高二理科数学上学期期末模拟试卷
分别过点A、B作AA1⊥l2于A1，BB1⊥l1于B1，由椭圆的第二定义可
得|BN|=e|BB1|=2xB，由抛物线定义可得|AN|=|AA1|=xA+1，∴△NAB的
周长l=|AN|+|AB|+|BN|
=xA+1+（xB-xA）+（2xB）=3+xB，又由
可得两曲线交点的横坐标
为x=，∵xB∈（，2），∴3+xB∈（，4），即△NAB的周长l的取值范
是BC的中点, ∴E是BC1的中点. ∴AM= DE=CC1=AA1. ∴AM= MA1. 22 （理）已知双曲线的右焦点为,过点的动直线与双曲线相交于两 点，点的坐标是． (I)证明为常数； (II)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程． [解析]由条件知，设，． (I)当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
m，x1·x2=. 所以，sin（α+β）=x2y1+x1y2=2x1x2+m（x1+x2）=m2-1+m（-m）=-1（定
值）.
18在空间四边形PABC中，PA面ABC，ACBC,若A在PB，PC上的射影分 别是E,F.求证：EFPB
18证明： PA面ABC PABC--1分，又 ACBC，PAAC=A, BC面PAC----
∴1，
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13 P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影,若点P到
△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心．.13内心
14双曲线左支上的点P到左准线的距离是10，那么P到其右焦点的距离是
14
15给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；
．整理得:． 当时，点的坐标为，满足上述方程． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 故点的轨迹方程是．
A．(－2，2) B．(1，2) C．(－2，－1) D．(－1，2)
9.抛物线y2=4px（p>0）的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若
△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为（ .C ）
A.2
B.3
C.4
D.6
10（理）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上
的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于
②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；③两异面直线，如
果平面，那么不垂直于平面；④两异面直线在同一平面内的射影不可能
是两条平行直线 。其中正确的命题是____________ 15①③
16给出下列四个命题：① 两平行直线和间的距离是；② 方程不可能表 示圆；③ 若双曲线的离心率为e，且，则k的取值范围是；④ 曲线关于 原点对称．其中所有正确命题的序号是_____________ . 16 ①，④.
此时． 当不与轴垂直时，设直线的方程是．代入，有．则是上述方程的两
个实根，所以，，于是 ．
综上所述，为常数． (II)解法一：设,则,,, ，由得：即 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时,,即． 又因为两点在双曲线上,所以，,两式相减得 即:
． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是． 解法二：同解法一得……………………………………① 当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………② ． ………………………………③ 由①②③得． …………………………………………………④ ．……………………………………………………………………⑤ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
20解：由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为2C（即双曲线的 焦距）．设抛物线的方程为 4分
∵抛物线过点 ① 又知 ② 8分 由①②可得， 10分 ∴所求抛物线的方程为，双曲线的方程为. 12分
21在斜三棱柱A1B1C1-ABC中, 底面是等腰三角形 , AB=AC, 侧面BB1C1C⊥底面ABC. (Ⅰ)若D是BC的中点, 求证:AD⊥CC1; (Ⅱ)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱 于M, 若AM=MA1, 求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C; (Ⅲ) AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要 条件吗? 请你叙述判断理由. 21 (Ⅰ)证明: ∵AB=AC, D是BC的中点, ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面
应准线的距离为. （1）求该椭圆的标准方程；（2）写出该椭圆的
长轴长，短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标； （3）求以已知椭
圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程. 19解：（1）设椭圆的标准方程是，则……①，……②联立①②解 得，，所以，故所求的椭圆方程为. （2）椭圆的长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦点坐标为（-4，
BB1C1C.
(Ⅲ)解: 结论是肯定的, 充分性已由(2)证明,
下面证必要性: 过M作ME⊥B C1于E, ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C,
∴ME⊥侧面BB1C1C. 又∵AD⊥侧面BB1C1C, ∴ME∥AD. ∴M, E, A, D
共线. ∵A M∥侧面BB1C1C, ∴AM∥DE. ∵CC1⊥AM, ∴DE∥CC1. ∵D
0），（4，0），顶点坐标为（-5，0），（5，0），（0，-3）， （0，3）. （3）可设双曲线的方程为，由于以已知椭圆的焦点为顶点，而以椭圆 的顶点为焦点，故且，所以.所求双曲线方程是. 20已知抛物线的顶点在原点，它的准线经过双曲线的左焦点，且与x 轴垂直，抛物线与此双曲线交于点（），求抛物线与双曲线的方程．
围为（，4），故应选B.
12点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反
射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
12A 点P（-3，1）在椭圆的左准线上， 故
点P（-3，1）关于直线的对称的点为Q，则Q（-3，-5），设椭圆的Biblioteka 左焦点为F，则直线FQ为，故
（B）
A．45° B．60° C．90° D．120°
11定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线部分
上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长l的取值范围是（ ）
A.（，2）
B.（，4）
C.（，4）
D.（2，4）
11B 如图所示，分别作出椭圆准线l1：x=4与抛物线的准线l2：x=-1，
高二理科数学上学期期末模拟试卷（）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分) 1 （理）是直线和直线互相垂直的（ A ） A．充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不 必要条件 2（理）过点(2,-1)作圆x2+y2=5的切线，其方程是（ B ） A.x-2y-4=0 B.2x-y-5=0 C.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0或x-2y+4=0 3（理）椭圆的一个焦点是(0,)那么k等于( B ) A. 2 B. 1 C. D. 3 4空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面 的个数为 （C）
BB1C1C, ∴AD⊥侧面BB1C1C. ∴AD⊥CC1.
(Ⅱ)延长B1A1与BM交于N, 连结C1N. ∵AM=MA1, ∴NA1=A1B1.
∵A1B1=A1C1, ∴A1C1= A1N=A1B1. ∴C1N⊥C1B1. ∵截面N B1C1⊥侧
面BB1C1C,
∴C1N⊥侧面BB1C1C. ∴截面C1N B⊥侧面BB1C1C. ∴截面MBC1⊥侧面
-4分，AF面PAC, BCAF-------5分，又F是点A在PC上的射影，AFPC--6
分，AF面PBC------8分，AE在平面PBC上的射影为EF-----9分，E是A点
在PB上的射影--10分，AEPB EFPB----12分
19已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一条准线的方程为，焦点到相
三、解答题(本大题共6小题，共70分,写出必要的解题过程) 17已知圆x2+y2=1，直线y=x+m. （1）m为何值时，直线与圆有两个不同
的交点？ （2）设直线与圆交于A，B，且直线OA，OB（O为坐标原点）与x轴 的正半轴所成的角为α，β，求证：sin（α+β）是与m无关的定值. 17解（1）直线的方程代入圆的方程，可得2x2+2mx+m2-1=0，由>1，可 得4m2-8（m2-1）>0-<m<. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则sinα=y1，cosα=x1，sinβ=y2， cosβ=x2，又y1=x1+m，y2=x2+m，2x2+2mx+m2-1=0，所以x1+x2=-
A．3 B．1或2 C．1或3 D．2或3
5（理）动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离，则点
P的轨迹是（ A ）
A.直线 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
6（理）设双曲线（a>0，b>0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则
双曲线的离心率为（B ）
A.
B. C. D.
7如图，在正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角等于 （ B ） A．B． C． D． 8若双曲线的焦点在y轴上，则m的取值范围是( C ).
