曲线与方程-课时作业(解析版)
2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程课时作业13椭圆的简单性质课件北师大版选修2_1
D．[2，＋∞)
解析：因为 P(m，n)是椭圆 x2＋y22＝1 上的一个动点，所以 m2＋n22＝1，即 n2＝2－2m2，所以 m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1， 所以 1≤2－m2≤2，所以 1≤m2＋n2≤2，故选 B.
二、填空题
9．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是
0，
2 2
.
解析：由题意 2b>2c，
即 b>c，即 a2－c2>c，
∴a2－c2>c2，则 a2>2c2.
∴ac22<12，∴0<e<
2 2.
10．已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于 A，B 两点，若△ABF2 是正三角形，则这个椭圆
3 的离心率是 3 .
B．[38，34]
C．[12，1]
D．[34，1]
解析：如图：
直线 A2M 的方程为 y＝－(x－2)＝2－x. 代入椭圆方程x42＋y32＝1，得 3x2＋4y2＝3x2＋4(4－4x＋x2)＝12， 整理得 7x2－16x＋4＝0，
∴2＋x＝176，∴x＝27.
∴M 点坐标为(27，172)．
若焦点在 y 轴上，则 b2＝5，a2＝m. ∴m－m 5＝25，∴m＝235. 所以 m 的值为 3 或235.
2．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于
12，则 C 的方程是( D )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋
y2 ＝1 3
C.x42＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
解析：由 8x2＋3y2＝24，得x32＋y82＝1. ∴－ 3≤m≤ 3，4－2 3≤2m＋4≤4＋2 3.
课时作业9：三 简单曲线的极坐标方程
三 简单曲线的极坐标方程一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析 圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.在极坐标系中，如果一个圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝1，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( ) A.ρsin θ＝3 B.ρsin θ＝－3 C.ρcos θ＝2D.ρcos θ＝－2解析 圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的圆心为(2，3)，∴过圆心且与极轴平行的直线方程是y ＝3，即ρsin θ＝3. 答案 A4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析 根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析 直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2).答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12 B.ρcos θ＝2 C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________ (规定：ρ≥0，0≤θ<2π).解析 易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 11.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.(2019·全国卷Ⅲ理，22)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标. 解 (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 轨迹的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。
20202021学年数学高中选修21课时作业231双曲线及其标准方程含解析.docx
课射作业10 甄曲线及其标准方程 |基础巩固| （25分钟，60分）~、选择题（每小题5分，共25分）1、巳知 E C-8, 3J, Fi C2, 3J,动点尸满足\PFi\- | PFi \=10,则尸点的轨迹是（）A、改曲线B、改曲线的~支C、直线D, —条射线解析:Fi, ”2是定点，且成1F2I = 10,所以满足条件I PFi \ —\PFi I =10的点户的轨迹应为~条射线.答案：D2 .巳知叹曲线方程为x2 - 2y2 = 1,则它的右焦点坐标为（JA.错误！B.错误！C.错误！D、（错误!,0）解析：将改曲线方程化为标准方程，用错误！-错误！ = 1, /.a2 =1 , Z?2 =错误!，.*.C=错误！二错误!，右焦点坐标为错误!.答案：C3.焦点分别为（-2,0）, （2, 0J且经过点（2, 3J的叹曲线的标准方程为（）A、必一错误！ = 1 B.错误！一寸=1C. y2 一错误！ = 1D.错误！一错误！二1解析：由改曲线定义知，2ci —错误！一错误！— 5 — 3 = 2,a = 1.又c = 2, /?2 = c2— <22 = 4 — 1 = 3,因此所求改曲线的标准方程为X2 -错误！ = lo答案:A4、下面各选项中的改曲线，与错误! -错误! = 1共焦点的改曲线是（JA.错误！ +错误！ = 1 Bo错误！一错误！ = 1C.错误！ 一错误！ = 1 Do 错误！ +错误！ = 1解析：方法~ 因为所求曲线为改曲线，所以可排除选项A,D;又改曲线正-错误！ = 1的焦点在工轴上，所以排除选项B,综 上可知，选C 。
方法二 与错误！ 一错误！ = 1共焦点的改曲线系方程为错误！ 一错误! =1,对此四个选项中的曲线方程，发现只有选项C 中的方程符 合条件（此酎久=一 2）、答案:C5. 巳知定A A,B 且| AB| = 4,动点尸满足|B4| - \ PB \ = 3,则| PA |的放小值为（ ）Ao 错误！ Bo 错误！C.错误！D. 5解析：如图所示，点尸是以A, 3为焦点的改曲线的右支上 的点，当P 在M 处酎，||最小，景小禽为a + c =错误！ + 2 =错误!.答案:C 二、埴空题（每小题5分，共15分）6. 设m 是常教，若点"（0,5J 是改曲线错误! 一错误！ = 1的~ 个焦点，则m =o解析：由A F CO, 5）可知该改曲线错误!-错误！ = 1的焦点恣在 y 轴上，所以m>0,且m + 9 = 52,解得m = 16o 答秦：167、 巳知尸是改曲线错误！ -错误！ = 1上~ A,F1,F2是改曲线的左、 右焦点，X|PF I | = 17,^|PF 2| =o BA O\ Ml解析：由改曲线方程错误！一错误！ = 1可得<2 = 8, b = 6, c = 10, 由改曲线的图象可得点尸到右焦点”2的d>c-a = 2.因为IIPFil - \PF2 I | = 16, |PFi| = 17,所以 | PF2 I =1（舍去）或I P^2 I = 33.答案:33x28、巳知改曲线E：三一错误！= 1（。
高三数学第一轮复习课时作业(53)曲线与方程
