【必备】全国 2020版中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象及其性质一课件
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(安徽专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的综合应用课件
3. [2019·上海]在平面直角坐标系xOy中(如图13-8),已知抛物线y=x2-2x,其顶
点为A.
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况.
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.
①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标;
②平移抛物线y=x2-2x,使所得新抛物线的
图13-8
解: (2)①设抛物线“不动点”的坐标为(t,t),则t=t2-2t,解得:t=0或t=3, 故抛物线y=x2-2x“不动点”的坐标为(0,0)或(3,3). ②∵新抛物线的顶点B为“不动点”,∴设点B(m,m), ∴新抛物线的对称轴为直线x=m,与x轴的交点C(m,0), ∵四边形OABC是梯形,∴直线x=m在y轴左侧, ∵BC与OA不平行,∴OC∥AB, 又∵点A(1,-1),点B(m,m),∴m=-1, 故新抛物线是由抛物线y=x2-2x向左平移2个单位得到的, ∴新抛物线的表达式为y=(x+1)2-1.
| 考向精练 |
[答案] B
2. [2014·安徽22题] 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两 个二次函数为“同簇二次函数”. (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数; (2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经 过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3 时, y2的最大值.
考点二 二次函数“新定义”型问题解题策略
“新定义”型问题,一般是在问题中定义了我们没有学过的一些概念、新运算、 新符号,要求同学们读懂题意并结合已有知识进行理解,根据新定义进行运算, 推理,迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学的热点.同学们在复 习备考中应重视应用新的知识解决问题的能力培养.解决“新定义”型函数问题 关键要把握两点:一是掌握问题原型中函数的性质特点及其问题解决的思想方 法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.
中考数学 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象与性质(一) 数学
单元思维导图
UNIT THREE
第三单元
第 13 课时 二次函数的图象与性质(一)
函数及其图象
课前双基巩固
考点一 二次函数的定义
若 y=(m-1)
2 +2-1
+2mx-1 是二次函数,则 m 的值是
-3
.
课前双基巩固
知识梳理
1.定义:形如y=ax2+bx+c(a
≠0
)的函数叫二次函数,其中a,b,c为常数.
点、与坐标轴的交点等.
高频考向探究
针对训练
[2017·丽水] 将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是
A.向左平移1个单位
B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位
D.向下平移1个单位
(
)
高频考向探究
[答案]D
[解析]
选项
A
B
C
D
知识点
将函数y=x2的图象向左平移1个单位得到函数y=(x+1)2,其
3
1 2
把(1,0)和(0, )代入 y=- x +bx+c,得 2 3
解得
3
2
2
= ,
= ,
2
2
1
3
2
2
∴抛物线的函数表达式为 y=- x2-x+ .
高频考向探究
1
3
2
2
例 2 [2018·宁波] 已知抛物线 y=- x2+bx+c 经过点(1,0),(0, ).
1
(2)将抛物线 y=- x2+bx+c 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
UNIT THREE
第三单元
第 13 课时 二次函数的图象与性质(一)
函数及其图象
课前双基巩固
考点一 二次函数的定义
若 y=(m-1)
2 +2-1
+2mx-1 是二次函数,则 m 的值是
-3
.
课前双基巩固
知识梳理
1.定义:形如y=ax2+bx+c(a
≠0
)的函数叫二次函数,其中a,b,c为常数.
点、与坐标轴的交点等.
高频考向探究
针对训练
[2017·丽水] 将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是
A.向左平移1个单位
B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位
D.向下平移1个单位
(
)
高频考向探究
[答案]D
[解析]
选项
A
B
C
D
知识点
将函数y=x2的图象向左平移1个单位得到函数y=(x+1)2,其
3
1 2
把(1,0)和(0, )代入 y=- x +bx+c,得 2 3
解得
3
2
2
= ,
= ,
2
2
1
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2
2
∴抛物线的函数表达式为 y=- x2-x+ .
高频考向探究
1
3
2
2
例 2 [2018·宁波] 已知抛物线 y=- x2+bx+c 经过点(1,0),(0, ).