高二上理科数学期末试卷及答案
第一学期期末考试试题 高二（理科）数学（必修5；选修2-1）(满分150分；时间120分钟)第I 卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题；每小题只有一个正确选项。
每小题5分；共50分)1.{}为则，中，已知等差数列n a a a a a n n ,33,431521==+=（ ） A.48 B.492. {}==⋅=+q a a a a a n 则公比中，在正项等比数列,16,105362（ ） A.2 B.22C. 222或3.的值为则中，在A aS b A ABC ABC Osin ,3,1,60===∆∆( ) A.3392 B.8138 C.3326 D. 724.在下列函数中；最小值为2的是（ ） A.xx y 1+=B.xx y -+=33C.()101lg 1lg <<+=x xx y D.⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20sin 1sin πx x x y5. 若椭圆221x my +=的离心率为2；则它的长半轴长为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．与m 有关6.()线准线方程为的右焦点重合，则抛物的焦点与椭圆若12602222=+>=y x p px y ( ) A.1-=xB. 2-=xC. 21-=x D. 4-=x7. 有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件.③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8. 以椭圆1162522=+y x 的焦点为顶点；离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 9. 下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g10.是的距离最小的点的坐标上到直线抛物线42212=-=y x x y ( ) A.(1；1) B.(1；2) C.(2；2) D.(2；4)第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题；每小题5分；共25分)11. 等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于 . 12.()的最大值为则若a a a 21,210-<< . 13. 的最大值为，则足若满y x z x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+302142, .14. 双曲线的渐近线方程为20x y ±=；焦距为10；这双曲线的方程为 . 15. 若19(0,2,)8A ；5(1,1,)8B -；5(2,1,)8C -是平面α内的三点；设平面α的法向量),,(z y x a =；则=z y x :: .三、解答题(本大题6个小题；共75分.解答应写出说明文字；证明过程或演算步骤) 16. (本小题共12分) 如图；△ACD 是等边三角形；△ABC 是等腰直角三角形；∠ACB=90°；BD 交AC 于E ；AB=2. （1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE 。
高二理科数学第一学期期末质量检测试题
高二理科数学第一学期期末质量检测试题一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是A ．21-=y B ．21=y C ．81-=x D ．81=x 2．若a ＞b ＞c , 则下列不等式中一定成立的是A ．ab ＞acB ．a (b 2＋c 2)＞c (b 2＋c 2)C ．| ab | ＞| bc |D ．a | c | ＞b | c | 3．两圆x 2＋y 2＝4与⎩⎨⎧θ+=θ+-=sin 4y cos 3x 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若31=PF ，则2PF ＝ A. 1或5B. 6C. 7D. 95．若||2h x a -<，||2h y b -<，则下列不等式一定成立的是A.||x y a b h +--<, ||x y a b h --+<B. ||x y a b h +--<，||x y a b h -+-<C.||x y a b h +++<，||x y a b h --+<D. ||2hx y a b +--<，||2h x y a b -+-<6．直线xcos θ+y -1=0(θ∈R)的倾斜角的范畴是A. [0,π)B. [0,]4π∪3[,)4ππ C. [,]44ππ- D. 3[,]44ππ7．设0＜a ＜21，则下列不等式中一定成立的是 A ．a a a a -<+<-<+11111122 B ．aa a a -<+<+<-11111122 C ．22111111a aa a +<-<+<- D ．22111111a aa a +<-<-<+8. 抛物线y 2=2px 与直线ax+y －4=0交于两点A 、B ，其中点A 的坐标是(1, 2)，设抛物线的焦点为F ，则FB FA +等于A. 5B. 6．C. 53D. 79．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-．若方程 1(2)kx ⊗-=有解，则k的取值范畴是A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ﹒[]0,1C ﹒10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ﹒14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知椭圆1ay 2222=+bx ( a > b > 0) 的离心率为1e ，准线为1l 、2l ；双曲线1y a32222=-bx 离心率为2e ，准线为3l 、4l ；若1l 、2l 、3l 、4l 正好围成一个正方形，则21e e 等于 A.33 B .36 C.22 D. 2二、填空题：本大题共5个小题,每小题4分,共20分.把答案直截了当填在题中横线上. 11. 不等式2log (1)x -≤0的解集是 .12. 若直线x ＋3y －7＝0与直线kx －y －2＝0的方向向量分别为→→j i 、，则当0=⋅→→j i 时，实数k 的值为 .13. 若直线)0b ,0a 02by ax 2>>=+-（始终平分圆01y 4x 2y x 22=+-++的圆周，则b1a 1+的最小值为 . 14. 椭圆的中心在直角坐标系的原点，左焦点为(－3, 0)，且右顶点为D （2，0），设点A的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛21,1，点P 是椭圆上的动点，则线段PA 中点M 的轨迹方程是 .15. 给出下列四个命题：① 两平行直线0123=--y x 和0246=+-y x 间的距离是13132；② 方程11422-=-+-ty t x 可能表示椭圆；③ 若双曲线1422=+k y x 的离心率为e ，且21<<e ，则k 的取值范畴是()20,60--∈k ；④ 曲线0992233=++-xy y x y x 关于原点对称．其中所有正确命题的序号是_____________ .三、解答题: 本大题共6个小题，共80分.解承诺写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)求以点(－2, 3)为圆心，且被直线x +y=0.17. (本小题满分13分)已知不等式23611(){|1}216axx x x x b -+<<>的解集是或. ⑴. 求a ，b 的值， ⑵. 若c>1，解不等式203c xax x b-<-+.18. (本小题满分13分)怀化啤酒厂生产淡色和深色两种啤酒.粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源，每天分别能够提供480斤、160两和1320斤.假设生产一桶淡色啤酒需要粮食5斤、啤酒花4两、麦芽20斤；生产一桶深色啤酒需要粮食15斤、啤酒花4两、麦芽40斤；售出后，每桶淡色啤酒可获利15元，每桶深色啤酒可获利25元.假设每天生产出的啤酒都可售完，问每天生产淡色和深色两种啤酒各多少桶时，工厂的利润最大？ 19. (本小题满分14分)如图，点P(a, b)在第一象限内，且在直线y=x 的左侧，点M(－m, －m)在第三象限内， O 为原点 .(1). 由图可知，直线PM 与直线PO 的斜率哪个较大？ (2). 试用不等式的语言描述上述事实：“若 ， 则 < ”； (3). 用代数方法证明你的结论. 20. (本小题满分14分)已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1). 求双曲线C 2的方程；(2). 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范畴. 21. (本小题满分14分)有对称中心的曲线叫做有心曲线. 明显圆、椭圆、双曲线差不多上有心圆锥曲线. 我们称下列定义为椭圆的第三定义：定义：直角坐标平面内的一个动点M(x,y)到两定点A 1 (－a, 0), A 2 (a, 0)(a ≠0)的斜率乘积等于常数λ(λ<0, 且λ≠－1)的点的轨迹（连同定点A 1、A 2 ）叫做椭圆.⑴. 请用类似的方法写出双曲线的第三定义，并加以证明；⑵. 请用类似的方法写出圆的定义（不必证明）， 你能从上述定义中得到有心圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、圆)的统一定义吗？请写出你的结论（不必证明）.高二理科数学试题参考答案及评分意见一、选择题：每小题5分,共50分.1-5. DBCCA ；6-10. BADBA ； 二、填空题：每小题4分,共20分.11. {x │1＜x ≤2}； 12. 3； 13. 4； 14.141y 421x 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-；15. ①，②，④.三、解答题：共6小题, 共80分.16. 解：由已知，圆心(－2, 3)到直线x +y=0的距离：21232d =+-= …………3分 设圆的半径为r, 则有 222r 21421=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛， ………………………7分∴ r 2=4， ……………………………10分故所求圆的方程为 (x+2)2+(y －3)2=4 ……………………………12分17. 解：（1）原不等式可化为 46322121⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ax 等价于 a x 2－3x+6>4, 即 a x 2－3x+2>0, ………………3分由题设 x=1是方程a x 2－3x+2=0 的解，∴ a ×12－3×1+2=0, 得 a =1. ………4分 原不等式等价于 x 2－3x+2>0⇒x<1, 或x>2, ∴ b=2. ………………6分 （2）由a =1，b=2，得原不等式为0(1)(2)x cx x ->--， ………………7分∵ c>1 ∴ 1<c<2时，不等式的解集为{x |1<x <c, 或x >2}； ………………9分xyOy =xPMc=2时，不等式的解集为{x |1<x <2, 或x >2}； ………………11分 c>2时，不等式的解集为{x |1<x <2, 或x >c}. ………………13分18. 解：设每天生产淡色和深色两种啤酒分别为x 、y 桶,每天的利润为z 元，则z=15x +25y=5(3x+5y), (x, y ∈N) ……………2分依题意得： 5154804416020401320x y x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，化简得：39640266x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩ ……………5分作出可行域如图： ……………8分作直线l 0：3x+5y=0把l 0到过点A 的位置时，直线在y 轴上的截距最大，现在目标函数z=15+25y 取得最大值.……………10分又由⎩⎨⎧=+=+66y 2x 40y x 得A (14, 26),∴当x=14，y=26时，z max =860元 . ……………………………12分 答：每天生产淡色和深色两种啤酒分别为14和26桶时,每天的利润最大. …………13分19. 解：(1). k PM <k PO ； ………………………3分(2). 若0<a<b ，m>0，则b m ba m a+<+ ………………………7分 证明： (3). ∵ )a(a )(a )a(a )(a )a(a a m b m m m b m b b m m b +-=++-+=-++ …………………10分又 0<a<b ，m>0，∴ m(a －b)<0, a(a+m)>0 ∴0)a(a )(a <+-m b m , ………………………12分x∴aa bm m b <++ 成立 ………………………14分 注：其他证明方法酌情记分.20. 