2013-2014学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2013-2014学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一．填空题1．直线x﹣y+3=0的倾斜角为_________．2．抛物线y2=4x的准线方程是_________．3．若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m=_________．4．已知f（x）=xcosx，则f′（x）=_________．5．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为_________．6．函数f（x）=x﹣2e x的单调减区间是_________．7．若直线y=﹣3x+b是曲线y=x3﹣3x2+2的一条切线，则实数b的值是_________．8．若圆x2+y2=m2（m＞0）与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，则实数m的取值范围是_________．9．已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题正确的序号为_________①m∥n，n∥α⇒m∥α；②m⊥α，m⊥β⇒α∥β；③α∩β=n，m∥α，m∥β⇒m∥n；④α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n．10．双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为_________．11．设P，A，B，C是球O表面上的四点，满足PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=1，PC=2，则球O的表面积是_________．12．点P是椭圆上的动点，F1为椭圆的左焦点，定点M（6，4），则PM+PF1的最大值为_________．13．13．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[﹣1，0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为_________．14．已知函数，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为_________．二．解答题15．圆C的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，5）；（I）求圆C的方程（II）若过点M（﹣2，0）的直线与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程．16．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB，∠ABC为直角，点D，E分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若F在线段AC上，且，求证：AD∥平面PEF．17．已知一种圆锥型金属铸件的高为h，底面半径为a，现要将它切割为圆柱体模型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高．18．如图，在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点G；（I）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG⊥DF；（II）设点E关于直线AC的对称点为E'，问点E'是否在直线DF上，并说明理由．19．已知椭圆过点A（﹣1，1），离心率为（I）求椭圆C的方程（II）设点B是点A关于原点的对称点，P是椭圆C上的动点（不同于A，B），直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，问是否存在点P使得△PAB和△PMN的面积相等，若存在，求出点P的坐标，若不存在请说明理由．20．函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R）（I）求函数f（x）的极值；（II）若a＜0，对于任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有，求实数a的取值范围．三、理科附加题（每题10分）21．（10分）求曲线y=2sin3x在处的切线方程．22．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，0），求满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的坐标．23．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．24．（10分）如图，设抛物线x2=2py（p＞0），M为直线y=﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列．2013-2014学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题1．（3分）直线x﹣y+3=0的倾斜角为45°．考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．解答：解：直线x﹣y+3=0的斜率为1；所以直线的倾斜角为45°．故答案为45°．点评：本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2．（3分）（2014•陕西）抛物线y2=4x的准线方程是x=﹣1．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．解答：解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．点评：根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．3．（3分）若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m=﹣3．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，解之即可得到答案．解答：解：∵直线2x+（m+1）x+4=0与直线mx+3y+4=0平行，∴，由，解得m=﹣3，或2，又1，∴m≠2，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题考查两直线平行的关系，当两直线方程为一般式时，可根据系数关系列不等式组解决．4．（3分）已知f（x）=xcosx，则f′（x）=cosx﹣xsinx．．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则即可得出．解答：解：f′（x）=cosx﹣xsinx．故答案为：cosx﹣xsinx．点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题．5．（3分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为5．考点：棱柱的结构特征．专题：数形结合．分析：有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可知，有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，解答：解：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，故答案为 5点评：本题考查确定立体几何的公理三，及其三条推论，是对基本概念的应用6．（3分）函数f（x）=x﹣2e x的单调减区间是（ln，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由y′=1﹣2e x≤0，解得x的取值范围即可．解答：解：由y′=1﹣2e x＜0，解得x＞ln．∴函数f（x）=x﹣2e x的单调递减区间是（ln，+∞）．故答案为：（ln，+∞）．点评：熟练掌握原理导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．7．