八年级上册——角平分线性质与判定
[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上
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11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是．
7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
◆◆题型三角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．
1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（ ）
A．5B．7C．7.5D．10
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
人教版数学八年级上册《角平分线的判定》说课稿
人教版数学八年级上册《角平分线的判定》说课稿一. 教材分析《角平分线的判定》是人教版数学八年级上册的一章内容，主要介绍了角平分线的定义、性质和应用。
这一章节在数学知识体系中起到了承上启下的作用，为后续学习几何图形的对称性、三角函数等知识打下了基础。
在本章节中，学生需要掌握角平分线的定义和性质，并能运用角平分线解决一些实际问题。
教材通过丰富的实例和图示，引导学生探究角平分线的性质，培养学生的观察能力和推理能力。
二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经学习了基础的代数和几何知识，具备了一定的逻辑思维能力和观察能力。
但是，对于角平分线的理解和应用，他们可能还存在一些困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，合理安排教学内容，引导学生通过观察、思考、探究等方式，理解和掌握角平分线的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解角平分线的定义和性质，并能运用角平分线解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究等方式，培养学生的观察能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的定义和性质。
2.教学难点：角平分线的判定方法和应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法、观察推理法、小组合作法等教学方法，引导学生主动参与学习，培养他们的观察能力和推理能力。
同时，利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握角平分线的性质和应用。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引发学生对角平分线的兴趣，激发他们的学习动机。
2.探究角平分线的定义和性质：引导学生观察和思考角平分线的性质，通过小组合作和讨论，共同得出结论。
3.角平分线的判定方法：引导学生通过观察和推理，探索角平分线的判定方法，并能运用到实际问题中。
4.角平分线的应用：通过一些实际问题，让学生运用角平分线的性质和判定方法，解决问题，巩固所学知识。
人教版八年级数学上册《角平分线的性质和判定》复习题
角均分线内容及典型例题一.复习内容：1.角均分线的作法．2.角均分线的性质及判断．3.角均分线的性质及判断的应用．二. 知识重点：1. 角均分线的作法（尺规作图）①以点 O 为圆心，随意长为半径画弧，交OA 、 OB 于 C、D 两点；②分别以 C、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P；③过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求．2.角均分线的性质及判断（1）角均分线的性质：角的均分线上的点到角的两边的距离相等．①推导已知： OC 均分∠ MON ， P 是 OC 上随意一点， PA ⊥ OM ， PB⊥ ON，垂足分别为点 A 、点 B ．求证： PA ＝PB．证明：∵PA ⊥ OM ，PB⊥ON∴∠ PAO＝∠ PBO＝ 90°∵OC 均分∠ MON∴∠ 1＝∠ 2在△ PAO 和△ PBO 中，∴△ PAO≌△ PBO∴PA＝ PB②几何表达：（角的均分线上的点到角的两边的距离相等）以下图，∵OP 均分∠ MON （∠ 1＝∠ 2）， PA ⊥ OM ， PB⊥ ON，∴PA＝ PB．（2）角均分线的判断：到角的两边的距离相等的点在角的均分线上．①推导已知：点 P 是∠ MON 内一点， PA ⊥ OM 于 A ， PB⊥ ON 于 B，且 PA ＝PB ．求证：点 P 在∠ MON 的均分线上．证明：连结 OP在 Rt△PAO 和 Rt△ PBO 中，∴Rt △PAO ≌ Rt △PBO（ HL ）∴∠ 1＝∠ 2∴OP 均分∠ MON即点 P 在∠ MON 的均分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的均分线上．）以下图，∵PA⊥ OM ， PB⊥ ON，PA ＝ PB∴∠ 1＝∠ 2（ OP 均分∠ MON ）3. 角均分线性质及判断的应用①为推导线段相等、角相等供给依照和思路；②实质生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300 米．在以下图中标出工厂的地点，并说明原因．4.画一个随意三角形并作出两个角（内角、外角）的均分线，察看交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．三.重点难点：1.重点：角均分线的性质及判断2.难点：角均分线的性质及判断的应用【考点剖析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中有时以选择题或填空题的形式出现，但角均分线的性质及判断有时出此刻综合题题目中间，所以仍是比较重要的．