人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)
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人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2 应用举例(通用)》示范课课件_9
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第三章 三角函数
栏目导引
如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝ α，∠ABC＝β.
(1)证明：sin α＋cos 2β＝0；
(2)若AC＝ 3 DC，求β的值．
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第三章 三角函数
栏目导引
(1)证明：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝ DC，求β的值．
解析：
2 3sin2β－sin β－ 3＝0.
解得
sin
β＝
3，或 2
sin
β＝－
3舍去， 3
又β为锐角，则β＝60°.
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第三章 三角函数
栏目导引
求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形， 若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计 算的定理．
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第三章 三角函数
栏目导引
解析： 如图所示，连结 A1B2， 由已知 A2B2＝10 2， A1A2＝30 2×2600＝10 2，∴A1A2＝A2B2， 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2 是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10 2，
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第三章 三角函数
栏目导引
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第三章 三角函数
栏目导引
【规范解答】 方案：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角 α1、β1；B点到M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如图所示).3分
②第一步：计算 AM.由正弦定理得 AM＝sindsαi1n＋α2α2；6 分 第二步：计算 AN.由正弦定理得 AN＝sindsβi2n－β2β1；9 分 第三步：计算 MN.由余弦定理得 MN＝ AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1.12 分
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时 三角形中的几何计算课件
＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值． 解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
高中数学 解三角形应用举例课件1 新人教A版必修5
角 ABC 的两边 AB 和 BC，且 ABC 1200 ，当
AB= 15 cm，BC= 15
cm 时锯断才能使
第三边 AC 最短。
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6
5、2008 年 12 月 27 日，加沙地带爆发了武装冲突，以色列对加沙 进行了狂轰乱炸。若以色列炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别 位于地面 C 和 D 处，已知 CD=6000m， ACD 450 ， ADC 75 ，
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9
【预习自测】
1、△ABC 中，a2－c2＋b2＝ab，则 C 为( A )
A．60° B．45°或 135° C．120° D．30°
2、在△ABC
中，
sin a
A
cos b
B
，则
B
为(
B
)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3、在△ABC 中， 3sin A＋cos A＝1，c＝2，
s i n A 1 , s i n B 4 ，c o s A 3
2
5
2
sin C sin( A B ) sin A cos B cos A sin B
34 3 10
由正弦定理得： c b sin C sin B
b c sin B 16 160(4 3 3)
sin C 3 4 3
1.2《解三角形》的应用举例 （第1课时）
完整版ppt
1
【问题导学】
ab
c
1、正弦定理:sin A＝__s_i_n__B___＝s_i_n__C_____=__2_R______(其中R为三角形外接圆的半径)
2、三角形中:a＝2Rsin A，b＝2__R_s_i_n__B_，c＝_2__R_s_i_n__C___．
人教A版高中数学必修五第一章第二节解三角形应用举例 课件(共37页PPT)
解析：在△BCD 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得sinBC30°＝sin31035°，解得 BC＝15 2(m)． 在 Rt△ABC 中， AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6(m)． 答案：D
小结
（1）仰角与俯角
（2）实际测量高度问题中解三角形
底部可到达的，底部不可到达 俯角问题
6米长的木棒斜靠在石堤旁，棒子的一端距离堤足 2 3 m的地面上， 另一端在沿堤上 2 角，则需要求出∠BCA的度数
在△ABC中，已知三边求角，运用余弦定理
B
cosBCA a2 b2 c2 2ab
c
a
12 12 36 1
24
2
A
b
C
D
BCA 120 BCD 60 坡角为60°
AC AB sin B sin C
A 55
C
55 AB 32 22
AB 55 6 3
2.两点都可看到，却都不可到达
如图，A、B两点均在河对岸，如何测得AB间距离？
在河这一岸选取一点C，若测得CB， CA的距离及夹角，可用余弦定理，计 算AB。
利用前一题的测量方法。选取D点，测 得CD距离，测出各个角度
sin sin CAD
AC 1
20 6 2
2
2
AC 5( 6 2)
在△ACE中
AE ACsin
5( 6 2) 2 2
5 35
AB AE EB
5 36
6．要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得 塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°，并测得 水 平 面上的 ∠ BCD ＝ 120°， CD ＝ 40 m， 则 电视塔 的 高度为 ________ m.