（3分）若直线y=﹣3x+b是曲线y=x3﹣3x2+2的一条切线，则实数b的值是3．考点：圆的切线方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用导数运算法则可得切线的斜率，进而得到切点．解答：解：∵y=x3﹣3x2+2，∴y′=3x2﹣6x．设切点为M（m，n），则切线的斜率k=3m2﹣6m=﹣3，解得m=1．∴n=﹣1﹣3+2=0．得到切点M（1，0），代入直线可得0=﹣3+b，解得b=3．故答案为：3．点评：本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程，属于基础题．8．（3分）若圆x2+y2=m2（m＞0）与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，则实数m的取值范围是（1，11）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：利用相交两圆的充要条件：R﹣r＜|O1O2|＜R+r，（R＞r＞0分别为两圆的半径，|O1O2|为两圆的圆心距离）即可得出．解答：解：由圆x2+y2=m2（m＞0）可得圆心M（0，0），半径r=m；由圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0化为（x+3）2+（y﹣4）2=36，得到圆心N（﹣3，4），半径r=6．∴|MN|==5．由于圆x2+y2=m2（m＞0）与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相交，∴|m﹣6|＜5＜6+m，解得1＜m＜11．∴实数m的取值范围是（1，11）．故答案为：（1，11）．点评：本题考查了相交两圆的充要条件，属于基础题．9．（3分）已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题正确的序号为②③④①m∥n，n∥α⇒m∥α；②m⊥α，m⊥β⇒α∥β；③α∩β=n，m∥α，m∥β⇒m∥n；④α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的判定定理来判断①是否正确；根据垂直于同一直线的两个平面平行来判断②是否正确；借助图形，如图过m作两个相交平面，分别与α，β相交于直线a，b，可证a∥b，从而可证a∥n，进而可证m∥n，由此判断③是否正确；取直线m、n的方向向量，，根据α⊥β，则，可判断④是否正确．解答：解：对①，缺少条件m⊄α，∴①错误；对②，根据垂直于同一直线的两个平面平行，∴②正确；对③，如图过m作两个相交平面，分别与α，β相交于直线a，b，可证m∥a，m∥b，∴a∥b，可证a∥β，α∩β=n，∴a∥n，∴m∥n，故③正确；对④，∵m⊥α，n⊥β，α⊥β，∴，∴m⊥n，故④正确．故答案是②③④．点评：本题考查了线线，线面平行、垂直关系的判断，熟练掌握线面平行、垂直的判定与性质定理是解题的关键．10．（3分）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可设双曲线的方程为：．（a＞0，b＞0）．焦距为2c．由于焦距为16，一条渐近线方程为，可得2c=16，，再利用c2=a2+b2，即可得出．解答：解：由题意可设双曲线的方程为：．（a＞0，b＞0）．焦距为2c．∵焦距为16，一条渐近线方程为，∴2c=16，，又c2=a2+b2，联立解得a=6，b=．所求的双曲线方程为：．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．11．（3分）设P，A，B，C是球O表面上的四点，满足PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=1，PC=2，则球O的表面积是6π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：根据PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=1，PC=2，构造一个以PA，PB，PC为棱的长方体，则长方体的体对角线等于球的直径，建立方程关系即可求解球的表面积．解答：解：∵PA，PB，PC两两相互垂直，∴构造一个以PA，PB，PC为棱的长方体．∵P，A，B，C是球O表面上的四点，∴长方体的体对角线等于球的直径，设球半径为R，长方体的体对角线为l，∵PA=PB=1，PC=2，∴l=，则l=2R=，解得R=，∴球O的表面积是4=6π．故答案为：6π．点评：本题主要考查球的表面积的计算，根据点P，A，B，C的位置关系构成长方体是解决本题的关键，要正确利用球的直径与长方体的体对角线长度之间的关系．12．（3分）点P是椭圆上的动点，F1为椭圆的左焦点，定点M（6，4），则PM+PF1的最大值为15．考点：椭圆的简单性质；函数的最值及其几何意义．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，由椭圆可得：a2=25，b2=16，．由|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．解答：解：如图所示，由椭圆可得：a2=25，b2=16．∴a=5，b=4，．∴F2（3，0），=5．∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．故答案为：15．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系，属于难题．13．（3分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[﹣1，0]上是单调减函数，则a2+b2的最小值为．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：由函数在区间[﹣1，0]上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f′（﹣1）≤0且f′（0）≤0代入得到一个不等式组，可以把而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值；解答：解：（1）依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在[﹣1，0]上恒成立．只需要即可，也即，而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式得d2=（）2=，∴a2+b2的最小值为．故答案为：．点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解点到直线的距离公式，理解二元一次不等式组与平面区域的关系．14．（3分）已知函数，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，则整数k的最大值为4．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．解答：解：因为当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，亦即k＜=对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为k＜对任意x＞1恒成立．设p（x）=，则p′（x）=，令r（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则r′（x）=1﹣=＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，r（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2＞0，所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，所以lnx0=x0﹣2．所以[p（x）]min=p（x0）===x0﹣1+2∈（4，5），所以k＜[p（x）]min=x0﹣1+2∈（4，5）故整数k的最大值是4．故答案为：4点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．解答题15．（14分）圆C的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，5）；（I）求圆C的方程（II）若过点M（﹣2，0）的直线与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（I）求出圆心坐标与半径，可得圆C的方程（II）直线与圆C有且只有一个公共点，可得圆心到直线的距离等于半径，由此可求直线l的方程．