【典型例题】例 1. 已知：以下图，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（ 1）∠ ABC ＝∠ ABC ′；（ 2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判断）．剖析：由条件∠ C＝∠ C′＝ 90°， AC ＝AC ′，能够把点 A 看作是∠ CBC ′均分线上的点，由此可翻开思路．证明：（1）∵∠ C＝∠ C′＝ 90°（已知），∴ AC ⊥BC ，AC ′⊥ BC ′（垂直的定义）．又∵ AC＝ AC′（已知），∴点 A 在∠ CBC′的角均分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的均分线上）．∴∠ ABC ＝∠ ABC′．（ 2）∵∠ C＝∠ C′，∠ ABC ＝∠ ABC′，∴180°－（∠ C＋∠ ABC ）＝ 180°－（∠ C′＋∠ ABC′）（三角形内角和定理）．即∠ BAC ＝∠ BAC′，∵ AC ⊥BC ，AC′⊥ BC′，∴BC＝ BC′（角均分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有必定的踊跃作用，但也会产生悲观作用，在解题时，要能打破思想定势，追求解题方法的多样性．例 2. 以下图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D 点到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 能否均分∠ BAC ，并说明原因．剖析：判断一条射线能否是一个角的均分线，可用角均分线的定义和角均分线的判断定理．依据题意，第一由角均分线的判断定理推导出∠ 1＝∠ 2，再利用平行线推得∠3＝∠ 4，最后用角均分线的定义得证．解： AD 均分∠ BAC ．∵ D 到 PE 的距离与到PF 的距离相等，∴点 D 在∠ EPF 的均分线上．∴∠ 1＝∠ 2．又∵ PE∥ AB ，∴∠ 1＝∠ 3．同理，∠ 2＝∠ 4．∴∠ 3＝∠ 4，∴ AD 均分∠ BAC ．评析：由角均分线的判断判断出 PD 均分∠ EPF 是解决本例的重点．“同理”是当推理过程同样，不过字母不一样时为书写简易能够使用“同理”．例 3. 以下图，已知△ABC的角均分线BM，CN订交于点P，那么AP可否均分∠BAC？请说明原因．由本题你能获取一个什么结论？剖析：由题中条件可知，本题能够采纳角的均分线的性质及判断来解答，所以要作出点P到三边的垂线段．解： AP 均分∠ BAC ．结论：三角形的三条角均分线订交于一点，而且这一点到三边的距离相等．原因：过点P 分别作 BC ，AC ， AB 的垂线，垂足分别是E、 F、 D．∵ BM 是∠ ABC 的角均分线且点P 在 BM 上，∴PD＝ PE（角均分线上的点到角的两边的距离相等）．同理 PF＝ PE，∴ PD＝ PF．∴AP 均分∠ BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的均分线上）．例 4. 以下图的是相互垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的均分线上的 P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、 y 轴成立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在地点的坐标．剖析：因为角均分线上的点到角的两边距离相等，所以点P 到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点 P 在第四象限，求点P 的坐标时要注意符号．解：（ 1）∵点 P 在公路与铁路所夹角的均分线上，∴点 P 到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点 P 到公路的距离是400m，∴点 P（学校）到铁路的距离是400m．（ 2）学校所在地点的坐标是（400，－ 400）．评析：角均分线的性质的作用是经过角相等再联合垂直证明线段相等．例 5. 以下图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA均分∠CAB否在 AB 上确立一点 E，使△ BDE 的周长等于 AB 的长？若能，请作出点若不可以，请说明原因．交BC 于D，问能E，并给出证明；剖析：因为点 D 在∠ CAB 的均分线上，若过点 D 作 DE ⊥AB 于 E，则 DE ＝ DC．于是有 BD ＋ DE ＝ BD ＋DC＝ BC＝ AC ，只需知道 AC 与 AE 的关系即可得出结论．解：能．过点 D 作 DE ⊥AB 于 E，则△ BDE 的周长等于 AB 的长．原因以下：∵AD 均分∠ CAB ， DC⊥ AC ，DE ⊥ AB ，∴DC＝DE ．在 Rt△ACD 和 Rt△ AED 中，，∴Rt △ACD ≌ Rt△ AED （ HL ）．∴AC ＝AE ．又∵ AC＝ BC，∴ AE ＝BC ．∴△ BDE 的周长＝ BD ＋ DE＋BE ＝BD ＋ DC＋ BE＝BC ＋BE＝ AE ＋ BE ＝ AB ．评析：本题是一道研究题，要擅长利用已知条件获取新结论，找寻与要解决的问题之间的联系．本题利用角均分线的性质将要研究的结论进行转变．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的均分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的均分线上” 这两个结论后，很多波及角的均分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有很多同学对质明两个三角形全等的问题已经很熟习了，所以证题时，不习惯直策应用这两个结论，仍旧去找全等三角形，结果相当于从头证了然一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习题一.