人教版A版高中数学必修5：第一章解三角形_应用举例_课件10
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了 几分钟；
(2)求塔的高AB.
解 (1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝
180°－∠DBF＝180°－45°＝135°，
CD＝6 000×610＝100(米)，
∠D＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得sin∠CDDBC＝sinB∠C D，
• (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知 量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需 作出这些三角形，先解够条件的三角形，然 后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得 出所要求的解．
教你审题 4——破解实际应用中的方向角问题 【典例】如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向❶的 B 处，
• 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的 问题．然后
• 把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达 的两点距离
• 测量问题，然后运用正弦定理解决．
• (2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间 的距离问
• 题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的 问题，从而
• 运用正弦定理解决．
求AB：(1) α＋β＋B＝π ； (2)sAinBβ＝sinb B 求AB：(1)△ACD中， 用 正弦 定理求AC； (2)△BCD中，用 正弦 定 理求BC；
(3)△ABC中，用 余弦 定
理求AB
• 2.高度的测量
背景 可测元素
图形
底部可 a，α
到达
底部不 a，α，β
可到达
目标及解法
求AB：AB＝ atanα
•
解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为B2C＝14(海里/时)．
(2)求塔的高AB.
解 (1)依题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝
180°－∠DBF＝180°－45°＝135°，
CD＝6 000×610＝100(米)，
∠D＝180°－135°－30°＝15°，
由正弦定理得sin∠CDDBC＝sinB∠C D，
• (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知 量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需 作出这些三角形，先解够条件的三角形，然 后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量， 从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得 出所要求的解．
教你审题 4——破解实际应用中的方向角问题 【典例】如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向❶的 B 处，
• 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的 问题．然后
• 把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达 的两点距离
• 测量问题，然后运用正弦定理解决．
• (2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间 的距离问
• 题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的 问题，从而
• 运用正弦定理解决．
求AB：(1) α＋β＋B＝π ； (2)sAinBβ＝sinb B 求AB：(1)△ACD中， 用 正弦 定理求AC； (2)△BCD中，用 正弦 定 理求BC；
(3)△ABC中，用 余弦 定
理求AB
• 2.高度的测量
背景 可测元素
图形
底部可 a，α
到达
底部不 a，α，β
可到达
目标及解法
求AB：AB＝ atanα
•
解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为B2C＝14(海里/时)．
新课标人教A版数学必修5全部课件：解三角形的应用举例
位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方
向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距
离 A 0 A ）（精确到1mm）
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°， 求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得：
0 . 9848
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
A 0 A A 0 C AC ( AB BC ) AC ( 340 85 ) 344 . 3 80 . 7 81 ( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
5.10 解斜三角形应用举例
练习：
我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C 解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
sin A BC sin C AB 85 sin 80 340
0 . 2462
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理：
AC AB sin B sin C 340 sin 85 4 5
344 . 3 ( mm )
5.10 解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距
离 A 0 A ）（精确到1mm）
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°， 求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得：
0 . 9848
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
A 0 A A 0 C AC ( AB BC ) AC ( 340 85 ) 344 . 3 80 . 7 81 ( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
5.10 解斜三角形应用举例
练习：
我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C 解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
sin A BC sin C AB 85 sin 80 340
0 . 2462
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理：
AC AB sin B sin C 340 sin 85 4 5
344 . 3 ( mm )
5.10 解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
《解三角形应用举例》课件(新人教必修5
解斜三角形应用举例
小结 实际问题 抽象概括 示意图 构造三角形 演 算 实际问题的解 还原说明 解三角形
例5. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
b c a
2 2
2
2 bc c a b
2 2 2
2 ca a b c
2 2 2
2 ab
知道它有多远吗？
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从 A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望 C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛 间的距离是 。
解：应用正弦定理，C=45 °
BC/sin60°=10/sin45°
• 【思路点拨】 注意到最快追上走私船， 即两船所用时间相等，根据示意图，需 求CD的方位角及由C到D所需的航行时 间．
【解】 设缉私船追上走私船所需时间为 t(小时)， 则有 CD＝10 3t，BD＝10t. 在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2， ∠BAC＝45° ＋75° ＝120° ， 则根据余弦定理可得 BC＝ ( 3－1)2＋22－2· ( 3－1)cos 120° 2· ＝ 6. 再根据正弦定理可得 3 2× 2 ACsin 120° 2 sin∠ABC＝ ＝ ＝2. BC 6 ∴∠ABC＝45° ，易知 CB 方向与正北方向 垂直， 从而∠CBD＝90° ＋30° ＝120° .