解答：解：（I）由题意，圆心C（2，2），圆的直径为AB==2，所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=10；（II）显然直线l不可能垂直x轴，设直线l的方程为y=k（x+2），因为直线l与圆C有且只有一个公共点，所以圆心到直线的距离d==，解得k=3或k=﹣，所以直线l的方程为3x﹣y+6=0或x+3y+2=0．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB，PA⊥BC,∠ABC为直角，点D，E分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若F在线段AC上，且，求证：AD∥平面PEF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）因为∠ABC为直角，即AB⊥BC．再利用线面垂直判定定理，即可证出AD⊥平面PBC；（Ⅱ）连结DC，交PE于点G，利用线线平行的性质定理，证出AD∥FG即可得到AD∥平面PEF．解答：解：（Ⅰ）∵∠ABC为直角，即AB⊥BC，又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∵AD⊂平面PAB∴AD⊥BC∵PA=PB，点D为BC的中点∴AD⊥PB又∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，连结DC，交PE于点G，∵点D，E分别为PB，BC的中点，∴G为△PBC的重心，∴又，∴AD∥FG，又AD⊄平面PEF，FG⊂平面PEF，∴AD∥平面PEF．点评：本题着重考查了线面垂直的定义与判定、线面平行性质定理等知识，属于中档题．17．（14分）已知一种圆锥型金属铸件的高为h，底面半径为a，现要将它切割为圆柱体模型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：导数的综合应用．分析：根据条件求出圆柱的体积，利用导数研究函数的最值即可．解答：解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x=，∴圆柱的体积为V（r）=，即V（r）=，则V'（r）=，由V'（r）==0，得r=．列表如下：r（0，）．（，a）V'（r）+ 0 ﹣V（r）递增极大值递减∴圆柱的最大体积为，此时r=，x=．点评：本题主要考查导数在生活中的优化问题，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，考查导数的应用．18．（16分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点G；（I）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG⊥DF；（II）设点E关于直线AC的对称点为E'，问点E'是否在直线DF上，并说明理由．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（I）建立适当的平面直角坐标系，求出直线EG和DF的方程，利用斜率之间的关系证明：EG⊥DF；（II）求出点E关于直线AC的对称点为E'的坐标，判断E'的坐标是否满足DF的方程即可证明．解答：解：（I）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图，设AD的长度为1，则A（0，0），D（0，1），E（1，0），F（2，0），C（3，1），∴直线AC的方程为，①直线DF的方程为，②由①②解得交点坐标G（），∴EG的斜率k EG=2，DF的斜率，∴﹣，即EG⊥DF；（II）设点E'的坐标为（x1，y1），则EE'的中点M（），由题意得，即，∴E'（），∵，∴E'在直线DF上．点评：本题主要考查直线方程的求法，建立平面之间坐标系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．19．（16分）已知椭圆过点A（﹣1，1），离心率为（I）求椭圆C的方程（II）设点B是点A关于原点的对称点，P是椭圆C上的动点（不同于A，B），直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，问是否存在点P使得△PAB和△PMN的面积相等，若存在，求出点P的坐标，若不存在请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）B点坐标为（1，﹣1），假设存在这样的点P（x0，y0），设出直线AP的方程和直线BP的方程，由直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，得△PMN的面积=，△PAB的面积=|x0+y0|，由此能确定存在点P使得△PAB和△△PMN的面积相等，并能求出点P坐标．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆过点A（﹣1，1），离心率为，∴，解得a2=4，b2=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）如图，B点坐标为（1，﹣1），假设存在这样的点P（x0，y0），则直线AP的方程为y﹣1=，直线BP的方程为y+1=，∵直线AP，BP分别与直线x=3交于点M，N，∴令x=3，得，，∴△PMN的面积|y M﹣y N|（3﹣x0）=，又∵AB=2，直线AB的方程为x+y=0，∴点P到直线AB的距离d=，∴△PAB的面积S△PAB==|x0+y0|，∵点P不同于A，B，∴|x0+y0|=0，∴（3﹣x0）2=||，解得，从而y0=±，∴存在点P使得△PAB和△△PMN的面积相等，点P坐标为（，）．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的确定，综合性强，难度大，具有一定的确定20．（16分）函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R）（I）求函数f（x）的极值；（II）若a＜0，对于任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（I）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值；（II），即f（x2）+4×≤f（x1）+4×，设h（x）=f（x）+=x﹣1﹣alnx+，则，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数，求导函数，即使x2﹣ax﹣4≤0在（0，1]上恒成立，然后利用分离法将a分离出来，从而求出a的范围．解答：解：（I）由题意，x＞0，f′（x）=1﹣．若a≤0时，f′（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数f（x）不存在极值；当a＞0时，∵x＞a时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；0＜x＜a时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数，∴x=a时，函数f（x）有极小值f（a）=a﹣1﹣alna；（II）当a＜0时，由（I）知函数f（x）在（0，1]上是增函数，又函数y=在（0，1]上是减函数不妨设0＜x1≤x2≤1则|f（x1）﹣f（x2）|=f（x2）﹣f（x1），∴，即f（x2）+4×≤f（x1）+4×设h（x）=f（x）+=x﹣1﹣alnx+，则，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数∵h'（x）=1﹣﹣=，∴x2﹣ax﹣4≤0在（0，1]上恒成立，即a≥x﹣在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x﹣在（0，1]内的最大值．而函数y=x﹣在（0，1]是增函数，∴y=x﹣的最大值为﹣3∴a≥﹣3，又a＜0，∴a∈[﹣3，0）．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题的应用，同时考查了计算能力，转化与化归的思想，属于中档题．三、理科附加题（每题10分）21．