解：（1）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为22 1.3x y -=………………………………………………5分 （2）将.04kx 28x )k 41(1y 4x 2kx y 2222=+++=++=得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)1k 4(16)k 41(16k )28(22221>-=+-=∆即 21.4k >①…………7分 09kx 26x )k 31(1y 3x 2kx y 2222=---=-+=得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得2222222130,1 1.3()36(13)36(1)0.k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且 ② …………9分229(,),(,),,131366,(A A B B A B A BA B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=⋅=--⋅<+<+=+设则由得而22222(1)()29(1)21337.31A B A B k x x x x k k k k =+++-=+⋅++-+=- 22223715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22131.153k k ><或 ③…………12分由①、②、③得.1k 151331k 4122<<<<或 故k的取值范畴为311313(1,(,)(,)(,1)2215---………………14分21. 解：⑴.双曲线的第三定义：直角坐标平面内的一个动点M(x,y)到两定点A 1 (－a, 0), A 2 (a,0) (a ≠0)的斜率乘积等于常数λ(λ＞0)的点的轨迹（连同定点A 1、A 2 ）叫做双曲线.…………………………3分证明如下：∵ 1MA y k x a =+，2MA yk x a=- (x ≠±a)∴ 21222MA MA y y y k k x a x a x a λ⋅=⋅==+--， …………………………5分即：y 2=λx 2－λa 2⇒λx 2－y 2=λa 2⇒12222=λ-a y a x ， (x ≠±a) ……………………7分∵ λ＞0，a ≠0， ∴ 方程12222=λ-a y a x 所表示的曲线（连同定点A 1、A 2 ）是双曲线. ……………9分 ⑵. 圆的定义：直角坐标平面内的一个动点M(x,y)到两定点A 1 (－a, 0), A 2 (a, 0)(a ≠0)的斜率乘积等于－1的点的轨迹（连同定点A 1、A 2 ）是圆. ……………………11分 有心圆锥曲线的统一定义：直角坐标平面内的一个动点M(x,y)到两定点A 1 (－a, 0),A 2 (a, 0)(a ≠0)的斜率乘积等于常数λ（λ≠0）的点的轨迹（连同定点A 1、A 2 ），当λ<0, 且λ≠－1时是椭圆；当λ=－1时是圆；当λ＞0时, 是双曲线.……………………14分。
四川省成都市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学(理科)试题
2022~2023学年度上期期末高二年级调研考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．12y x =± C ．4y x =± D ．2y x =±2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(4,1,9)P 到点(2,4,3)Q 的距离为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．在一次游戏中，获奖者可以获得5件不同的奖品，这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号，则5件奖品的编号可以是（ ） A ．3，13，23，33，43 B ．11，21，31，41，50 C ．3，6，12，24，48D ．3，19，21，27，504．命题“0m ∀∈≤N ”的否定是（ ）A ．00m ∃∉≥NB ．00m ∃∈>NC ．00m ∃∈≤ND ．0m ∀∈>N5．若,,a b c ∈R ，则“a b >”是“a c b c +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），则下列说法中错误的是（ ） A ．当0B =时，直线l 总与x 轴相交 B ．当0C =时，直线l 经过坐标原点O C ．当0A C ==时，直线l 是x 轴所在直线 D ．当0AB ≠时，直线l 不可能与两坐标轴同时相交7．执行如图所示的程序语句，若输入5x =，则输出y 的值为（ ）B ．7C ．22-D ．28-8．已知F 是抛物线24y x =的焦点，M 是抛物线上一点，且满足120OFM ∠=︒（O 为坐标原点），则FM 的值为（ ）A ．4B ．3C ．D ．29．已知圆221:(2)(1)9O x y -+-=和直线:10l x y -+=．若圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆2O 的方程为（ ） A ．22(3)9x y -+=B ．22(3)9x y +-= C ．22(2)(3)9x y -+-=D ．22(3)(2)9x y -+-=10．已知13,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，命题2:2320p m m --≤，命题22:1623x y q m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆．则下列命题中为假命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．p q ⌝∨ D ．p q ⌝∨11．在平面直角坐标系xOy 内，对任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义A ，B 之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-，记到点O 的曼哈顿距离小于或等于1的所有点(,)x y 形成的平面区域为Ω．现向221x y +=的圆内随机扔入N 粒豆子，每粒豆子落在圆内任何一点是等可能的，若落在Ω内的豆子为M 粒，则下面各式的值最接近圆周率的是（ ） A ．NMB ．2NMC ．3NMD ．4NM12．已知有相同焦点1F ，2F 的椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点为A ，若2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，则ab mn的值为（ ）A ．2+B ．2-CD 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．已知椭圆22110036x y +=上一点P 到一个焦点的距离为6，那么点P 到另一个焦点的距离为______． 14．为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分布直方图如图所示．请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为______．（结果保留到小数点后两位）15．甲，乙两人下棋，若两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，则乙获胜的概率是______．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点1F ，2F ，经过1F 斜率为l 与双曲线的左支相交于P ，Q 两点．记12PF F △的内切圆的半径为a ，则双曲线的离心率为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知点(4,2)P -，直线:3450l x y --=． （Ⅰ）求经过点P 且与直线l 平行的直线的方程； （Ⅱ）求经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程． 18．（本小题满分12分）甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图：（Ⅰ）判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由；（Ⅱ）从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，求至多有一天的次品数超过1件的概率． 19．（本小题满分12分）已知圆22:60A x y x +-=与直线32x =相交于M ，N 两点． （Ⅰ）求||MN 的长；（Ⅱ）设圆C 经过点M ，N 及(2,2)B ．若点P 在圆C 上，点Q 在圆A 上，求||PQ 的最大值． 20．（本小题满分12分）某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：（Ⅰ）求2022年售卖出的产品件数y （单位：万件）关于销售网点数x （单位：个）的线性回归方程； （Ⅱ）根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数．参考公式：()()()1122211ˆnnii i ii i nni ii i xx y y x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设经过右焦点2F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点．求四边形ACBD 的面积的最小值． 22．（本小题满分12分）已知点(1,0)F ，经过y 轴右侧一动点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，且||||1AF AM -=．记动点A 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设经过点(1,0)B -的直线与曲线C 相交于P ，Q 两点，经过点(1,)((0,2)D t t ∈，且t 为常数）的直线PD 与曲线C 的另一个交点为N ，求证：直线QN 恒过定点．。
高二数学(理科)上学期期末模拟试卷(3)(含答案)
高二数学（理科）上学期期末模拟试卷（3）一、单选题1．“9k >”是“方程22194x y k k +=--表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 2．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．343．下列说法中正确的是（ ）A ．若一组数据1，a ，3的平均数是2，则该组数据的方差是23B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 4．用秦九韶算法计算函数42()21f x x x x =-+-，当1x =时的值，则3v =（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．15．下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（ ）A ．1.2 B ．1.5 C ．1.6D ．1.86．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码113分别对应2019年11月2020年11月）根据散点图选择y a b x =+和ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为0.93690.0285y x =+和0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：注：x 是样本数据中x 的平均数，y 是样本数据中y 的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ） A ．当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系B ．根据0.93690.0285y x =+可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米C ．曲线0.93690.0285y x =+与0.95540.0306ln y x =+的图形经过点(),x yD ．0.95540.0306ln y x =+回归曲线的拟合效果好于0.93690.0285y x =+的拟合效果7．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A ．63B ．2C ．63或2 D ．22或3 8．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 9．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ）A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，过点1F 的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若20AB BF ⋅=，且12135F AF ∠=︒，则2e =（ ） A ．522-B ．525+C ．522+D ．525-11．在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面 ④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底 ⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知F 为抛物线y 2＝43x 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF FB =，则|AB |＝（ ） A ．