选择题1.以下图， OP 均分∠ AOB ， PC⊥ OA 于 C，PD⊥ OB 于 D ，则 PC 与 PD 的大小关系是（）A. PC ＞ PDB. PC＝ PDC. PC＜ PDD. 不可以确立2.在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， AD 是角均分线，若BC ＝ 10， BD ∶ CD ＝3∶ 2，则点 D 到 AB 的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103.在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， E 是 AB 边的中点， BD 是角均分线，且 DE ⊥ AB ，则（）A. BC＞AEB. BC ＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4.（2007 年浙江义乌）以下图，点 P 是∠ BAC 的均分线 AD 上一点， PE⊥ AC 于点 E，已知 PE＝3，则点 P 到 AB 的距离是（）A.3B.4C.5D.65.以下图，在△ ABC 中，∠ C＝90°， AD 均分∠ BAC ，AE ＝ AC ，以下结论中错误的选项是（）A. DC ＝ DEB. ∠AED ＝ 90°C. ∠ ADE ＝∠ ADCD. DB ＝DC6.到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角均分线的交点D. 不可以确立7.以下图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝BC ，AD 均分∠ CAB 交 BC 于 D， DE ⊥ AB于 E，且 AB ＝ 6cm，则△ DEB 的周长为（）A. 4 cmB. 6 cmC. 10cmD. 以上都不对8.以下图，三条公路两两订交，交点分别为A 、B 、 C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地点有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四周二. 填空题9.以下图，点 P 是∠ CAB 的均分线上一点， PF⊥ AB 于点 F， PE⊥AC 于点 E，假如PF＝ 3cm，那么 PE＝__________ ．10.以下图， DB ⊥ AB ，DC⊥AC ，BD ＝ DC，∠ BAC ＝ 80°，则∠ BAD ＝ __________ ，∠CDA ＝ __________．11. 以下图， P 在∠ AOB 的均分线上，在利用角均分线性质推证PD＝ PE 时，一定知足的条件是 ____________________．12. 以下图，∠B＝∠ C， AB ＝AC ， BD ＝ DC，则要证明AD是∠ BAC的__________线．需要经过__________ 来证明．假如在已知条件中增添∠ B 与∠ C 互补后，就能够经过__________来证明．因为此时BD 与 DC 已经分别是 __________的距离．13. 以下图， C 为∠ DAB 内一点， CD⊥ AD 于 D，CB⊥ AB 于 B，且 CD ＝ CB，则点 C 在__________ ．14.以下图，在 Rt△ ACB 中，∠ C＝ 90°， AD 均分∠ BAC 交 BC 于点 D．（1）若 BC＝ 8， BD ＝5，则点 D 到 AB 的距离是 __________ ．（2）若 BD ∶ DC＝ 3∶ 2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长为 __________．15. （ 1）∵ OP 均分∠ AOB ，点 P 在射线 OC 上，PD⊥ OA 于 D ，PE⊥ OB 于 E，∴ __________（依照：角均分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵ PD⊥ OA ， PE⊥ OB，PD＝ PE，∴ OP 均分∠ AOB （依照： ___________）．三.解答题16.已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 是 AC 上一点， DE ⊥AB 于 E，且 DE ＝DC ．（1）求证： BD 均分∠ ABC ；（2）若∠ A ＝ 36°，求∠ DBC 的度数．17.如图：△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的均分线， E、 F 分别为 AB 、AC 上的点，且∠ EDF ＋∠ BAF ＝180°．（1）求证： DE＝ DF；（2）若把最后一个条件改为： AE ＞ AF ，且∠ AED ＋∠ AFD ＝ 180°，那么结论还成立吗？18.如图，∠ 1＝∠ 2， AE ⊥ OB 于 E， BD ⊥ OA 于 D， AE 与 BD 订交于点 C．求证： AC ＝BC ．19. 以下图，某铁路MN 与公路 PQ 订交于点O，且夹角为90°，其库房G 在 A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出库房 G 的地点．（比率尺为 1∶10000，用尺规作图）（2）求出库房 G 到铁路的实质距离．四. 研究题20.有位同学发现了“角均分线”的另一种尺规作法，其方法为：（ 1）以下图，以O 为圆心，随意长为半径画弧交OM 、 ON 于点 A 、B ；（ 2）以 O 为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM 、ON 于点 C、 D；（ 3）连结 AD 、BC 订交于点E；（ 4）作射线OE，则 OE 为∠ MON 的均分线．你以为他这类作法对吗？试说明原因．。
八年级数学上册全等三角形 . 角的平分线的性质角平分线的判定教学
P B
C
第十一页，共二十三页。
新课讲解( jiǎngjiě)
