八年级数学上册第十四章 同底数幂的乘法
第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
14.1.1同底数幂的乘法-课件-人教版数学八年级上册
．
6.已知32m＝5，32n＝10，则9m﹣n+1的值
【分析】先逆用幂的乘方法则，把32m、32n转化为9m、9n的形式，再逆用同底 数幂的乘除法法则，把9m﹣n+1转化为同底数幂的乘除法的形式后代入求值．
【解答】解：∵32m＝（32）m＝9m＝5，32n＝（32）n＝9n＝10， ∴9m﹣n+1＝9m÷9n×9 ＝5÷10×9 ＝
∴102+n﹣1＝106，
∴2+n﹣1＝6，
解得n＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不
变，指数相加．
2.已知272＝a6＝9b，则a2+ab的值为 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将已知变形得出a，b，进而得出答案． 【解答】解：∵272＝a6＝9b， ∴36＝a6＝9b＝32b， ∴a＝±3，b＝3， 当a＝3，b＝3时， ∴a2+ab＝9+9＝18， 当a＝﹣3，b＝3时， ∴a2+ab＝9﹣9＝0， 故a2+ab的值为0或18． 故答案为：0或18． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确得出a，b的值是解题关键．
人教版八年级上册第十四章
同底数幂的乘法
教学设计一：
故事引入：大家都知道“手拉面”吧，厨师把和好的面切成相等的 段，然后用手拉，第一次拉成1米，再折回成2根，每根米长；第 二次将这2根都拉成1米，折回成4根，每根仍是米；第三次将这4 根拉成1米，折回成米长的8根，总长是4米。这样一直拉下去， 拉到一定的细度，一般要拉十几次。假如要拉14次，那么第14次 拉完时，拉面的总长度是多少呢？我们来算一算。第1次 1根 1米， 第2次 2根 2米，第3次 4根 4米， ···，第15次 ＝8192根 8192米， 也就是拉到第14次的时候，所有面条的总长度达8千多米。这拉 面可真长啊！差不多是珠穆朗玛峰的海拔高度了。
人教版八年级数学上册第十四章 1 1.1 同底数幂的乘法
关闭
选项A和D都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项B和C的左边都不
是同类项,不能合并.
关闭
D
解析 答案
知识梳理 预习自测
2.已知23×29=2n,则n的值为( ). A.12 B.18 C.27 D.36
-7-
123456
关闭
A
答案
知识梳理 预习自测
3.22 017×22 017的计算结果是( ).
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
-4-
目标导引
1.理解同底数幂的乘法法则,并会用式子表示. 2.熟练运用同底数幂的乘法运算法则进行运算,并能解决一些实际 问题.
思维导图
旧 有理数乘方的意义 同底数幂的乘法法则 新
☞
→
☜
知 有理数的乘方法则 同底数幂乘法的应用 知
-10-
123456
关闭
D
答案
知识梳理 预习自测
6.若xm=3,xn=2,则xm+n=
.
-11-
123456
xm+n=xm·xn=3×2=6.
6
关闭 关闭
解析 答案
1
2
1.同底数幂的乘法法则
【例1】 计算:
(1)a3·a2·a;
(2)(-x)2·x5;
(3)(x+y)2·(x+y)3.