163B ．83C ．43D ．3二、填空题13．已知命题3:0,0∀>≤p x x ，那么命题p 的否定是________________．14．已知正方体1111ABCD A B C D -，P 是平面11A BCD 上的动点，M 是线段11B C 的中点，满足PM 与1CC 所成的角为6π，则动点P 的轨迹方程为：________________．15．在西非“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：根据列联表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.16．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB的最小值为_______.三、解答题17．如图，在ABC 中，2,23AB AC BC ===，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒ （1）求BAC ∠的度数；（2）求AD 的长度.18．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，3518a a +=，3550S S +=.数列{}n b 为等比数列，且11b a =，2143b a a =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T .19．黄河故道是商丘市著名景点，景区内有多个水库，风景优美．为了解水库内鱼类的有关情况，从多个不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布方图（如图所示）． （1）求直方图中x 的值；（2）请根据上图估计黄河故道水库内鱼的平均重量（精确到0.01）； （3）为充分挖掘旅游资源，故道管理部门推出游船垂钓项目，若游船从8：00-17：00（早上八点整发第一班船）整点时发船，某游客在上午七点之后随机到达码头乘船，问该游客等待不超过10分钟的概率为多大？20．如图1，在Rt ABC △中，30ACB ∠=，90ABC ∠=，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示． （I ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A DC B --的余弦值；21．已知抛物线22y px =的焦点为F ，若在x 轴上方该抛物线上有一点A ，满足直线FA 的倾斜角为120︒，且||4FA =.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上另有两点,B C 满足0FA FB FC ++=，求直线BC 方程.22．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与()3,1a =-共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且(),OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值感染 未感染 合计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 合计3070100高二数学（理科）上学期期末模拟试卷（3）答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．“9k >”是“方程22194x yk k +=--表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程可得()()940k k --<，解出k 的取值范围，进而可得结果. 【详解】方程22194x y k k +=--表示双曲线，则()()940k k --<，解得9k >或4k <，所以“9k >”是“方程22194x y k k +=--表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A2．如图所示的程序框图，满足2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】 【分析】分析框图的意义结合几何概型求解即可【详解】由题知框图的意义是在x y 2+≤内取点（x,y ）,满足3y x ≤的概率 因为x y 2+=与3y x =均关于原点中心对称，故概率为12故选B 【点睛】本题考查程序框图，考查面积型几何概型，准确理解框图含义是关键，是基础题 3．下列说法中正确的是（ ）A ．若一组数据1，a ，3的平均数是2，则该组数据的方差是23B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 【答案】A 【分析】A. 利用平均数和方差公式判断；B. 根据线性回归直线一定过样本中心点(,)x y 判断；C.根据相关系数r 的绝对值与相关程度的关系判断；D.由系统抽样的特点判断. 【详解】A. 若一组数据1，a ，3的平均数是2，则2a =，该组数据的方差是()()()2221212223233s ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦，故正确；B. 线性回归直线一定过样本中心点(,)x y ，故错误；C.若两个随机变量的线性相关越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误；D.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50，m +100，m +150，……的学生，这样的抽样方法是系统抽样，故错误； 故选:A4．用秦九韶算法计算函数42()21f x x x x =-+-，当1x =时的值，则3v =（ ）A ．2B ．-1C ．0D ．1【答案】C 【分析】将函数转化为()()()()211f x x x x x =-+-求解.【详解】函数42()21f x x x x =-+-，()()()211x x x x =-+-，当1x =时，01231,1,1121,1110v v v v ===⨯-=-=-⨯+=，故选：C5．下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．1.6D ．1.8【答案】B 【分析】根据几何概型概率的估计可知落在阴影部分的概率即为面积之比，列出式子即可计算. 【详解】设阴影部分的面积为S ， 由几何概型的概率公式可知22522600S =⨯， 1.5S ∴=.故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的计算，属于基础题.6．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区2019年11月至2020年11月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码113分别对应2019年11月2020年11月）根据散点图选择y a =+ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：注：x 是样本数据中x 的平均数，y 是样本数据中的平均数，则下列说法不一定成立的是（ ）A ．当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系B ．根据0.9369y =+2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米 C ．曲线0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+的图形经过点(),x yD ．0.95540.0306ln y x =+回归曲线的拟合效果好于0.9369y =+ 【答案】C【分析】根据散点图的分布可判断A 选项的正误；将16x =代入回归方程0.9369y =+B 选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过(),x y 可判断C 选项的正误；根据回归模型的拟合效果与2R 的大小关系可判断D 选项的正误. 【详解】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈正相关关系，故A 正确； 对于B ，令16x =，由0.9369 1.0509y =+=，所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B 正确； 对于C ，非线性回归曲线不一定经过(),x y ，故C 错误； 对于D ，2R 越大，拟合效果越好，故D 正确. 故选：C.7．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A．3B ．2C．3或2D．2【答案】A 【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率． 【详解】∵1，m ，9构成一个等比数列， ∴m 2=1×9， 则m=±3． 当m=3时，圆锥曲线2x m +y 2=1=3； 当m=﹣3时，圆锥曲线2x m+y 2=1是双曲线，故舍去，． 故选A ． 【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用． 8．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 【答案】A 【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，()111111222BM BB B M AD BA AA a b c =+=++=-++. 故选：A.9．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的充要条件，即可求出结果. 【详解】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A 【点睛】本题主要考查空间向量，熟记四点共面的充要条件，即可求出结果，属于常考题型.10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，过点1F 的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若20AB BF ⋅=，且12135F AF∠=︒，则2e =（） A ．5- B ．5+C ．5+D ．5-【答案】C【分析】根据题中条件，先得到1290F BF ∠=，245BAF ∠=︒，设2BF x =，根据双曲线的定义，结合勾股定理，得到()()222282aa c ++=，即可求出结果.【详解】20AB BF ⋅=，2AB BF ∴⊥，1290F BF ∠=， 12135F AF ∠=︒，245BAF ∴∠=︒，设2BF x =，则2AF =，AB x =，由双曲线定义可得：122F A AB BF a +-=12F A a ∴=，又212AF AF a -=，则12F A a =-，则22a a =-，所以x =，因此12B F a =+，在12Rt F BF △中，由勾股定理可得：2221212F B BF F F +=，即()()222282a a c ++=，所以2225c e a ===+故选：C. 【点睛】求解本题的关键是先依据题意得到直角三角形，结合双曲线的定义求出三角形三边的长度与a 的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值即可. 11．在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面 ④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底 ⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.【详解】①由空间基底的定义知，三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面，故①正确； ②由空间基底的定义知，若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线，故②正确；③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；④由c a b λμ=+，当1λμ+=时，向量c 与向量a ，b 构成的平面共面，则{},,a b c 不能构成空间的一个基底，故④错误；⑤利用反证法：若{},,a b b c c a +++不构成空间的一个基底， 设()()()1a b x b c x c a +=++-+，整理得()1c xa x b =+-，即,,a b c 共面，又因{},,a b c 为空间的一个基底，所以{},,a b b c c a +++能构成空间的一个基底，故⑤正确.综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题． 12．已知F 为抛物线y 2＝的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF FB =，则|AB |＝（ ） A．3BCD【答案】A 【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE AC ⊥于E ，由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt ABE △中，1cos 2BAE ∠=，得60=︒∠BAE ，即直线AB 的倾斜角为60︒，然后联立直线与抛物线的方程，然后可算出答案. 