1、判断题：
（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分(píngfēn)∠AOB.（× ）
（2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（
）×
A M
Q
O
NB
图1
A
M Q
┐
O
NB
图2
12/13/2021
第十二页，共二十三页。
MD
C
∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
12/13/2021
第十页，共二十三页。
新课讲解( jiǎngjiě)
知识点3
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角 形三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角
形三条角平分线的交点.
A
12/13/2021
∠OBC=∠OBA， ∠OCB=∠OCA. （三角形内角和定理）
转化为 ∠BAC和∠BOC的关系.
12/13/2021
第十七页，共二十三页。
当堂 小练 (dānɡ tánɡ)
如图，O是△ABC内一点(yī diǎn)，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，
且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
如图，O是△ABC内一点(yī diǎn)，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE， 且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，且OF=OD=OE. （角的平分线的判定）
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB. （角的平分线的性质）
初中八年级数学教案角平分线的性质和判定
3.（练习与检测）1,如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BD 是∠ABC 地平分线,交AC 于点D,若CD=n ,AB=m ,则△ABD 地面积是（ ） A.mn B.21mn C.2mn D.31mn2,如图,已知AC 平分∠PAQ,点B,B ′分别在边AP,AQ 上,如果添加一个条件,即可推出AB=AB′,那么该条件可以是（ ）A,BB′⊥AC B,BC=B′C C ,∠ACB=∠ACB′ D ,∠ABC=∠AB′C 3,如图,FD ⊥AO 于D,FE ⊥BO 于E,下列条件:①OF 是∠AOB 地平分线;②DF=EF;③DO=EO;④∠OFD=∠OFE 。
其中能够证明△DOF ≌△EOF 地条件地个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4,如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,BE ⊥AC 于E,AD 与BE 相交于F,若BF=AC,则∠ABC 地度数是 .5,在△ABC 中,AB=AC,∠A=50°,AB 地垂直平分线DE 交AC 于点D,垂足为E,则∠DBC 地度数是 . 6,如图,已知点C 是∠AOB 地平分线上一点,点P,P’分别在边OA,OB 上。
如果要得到OP=OP’,需要添加以下条件中地某一个即可,请妳写出所有可能地结果地序号为____________: ①∠OCP=∠OCP’ ②∠OPC=∠OP′C ; ③PC=P′C ; ④PP′⊥OC7,如图,在ΔABC 中,BC =5 ,BP ,CP 分别是∠ABC 与∠ACB 地角平分线,且PD ∥AB ,PE ∥AC ,则ΔPDE地周长是___________ .8,△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交BC 于点D 。
若DC=7,则D 到AB 地距离是 .9,已知:如图,CE ⊥AB 于点E,BD ⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O,且BO=CO ． 求证:O 在∠BAC 地角平分线上．A OBCPP ’ A PB D ECEDBAC10,如图（7）:AC⊥BC,BM平分∠ABC且交AC于点M,N是AB地中点且BN=BC。
八年级数学上册《角平分线的性质和判定定理》教案、教学设计
-如果一个角的平分线同时也是这个角的垂直平分线，那么这个角有什么特殊的性质？请给出证明；
-如果一个角的平分线同时也是另一个角的平分线，那么这两个角之间有什么关系？请给出证明。
4.实践活动：
-与同学合作，设计一个关于角平分线的数学小报，内容包括定义、性质、判定定理以及生活中的应用等；
-利用所学知识，尝试解决实际生活中的问题，如测量角度、划分土地等，并撰写解题报告。
2.学生在运用角平分线判定定理解决问题时的逻辑思维能力和解题技巧；
3.学生在合作交流、动手操作等方面的学习习惯和团队协作能力。
针对学情，教师应采取以下策略：
1.设计富有启发性的问题，引导学生主动探究角平分线的性质；
2.创设生活情境，让学生在实际问题中体会角平分线判定定理的应用；
3.注重个体差异，给予学生个性化的指导，提高学生的自主学习能力；
4.加强课堂讨论与交流，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：角平分线的性质及其应用，角平分线的判定定理。
2.难点：理解并灵活运用角平分线的性质和判定定理解决实际问题。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
-通过引入生活中的实例，如折纸、剪纸等，让学生感受角平分线的存在和应用，激发学生的学习兴趣；
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，书写规范，保持卷面整洁；
2.作业完成后，进行自查，确保解题过程和答案正确；