（10分）求曲线y=2sin3x在处的切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，求出切点坐标，直接由点斜式得切线方程．解答：解：由y=2sin3x，得y′=6co s3x．∴当时，．又当时，，切点为．∴所求直线方程为，即．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的导数即为该点处的切线的斜率，是中档题．22．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，0），求满足PA2﹣PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的坐标．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：先求出满足PA2﹣PB2=4的点P的轨迹方程，再与圆的方程联立，即可取得P的坐标．解答：解：设P（x，y），∵PA2﹣PB2=4，∴（x+1）2+y2﹣x2﹣（y﹣1）2=4，即x+y﹣2=0．由，可得或，∴所求P的坐标为（0，2）或（2，0）．点评：本题考查点的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．23．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2A1A=4，点D是BC的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．解答：解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：点评：本题考查异面直线所成的角，以及直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．24．（10分）如图，设抛物线x2=2py（p＞0），M为直线y=﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列．考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x0=x1+x2．判断出三者的横坐标成等差数列．解答：证明：由题意，设A（），B（）（x1＜x2），M（x0，﹣2p）．由x2=2py得，得y′=，所以，．因此直线MA的方程为，直线MB的方程为．所以，①，②由①、②得，因此，即2x0=x1+x2．所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力，属于中档题．。
江苏省苏州市吴中区2013-2014学年八年级下期末调研测试数学试题及答案
苏州市吴中区2013－2014学年第二学期期末调研测试初二数学试卷 2014.06本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共29题，满分130分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将学校、姓名、考试号填写在答题卷相应的位置上． 2．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并在答题卷上作答．） 1．下列调查适合普查的是A ．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量B ．某本书中某页的印刷错误C ．公民保护环境的意识D ．某批灯泡的使用寿命2．下列事件是随机事件的是 A ．没有水分，种子发芽B ．367人中至少有2人的生日相同C ．在标准气压下，－1℃冰融化D ．小瑛买了一张彩票获得500万大奖3．下列是中心对称图形的是4．下列各式成立的是A 34=+B 34=+C 12=±D 12=-5．下列分式中，属于最简分式的是 A ．42xB ．221xx + C ．211x x -- D ．11xx -- 6．在反比例函数2k y x-=图象的每个象限内，y 随x 的增大而减少，则k 值可以是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．－17．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥B C ，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝60°， DE//AB ，梯形ABCD 的周长等于20 cm ，则DE 等于 A ．6 cm B ．5 cm C ．4 cmD ．3 cm8．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置， 旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是 A ．68° B ．20° C ．28°D ．22°9．已知m A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，正方形ABCD 内有两点E 、F 满足AE ＝4，EF ＝FC ＝12，AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，则正方形ABCD 的边长为A ．252B ．C ．20D ．二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卷相对应的位置上)11．当x 等于 ▲ 时，分式223x x --无意义． 12．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数向上为偶数的概率为 ▲ ．13．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BC ＝7cm ，BD ＝10 cm ，AC ＝6cm ，则△AOD 的周长是 ▲ cm ． 14+＝ ▲ ．15．如图，在△ABC 中，己知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ．若AD ＝8，BD ＝2，则AC ＝ ▲ ．16．如图，已知BE 平分∠ABC ，DE// BC ，AD ＝3，DE ＝2，AC ＝10，则AE 的长度是▲． 17．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 上的点，且EF ＝2FB ，记AE 与DF 交于H ，则△ADH 与△ABF 的面积之比为 ▲ ．18．如图，已知四边形OABC 是矩形，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，双曲线y ＝kx与边BC 交于点D 、与对角线OB 交于点E ，且OE ：EB ＝1：2，若△OBD 的面积为8，则k的值是 ▲ ．三、解答题：(本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 19．（本题满分6分，每小题3分）化简与计算：；(2)()30b ⎛≥ ⎝20．（本题满分8分，每小题4分）解下列方程：(1)30201x x =+ (2)11322xx x-=---21．（本题满分5分）先化简，再求值：2111211x x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪--+-⎝⎭，其中x 1+．22．（本题满分6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都是格点．建立如图所示的坐标系。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题填空题错误！未指定书签。
．（2010年高考（江苏））设实数x,y 满足3≤2xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最大值是_________【答案】27错误！未指定书签。
．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=,2741log log 6y x -≥,2741y x -≤,则x y +的取值范围是______. 【答案】56⎧⎫⎨⎬⎩⎭错误！未指定书签。
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）设62,,22=+∈b a R b a ,则3-a b的最大值是_________________.【答案】1错误！未指定书签。