1
(2)将抛物线 y=- x2+bx+c 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
(湖南专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象与性质一课件
(3)方法一:设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),
把C(0,-3)代入,得a×1×(-3)=-3,解得a=1,
∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
������-������ + ������ = 0,
������ = 1,
方法二:由题意知 9������ + 3������ + ������ = 0,解得 ������ = -2,
(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0). ∵二次函数的图象过点B(2,-5), ∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1. ∴二次函数的解析式是y=-(x+1)2+4.
例2[2019·原创]根据下列条件求解析式. (3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数 的解析式.(用两种方法)
（续表）
a<0
增减性
在对称轴的左侧,即当 x<-2ba时,y 随 x 在对称轴的左侧,即当 x<-2ba时,y
的增大而⑦ 减小 ;在对称轴的右侧, 随 x 的增大而⑨ 增大 ;在对称轴的
即当 x>-2ba时,y 随 x 的增大而 ⑧ 增大 ,简记为“左减右增”
右侧,即当 x>-2ba时,y 随 x 的增大而 ⑩ 减小 ,简记为“左增右减”
2
22
22
22
2 22
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-3).
例 1 已知抛物线 y=12x2+x-52. (2)函数有最大值还是最小值?求最大或最小值; (2)函数有最小值.当x=-1时,y有最小值-3.
中考数学总复习第三单元函数第13课时二次函数的图像与性质课件
图13-2
图 13-3
[答案] B
[解析] 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向向上,
则 a>0.对称轴在 y 轴的右侧,则 a,b 异号,所
以 b<0,故-b>0.又因为抛物线与 x 轴有两个
交点,所以 b2-4ac>0,所以直线 y=-bx+b2-4ac
经过第一、二、三象限.当 x=-1 时,y>0,即
第 13 课时 二次函数的图像与性质
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 二次函数的概念
1.二次函数的定义
定义
一般地,如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系可以表示成① y=ax2+bx+c
(a,b,c 是常数,且 a≠0),那么称 y 是 x 的二次函数
二次函数 y=ax2+bx+c (1)等号右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2;
的增大而 减小 ,简记为“左增右减”
最值
抛物线有最低点,当 x=- b 时,y 有最 小 2a
抛物线有最高点,当 x=- b 时,y 有最 大 2a
值,y
最小值=
4ac -b2 4a
值,y
最大值=
4ac -b2 4a
二次项系数 a 的 特性
������ 的大小决定抛物线的开口大小, ������ 越大,抛物线的开口越小; ������ 越小,抛物线的开口越大
的结构特征
(2)二次项系数 a≠0
课前双基巩固
2.二次函数的三种表示形式
(1)一般式:② y=ax2+bx+c(a≠0) . (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图像的顶点坐标是③ (h,k) . (3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).其图像与 x 轴的交点的坐标为④ (x1,0) ,⑤ (x2,0) .
中考数学总复习 第三单元 函数 第13课时 二次函数与方程、不等式课件
抛物线与 x 轴的交点个数
Δ=b2-4ac 的符号
方程有实数根的个数
两个交点
Δ>0
两个不相等的实根
一个交点
Δ=0
两个相等的实根
没有交点
Δ<0
没有实根
2.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为 k,求自变量 x 的值,就是解方程 ax2+bx+c=k;反过来,解方程 ax2+bx+c=k,就是令二
4
3
②当 a<0 时,抛物线的顶点为(2,4),且过点(4,1),∴抛物线的解析式为 y=- x2+3x+1.
4
3
3
4
4
综上所述,抛物线的解析式为 y= x2-3x+4 或 y=- x2+3x+1.
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第十九页，共二十五页。
高频考向探究
探究三 用二次函数的性质解决( jiějué)实际问题
图②),你选择的方案是
3”),则 B 点坐标是
(填“方案 1”“方案 2”或“方案
,求出你所选方案中的抛物线的表
达式;
图13-7
(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为 6 m,求水面上涨的高度.
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第二十二页，共二十五页。
高频考向探究
解:解法一:(1)方案 1 (5,0)
设抛物线的解析式为 y=a(x+5)(x-5).由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),
1
1
5
5
代入解析式可得:a=- ,∴抛物线的解析式为 y=- x(x-10).