课时作业(五十三) 第53讲 曲线与方程时间：45分钟 分值：100分基础热身1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上2．2011·湖南师大附中月考 已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足·＝x22，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线3．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝04．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x248＝1C ．y 2－x248＝－1 D ．x 2－y248＝1 能力提升5．2011·江门质检 设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)6．已知||＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，＝13＋23，则动点P 的轨迹方程是( )A.x24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1 C ．.x29＋y 2＝1 D ．.x 2＋y29＝1 7．已知二面角α－l －β的平面角为θ，点P 在二面角内，PA ⊥α，PB ⊥β，A ，B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A ，B 到棱l 的距离分别为x ，y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x 2－y 2＝9(x ≥0)B ．x 2－y 2＝9(x ≥0，y ≥0)C ．y 2－x 2＝9(y ≥0)D ．y 2－x 2＝9(x ≥0，y ≥0)8．2011·南平测试 已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x <－1) B ．x 2－y28＝1(x >1)C ．x 2＋y28＝1(x >0) D ．x 2－y210＝1(x >1)9．2011·哈尔滨第三中学三模 已知动点P 在直线x ＋2y －2＝0上，动点Q 在直线x ＋2y ＋4＝0上，线段PQ 中点M (x 0，y 0)满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2，则x 20＋y 20的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，34 B.⎣⎡⎦⎤15，34C.⎣⎡⎦⎤15，10 D ．10,34 10．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2＝，则点Q 的轨迹方程是________________．11．已知F 1、F 2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且AB 中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．13．2011·北京卷 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．14．(10分)2011·课标全国卷 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足∥，·＝·，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．15．(13分)2011·银川一中一模 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆短半轴长为1，动点M (2，t )(t >0)在直线x ＝a2c(a 为长半轴长，c 为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．难点突破16．(12分)2011·东北三省四市测试 已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB的长为23，D是AB的中点．(1)求动点D的轨迹C的方程；(2)过点N(1,0)作与x轴不垂直的直线l，交曲线C于P、Q两点，若在线段ON上存在点M(m,0)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，试求m的取值范围．课时作业(五十三)【基础热身】1．B 解析圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．B 解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝x22，即x24＋y22＝1，所以点P的轨迹为椭圆．3．A 解析设P点的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋2)2＝3x2＋y2，整理，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.4．A 解析由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，所以轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．【能力提升】5．A 解析设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由＝2得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝32x>0，b＝3y>0.由题知点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a，b代入上式得，所求的轨迹方程为32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．6．A 解析设A(0，a)，B(b,0)，则由||＝3得a2＋b2＝9.设P(x，y)，由＝13＋23得(x，y)＝13(0，a)＋23(b,0)，由此得b＝32x，a＝3y，代入a2＋b2＝9得9y2＋94x2＝9⇒x24＋y2＝1.7．B 解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC ＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．8．B 解析设直线PM、PN与圆C|AM|＝|MB|，|PD|＝|PA|，|DN|＝|NB|，所以|PM|－|PN|＝|PA|＋|AM|－|PD|－|DN|＝|MB|－|NB|＝2<|MN|，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M、N为焦点、实轴长为2的双曲线的右支(除去点B)．9．B 解析 ＝0，点M (x 0，y 0)就是直线x ＋2y ＋1＝0位于区域⎩⎪⎨⎪⎧y 0≤x 03＋2，y 0≤－x 0＋2内的线段上，如图．根据几何意义，坐标原点到直线x ＋2y ＋1＝0的距离是15，故最小值是15，根据图形在点A 处取得最大值，点A 的坐标是(5，－3)，故最大值是34.10．2x ＋4y ＋1＝0 解析 设点Q 11)．根据2＝得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎨⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，为所求轨迹方程．11．x 2＋y 2＝4 解析 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连接DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．y 2＝2(x －1) 解析 F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，后两式相减并将前两式代入得(y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)，当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2×y ＝2.又A 、B 、M 、F 四点共线，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1，代入得y 2＝2(x －1)，当x 1＝x 2时，M (1,0)也适合这个方程，即y2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．13．②③ 解析 ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；③三角形的面积S △F 1F 2P 2≤a 22，很显然S △F 1F 2P ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝a 22.