．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）定义在R 上的函数)(x f y =是增函数,且函数)2(-=x f y 的图象关于)0,2(成中心对称,设s ,t 满足不等式)4()4(22t t f s s f --≥-,若22≤≤-s 时,则s t +3的范围是____________.【答案】[8,16]-错误！未指定书签。
．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）设变量y x ,满足1||||≤+y x ,则y x 2+的最大值为____________.【答案】2错误！未指定书签。
．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知函数()3123f x x x =+,对任意的[]3,3t ∈-,()()20f tx f x -+<恒成立,则x 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭错误！未指定书签。
．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设，，x x f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是____________.【答案】2≥k .错误！未指定书签。
2013-2014学年第二学期高二数学(文)期末试卷(答案)
2013-2014学年第二学期高二数学（文）期末试卷（答案） 考试时间：120分钟一.选择题（每小题５分，共60分） 1.设全集U 是实数集R ，{}{}2|4,|13M x x N x x =>=<<，则=⋂N M C U )(（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|12x x <≤C ．{}|22x x -≤≤ D ．{}|2x x <2.已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f =， 则(2005)f 等于 ( )A.2005B.2C.1D.1a >3.对于任意的,x y R ∈,不等式y y x x 2222-≥-恒成立，则当 14x ≤≤时，yx 的取值范围是 （ ）A .1[,1)4-B . 1[,1]4-C .1(,1]2-D .1[,1]2-4.已知平面向量a ＝(1,3)-,(4,2)b =-，若a b λ-与a 垂直，则λ＝ （ ） A.－1 B.1 C.－2 D.25.如图,函数)(x f y =的图象是中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式xx f x f +-<)()(的解集为（ ）A.{}22,02|≤<<<-x x x 或B.{}22,22|≤<-<≤-x x x 或C.⎭⎬⎫≤<⎩⎨⎧-<≤-222,222|x x x 或 D.{}0,22|≠<<-x x x 且 6.半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且AB ，AC ，AD 两 两互相垂直，则ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆面积之和ABC ACD ADB S S S ∆∆∆++的最大值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．647.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为 （ ）A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.058.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 单位：cm. ，可得这个几何体的体积是 ( )A. 383cmB. 343cmC. 323cmD. 313cm9.命题p ：函数2212-+-=||)(x x x f 不具有奇偶性；命题q ：当121<<c 时，函数x c y )12(-=为减函数.对于以上两个命题，下列结论中正确的是 ( )A.命题“p 或q ”为假B.命题“p 或q ”为真C.命题“p ⌝且q ”为假D.命题“非q ”为真 10.右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不低 于90分的同学的频率是 （ ） A.0.28 B.0.38 C.0.72 D.0.6211.函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ，① 图象C 关于 直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是 增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.已知椭圆)0,0(1)0(122222222>>=->>=+n m n y m x b a b y a x 与双曲线有相同的焦点（－c ，0）和（c ，0），若c 是a 、m 的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是 ( )A.33B.22C.41D.21二.填空题(每小题５分，共20分)13.若定义运算c a bc ad d b -=，则符合条件2iz 1-i 24+=的复数z 为 .14.从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是 ____________.15.数列{}n a 中，352,1,a a ==如果数列1{}1n a +是等差数列，则11a =___________.16.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：（1）220061*=；（2）(22)20063[(2)2006]n n +*=⋅*,则20082006*的值是 ___ .三.解答题17.（本小题满分12分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b cos )2(cos -=21世纪教育网（1）求∠B 的大小； （2）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.18.（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆)，若按A,B,C 三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,则A 类轿车有10辆.（Ⅰ）求z 的值；（Ⅱ）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a .记这8辆轿车的得分的平均数为x ，定义事件E ={0.5a x -≤，且函数()2 2.31f x ax ax =-+没有零点}，求事件E 发生的概率.z19.（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB为正三角形。
江苏省苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷
