上海市复旦附中2018-2019学年高二上期末数学期末试卷
2018-2019学年复旦附中第一学期高二年级期末考试卷
一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1、抛物线24x y =，的准线方程是____.
答案：y=-1
2、若方程22
171
x y m m +=--表示椭圆，则实教m 的取值范围是_______. 答案：1<m<7且m ≠4
3、若直线1:2100l ax y +-=与直线()2:2350l x a y +++=平行，则1l 与2l 之间的距离为______.
答案：5根号5÷2
4、过点（3,3）作圆()()22
211x y -++=的切线，则切线所在直线的方程为__________. 答案：x=3或者y=15/8 x-21/8 5、若一条双曲线与2218
x y -=有共同渐近线，且与椭圆21202x y +=有相同的焦点，则此双曲线的方程为______.
答案：x^2÷16-y^2÷2=1
6、已知三角形ABC 的顶点()()3,0,3,0A B -，若顶点C 在抛物线26y x =上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为____________.
答案：y^2=2x x ≠0
7、设,P Q 分别为直线182x t y t =-⎧⎨=-
⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1:2x C y θθ
⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则|PQ 的取值范围是_______.
答案：[根号5÷5,11根号5÷5]
8、已知直线:4380l x y -+=，若P 是抛物线24y x =上的动点，则点P 到直线l 和它到y 铀的距离之和的最小值为_______
答案：7/5
9、如果M 为椭圆2211259x y C +=上的动点，N 为椭圆22
2:199
x y C +=上的动点，那么OM ON ⋅的最大值为_________.
答案：15
10、若关于x x a a =--有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________. 答案：（-根号2÷2,0.5]
11、已知直线:0l ax by +=与椭圆2
2
19y x +=交于,A B 两点，若()5,5C ，则CA CB ⋅的取值范围是_______. 答案：[40,50]
12、在平面直角坐标系中，已知圆222:C x y r +=与曲线x 交于两点,M N （M 在第一象限），与y 轴
正半轴交于P 点，若()0OT mOM m =>，点()7
,2Q -，则当m 和r 变化时，+TP NQ 的最小值为_________.
答案： 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13、方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（）
A 关于x 轴对称
B 关于y 轴对称 C.关于y x =轴对称 D 关于原点对称
答案：D
14、若点(),a b 是圆222x y r +=外一点，则直线2ax by r +=与圆的位置关系为（）
A 相离
B 相切
C 相交不过圆心
D 相交且过圆心
答案：A
15、已知R θ∈，由所有直线():2cos 1L x θ-=组成的集合记为M ，则下列命题中的假命题是（） A 存在一个圆与所有直线相交
B 存在一个圆与所有直线不相交
C 存在一个圆与所有直线相切
D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 答案：ACD
16、双曲线221x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若P 是双曲线左支上的一个动点，则12PF F ∆的内切圆的圆
心可能是（）
A.（-1,2）
B.1(1,)2-
C.1(,1)2-
D.（-2,1）
答案： 三、解答题（本大题共5题，共48分）
17、已知圆C 的圆心在直线80x y +-=，并且圆C 与直线1:221l y x =-和2:211l y x =-都相切.
（1）求圆C 的方程；
（2）若直线:2614l x ay a ax ++=+与圆C 有两个不同的交点MN 长的最小值.
答案：
18、在平面直角坐标系xoy 中，动圆M 圆心的轨迹为曲线C .
（1）如果直线l 过点（0，4）且和曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；
（2）已知不经过原点的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，判断命题“如果90AOB ∠=，那么直线l 经过点()4,0T ”是真命题还是假命题，并说明理由.
19、轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有,,A B C 三个无线电
发射台，其中A 在陆地上，B 在海上，
C 在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知,A B 两点距离10千米，C 是AB 的中点，海岸线与直线AB 的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晩
137500
秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C 点距离为4千米. （1）以点C 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置
（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？
答案：
20、已知椭圆C 的两个焦点分别为()()()12,0,,00F c F c c ->，短袖的两个端点分别为12,B B ，且112F B B ∆为等边三角形.
（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；
（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点,P Q 关于直线112
y x =+对称，求实数c 的取值范围；
（3）已知点()0,1M ，椭圆C 上两点,A B 满足2AM MB =，求点B 横坐标的取值范围.
21、已知12,F F 为双曲线()2
2
2:10y C x b b -=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的垂线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=.
（1）求双曲线C 的两条渐近线的夹角θ；
（2）过点2F 的直线l 和双曲线C 的右支交于,A B 两点，求1AF B ∆的面积最小值； 过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于12,Q Q 两点，求平行四边形12OQ QQ 的面积.