【详解】抛物线的准线:l x =，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ， 连接AC 、BD ，过B 作BE AC ⊥于E ．3AF FB =，∴设3AF m =，BF m =，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得3AC m =，BD m =． 因此，Rt ABE △中，1cos 2BAE ∠=，得60=︒∠BAE ，所以直线AB 的倾斜角60AFx ∠=︒， 得直线AB的斜率tan 60k =︒=∴直线AB的方程：y x =，代入抛物线方程得2390x -+=．∴122x x +=12AB x x =++=， 故选：A 【点睛】关键点睛：解得本题的关键是画出图形，利用图形的特点求出直线AB 的倾斜角.13．已知正方体1111ABCD A B C D -，P 是平面11A BCD 上的动点，M 是线段11B C 的中点，满足PM 与1CC 所成的角为6π，则动点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B 【分析】采用数形结合的方法，并建立空间直角坐标系，计算1,PM CC ，根据空间向量夹角公式，可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,C D CD 相交于点O所以11C D CD ⊥，又BC ⊥平面11CDD C ，所以1C D BC ⊥ 又1⋂=BC CD C ，所以1C D ⊥平面11A BCD 以O 为原点，1,OC OC 分别为z 轴和y 轴，然后过点O 作BC 的平行线为x 轴 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -设2AB =，(),,0P x y所以(()(1,,M C C ()(11,,2,0,=--=PM x y CC由PM 与1CC 所成的角为6π所以11cos62⋅π===PM CC PM CC 化简可得()(22316-+-=x y ，即()(221126--+=y x所以点P 的轨迹为椭圆 故选：B 【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹，采用数形结合的方法以及向量的使用，将几何问题代数化，使问题更加简洁明了，属中档题.二、填空题14．已知命题3:0,0∀>≤p x x ，那么命题p 的否定是________________．【答案】3000,0x x ∃>>【分析】由全称命题的否定是特称命题即可求得. 【详解】解：命题3:0,0∀>≤p x x ，∴ 命题p 的否定是：3000,0x x ∃>>.故答案为：3000,0x x ∃>>.15．在西非“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++根据上表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”. 【答案】95% 【分析】先由题中数据求出2K ，再由临界值表，即可得出结果.【详解】由题中数据可得：222()100(10304020)1004.762 3.841()()()()5050307021-⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯n ad bc K a b c d a c b d ，根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”. 故答案为95% 【点睛】本题主要考查独立性检验的问题，会由公式计算2K ，能分析临界值表即可，属于常考题型.16．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB的最小值为_______. 【答案】11. 【分析】连接PC ，交AB 于H，可得H 为AB 中点，求得圆心和半径，连接AC ，BC ，可得,AC PA BC PB ⊥⊥，运用勾股定理和三角形面积公式可得AB ，设()4cos ,2sin P θθ，[]0,2θπ∈，运用两点的距离公式和同角的平方关系，结合配方和二次函数的最值求法，可得所求最小值. 【详解】如图，连接PC ，交AB 于H ，可得H 为AB 中点， 圆()2211x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r =，连接AC ，BC ，可得,AC PA BC PB ⊥⊥， 则PA PB ==又22PA AC AB AH PC ⋅==== 设()4cos ,2sin P θθ，[]0,2θπ∈， 可得()()222221114cos 12sin 12cos 8cos 512cos 33PC θθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当1cos 3θ=时，2PC 取得最小值为113， 此时AB取得最小值为11=.故答案为：11. 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，涉及圆的相切问题，属于中档题.三、解答题17．如图，在ABC中，2,AB AC BC ===，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒（1）求BAC ∠的度数； （2）求AD 的长度.【答案】（1）120BAC ︒∠=（2）AD =【分析】（1）ABC ∆中直接由余弦定理可得cos BAC ∠，然后得到BAC ∠的度数； （2）由（1）知30ACB ∠=︒，在ADC ∆中，由正弦定理可直接得到AD 的值． 【详解】 解：（1）在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =，∴由余弦定理，有2221cos 2?2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-，∴在ABC ∆中，120BAC ∠=︒；（2）由（1）知30ACB ∠=︒， 在ADC ∆中，由正弦定理，有sin30sin 45AD AC=︒︒，∴sin30sin 45AC AD ︒=︒【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．18．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，3518a a +=，3550S S +=.数列{}n b 为等比数列，且11b a =，2143b a a =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，3nn b =；（2）1311242n n T n +=--+.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，将已知条件转化为1,a d 的方程组，求解，可得到21n a n =+；由已知可得13b =，29b =，从而求出数列{}n b 的通项公式； （2）由（1）得22141n S n -=-，211111322121nn n b S n n -⎛⎫+=-+ ⎪-+⎝⎭，数列211n n b S -⎧⎫⎨⎩+⎬⎭的前n 项和n T 分成两部分，其中211n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭用裂项相消求和，{}n b 用等比数列的前n 项和公式求和，二者相加，即可求出结论. 【详解】(1)设公差为d ，则由3518a a +=，3550S S +=， 得112618,81350,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2,a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =+.设{}n b 的公比q ，又因为13a =，49a =，所以13b =，29b =，故3n n b =.(2)由(1)可知22141n S n -=-，则()()211111133212122121n nn n b S n n n n -⎛⎫+=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭.数列211n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 数列{}n b 的前n 项和为()131333132n n +--=-， 故1311242n n T n +=--+.【点睛】本题考查等差数列通项、前n 项和基本量的运算，以及求等比数列的通项与前n 项和，考查裂项相消求数列的前n 和，属于中档题.19．黄河故道是商丘市著名景点，景区内有多个水库，风景优美．为了解水库内鱼类的有关情况，从多个不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布方图（如图所示）．（1）求直方图中x 的值；（2）请根据上图估计黄河故道水库内鱼的平均重量（精确到0.01）；（3）为充分挖掘旅游资源，故道管理部门推出游船垂钓项目，若游船从8：00-17：00（早上八点整发第一班船）整点时发船，某游客在上午七点之后随机到达码头乘船，问该游客等待不超过10分钟的概率为多大？ 【答案】（1）0.56x =；（2）1.43千克；（3）16. 【分析】（1）利用频率之和为1计算；（2）由频率分布直方图估计平均值即组中值乘以对应频率之和； （3）该概率模型为几何概型，利用长度关系即可计算. 【详解】（1）由频率之和为1，可得()0.10.40.60.30.040.51x +++++⨯=，所以0.56x =；（2）由频率分布直方图，估计平均值即组中值乘以对应频率之和，0.10.50.250.40.50.750.560.5 1.250.60.5 1.75⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.30.5 2.250.040.5 2.75 1.43+⨯⨯+⨯⨯=，所以鱼的重量为1.43千克；（3）设游客在上午七点后随机到达码头乘船等待不超过10分钟的概率为P所以101606P ==. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算图中参数以及估计平均值，考查几何概型的概率计算，属于基础题.20．如图1，在Rt ABC △中，30ACB ∠=，90ABC ∠=，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．（I ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A DC B --的余弦值； 【答案】（I ）证明见解析；. 【分析】（I ）由面面垂直的性质定理得证线面垂直；（Ⅱ）以E 为坐标原点，分别以EF 、ED 、EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，用空间向量法求二面角的余弦值． 【详解】（I ）证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在ABD △中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD ， ∴AE ⊥平面BCD ．（II ）由（I ）知AE ⊥平面BCD ，∴AE EF ⊥， 由题意知EF BD ⊥，又AE BD ⊥，如图，以E 为坐标原点，分别以EF 、ED 、EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -， 设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==，∴AE =BC =EF =， 则()0,0,0E ，()0,1,0D ，()0,1,0B -，(00A ,，F ⎫⎪⎝⎭，)C ， (3,1,0)DC =，(0,1,AD =，由AE ⊥平面BCD 知平面BCD的一个法向量为EA =， 设平面ADC 的一个法向量(,,)n x y z =，则30,30,n DC x y n AD y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得(1,3,1)n =--， ∴cos ,5n EA n EA n EA⋅<>==-⋅，∴二面角A DC B --．【点睛】方法点睛：本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，用空间向量法求二面角．在图形中有相互垂直的三条直线时，常常建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这种方法用计算代替证明，考查了学生运算求解能力．21．已知抛物线22y px =的焦点为F ，若在x 轴上方该抛物线上有一点A ，满足直线FA 的倾斜角为120︒，且||4FA =.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上另有两点,B C 满足0FA FB FC ++=，求直线BC 方程. 【答案】（1）212y x =；（2）0y +-=. 【分析】（1）设抛物线的准线为l ，l 与x 轴的交点为N ，利用抛物线的定义可以得到||||||cos606NF AM AF =+︒=，求出p 的值后可得抛物线的方程.（2）设点()()1122,,,B x y C x y ，由向量0FA FB FC ++=可以得到12128,x x y y +=+=-BC k =-BC 的方程.【详解】（1）设抛物线的准线为l ，l 与x 轴的交点为N ，过A 作AM l ⊥，垂足为M . 