3.遇到问题时，与同学讨论，或向老师请教，及时解决疑问；
4.作业提交时间：课后第二天。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了角的初步知识，如角的分类、角的度量等。在此基础上，学生对角平分线的性质和判定定理的学习具备了一定的基础。然而，由于学生的认知水平和思维能力存在差异，部分学生可能在理解角平分线的性质和判定定理方面存在困难。
青岛版八年级数学上册《角平分线的性质和判定定理》评课稿
青岛版八年级数学上册《角平分线的性质和判定定理》评课稿一、引言《角平分线的性质和判定定理》是青岛版八年级数学上册的一篇重要内容。
本评课稿旨在评估该篇内容的教学质量，对教材的编排、教学方法、学生学习效果等方面进行详细分析和评述。
二、教材编排分析《角平分线的性质和判定定理》是教材中的一篇文章，位于八年级数学上册。
通过该篇内容，学生能够了解角平分线的定义、性质和判定定理，为后续学习提供了基础知识。
教材将该篇内容分为以下几个部分：1. 角平分线的定义教材首先给出了角平分线的定义，明确了什么是角平分线。
定义清晰简明，容易被学生理解。
2. 角平分线的性质教材从多个角度介绍了角平分线的性质，包括角平分线所形成的两个角相等、角平分线上的点到角两边距离相等等内容。
通过具体的图例和推理过程，帮助学生理解和掌握角平分线的性质。
3. 角平分线判定定理教材给出角平分线判定定理的表述，并提供了相关的证明。
该部分内容侧重于培养学生的推理能力和证明思维，有助于学生形成逻辑思维和证明方法。
4. 相关例题教材选取了一些相关例题，并通过解析的方式，引导学生巩固所学知识。
这些例题既有直接应用角平分线性质的题目，也有通过判定定理来解决问题的题目。
这些例题设计合理，能够帮助学生巩固所学知识，并且能够培养学生的解决问题的能力。
三、教学方法评析教学方法对于学生的学习效果起到关键作用。
针对《角平分线的性质和判定定理》这一篇内容，以下是几种常用的教学方法评析：1. 讲解教学法讲解教学法是最常见的教学方法之一。
通过教师对教材内容的详细讲解，引导学生深入理解角平分线的概念和性质。
在讲解过程中，引导学生形成完整的思维链条，理清重点和难点，帮助学生建立正确的数学思维方式。
2. 案例教学法案例教学法通过给学生提供具体的题目例子，引导学生运用角平分线的性质和判定定理解决问题。
通过解析案例，学生能够更好地理解角平分线的应用场景和解题思路。
3. 实验教学法实验教学法可以通过实际绘制角平分线的图形来观察角平分线的性质。
八年级数学上册《角平分线的性质与判断》教学反思
八年级数学上册《角平分线的性质与判断》教学反思前言本文是对于八年级数学上册《角平分线的性质与判断》这一课程进行教学反思的一篇文档。
本课程是在进行线性角度的学习后，通过角平分线的性质和判定，提出角平分线的定义、角平分线的性质和判断方法。
希望通过本文的反思，来提高今后教学中的教学效果和教学方法，达到更好的教育效果。
教学准备在学习本课程之前，教师需要充分准备教案，准备好教案的目标、内容、教学方法和评价方法。
在备课中，教师需要掌握主题要点和基本定义，如：角分割线、角平分线、平分线等，并通过反思思考教学难点和教学重点。
在备好教案后，我们需要提前准备好对应的教学素材，如：板书、课件、实物等。
教学过程1. 概念讲解课程开始前，我先介绍了本课程的主要内容、目标和意义，让学生了解学习本课程的重点。
然后，我通过幻灯片和板书，向学生阐述了相关概念，如：角分割线、角平分线等，并通过例题演示了如何判断角平分线。
同时，在概念讲解的过程中，我也会加入一些相关故事和例子，让学生更好地理解概念。
2. 给学生时间思考在讲解后，我会给学生留下时间思考概念。
在这个时间里，我会在黑板上展示一道例题，让学生自主思考并尝试解答。
这种学习方式可以让学生更加深入地了解课程，并让学生更容易理解知识点。
3. 小组合作在学生理解概念后，我会组织学生进行小组合作。
组织形式有两种，第一种是教师设置分组；第二种是由学生自主分组。
在小组合作中，我会让学生完成几个题目，让他们通过组内互相讨论，互相研究，来相互促进学习。
4. 整合讲解当小组合作完成后，我会在黑板上游戏小组的思路，发现并讲解同学的错误点并指出，好的方面加强，同时让学生分享自己的思路。
在此过程中，我会加入一些教学技巧，如：•和学生互动，让学生订正自己的错误；•提意见，让学生深入思考；•适时与学生分享生活和实践中的故事，让学生更深入地理解;•提醒学习思考方法，教给学生预测总结、归纳的方法等。
5. 课程浓缩在整个课程结束时，我会让学生回答一些关于课程的问题，然后对整个课程进行浓缩，给出本次课程的总结。
角平分线的性质与判定
C C′
B
例1 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC ∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。 求证：BD＋DE ＝AC A
E
C
D
B
变式
已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
M D C F A E B N
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判 定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
再 见
Jilichuang
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
A
活
E 如 图 ： 在 △ ABC 中 ， F ∠C=90° AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AB于E，F在AC上， D B C BD=DF； 求证：CF=EB 分析:要证 CF=EB,首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需 要我们找什么条件
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