江苏省苏州市2012－2013学年度第一学期高三期末考试数学I 2013.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1． 已知集合{}1,1,2,4A =-，{}1,0,2B =-，则A B = ． 2． 设复数z 满足(2)12z i i +=-（为虚数单位）3． 一组样本数据8，12，10，11 ，9的方差为 ． 4． 有5个数成公差不为零的等差数列，这5个数的和为15，若从这5个数中随机抽取一个数，则它小于3的概率是 ． 5． 过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ． 6． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则三棱锥11A B D D -的体积为 3cm ．7． 某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为 ．（保留一位小数，取51.1 1.6≈）8． 右边一段伪代码中，()Int x 表示不超过x 的最大整数，若输入6,4m n ==，则最终输出的结果n 为 ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ，过双曲线E 的右A 1B 1DCB AD 1C 1焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ．10． 已知()1f x x x =+，则11(()42f x f -<的解集是 ． 11． 已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-=． 12． 已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3322x y x y +的取值范围是 ． 13． 在平面直角坐标系xOy 中，60y +-=与圆22((1)2x y -+-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．14． 已知向量a ，b ，满足1a = ，()(2)0a b a b +-=，则b 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15． (本小题满分14分)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()(4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．16． (本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．已知PA AB =，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PBC ；17． (本小题满分14分)在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠= ，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠= ，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤ ） （1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．18． (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，A ，B ，C 分别为椭圆E 的右、下、上顶点，满足5FC BA =，椭圆的离心率为12． （1）求椭圆的方程；（2）若P 为线段FC （包括端点）上任意一点，当PA PB取得最小值时，求点P 的C B A D19． (本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．20． (本小题满分16分)定义函数1(0),()1(0),x x x ϕ≥⎧=⎨-<⎩222()2()()f x x x x a x a ϕ=---．（1）解关于a 的不等式：(1)(0)f f ≤；（2）已知函数()f x 在[]0,1x ∈的最小值为(1)f ，求正实数a 的取值范围．苏州市2012－2013学年度第一学期高三期末考试数学II （附加题）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修4－1 几何证明选讲） （本小题满分10分） 如图，设直线切⊙O 于点P ，AB 为⊙O 的任一条不与垂直的直径，AC l ⊥，BD l ⊥，垂足分别为点C ，D ．求证：PC PD =，且AP 平分CAB ∠．A B ·l PDC OB ．（选修4—2：矩阵与变换） 本小题满分10分）已知矩阵11x M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 2 的一个特征值为1-，求其另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆221164x y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，点P 是第一象限内在椭圆上的一个动点，求PAB ∆面积S 的最大值．D.（选修4—5：不等式选讲） （本小题满分10分）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分）设10件同类型的零件中有2件不合格品，从所有零件中依次不放回地取出3件，以X 表示取出的3件中不合格品的件数．（1）求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率；（2）求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知2AB =，4AC =，13AA =．D 是BC 的中点．（1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的正弦值．。
2017-2018学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷含答案
2017-2018学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是．2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为．3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为．4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于．5．（5分）函数y=x3﹣2x2+x的单调递减区间为．6．（5分）“m=﹣1”是“直线l1：mx﹣2y﹣1=0和直线l2：x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于．8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC．其中正确的结论序号是．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|= ．10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为．11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为．12．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点A（﹣3，0），B（1，2）．（1）求圆M的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l 的方程．16．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）AD⊥CD；（2）EF∥平面ADD1A1．17．（14分）从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f （v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．19．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx（a为实数），g（x）=x﹣1，h（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t＜2）上一点．（1）已知t=．①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P 纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．第二卷（附加题.每题10分。
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编7：两角和与差的三角函数及二倍角公式(教师版)
错误！未指定书签。 ． （江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研（3 月）测试数学试 题）设 ， ， ，且 sin( ) 5 , tan 1 ．则 cos 的值为 2 2 13
【答案】 16 65
错误！未指定书签。 ． （ 江 苏 省 徐 州 市 2013 届 高 三 考 前 模 拟 数 学 试 题 ） 已 知 cos(
3 2 ) ,则 2 3
cos 2 ________.