由4AF =可得4AM =，由120AFx ∠=︒，可知||||||cos606NF AM AF =+︒=，则|6|p NF ==， 故抛物线的方程为212y x =.（2）由（1）可知点A的坐标为(，()3,0F ，可设点()()1122,,,B x y C x y . 由0FA FB FC ++=，可得(()()()11223,3,0,0x y x y -+-+-=，即12128,x x y y +=+=-BC中点的坐标为(4,，∵22112212,12y x y x ==，∴()22121212y y x x -=-，故直线BC的斜率为12121212y y x x y y -==--+，∴直线BC的方程为4)y x +=--，整理为0y +-=. 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法以及直线和抛物线的位置关系，注意涉及到弦的中点问题可用点差法来考虑，本题属于中档题.22．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与()3,1a =-共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且(),OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值． 【答案】（1）离心率为e ；（2）证明见解析. 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出OA OB +的坐标，利用OA OB +与()3,1a =-共线，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可解得椭圆的离心率；（2）设(),OM x y =，由OM OA OB λμ=+可得出1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，由点M 在椭圆上可得出()()()22222221122121233233x y x y x x y y b λμλμ+++++=，利用韦达定理可计算得出121230x x y y +=，再由222221122333x y x y b +=+=可计算得出221λμ+=，即可证得结论成立.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，(),0F c ，则直线AB 的方程为y x c =-，联立22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()()222222220a b x a cx a c b +-+-=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得212222a cx x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+，由()1212,OA OB x x y y +=++，()3,1a =-， 由OA OB +与a 共线，得()()121230y y x x +++=， 又11y x c =-，22y x c =-，()()1212320x x c x x +-++=，1232x x c ∴+=，即222232a c c a b =+，可得()222233a b a c ==-，所以，2223c a =，所以，椭圆的离心率为3c e a ===； （2）证明：由（1）知223ab ，所以椭圆方程22221x y a b+=可化为22233x y b +=．设(),OM x y =，由OM OA OB λμ=+得()()()1122,,,x y x y x y λμ=+，1212x x x y y y λμλμ=+⎧∴⎨=+⎩. (),M x y 在椭圆上，()()222121233x x y y b λμλμ∴+++=，()()()22222221122121233233x y x y x x y y b λμλμ∴+++++=．（※） 由（1），知1232c x x +=，2232a c =，2212b c =，22222122238a c ab x xc a b -==+． ()()()222212121212121239334333022x x y y x x x c x c x x c x x c c c c +=+--=-++=-+=．又2221133x y b +=，2222233x y b +=，代入（※）式，得221λμ+=．故22λμ+为定值，定值为1． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.。
高二数学上学期期末测试卷理科 试题(共13页)
高二数学(shùxué)上学期期末测试卷(理科)本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分.考试时间是是120分钟。
第一卷〔选择题一共60分〕考前须知：1．答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数〞的否认是〔〕A．所有被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除2．假设的〔〕A．充公不必要条件B．必要不充分条件C．充分(chōngfèn)必要条件D．既不充分也不必要条件3．假设a、b、c，那么以下不等式成立的是〔〕A．B．C．D．4．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，那么椭圆的离心率是〔〕A．B．C．D．5．数列{a n}是逐项递减的等比数列，其首项a1 < 0，那么其公比q的取值范围是〔〕A．〔－，－1〕B．〔－1，0〕C．〔0，1〕D．〔1，+ 〕6．A、B、C三点不一共线，对平面ABC外一点O，给出以下表达式：①②③④其中能推出M、A、B、C四点一共面的是〔〕A．①②B．①③C．①④D．②④7．假设等于〔〕A ．2B ．－2C ．21 D ．8．数列(sh ùli è){a n }，假如是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n =〔 〕A ．2n +1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n +19．实数x ，y 满足条件，那么z = x + 3y 的最小值是〔 〕A ．B ．C ．12D ．－1210．以下函数中，最小值为4的是〔 〕A ．B ．C ．D ．11．双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为1，那么双曲线的方程为 〔 〕A ．B ．C ．D ．12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座的东南方向的N 处，那么这只船航行的速度为〔 〕A．海里/小时B．海里/小时C．海里(hǎilǐ)/小时D．海里/小时第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.把答案填在题中横线上.13．对于任意实数x，不等式恒成立，那么实数a的取值范围是 .14．点P是抛物线y2 = 4x上一动点，那么点P到点〔0，－1〕的间隔与到抛物线准线的间隔之和的最小值是 .15．数列{a n}的通项公式是设其前n项和为S n，那么S.1216．命题P：不等式；命题q：在△ABC中，“A > B〞是“sin A > sin B〞成立的必要不充分条件.有以下四个结论：①p真q假；②“p∧q〞为真；③“p∨q〞为真；④p假q真其中正确结论的序号是 .〔请把正确结论的序号都．填上〕三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，其上一点A (mA的坐标.18．〔本小题满分是12分〕解关于x 的不等式19．〔本小题满分是12分〕在如下图的空间直角坐标系O－xyz中，原点O 是BC的中点，A点坐标为，D点在平面yoz上，BC = 2，∠BDC = 90°，∠DCB = 30°.〔Ⅰ〕求D点坐标；〔Ⅱ〕求的值.20．〔本小题满分是12分〕为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区方案从2021年开场出口，当年出口a吨，以后每一年出口量均比上一年减少10%.〔Ⅰ〕以2021年为第一年，设第n年出口量为a n吨，试求a n的表达式；〔Ⅱ〕因稀土资源不能再生，国家方案10年后终止(zhōngzhǐ)该矿区的出口，问2021年最多出口多少吨？〔保存一位小数〕10≈ 0.35.21．〔本小题满分是12分〕如下图，F1、F2分别为椭圆C ：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，椭圆C上的点到F1、F2两点的间隔之和为4.〔Ⅰ〕求椭圆C的方程和焦点坐标；〔Ⅱ〕过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ 的面积.22．〔本小题满分是14分〕数列是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为d 的等差数列；是公差为d2的等差数列〔d≠0〕.〔Ⅰ〕假设a20 = 30，求d；〔Ⅱ〕试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围：〔Ⅲ〕续写数列(shùliè)，可以使得是公差为d3的等差数列，请你依次类推，把数列推广为无穷数列，提出同〔Ⅱ〕类似的问题，〔〔Ⅱ〕应当作为特例〕，并进展研究，你能得到什么样的结论？[参考答案]一、选择题：此题考察(kǎochá)根本知识和根本运算，每一小题5分，满分是60分.CACBD CDBBC CA二、填空题：此题考察根本知识和根本运算，每一小题4分，满分是16分. 13． 14． 15．0 16．①③三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分.17．解：由题意设抛物线方程为………………………………1分那么其准线方程为…………………………………………………………………2分…………………………………………………………………………… 4分…………………………………………………………………… 6分故抛物线方程为x2 = －8y…………………………………………………………… 8分又∵点A〔m，－4〕在抛物线上，∴m2 = 32，即点A的坐标为……………………………………………12分18．解：不等式可化为……………………………………………………………………………2分即……………………………………………………………………………4分上面(shàng miɑn)的不等式等价于(x－a) (x + 2) < 0，…………………………………………………………………6分∴当a > －2时，原不等式的解集是；当a < －2时，原不等式的解集是；当a = －2时，原不等式的解集是.…………………………………………12分19．解：〔Ⅰ〕在平面yoz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H.在△BDC中，由∠BDC = 90°，∠DCB = 30°，BC = 2，得，………………………………………………………………2分………………………………………………………5分〔Ⅱ〕由得………………………………………………………………6分由题设知：B〔0，－1，0〕，C〔0，1，0〕，…………………………………………………………………… 7分……………………………………8分，………………………………………9分，……………………………………………………………………………10分………………………………………………12分20．解：〔Ⅰ〕由题意(t í y ì)知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1 = a ，公比q = 1－10% =0.9，…………………………………………2分…………………………………………………………………… 4分〔Ⅱ〕10年出口(ch ū k ǒu)总量，…………………… 7分，，…………………………………………………………… 9分即，…………………………………………………………………10分∴a ≤12.3.答：2021年最多出口12.3吨.…………………………………………………12分21．解：〔Ⅰ〕由题设知：2a = 4，即a =2；…………………………………… 1分将点)23,1(代入椭圆方程得，解得b2 = 3； (2)分∴c2 = a2－b2 = 4－3 = 1，………………………………………………… 3分故椭圆(tuǒyuán)方程为，…………………………………………………… 4分焦点F1、F2的坐标分别为〔-1，0〕和〔1，0〕，……………………………… 5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，………………………………………………………………6分∴PQ所在直线方程为，由得，……………………………………………………………8分设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，那么，，……………………10分 (12)分22．解：〔Ⅰ〕依题意(tí yì)：a10 = 1 + 9·1 = 10，…………………………………… 1分a= a10 + 10d20= 10 + 10d那么 10 + 10d = 30，∴d = 2.…………………………………………………………………………4分〔Ⅱ〕∵a30 = a20 + 10d 2，a= 10 + 10d,20，…………………6分，………………………………………………7分当时，………………………………………………………………9分〔Ⅲ〕所给数列可推广为无穷数列{a n}，其中是首项为1公差为1的等差数列.当n≥1时，数列是公差为d n的等差数列.…………11分研究(yánjiū)的问题可以是：试写出a10(n+1)关于d的关系式，并求a10(n+1)的取值范围.……………………12分研究的结论可以是：由a40 = a30 + 10d3 = 10 (1+d + d2 + d3)，依次类推可得a10(n+1) = 10 (1+d + d2 +…+d n)= ，当d > 0时，a10(n+1)的取值范围为等.……………………………13分内容总结（1）高二数学上学期期末测试卷(理科)本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分.考试时间是是120分钟（2）6分由题设知：B〔0，－1，0〕，C〔0，1，0〕，（3）4分焦点F1、F2的坐标分别为〔-1，0〕和〔1，0〕，。