答:当 AB 为 20 米时,活动区的面积最大,
Δ=b2-4ac 的符号
方程有实数根的个数
两个交点
Δ>0
两个不相等的实根
一个交点
Δ=0
两个相等的实根
没有交点
Δ<0
没有实根
2.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为 k,求自变量 x 的值,就是解方程 ax2+bx+c=k;反过来,解方程 ax2+bx+c=k,就是令二
4
3
②当 a<0 时,抛物线的顶点为(2,4),且过点(4,1),∴抛物线的解析式为 y=- x2+3x+1.
4
3
3
4
4
综上所述,抛物线的解析式为 y= x2-3x+4 或 y=- x2+3x+1.
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高频考向探究
探究三 用二次函数的性质解决( jiějué)实际问题
图②),你选择的方案是
3”),则 B 点坐标是
(填“方案 1”“方案 2”或“方案
,求出你所选方案中的抛物线的表
达式;
图13-7
(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为 6 m,求水面上涨的高度.
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高频考向探究
解:解法一:(1)方案 1 (5,0)
设抛物线的解析式为 y=a(x+5)(x-5).由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),
1
1
5
5
代入解析式可得:a=- ,∴抛物线的解析式为 y=- x(x-10).
答:当 AB 为 20 米时,活动区的面积最大,
中考数学总复习第三单元函数及其图像第13课时二次函数的图象与性质一课件
考点知识聚焦
(续表)
增减性
在对称轴的左侧,即当 x<-2������������时,y 随 x 的 增大而减小;在对称轴的右侧,即当 x>- ������
2������
在对称轴的左侧,即当 x<-2������������时,y 随 x 的 增大而增大;在对称轴的右侧,即当 x>- ������
2������
C.图象有最低点
D.图象的顶点坐标为(-1,2)
2.[2018·成都] 关于二次函数 y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( D )
A.图象与 y 轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在 y 轴的右侧
C.当 x<0 时,y 的值随 x 值的增大而减小
D.y 的最小值为-3
高频考向探究
探究二 二次函数的图象的平移
加下减”的平移原则,确定平移后的解析式.
高频考向探究
针对训练 1.[2017·湖北] 将抛物线 y=2(x-4)2-1 先向左平移 4 个单位长度,再向上 平移 2 个单位长度,平移后所得抛物线的解析式为 ( ) A.y=2x2+1 B.y=2x2-3 C.y=2(x-8)2+1 D.y=2(x-8)2-3
图 13-1
高频考向探究
探究一 二次函数的图象与性质
例 1 已知抛物线 y=12x2+x-52.
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标;
∵y=1x2+x-5=1(x2+2x)-5=1(x2+2x+1-1)-5=1(x2+2x+1)-1-5=1(x+1)2-3,∴抛物线的顶点坐标为(-1,-3).
2
22
中考数学基础复习第13课二次函数的图象与性质课件
【解析】(1)把点P(-2,3)代入y=x2+ax+3中, ∴a=2,∴y=x2+2x+3, ∴顶点坐标为(-1,2); (2)①当m=2时,n=11, ②点Q到y轴的距离小于2, ∴|m|<2,∴-2<m<2,∴2≤n<11.
变式1.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点. (1)求二次函数的表达式; (2)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值 大于二次函数的值.
【考点剖析】
考点1 二次函数表达式的确定
例1.已知抛物线y=- 1 x2+bx+c经过点(1,0), (0，3).
2
2
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=- 1 x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方
2
法及平移后的函数表达式.
【解析】(1)把(1,0), (0，3) 代入抛物线表达式得:
由图象得,当-1<x<4时一次函数的值大于二次函数的值.
变式2.如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4),B(6,0). (1)求a,b的值. (2)若C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),请写出 四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
∴对称轴x= 1 5=2,即 b b 2，
2
2a 2
∴b=-4.
y=x2-4x+1=x2-4x+4-3=(x-2)2-3.
∴抛物线顶点(2,-3).