所以②③正确．14．解答 (1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)． 所以＝(－x ，－1－y )，＝(0，－3－y )，＝(x ，－2)． 再由题意可知(＋)·＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝||2y 0－x 20x 20＋4，又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2， 当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. 15．解答 (1)由点M 在直线x ＝a 2c 上，得a2c＝2，又b ＝1，故1＋c2c＝2，∴c ＝1，从而a ＝ 2.∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t24＋1，其圆心为⎝⎛⎭⎫1，t 2，半径r ＝t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t 2，所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. (3)证法一：设OM ，FN 交于点K .由平面几何的性质知|ON |2＝|OK ||OM |，直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝t 2，y ＝－2t(x －1)，得x K ＝4t 2＋4. ∴|ON |2＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24x K ·⎝⎛⎭⎫1＋t 24x M ＝⎝⎛⎭⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2，所以线段ON 的长为定值 2.证法二：设N (x 0，y 0)，则＝(x 0－1，y 0)，＝(2，t )， ＝(x 0－2，y 0－t )，＝(x 0，y 0)，∵⊥，∴2(x 0－1)＋ty 0＝0，∴2x 0＋ty 0＝2， 又∵⊥，∴x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0，∴x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2，所以，||＝x 20＋y 20＝2为定值． 【难点突破】16．解答 (1)设D (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，33x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－33x 2. 因为D 是线段AB 的中点， 所以x ＝x 1＋x 22，y ＝33·x 1－x 22. 因为|AB |＝23，所以(x 1－x 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 1＋33x 22＝12，所以(23y )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33×2x 2＝12， 即x29＋y 2＝1.故点D 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入椭圆方程x29＋y 2＝1，得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，所以x 1＋x 2＝18k21＋9k，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋9k 2. 所以PQ 中点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫9k 21＋9k 2，－k 1＋9k 2. 因为以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， 所以k MH ·k ＝－1.所以－k1＋9k 29k 21＋9k2－m ·k ＝－1，即m ＝8k 21＋9k2.因为k ≠0，所以0<m <89.又点M (m,0)在线段ON 上，所以0<m <1.综上，0<m <89.。
课时作业10：2.3.1 双曲线的标准方程
§2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程一、选择题1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( ) A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3答案 D解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.2．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) A.x 25－y 24＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 A解析 焦点在x 轴上，c ＝3，b ＝2，a ＝ 5.3．已知双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( ) A ．1B ．－1C ．－105 D.105 答案 B解析 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，∴m <0，∴双曲线的标准方程为y 2－3m －x 2－m＝1， ∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.4．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当k >5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k >5或k <2.故选A.5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 答案 B解析 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点的坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 6．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－653答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B. 7．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( ) A.14 B.35 C.34 D.45答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，|F 1F 2|＝2c ＝2 a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×42×22＝2416×2＝34. 8．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20答案 B解析 △ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，∵|AB |＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线定义知，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，∴4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，∴a ＝3，∴m ＝a 2＝9.故选B.二、填空题9．与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________________． 