高二上学期期末考试数学(理科)试卷(含参考答案)
高二第一学期理科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{14}A x x =<<，{lg(1)}B x y x ==-，则AB =（ ）A ．{12}x x <<B ．{12}x x ≤<C ．{12}x x -<<D ．{12}x x -≤< 2. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则( ) A ．命题“⌝p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“⌝p 且q ”是真命题 D ．命题“p 且q ⌝”是真命题3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4. 以抛物线28y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A. 22(1)1x y ++= B. 22(1)1x y -+= C. 22(2)4x y ++= D. 22(2)4x y -+=5．“3a =”是 “函数()3xf x ax =-有零点”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ； ②若α⊥m,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③ D．①③7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题： “今有蒲生一日，长三尺。
莞生一日，长一尺。
蒲生日自半。
莞生日自倍。
问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入3A =，1a =．那么在①处应填（ ）A ．2?T S >B ．2?S T >C ．2?S T <D ．2?T S < 8.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( )A. 3[0,]4π B.3π[0,)[,π) 24π⋃ C. 3π[,π) 4 D. 3(,]24ππ 9．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时， ()1x f x e =-，则()()20162017f f +-= ( )(其中e为自然对数的底)A. 1e -B. 1e -C. 1e --D. 1e +10．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，则A E E B ⋅等于（ ） A. 14- B. 9- C. 9 D.1411.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为 （ ）A ．1- B．17- C. 13 D ．75-12. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）A.221+B. 224-C.225-D.223+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.14．已知α为锐角，向量(cos ,sin )a αα=、(1,1)b =-满足223a b ⋅=，则sin()4πα+= ．15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______．16．若实数,,a b c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=，则b c -的最小值是_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分10分）在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，且sin sin sin sin 3a Ab Bc C C a B +-= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.19．（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20．（本小题满分12分）在五面体ABCDEF 中， ////,222AB CD EF CD EF CF AB AD =====,60DCF ︒∠=,AD ⊥平面CDEF .（1）证明:直线CE ⊥平面ADF ； （2）已知P 为棱BC 上的点，23CP CB =，求二面角P DF A --的大小.21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t (0)t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数()ln a f x x x=+. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：当2a e≥时， ()x f x e ->.高二数学期末考试试题参考答案ACBDA CBBAD DC 13. 56 14．315. 323π 16. 117.解：（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同时除以(1)n n +，得*12()1n na a n n n+-=∈+N ， …………3分 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列. …………………4分（2）由（1），得22n an n=+，…………………5分所以222n a n n =+，故2111(1)111()222(1)21n n n a n n n n n n +-==⋅=⋅-+++，………………7分所以111111[(1)()()]22231n S n n =-+-++-+， 1111111[(1)()]223231n n =++++-++++ 11(1)212(1)n n n =-=++. ……………10分 18.解：(1)∵ sin sinsin sin a A b B c C Ca B +-=，222cos 2a b c C Cab +-∴==…………4分,即tan C =(0,)C π∈3C π∴=.………………6分(2) 由222211()(2)44CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅ 即2222111(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++…………………8分从而22442,3ab a b ab ab -=+≥≤（当且仅当a b ==10分 即114sin 223ABC S ab C ∆=≤⨯=…………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，…………………2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x …………………………3分=…………………………4分所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑．………………5分因为0.75r>，所以可用线性回归模型拟合y与的关系．……………6分（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：当70X>时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元．…………8分当5070X≤≤时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元．……………………………9分当50X<时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元．…………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………………………12分20．证明：（1）//,2,CD EF CD EF CF===∴四边形CDEF为菱形，CE DF∴⊥，………1分又∵AD⊥平面CDEF∴CE AD⊥………2分又,AD DF D⋂=∴直线CE⊥平面ADF.………4分(2) 60DCF∠=，DEF∴∆为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则,GD EF GD CD⊥∴⊥，又AD⊥平面CDEF，∴,,DA DC DG两两垂直，以D为原点，,,DA DC DG所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系D xyz-，………5分2,1CD EF CF AB AD=====，((0,,E F∴-，(1,1,0),(0,2,0)B C………6分由（1）知(0,CE=-是平面ADF的法向量，………7分()()0,1,3,1,1,0DF CB==-，222(,,0)333CP CB==-，(0,2,0)DC=则24(,,0)33DP DC CP=+=，………8分设平面PDF的法向量为(),,n x y z=，∴n DFn DP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2433yx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令z=3,6y x==-，∴(6,3,n=-………10分∴1cos ,223n CE n CE n CE⋅===-………11分∴二面角P DF A --大小为60.………12分21. 解:（1）由题意知1c =，又tan 603bc ==，所以23b =，………2分2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y += ；………4分 （2）当0k =时， 0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y+=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，故0∆>，则,0k R k ∈≠ 设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则2120002243,(1)23434x x k k x y k x k k +===-=-++ ，………7分由QP TP PQ TQ ⋅=⋅ 得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅= ， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，………8分直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， ………10分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++，………11分因为2(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. ………12分所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈.22.解：（1）函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞.由()ln a f x x x =+，得()221a x af x x x x ='-=-.………1分①当0a ≤时， ()0f x '>恒成立， ()f x 递增， ∴函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞ ………2分 ②当0a >时，则()0,x a ∈时，()0,f x '<()f x 递减，(),x a ∈+∞时， ()0f x '>，()f x 递增.∴函数()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(),a +∞.………4分 （2）要证明当2a e ≥时， ()x f x e ->，即证明当20,x a e >≥时， ln xa x e x-+>，………5分 即ln xx x a xe -+>，令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x ='+，当10x e <<时， ()0h x '<；当1x e>时， ()0h x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1x e =时， ()min1h x a e ⎡⎤=-+⎣⎦.于是，当2a e ≥时， ()11h x a e e≥-+≥.①………8分 令()xx xe φ-=，则()()1xx x x exe e x φ---'=-=-.当01x <<时， ()0x ϕ'>；当1x >时， ()0x φ'<. 所以函数()x φ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.当1x =时， ()max1x e φ⎡⎤=⎣⎦.于是，当0x >时， ()1x eφ≤.②………11分 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.故当2a e≥时， (f x )xe ->.………12分。