备战 中考数学基础复习 第13课 二次函数的图象与性质课件ppt（40张ppt）
B.2个
C.3个
D.4个
变式1.(2020·遂宁)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直 线x=-1,下列结论不正确的是 ( C ) A.b2>4ac B.abc>0 C.a-c<0 D.am2+bm≥a-b(m为任意实数)
变式2.(2020·枣庄)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1.
第13课 二次函数的图象与性质
【知识清单】 一、二次函数的概念及其关系式 1.二次函数的概念:形如___y_=_a_x_2+_b_x_+_c___(a,b,c是常数,a≠0)的函数. 2.二次函数的解析式: (1)一般式:___y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(_a_≠__0_)___. (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是___(_h_,_k_)___. (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为抛物线与x轴两个交点的横 坐标.
5.(2020·宁波)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是 A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围. (2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应 的二次函数的表达式.
【解析】(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x-3, 得0=a+4-3,解得a=-1, ∴y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴A(2,1), ∵对称轴x=2,B,C关于x=2对称, ∴C(3,0),∴当y>0时,1<x<3. (2)∵D(0,-3), ∴点D平移到A,抛物线向右平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的表达 式为y=-(x-4)2+5.
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象与性质课件
解得a=-1.
∴ 抛物线的函数解析式为
y=-(x-1)2+4,
即y=-x2+2x+3.
3.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,
列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y甲
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项,列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y乙
…
-2
-1
2
7
14
…
通过上述信息,解决以下问题:
A.3
B.4
C.5
( C )
D.6
4.在抛物线y=-x2+2x-3中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是 ( B )
A.x<-1
B.x<1
C.x>1
D.x>-1
5.二次函数y=x2+b的图象经过点(1,4),则b的值是
经过点(-1,m),则m的值是
4
3
;若该二次函数图象还
.
6.写出抛物线y=2(x-1)2上一对对称点的坐标,这对对称点的坐标可以是
解得 a=1 是正确的.
根据乙同学提供的数据,选择 x=-1,y=-2;x=1,y=2 代入 y=x2+bx+c,
条件
设法
顶点在原点
y=ax2(a≠0)
顶点在y轴上
y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)
顶点在x轴上
y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)
中考数学总复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的综合与应用(考点突破)课件
难题，解此类题的关键是根据图形的特点，综合运用所 学知识如勾股定理、全等或相似(xiānɡ sì)三角形的性质等 建立等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数 的性质求解.
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第二页，共十六页。
考点 聚焦 (kǎo diǎn)
考点二 二次函数的实际(shíjì)应用
1.在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、 最大销量等问题. 解此类题的关键是根据题意确 定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实 际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因 此(yīncǐ)在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x的取值范围.
No 当每件的销售(xiāoshòu)价x为多少时，销售(xiāoshòu)该纪念品每天获得的利润y最大。单个商
品的利润×商品总件数=商品总获利。考点四：构建二次函数模型解决实际问题
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第十六页，共十六页。
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考点 聚焦 (kǎo diǎn)
考点二 二次函数(hánshù)的实际应用
2.利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际 问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面 直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析(jiě xī) 式，通过抛物线的解析(jiě xī)式可解决一些测量等问题.
4、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目 (tímù)分解开来，讨论过程中要思考全面.
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强化训练
考点(kǎo diǎn)一：二次函数的最值
D
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归纳(guīnà)拓展
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考点 聚焦 (kǎo diǎn)
考点二 二次函数的实际(shíjì)应用
1.在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、 最大销量等问题. 解此类题的关键是根据题意确 定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实 际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因 此(yīncǐ)在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x的取值范围.
No 当每件的销售(xiāoshòu)价x为多少时，销售(xiāoshòu)该纪念品每天获得的利润y最大。单个商
品的利润×商品总件数=商品总获利。考点四：构建二次函数模型解决实际问题
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考点 聚焦 (kǎo diǎn)
考点二 二次函数(hánshù)的实际应用
2.利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际 问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面 直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析(jiě xī) 式，通过抛物线的解析(jiě xī)式可解决一些测量等问题.
4、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目 (tímù)分解开来，讨论过程中要思考全面.
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强化训练
考点(kǎo diǎn)一：二次函数的最值
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归纳(guīnà)拓展