答案 x 23－y 23＝1 解析 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上， ∴设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 又∵两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上， ∴4a 2－1b2＝1.② 由①②得，a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 10．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案 1或5解析 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，∴|OQ |＝12|PF ′|. 若P 在双曲线的左支上，则|OQ |＝12|PF ′| ＝12(|PF |－2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则|OQ |＝12|PF ′| ＝12(|PF |＋2a )＝12(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.11．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左、右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2， 所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝3－1＋3＋1＝2 3.三、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.四、探究与拓展14．已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△F 1F 2P 的内心，若S △F 1MP ＝S △F 2MP ＋4，则△F 1F 2M 的面积为( )A ．5B ．6C ．27D ．10答案 A解析 由双曲线方程x 216－y 29＝1，知 焦点在x 轴上，实轴长为2a ＝8，虚轴长为2b ＝6，焦距2c ＝10.设△PF 1F 2的内切圆半径为r .由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝10，1F MP S ＝12|PF 1|·r ， 2F MP S ＝12|PF 2|·r . ∵1F MP S ＝2F MP S ＋4，∴12|PF 1|·r ＝12|PF 2|·r ＋4， 解得r ＝1，∴12F F M S ＝12·2c ·r ＝c ·r ＝5，故选A. 15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23， 又|F 1F 2|＝25，所以在△MF 1F 2中 ，MF 1边最长，cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，△MF 2F 1为钝角三角形．。
2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估二课时作业含解析人教A版选修2_1.doc
第二章单元质量评估(二)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( C ) A ．4B ．－4C ．－14D.142．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m >0,2m ＋1>0且2m ＋1>3m ，得0<m <1，故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14.又a >0，b >0，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32①.在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝⎛⎭⎫322＋22②. 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.5．已知双曲线y 2－x 2＝1的离心率为e ，且抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(e 2,0)，则p 的值为( D )A ．－2B ．－4C ．2D ．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e ＝2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，所以p ＝4.故选D.6．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于准线l ，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1，|AB |＝4，故选A.7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( C )A ．－13 B.13 C ．±13 D ．±12解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±53xB ．y ＝±255xC ．y ＝±355x D ．y ＝±5x解析：∵双曲线的焦距为2a 2＋b 2，椭圆的焦距为2a 2－b 2，∴2a 2－b 2＝13·2a 2＋b 2，整理得4a 2＝5b 2，则a ＝52b .代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±255x . 9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1.∴m 2－n 2＝2，∴m >n . ∵e 1＝1－1m2，e 2＝1＋1n2，∴e 1e 2＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝1＋1n 2－1m 2－1m 2n2＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n2>1. 10．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，在椭圆上有一个异于点A ，B 的动点P ，若直线P A 的斜率为k 0，则直线PB 的斜率为( B )A.34k 0 B ．－34k 0 C ．－34k 0 D ．－32k 0 解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，∴k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2.∵点P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，∴k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204x 20－4＝－34.∵k P A ＝k 0，∴k PB ＝－34k 0，故选B.。
课时评价作业(二十八) 双曲线及其标准方程
项正确.
当 t=0 时,C 为双曲线,则双曲线的焦距为 2 5 + 1=2 6,所以 C 项
不正确.
答案:BD
2
2
5.若关于 x,y 的方程 - =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实
+3 2 -1
数 m 的取值范围是(-∞,-3).
2
2
解析:因为关于 x,y 的方程 - =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,
由
9
2
36
2
= 1,
-
9
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
解得 1,
2 = 9, 2 = 3,
22
所以双曲线的标准方程为 - =1.
93
(2)因为 a=2 5,且焦点在 y 轴上,
22
所以可设双曲线的标准方程为 -
20
2=1(b>0).
又因为双曲线经过点(2,-5),所以2250- 42=1,
解得 b2=16,
22
所以双曲线的标准方程为 - =1.