N E C N A
C
E
O
M
O
B M
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的判定教学设计
（二）过程与方法
1.采用探究式教学方法，引导学生从实际操作中发现角的平分线的判定定理，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中学习，提高解决问题的能力和团队协作精神。
3.设计具有梯度性的练习题，使学生在巩固基础知识的同时，逐步提高解题能力，培养良好的学习习惯。
（三）学生小组讨论
1.教学活动：教师给出几个实例，让学生分组讨论如何找出这些角的平分线。
2.小组讨论：学生在小组内分享自己的思考过程，讨论如何运用角的平分线判定定理解决问题。
3.教师指导：教师巡回指导，对学生的疑问进行解答，引导学生运用角的平分线性质解决问题。
（四）课堂练习
1.教学内容：教师布置以下练习题，让学生独立完成。
a.判断题：判断下列各题中，哪个是角的平分线。
b.解答题：已知一个角的度数，求这个角的平分线。
c.应用题：运用角的平分线性质解决实际问题。
2.解答与讲解：教师选取部分学生的答案进行展示和讲解，指出解题过程中的关键步骤和注意事项。
（五）总结归纳
1.教学内容：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结角的平分线的定义、性质和判定定理。
1.学生在空间想象力方面的发展水平，引导他们通过实际操作，将抽象的角的平分线概念具体化、形象化。
2.学生在逻辑推理能力上的差异，针对不同水平的学生设计不同难度的问题，使他们在解决问题的过程中逐步提高推理能力。
3.学生在团队合作中的表现，鼓励他们积极参与讨论，学会倾听他人意见，提高沟通能力和团队协作精神。
4.培养学生的创新意识，鼓励他们敢于尝试、勇于探索，形成独立思考的能力。
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角平分线的性质[问题]如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？[操作]作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．[探索]按以下步骤折纸将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？[证明]已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E求证：PD=PE证明：[几何语言描述]Q P在AOB∠的平分线上PD OA⊥于D，PE OB⊥于E∴PD PE=角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【例1】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？【例2】如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ．求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．【例3】如图，D 是ABC ∆的外角ACE ∠的平分线上一点，DF AC ⊥于F ，DE BC ⊥于E ，且交BC 的延长线于E 。
求证：CE CF =。
【例4】已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD=CD ，求证：∠B=∠C ．【例5】如图，在△ABC 中，已知AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．求证：AB=AC+CD ．【例6】如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论【课后作业】1、如图所示，∠B＝∠C＝90°，根据角平分线的性质填空：（1）若∠1＝∠2，则________＝________；（2）若∠3＝∠4，则________＝________．2、如图所示，下列推理中正确的个数是（）①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD=PE；②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE．A．0个B．1个C．2个D．3个3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm4、如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．下列结论中错误的是（）A．PC＝PD B．OC＝ODC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC（第2题）（第3题）（第4题）5、如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5 cm，BD＝3 cm，则点D到AB的距离为（）A．5 cm B．3 cm C．2 cm D．不能确定6、如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＝OE C．OD＜OE D．不能确定7、如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD 之间的距离等于________8、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①②④D．只有①（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）9、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）DC＝DE；（2）CF＝EB．10、如图，四边形ABCD中，AB=AD,CD=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E,PF⊥CD于F，求证：PE=PF11、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．12、已知，（如图）在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BF上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN13、如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长。