【答案】
79 81
0
错误！ 未指定书签。 ． （江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题） 已知 cos(75 )
1 , 3
则 cos(30 2 ) 的值为__________.
【答案】
2 , ;
错误！未指定书签。 ． （江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试（数学） （选修物理） ）在△ABC 中,若
sin B 2 cos( A B), 则 tan B 的最大值为_____________. sin A
【答案】
3 3
错误！未指定书签。 ． （江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研 ( 附答案 ) ） 已知
错误！未指定书签。 ． （2011 年高考（江苏卷） ）已知 tan( x
) 2, 则
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2
网址：
小升初 中高考
高二会考 艺考生文化课
一对一辅导 （教师版）
cos2 (0, ) ,则 的值为________. 2 sin( ) 4
4 1 cosA , tan( A B) ,则 tan C 的值是____. 5 2 11 【答案】 ; 2
江苏省苏州市2023~2024学年高二上学期期末考试数学试卷及答案
苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b bc b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故110111217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >时，因为()22211112230333mm mm m m m -+---++-=<，所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得33k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，33,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <所以1OS =<，因此，点S 在圆O 内。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编13：等比数列及其前n项和(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编13：等比数列及其前n 项和（教师版）填空题错误！未指定书签。
．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知等比数列{}n a 满足43713a a a a =⋅,则数列{}n a 的公比q =____.【答案】3错误！未指定书签。
．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和,若3620a a +=,则63S S 的值是___________. 【答案】12错误！未指定书签。
．（2013江苏高考数学）在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为_____________.【答案】解析:本题主要考察等比数列的有关概念及性质.指数函数二次函数的单调性.猜想与证明等知识及推理论证能力. 由215=a ,及376=+a a 得方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a 两式相除得:062=-+q q ,∴2=q (3-=q 舍)∴3211=a ∵n n a a a a a a 2121>+++∴)1(21111)1(-+++>--n nn q a qq a ∴2)10)(1(212-->-n n n ①∴n2>2)10)(1(212-->-n n n∴n2>2)10)(1(2--n n ②先通过②式利用函数xx f 2)(=大致确定n 的取值范围:∴2)10)(1(-->n n n ∴01132+-n n <0∴212913-<n <212913+又∵+∈N n 且12212113=+<212913+<13216913=+∴最大正整数n 的值为12 再通过①式利用函数12)(-=nn g 及2)10)(1(2)(--=n n n h 在区间[)+∞,6上是单调性说明最大正整数n的值为12 又∵2)1012)(112(12212-->- 1213-<2)1013)(113(2--且函数12)(-=nn g 及2)10)(1(2)(--=n n n h 在区间[)+∞,6上是单调增函数∴最大正整数n 的值为12错误！未指定书签。
95苏州市2012-2013学年高三上学期期末考试数学试题
2012-2013学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为0．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．解答：解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定．要注意验证集合中元素的互异性．2．（5分）已知复数z=﹣1+i（为虚数单位），计算：=﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z以及它的共轭复数代入表达式，化简后，复数的分母实数化，即可得到所求结果．解答：解：因为复数z=﹣1+i（为虚数单位），=﹣1﹣i，所以====﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．4．（5分）根据如图所示的算法，可知输出的结果为11．考点：伪代码．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题中的伪代码写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是等比数列{2n﹣1}的前n项和，在S≤1023的情况下继续循环体，直到S＞1023时结束循环体并输出下一个n 值．由此结合题意即可得到本题答案．解答：解：根据题中的伪代码，可得该程序经过第一次循环得到S=2°，n=1；然后经过第二次循环得到S=2°+21，n=2；然后经过第三次循环得到S=2°+21+22，n=2；…依此类推，当S=2°+21+22+…+2n＞1023时，输出下一个n值由以上规律，可得：当n=10时，S=2°+21+22+…+210=2045，恰好大于1023，n变成11并且输出由此可得，输出的结果为11故答案为：11点评：本题给出程序框图，求20+21+22+…+2n＞1023时输出的n+1，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．5．（5分）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从10幅名画中任买一件有=10种方法，若此人买入的这幅画是膺品的方法有=2．因此此人买入的这幅画是膺品的事件的概率P=．故答案为．点评：正确理解古典概型的概率计算公式是解题的关键．6．（5分）函数的最小正周期为2．