5- -1
个命题中正确的是
()
A.若 1<t<5,则 C 为椭圆
B.若 t<1,则 C 为双曲线
C.若 C 为双曲线,则焦距为 4
D.若 C 为焦点在 y 轴上的椭圆,则 3<t<5
22
5- > 0,
解析:若关于 x,y 的方程 + =1 表示椭圆,则满足 -1 > 0, 解得
5- -1
5- ≠ -1,
|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2 的面积.
22
解:(1)椭圆方程可化为 + =1,焦点在 x 轴上,且 c= 5,
2022届高考数学一轮复习课时作业曲线与方程
曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝55．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 26．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝17．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限； ②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； ③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)． A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．①③④2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A ，B ，C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30 km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 0秒(注：信号每秒传播V 0千米)．(1)以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？曲线与方程1．若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线B [当a ＞0且a ≠1时，该方程表示椭圆；当a ＜0时，该方程表示双曲线；当a ＝1时，该方程表示圆．故选B.]2．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4xA [设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)．∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ，∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .]3．(2020·静安区二模)方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0的曲线C 所满足的性质为( ) ①不经过第二、四象限；②关于x 轴对称；③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．A ．①③B ．②③C ．①④D ．①②A [由题意，2x 2－9xy ＋8y 2＝0化为：9xy ＝2x 2＋8y 2≥0，说明x ，y 同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y 换y ，方程发生改变，所以图形不关于x 轴对称，所以②不正确；以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变，所以③正确；方程2x 2－9xy ＋8y 2＝0，x ，y 互换，方程化为8x 2－9xy ＋2y 2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A.]4．(2020·成都模拟)设C 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AC 至点P ，使得|PC |＝|BC |，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝20B ．x 2＋(y ＋2)2＝20C ．x 2＋(y －2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5B [如图，由椭圆方程x 2＋y 25＝1，得a 2＝5，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝2，则A (0，－2)，B (0,2)为椭圆两焦点，∴|CA |＋|CB |＝2a ＝25，∵|PC |＝|BC |， ∴|P A |＝|PC |＋|CA |＝|BC |＋|CA |＝2 5.∴点P 的轨迹是以A 为圆心，以25为半径的圆，其方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.故选B.]5．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程 ①△ABC 周长为10 C 1：y 2＝25 ②△ABC 面积为10 C 2：x 2＋y 2＝4(y ≠0) ③△ABC 中，∠A ＝90°C 3：x 29＋y 25＝1(y ≠0)A ．C 3，C 1，C 2B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1D ．C 1，C 3，C 2A [①△ABC 的周长为10，即|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，又|BC |＝4，所以|AB |＋|AC |＝6>|BC |，此时动点A 的轨迹为椭圆，与C 3对应；②△ABC 的面积为10，所以12|BC |·|y |＝10，即|y |＝5，与C 1对应；③因为∠A ＝90°，所以AB →·AC →＝ (－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＝0，与C 2对应．故选A.]6．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M的轨迹方程为( )A ．x 29＋y 24＝1 B ．y 29＋x 24＝1 C ．x 225＋y 29＝1D ．y 225＋x 29＝1A [设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.]7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________．(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y )， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上， 即y ≠0.]8．一条线段的长等于6，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上滑动，P 在线段AB 上且AP→＝2PB →，则点P 的轨迹方程是________．4x 2＋y 2＝16(x ＞0，y ＞0) [设P (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )， 则a 2＋b 2＝36.因为AP→＝2PB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝2b3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝36，得9x 2＋94y 2＝36，即4x 2＋y 2＝16.]9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．x 24＋y 23＝1(y ≠0) [设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．]10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．[解] 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22＜4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2， 所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．11.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM→＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形； (2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．[解] (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM→＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆． (2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形， ∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <83.能力提高1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A ．抛物线B ．双曲线一支C ．椭圆D ．抛物线或双曲线B [房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支．故选B.]2．(2020·湖北八校二联)如图，AB 是与平面α交于点A 的斜线段，点C 满足|BC |＝λ|AC |(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C 的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C 的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C 的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C 的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C 的轨迹是双曲线．