分析:(1)底数均为a,指数分别为3,2,1,按照“底数不变,指数相加”
A.0
B.22 017C.24 034
D.44 034
-8-
123456
关闭
C
答案
知识梳理 预习自测
人教版八年级数学上册14.1.1《同底数幂的乘法》说课稿
人教版八年级数学上册14.1.1《同底数幂的乘法》说课稿一. 教材分析《同底数幂的乘法》是人教版八年级数学上册第14章幂的运算的第一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握同底数幂的乘法法则，并能灵活运用该法则进行幂的运算。
教材通过引入实例，引导学生发现并归纳同底数幂的乘法法则，进而培养学生的观察、思考、归纳能力。
本节课的内容是学生进一步学习幂的运算的基础，对于学生来说具有重要的意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘法、幂的定义等知识，对于幂的概念和运算有一定的了解。
但学生对于幂的运算规则还没有形成系统的认识，对于同底数幂的乘法可能还存在困惑。
因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，引导学生通过观察、思考、归纳等方法，发现并理解同底数幂的乘法法则。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握同底数幂的乘法法则，能正确进行同底数幂的乘法运算。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、归纳等方法，培养学生发现、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生体验到成功的喜悦。
四. 说教学重难点1.教学重点：同底数幂的乘法法则。
2.教学难点：同底数幂的乘法法则的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用引导发现法、归纳总结法、例题教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示幂的运算过程，帮助学生理解和掌握同底数幂的乘法法则。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考同底数幂的乘法问题，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：引导学生观察、思考、归纳同底数幂的乘法法则，学生在教师的引导下，发现并总结出同底数幂的乘法法则。
3.例题讲解：教师通过讲解典型例题，让学生理解并掌握同底数幂的乘法法则。
4.巩固练习：学生进行课堂练习，教师及时给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。
5.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容，加深学生对同底数幂的乘法法则的理解。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：同底数幂的乘法》
教学设计2024秋季八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：同底数幂的乘法》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握同底数幂的乘法法则，能够准确进行同底数幂的乘法运算。
2.数学思维：通过探索同底数幂乘法规律的过程，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
3.问题解决：学会将实际问题抽象为数学问题，利用同底数幂的乘法法则解决简单问题。
4.情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养合作学习的意识和探索精神。
二、教学重点•掌握同底数幂的乘法法则（a^m * a^n = a^(m+n)），并能熟练运用该法则进行计算。
三、教学难点•理解同底数幂乘法法则的推导过程，特别是为什么底数不变，指数相加。
•灵活运用法则解决复杂问题，包括混合运算和实际应用问题。
四、教学资源•多媒体课件（包含动态演示同底数幂乘法过程的动画）•教科书及配套习题集•黑板与粉笔•学生分组讨论材料五、教学方法•讲授法：讲解同底数幂乘法法则及其推导过程。
•演示法：利用多媒体展示法则的应用实例。
•讨论法：组织学生分组讨论，探索法则的适用性和解题策略。
•练习法：通过大量练习巩固知识点，提升解题能力。
六、教学过程导入新课•情境引入：通过一个实际问题（如计算细胞分裂后的总数）引入同底数幂的乘法概念，激发学生兴趣。
•复习旧知：回顾幂的定义及基本性质，为新课学习做铺垫。
新课教学1.概念阐述：明确同底数幂的定义，即底数相同、指数不同的幂相乘。
2.法则推导：•案例展示：给出几个同底数幂相乘的例子，引导学生观察规律。
•推理分析：结合幂的乘法定义，逐步推导同底数幂乘法法则（a^m * a^n = a^(m+n)）。
•总结法则：明确法则内容，强调底数不变、指数相加的核心要点。
3.例题讲解：•基础例题：选择几个简单例题，详细讲解计算过程，强调法则的应用。
•进阶例题：逐步增加难度，涉及混合运算和实际应用问题，培养学生综合运用能力。
4.学生活动：•分组讨论：学生分组讨论例题解法，分享解题思路。
人教版数学八年级上册 《14.1.1同底数幂的乘法》优质课件
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解析 答案
一二
1.a3·a4 的结果是( ).
A.a4
B.a7
1
2
3
4
5
6
C.a6
D.a12
关闭Bຫໍສະໝຸດ 答案2.下列计算正确的是( ).
A.b4·b2=b8
B.x3+x2=x6
C.a4+a2=a6
D.m3·m=m4
1
2
3
4
5
6
关闭
选项 A 和 D 都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项 B 和 D 的左边都不是同类项, 不能合并.
1
2
3
4
5
6
.
2 187
关闭
答案
6.计算:
(1)-36×37; (2)y5·y4·y; (3)a3·a5-a2·a6; (4)29×28×23.
1
2
3
4
5
6
(1)-36×37=-36+7=-313; (2)y5·y4·y=y5+4+1=y10;
(3)a3·a5-a2·a6=a8-a8=0; (4)29×28×23=29+8+3=220.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
学前温故 新课早知
1. 几个相同 的数或者式子相乘,这种运算叫做乘方,乘方的结果叫 做幂 . 2.乘方的性质:正数的任何次幂都是正数 ,负数的偶次幂是正数 ,负数 的奇次幂是 负数 .
学前温故 新课早知
1.同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变 ,指数相加 .
关闭
答案
为 a6;
14.1.1同底数幂的乘法 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
数幂相乘，运算性质仍成立：
a m·
an·
a p a m n p（m，n，p是正整数）.
a m1 ·
a m2 ·
·
a mn a m1 m2 mn
(m1：m2，…，mn是正整数）.
性质巩固
例1 计算下列各题，并写出每步计算步骤的依据.
-2n1 +2n
（n≥2，n是正整数），结果总为6.