所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°.
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第一章 1.2 第3课时
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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第一章 1.2 第3课时
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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第一章 1.2 第3课时
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第一章 1.2 第3课时
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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第一章 1.2 第3课时
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2
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变式训练1 在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝ 7 6，cosA＝8，求△ABC的面积．
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第一章 1.2 第3课时
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解：∵b2－bc－2c2＝0. ∴b＝2c或b＝－c(舍去)． 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA， 7 即b ＋c －4bc＝6.
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第一章 1.2 第3课时
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新知初探
1．几何计算问题 在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha， hb，hc，则
csinB ； (1)ha＝bsinC＝_______ asinC ； (2)hb＝csinA＝________ bsinA (3)hc＝asinB＝________.
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第一章 1.2 第3课时
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abc (5)S＝ 4R (可用正弦定理推得)； (6)S＝2R2sinA· sinB· sinC(R是三角形外接圆半径)； 1 (7)S＝2r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)； (8)S＝ pp－ap－bp－c 1 [p＝2(a＋b＋c)]．
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第一章 1.2 第3课时
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3．运用三角形面积公式时应注意哪些问题？
提示：(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三 角函数的有关公式． (2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定 理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵 活运用公式． (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三 角形面积的和．
[点评]
本题主要考充分挖掘题目中 的条件，转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题， 要注意方程思想在解题中的应用．另外也要注意三个内角 的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根错误．
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第一章 1.2 第3课时
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第一章 1.2 第3课时
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课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标
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第一章 1.2 第3课时
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思考感悟
1．已知三角形ABC的三边长a，b，c，便能计算该三角 形的面积吗？(至少有两种不同思路)
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第一章 1.2 第3课时
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提示：可以，方法一
1 设p＝ 2 (a＋b＋c)，则三角形的
面积S＝ pp－ap－bp－c. 方法二 设△ABC外接圆的半径为R，则三角形面积
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第一章 1.2 第3课时
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提示：用余弦定理简单． 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 得32＝a2＋(3 3)2－2×a×3 3cos30° ， 整理得a2－9a＋18＝0，∴a＝3或a＝6. 技巧：当三角形中已知两边和其中一边的对角时， (1)若由已知只求内角，则用正弦定理合适； (2)若由已知只求边，则用余弦定理合适．
1 1 c abc S＝2absinC＝2ab2R＝ 4R ； 方法三 可以用余弦定理计算cosC，再得出sinC，利
1 用S＝ absinC可求． 2
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第一章 1.2 第3课时
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2．在△ABC中，已知b＝3，c＝3 3 ，B＝30° ，求a边 用正弦定理简单，还是用余弦定理简单？有什么技巧？
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第一章 1.2 第3课时
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[解]
(1)由acos C＋ 3 asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋ 3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为B＝π－A－C， 所以 3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 由于sin
π 1 C≠0，所以sinA－6＝2.
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第一章
解三角形
第一章
解三角形
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1.2 应用举例
第一章
解三角形
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第3课时
课前自主预习
三角形中的几何计算
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第一章 1.2 第3课时
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握三角形的面积公式． 2．会用正、余弦定理计算三角形中的一些量.