其中正确的命题是________(将所有正确命题的序号填到横线上)．②③ [在△ABC 中，|BC |＝λ|AC |，当λ＝1时，|BC |＝|AC |，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，则点C 在α与β的交线上，所以点C 的轨迹是一条直线．当λ＝2时，|BC |＝2|AC |，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，AD (图略)．设|BD |＝h ，则|BC |＝|CD |2＋h 2.设|AD |＝2a ，在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，AD→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C (x ，y )，则A (－a,0)，D (a,0)，|CA |＝(x ＋a )2＋y 2，|CD |＝(x －a )2＋y 2，|CB |＝|CD |2＋h 2＝(x －a )2＋y 2＋h 2，所以(x －a )2 ＋y 2＋h 2＝2(x ＋a )2＋y 2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53a 2＋y 2＝16a 29＋h23，所以当λ＝2时，点C 的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．[解] OM →＝(x,1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )． ∵λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，∴(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为x 22＋y 22(1－λ2)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22(λ2－1)＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．扩展应用1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy ＜0)，表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C 上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①③④A [对于①，因为xy ＜0，所以x 与y 异号，故图象在第二和第四象限，即①正确．对于②，因为x 2＋y 2≥2xy (x ＞0，y ＞0)，所以xy ≤x 2＋y 22，所以(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16×(x 2＋y 2)24＝4(x 2＋y 2)2， 所以x 2＋y 2≤4，即②正确．对于③，以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即③错误．把x ＝2，y ＝2代入曲线C ，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点(2，2)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于④，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即④错误．故选A.]2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒(注：信号每秒传播V0千米)．(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？[解](1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早40V0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30,2a＝40，所以a＝20，则b＝105，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为x2400－y2500＝1，x＜0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝－x(x＜0)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ，x 2400－y 2500＝1，可得x ＝－205，y ＝205，观察员遇险地点坐标(－205，205)，观察员遇险地点与监测中心O 的距离为 2 000＋2 000＝2010.(3)由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2＋(y －30)2＝r 2，与x 2400－y 2500＝1，x ≤0联立，消去x 可得9y 2－300y ＋6 500－5r 2＝0， Δ＝90 000－36(6 500－5r 2)≥0，解得r ≥20 2.为保证有救援希望，扫描半径r 至少是202公里．。
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课时作业8 曲线与方程
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是( )
A ．圆
B ．两条直线
C ．一个点
D ．两个点
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－2. 所以方程表示点(2，－2)．
答案：C
2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M(2,1)满足( )
A ．在直线l 上，但不在曲线C 上
B ．既在直线l 上，也在曲线
C 上
C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上
D ．不在直线l 上，但在曲线C 上
解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可． 答案：B
3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )
A．两条线段B．两条直线
C．两条射线D．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，所以y＝|x|(y≤1)．
答案：A
4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )
A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0)
C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5)
答案：D
5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )
解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断．
答案：D
6．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则( ) A．m∈R B．m∈(－∞，1)
C ．m ＝1
D ．m ∈(1，＋∞)
解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．
解析：由22－a (－3)2
＝1，得a ＝13. 答案：13
8．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________．
解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，所以方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线．
答案：两条直线
9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．
解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所
以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12
×2×1＝1. 答案：1
三、解答题(共40分)
10．(10分)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.
(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．
解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．
(2)因为点M (m
2
，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 11．(15分)求曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标． 解：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，x ＝4或x ＝－1.
∴曲线与x 轴的交点为(4,0)和(－1,0)．
12．(15分)求证：对任意m∈R，曲线mx －y －m ＋1＝0和曲线(x －2)2＋y 2＝4恒有交点．
证明：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
mx －y －m ＋1＝0 ①x －22＋y 2＝4 ② 由①得y ＝mx －m ＋1.
代入②得，(x －2)2＋[mx －(m －1)]2＝4，
∴(m 2＋1)x 2－[2m (m －1)＋4]x ＋(m －1)2＝0，
Δ＝4(m 2－m ＋2)2－4(m 2＋1)(m －1)2＝4(3m 2
－2m ＋3)＝4[3(m －13)2＋83
]>0，对任意m ∈R 成立，所以两曲线对任意m ∈R 恒有交点．。