14、如图1，在△ABC中，∠A，∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB与R，AB=7，BC=8,AC=9（1.）求BP、CQ、AR的长。
（2）.如图2若CD⊥BO于D 求证∠OCD=12∠A（3）.如图3若BO的延长线叫AC于E，CO的延长线叫AB于F，若∠A=60°，求证：OE=OF.（图1）（图2）（图3）第十讲角平分线的判定[思考]角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是_________；结论是__________ 如果将条件和结论互换，则可以得到命题________________________________________，那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？【例1】证明如下：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．【例2】如图，已知BD = CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．【例3】如图，∠CAB的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：BP平分∠CBN【例4】如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N 为垂足．求证：PM=PN．【例5】如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC延长线于G，求证：BF=CG。
【思考】若OC为∠AOB的角平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，除了可以得到DP=PE之外，还可以得到哪些角或线段之间的关系？【例5】如图，在∠BAC的平分线上任取一点D，在AB,AC上各到一点E和F，若DE=DF，且AE＞AF,求证∠AED+∠AFD=180°【例6】如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD=180°，求证CD=DB【课后作业】1、如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________．2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB、BC两边的距离相等，则∠AOC的度数为_______（第1题）（第2题）3、如图所示，AB∥CD，点P是线段MN的中点，且MN⊥CD，点P到BC的距离等于，则点P 应是________的平分线与________平分线的交点4、如图，已知点P在△ABC的外部，∠DAE的内部，若点P到BC、BD、CE的距离都相等，则下列关于P的位置说法最准确的是（）5、（2010，南宁）如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，AD＝3，则点D到BC的距离是__________（第3题）（第4题）（第5题）6、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是三角形的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论错误的是（）A．BD＋DE＝BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．AC＝AE7、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列结论中不正确的是（）A．DA平分∠EDF B．AE＝AFC．AD上任一点P到AB、AC的距离相等D．AB、AC上的点到AD的距离相等8、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则结论：①△△AEG≌△△AFG；②△AED≌△AFD；③△DEG≌△DFG；④△BDE≌△CDF中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（第6题）（第7题）（第8题）(第9题)9、如图，l1、l2、l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（）A．1处B．2处C．3处D．4处9、如图，D,E,F分别是三角形ABC三边上的点，CE=BF，且S△DCE=S△DBF10、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）∠DMA＝90°11、如图，已知∠CAD＝∠CDA，AC＝BD，E在BC上，DE＝EC，求证：AD平分∠BAE.12、如图，AE，BD是△ABM的高，AE,BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM，求证（1）BC=2AD（2）AB=AE+CE（3）ED平分∠BDM13、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M（1）求证：∠ABD=∠ACD（2）若E在BA的延长线上，求证:AD平分∠CAE（3）当A点运动时，AC ABAM的值是否发生变化？若变化，求其值，若不变，请说明理由。