考点：二倍角的正弦；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式对已知函数化简，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求解答：解：∵=cos=根据周期公式可得T=故答案为：2点评：本题主要考查了诱导公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用及周期公式的应用，属于基础试题7．（5分）函数的值域为（﹣∞，2]．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用二次函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜4﹣x2≤4，∴=2．∴函数的值域为（﹣∞，2]．故答案为（﹣∞，2]．点评：熟练掌握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键．8．（5分）已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．根据题意得3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．9．（5分）已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为π．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式即可得出．解答：解：∵，，∴=（﹣2，4），=（2，﹣4）．∴=﹣2×2+4×（﹣4）=﹣20，==．∴==﹣1，∴．或由，得．故向量，的夹角的大小为π．故答案为π．点评：熟练掌握向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式是解题的关键．10．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：利用数形结合和函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示：①当x≥2时，由函数f（x）=单调递减可得：0＜f（x）=；②当0＜x＜2时，由函数f（x）=（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．由图象可知：由0＜2k＜1可得，故当时，函数y=kx与y=f（x）的图象有且只有两个交点，∴满足关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是．故答案为．点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知数列{a n}满足，，则=．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．解答：解：∵，，∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积及三角函数的单调性即可求出．解答：解：令x=0，得y2=4，解得y=±2，取N（0，﹣2）．令y=0，得x2=4，解得x=±2，取M（2，0）．设点P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．则=（2﹣2cosθ，﹣2sinθ）•（（﹣2cosθ，﹣2﹣2sinθ）=﹣2cosθ（2﹣2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）=4sinθ﹣4cosθ+4=φ）+4≤，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．∴的最大值为．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积及三角函数的单调性是解题的关键．14．（5分）已知实数x，y同时满足，，27y﹣4x≤1，则x+y的取值范围是．考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x=，y=时该等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等式的左边变负指数幂为正指数幂，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小，而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x，y 取值唯一，从而可得x+y的取值范围．解答：解：当x=，y=时，，=，．由知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，而当y减小x增大时，log27y﹣log4x＜，当x减小y增大时，27y﹣4x＞1．均与题中所给条件不等式矛盾．综上，只有x=，y=时，条件成立，所以x+y的取值范围为{}．故答案为{}．点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法，培养了学生的探究能力，此题是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：（1）∵，从而．又∵，∴．…（4分）利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（6分）（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（12分）==．…（14分）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：DN⊥平面PCB．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PCD．（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而得到四边形MNCD是直角梯形．（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=，N是PB的中点，证得DN⊥PB，再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．解答：证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…（2分）因为CD∥AB，所以MN∥CD．又CD⊂平面PCD，而MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（4分）（2）由（1）可得MN∥CD．因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD．又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD．…（6分）因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．…（8分）（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=60°．…（9分）在Rt△PDA中，AD=2，，，．在直角梯形MNCD中，MN=1，，CD=3，，从而DN2+CN2=CD2，所以DN⊥CN．…（11分）在Rt△PDB中，PD=DB=，N是PB的中点，则DN⊥PB．…（13分）又因为PB∩CN=N，所以DN⊥平面PCB．…（14分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的判定定理和性质性质定理的应用，属于中档题．17．（14分）第八届中国花博会将于。