总结提升
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.同底数幂的乘法的运算性质是怎么被探究并推导出来的？
在运用时要注意什么？
达标检测
A级
1.计算：
（1）x5 x 2
(4) a 2 a n 1 a ;
(2) x n x n 1
(3) a 2 n a n 1
m n
a m·
a n（m，n是正整数）
解：原式
=2-22 -23 -24 -
-28 +29
2 22 23 24 28 2 28
2 22 23 24 27 28
=…
2 22
=6
事实上，一般性算式可写成
2-22 -23 -24 -
（2）已知
求a的值；
x 31，
x m 2，x n 3，求x m n的值.
5.计算：
3
（1） a 2 （
a）
(2) (a b c) 2 (b a c)3 (a c b) 4 ;
(3) 8 24 n 22 n 1 .
6.计算：x n 1·
( 5 ) (a b)( a b) 4 .
八年级数学上册第十四章同底数幂的乘法教学课件新版新人教版ppt
新课导入
规 律 以上6个式子都是两个底数相同的幂相乘，其结果的幂的底数仍与 原来两个幂的底数相同，结果的幂的指数是原两个幂的指数相加. （其中指数均为正整数）
思考：你能总结出同底数幂相乘的运算法则吗?
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法 性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am×an=(a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)(a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)
m个a
n个a
=a∙a∙a∙a∙a∙a∙∙∙∙∙∙a∙a∙a
m+n个a
=am+n
符号表示：am×an=am+n （m，n 都是正整数）.
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法 性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
符号表示：am×an=am+n （m，n 都是正整数）.
(1)使用该性质运算的前提条件有两个：①乘法运算； ②底数相同. (2)单个字母或数字可以看成指数为1的幂，参与同底数幂的乘法运 算时， 不能忽略指数为x+2=36，则 3x 2 . 2
提示：3x+2=3x·32=36，3x=4.
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法
示例：
指数相加
指数相加
a3×a5 = a8
(-a)×(-a)2×(-a)3 = (-a) 1+2+3 =(-a)6
底数a不变
底数-a不变
(-a)的指数为1
新课讲解
知识点1 同底数幂的乘法 (1)同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底
数幂相乘，即 am∙ an∙ ap = am+n+p（m，n，p都为正整数）. (2)同底数幂的乘法的性质可以逆用，即 am+n = am∙ an （m，n都为正 整数）.
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第一关 第三关
计算： 2－22－23－24－25－26－27－28－29+210
解： 2－22－23－24－25－26－27－28－29+210 ＝210－29－28－27－26－25－24－23－22+2 ＝2×29－29－28－27－26－25－24－23－22+2 ＝29－28－27－26－25－24－23－22+2 ＝… ＝ 22+2 ＝6
（1）a3 ·a3= 2a3 （ ）
×
（2）a3+a3 = a6 （ ）
×
a3 ·a3=a6
a3+a3 = 2a3
( ) （3）x2 ·x3 = x6
( ) （×4）(-11)8 ·113 =(-11)11
×
x2 ·x3 = x5
(-11)8 ·113 =118 ·113=1111
( ) （5）a ·a6 = a6
m个a
n个a
= (a a a)
(m n)个a
=am+n.
同底数幂的乘法法则:
a ·a = a m n
m+n (m、n都是正整数)
同底数幂相乘,底数
，指数 不。变
相加
[法则解析] 条件：①同底数幂 ②乘法 结果：①底数不变 ②指数相加
延伸探究
请猜想： （当m、n、p都是正整数时)
？ am·an·a p =
18个10
1018
合 作 探 究
请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空.
(1) 25×22
= =
(
2 × 2 ×2×2× 2 ) ×( 2_×__2_×__2__×__2_×__2_×__2×2
2=2×(7
2) ；)
(2)a3×a2
=
( a×a×a ) ×( a×a =__a_×__a×__a_×__a_×__a__=
如果x‧xn-4‧x2n+1=x10,
则n= 4 .
分析：∵x‧xn-4‧x2n+1=x1+(n-4)+(2n+1) =x3n-2=x10
∴ 3n-2=10 ∴ n=4
第一关 第三关
计算： （结果用幂的形式表示）
52010－4×52009
解：52010－4×52009 ＝52009+1－ 4×52009 ＝5×52009－4×52009 ＝52009
解：(－3)100+2 ‧ (－3) 99=3100－2 ‧399
＝31+99－2 ‧399
＝3 ‧399－2 ‧399
＝399
计算，结果用幂的形式表示：
a2‧a3 + a‧a4
解： a2‧a3 + a‧a4 =a5+a5
=2a5
返回
第二关
计算，结果用幂的形式表示： (-5)3‧(-5)2 ‧54
解：(-5)3‧(-5)2 ‧54 ＝ -53‧52‧54 ＝－59
返回
第二关
填 空：
x5
.（ ）= x2004
x2009
返回
第二关
如果an-2‧an+1=a11, 则n= 6 .