高二理科数学上学期期末模拟试卷(附答案)
高二理科数学上学期期末模拟试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分)1 （理）2-=m 是直线0)2(:1=+-my x m l 和直线03:2=++-my x l 互相垂直的（ A ） A ．充分而不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件 2（理）过点(2,-1)作圆x 2+y 2=5的切线，其方程是（ B ）A.x-2y-4=0B.2x-y-5=0C.2x+y-3=0D.2x-y-5=0或x-2y+4=0 3（理）椭圆7722=+ky x 的一个焦点是(0,6)那么k 等于( B ) A. 2 B. 1 C. 6 D. 34空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为 （C ） A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或35（理）动点P 到直线x +y -4=0的距离等于它到点M （2，2）的距离，则点P 的轨迹是（ A ）A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线6（理）设双曲线12222=-by a x （a >0，b >0）的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（B ）A.25B.215+ C.2 D.3AC 1C1A7如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，H G ,分别为1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ B ）A ．45B ．22tana rc C ．︒60 D ．22cota rc 8若双曲线222141x y m m -=-+的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是( C ).A ．(－2，2)B ．(1，2)C ．(－2，－1)D ．(－1，2)9.抛物线y 2=4px （p >0）的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为（ .C ） A.2 B.3 C.4 D.610（理）如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 （ B ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11定点N （1，0），动点A 、B 分别在图中抛物线y 2=4x及椭圆13422=+y x 的实线部分上运动，且AB ∥x 轴，则△NAB 的周长l 的取值范围是（ ）A.（32，2） B.（310，4） C.（1651，4） D.（2，4） 11B 如图所示，分别作出椭圆准线l 1：x =4与抛物线的准线l 2：x =-1，分别过点A 、B 作AA 1⊥l 2于A 1，BB 1⊥ABCl 1于B 1，由椭圆的第二定义可得|BN |=e |BB 1|=221-x B ，由抛物线定义可得|AN |=|AA 1|=x A +1，∴△NAB 的周长l =|AN |+|AB |+|BN |=x A +1+（x B -x A ）+（221-x B ）=3+21x B ，又由⎪⎩⎪⎨⎧==+,4,134222x y y x 可得两曲线交点的横坐标为x =32，∵x B ∈（32，2），∴3+21x B ∈（310，4），即△NAB 的周长l 的取值范围为（310，4），故应选B. 12点P （-3，1）在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 ( )A.33B.31C.22 D.21 12A 点P （-3，1）在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上， 故32=c a 点P （-3，1）关于直线2-=y 的对称的点为Q ，则Q （-3，-5），设椭圆的左焦点为F ，则直线FQ 为)5(25+=+x y ，故)3(255+-=c∴=c 1，3=a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13 P 是△ABC 所在平面外一点，O 是点P 在平面α上的射影,若点P 到△ABC 的三边的距离相等，则O 是△ABC _________心．.13内心14双曲线2216436x y -=左支上的点P 到左准线的距离是10，那么P 到其右焦点的距离是 1457215给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线b a ,，如果a 平行于平面α，那么b 不平行平面α；③两异面直线b a ,，如果⊥a 平面α，那么b 不垂直于平面α；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。
高二上学期期末数学试卷（理科）含答案
高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆 中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解 由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。
高二第一学期期末数学试卷理科含答案
高二第一学期期末数学试卷（理科）第I 卷（选择题,共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）。
1.设集合{}{}2/2,/340S x x T x x x =>-=+-≤，则()SRC T ⋃=() A.(-2，1]B.(-∞,-4]C.(-∞,1]D.[1,+∞)2.已知△ABC 中，a=4,b=030,则等于（）A.030 B.030或0150 C.060 D.060或0120 3.在△ABC 中，若a=7,b=8,1314COSC=,则最大角的余弦是（） A.15-B.16-C.17-D.18- 4.若x>0,则函数1y x x=--（）A.有最大值-2B.有最小值-2C.有最大值2D.有最小值2 5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则1012333log log log a a a +++=（）A.5B.9C.453log D.106.设命题P:对,,xx R e Inx +∀∈>则p ⌝为（） A.000,x x R eInx +∃∈< B.,x x R e Inx +∃∈<C.000,x x R e Inx +∃∈≤ D.,x x R e Inx +∃∈≤7.向量(2,4,),(2,,2),ax b y →→==若6a =且a b ⊥，则x ＋y 的值为（）A ．－3B ．1C ．－3或1D ．3或18.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）9.2<m<6是“方程22126x y m m+=--为椭圆方程”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知()2,f x ax bx =+且满足：1(1)3,1(1)1f f ≤≤-≤-≤，则(2)f 的取值范围是（） A.[0,12]B.[2,10]C.[0,10]D.[2,12]11.已知12,F F 是双曲线E:22221x y a b +=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与X 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（）B.32D.2 12.已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是()A.0B.2C.1D.第II 卷（非选择题,共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知函数94(1),1y x x x =-+>-+当x=a 时，y 取得最小值b ，则a b +等于________。
高二(上)数学期末试卷(理科)
高二（上）数学期末试卷（理科）一．选择题（共10小题）n25．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的．C D．C D．7．设a＞b＞0，则的最小值是（）2，都有9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）10．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）．C D．二．填空题（共5小题）11．设a+b=2，b＞0，则当a=_________时，取得最小值．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=s3=12，则a n=_________．13．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为_________．14．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．15．设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的编号）三．解答题（共6小题）16．已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．17．已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？19．直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20．如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．高二（上）数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）n8+，当且仅当成立；，当且仅当，∴25．（2013•北京）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，．C D．x x x 解：先根据约束条件xy=y=＜﹣C D．7．（2010•四川）设a＞b＞0，则的最小值是（）变形为=当且仅当2，都有，使得9．（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）=），x+，”10．（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）．C D．，解此方程组可求得+y；，即==12由①②得：，解得，，设双曲线，2c=2=2二．填空题（共5小题）11．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．，从而，=﹣，=取得最小值时，取得最小值时，13．（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．=的最小值等于故答案为：14．（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．故答案为15．（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．其中的真命题有①④．（写出所有真命题的编号）b=三．解答题（共6小题）16．（2010•辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．与①②（时，①式和②式等号成立．当且仅当时，原式等号成立．均为正数，由基本不等式得时，原式等号成立．17．（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．，代入，=；==，=，，且综上，有18．（2012•四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？时，令，结合数列的单调性可求和的最大项，则，=时，时，令）可知时，19．（2013•北京）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．y=的坐标为（）与椭圆的交点，从而解得y=代入椭圆方程得±）．与椭圆（20．（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．=，=2c==∴椭圆的方程为：，得（﹣在椭圆设该椭圆的左，右焦点为，则这两个焦点坐标是（﹣，，21．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．）∵=+=+．+﹣+。