
C B
（3）
D
1
C
B D
D
（2）
A
E
F
1G
B
C
（4）
二、新知探索
做一做： 如图，在△ABC中，∠A=80°、 ∠B=45°你能的得到∠ACD的度数吗？ ∠ACD与∠ A，∠B有什么关系？若任意 三角形，看看会出现什么结果？
A
B
C
D
探索： （1）你能从理论上证明刚才的猜想吗？
练习、△ABC中，点D在BC上，点F 在BA的延长线上，DF交AC于点E， ∠B=42° ，∠C=55° ，∠DEC=45， 求∠F
1、三角形外角的两条性质
① 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。 2、三角形的外角和是360°。
已知，如图，AE∥CD，