分析：∵ an-2‧an+1＝a(n-2)+(n+1)=a2n-1=a11 ∴ 2n-1=11 ∴ n=6
第一关 第三关
m个a
n个a
p个a
=am+n+p
基 础 大 练兵
1、抢答题。
(1) x2 ·x5 ；
( x7 )
(2) a ·a6 ；
a( 7 )
(3) (-2)× (-2)4× (-2)3 ；（ 28 ）
(4) xm ·x3m+1 ； （ x4m+1 ）
Good!
基 础 大 练兵
2、下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
am·an·a p = am+n+p
你能证明这个结论吗？
方法1 am·an·ap 或 =(am·an)·ap
=am+n·ap =am+n+p
am·an·ap =am ·(an·ap )
=am·ap +n =am+n+p
方法2 am·an·ap
=(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
m+n (m、n都是正整数)
同底数幂相乘,底数
，指数 不。变
相加
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数) 同底数幂的乘法法则的逆运算：
am+n= am ·an (m、n都是正整数）
思考与作业
1、思考：
如果2n=1/3,2m=48,求3n·3m的值。 2、作业：
课本P104 １T、２（１）T
闯 关 成 功 啦 ！ ！
第一关 小结
计算：
闯
关
x·x2 ·x3 ·x4 ·····x100
成 功 啦
！
解： x·x2 ·x3 ·x4 ·····x100
！
＝x1+2+3+ ···+100 ＝ x5050
第一关 小结
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
同底数幂的乘法法则:
a ·a = a m n
(1) (x+y)2 ·(x+y)3 ；
(2) (-x)3 ·x5 ；
(3) (a-b)2 ·(b-a)3 ；
(4) (-a)5 ·(-a2)-(-a)4 ·(-a)3 ；
解(1) ( x+y)2 ·(x+y)3 = ( x+y)2+3 = ( x+y)5 (2) (-x)3 ·x5 = -x3 ·x5 =-x3+5 =-x8 (3) (a-b)2 ·(b-a)3 = (b-a)2 ·(b-a)3 = (b-a)5 (4) (-a)5 ·(-a2)-(-a)4 ·(-a)3 = -a5 ·(-a2)-a4 ·(-a3) = a7+ a7=2a7
( ) （6×）m + m3 = m4
×
a ·a6 = a7
m+m3=m+m3或m ·m3=m4
通过上面的练习你认为同底数幂的乘法法则的应用应注意什么? 1.同底数幂相乘时,指数是相加的 2.注意 am ·an 与am + an的区别 3.不能忽视指数为1的情况
能力测试
例 计算下列各式,结果用幂的形式表示.
a()5
)
；
(3) 5m ·5n
=( 5×···×5
)
×(
5×···×5)
=
5( m+n
) .
m个5
n个5
猜想：对于任意底数 a 与任意正整数m、n
am an ？
讨论，并尝试证明你的猜想是否正确。
猜想: am ·a(n当=m、anm都+n是. 正整数)
am ·an 能=证（明吗a？·a a）（a·a a）
1、若x•x2•x3•x4•x5=xm，求m的值. 解：∵x•x2•x3•x4•x5＝x1+2+3+4+5 ＝x15 ＝xm
∴m=15
2、已知2m=5，2n=3。求下列各式的值：（1）2m+2；（2）2m+n
解：（1）2m+2=2m•22=5×4=20 （2）2m+n=2m•2n=5×3=15
3、计算：(－3)100+2 ‧ (－3) 99
分析：它工作103秒可以进行的运算次数是1015×103. 怎样计算 1015×103呢？
➢ an 表示的意义是什么？其中a、n、an
分 别叫做什么?
指数
底数
= a·a·… ·a
an 幂
n个a
根据乘方的意义可知
1015×103＝
（10×10×…×10）
15个10
（10×10×10）
(101010)
问题情 一种电子计算机景每秒可进行1千万亿（1015）
次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
在2010年全球超级计 算机排行榜中，中国首台 千万亿次超级计算机系统 “天河一号”雄居第一， 其实测运算速度可以达到 每秒2570万亿次。
Hale Waihona Puke 问题情 一种电子计算机景每秒可进行1千万亿（1015）
次运算，它工作103秒可进行多少次运算？