答案：（1）2arctan 二分之根号二 （2）。
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01时间：120分；满分：100分一、填空题（本大题共12题，共36分） 1、抛物线x y =2的准线方程是__________.2、若复数z 满足i x 232-=，其中i 为虚数单位，则=z ________.3、点()0,1p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为________.4、双曲线141222=-y x 的两条渐近线的夹角为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆13222=+my m x 的焦距为6，则=m _______. 6、已知复数θθcos sin 3i z +=（i 是虚数单位）且，5=z 则当θ为钝角时，=θtan ________. 7、若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是___. 8、设直线,3:,3:21x y l x y l -==点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，且2-=⋅OB OA ，其中O 为原点，则AB 的中点M 的轨迹方程为____________.9、已知椭圆()10122<<=+m y mx 上存在不同的两点B A ,关于直线1:+=x y l 对称，则m 的取值范围是________.10、双曲线2:22=-y x C 的右焦点为P F ，为其左支上任意一点，点A 的坐标为)1,1(-，则△APF 周长的最小值为________.11、椭圆134:221=+y x C ，抛物线x y C 4:22=，过抛物线2C 上一点P （异于原点O ）作不平行与x 轴的直线l ，使得直线l 与抛物线只有一个交点，且与椭圆1C 交于B A ,两点，则直线l 在x 轴上的截距的取值范围是_________.12、已知点n n B A ,在双曲线1=xy 上，且点n A 的横坐标为1+n n，点n B 的横坐标为()*1N n nn ∈+，记M 点的坐标为()1,1，()n n n y x P ,是△M B A n n 的外心，则=∞→n n x lim ________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 1、已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-z ，则（ ）A . i z 21+-=B . 5=z C. i z --=2 D . 2-z 是纯虚数2、下列以t 为参数方程所表示的曲线中，与1=xy 所表示的曲线完全一致的是（ ）A . ⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t x B . ⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 1 C . ⎩⎨⎧==t y t x sec cos D . ⎩⎨⎧==ty tx cot tan 3、设双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ，右焦点()20,=acc F ，，方程02=--c bx ax 的两个实数根分别为21,x x ，则点()21,x x P 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）A . 点P 在圆外B . 点P 在圆上C . 点P 在圆内D . 不确定4、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，对称轴与准线的交点为，T P 为抛物线C 上任意一点，当PTPF 取最小值时，∠=PTF （ ）A .3π B . 4π C . 5π D . 6π三、解答题（本大题共6题，共48分）1、（本题满分6分）若i z z z f 52)(-+=，i z f 36)(-=，试求z .2、（本题满分6分）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 6y x （θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 4131得到曲线C '. （1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点)3,1(D ，当点A 在曲线C '上运动时，若PD AP 2=，求P 点的轨迹方程.3、（本题满分7分）我边防局接到情报，在两个海标A 、B 所在直线的一侧M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速排出快艇前去搜捕. 如图，已知快艇出发位置在码头P 处，线段AB 布满暗礁，已知8=PA 公里，10=PB 公里， 60=∠APB ，且BM AM >.请建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线M A P →→或M B P →→的路程相等的点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形.4、（本题满分7分）已知关于x 的二次方程0)1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根，求实数a 的值及相应的实根.5、（本题满分10分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)21,26(P ，22=a c ，动点M 在直线2=x 上，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个值.6、（本题满分12分）如图，点)0,3(-H ，动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的非负半轴上，动点M满足0=⋅PM HP ，23-=，设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点)0,(m D （0>m ）的直线l与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）若点E 的坐标为)0,(m -，求证：BED AED ∠=∠；（3）是否存在实数a ，使得以AD 为直径的圆截直线a x l =':所得的弦长为定值？若存在， 求出实数a 的值；若不存在，说明理由.。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）抛物线x2＝4y的准线方程为．2．（3分）若方程表示椭圆，则实教m的取值范围是．3．（3分）若直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，则l1与l2之间的距离为．4．（3分）过点（3，3）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的切线，则切线所在直线的方程为．5．（3分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为．6．（3分）已知三角形ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，则三角形ABC的重心的轨迹方程为．7．（3分）设P，Q分别为直线（t为参数，t∈R）和曲线：（θ为参数，θ∈R）上的点，则||PQ|的取值范围是．8．（3分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，若P是抛物线y2＝4x上的动点，则点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值为9．（3分）如果M为椭圆：上的动点，N为椭圆：上的动点，那么的最大值为．10．（3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，若C（5，5），则的取值范围是．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2＝r2与曲线交于两点M，N（M 在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若＞，点Q（7，﹣2），则当m 和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）方程3x2﹣8xy+2y2＝0所表示的曲线的对称性是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y＝x轴对称D．关于原点对称14．（4分）已知点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，则直线ax+by＝r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心15．（4分）已知θ∈R，由所有直线L：x cosθ+（y﹣2）sinθ＝1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等16．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则△PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A．（﹣1，2）B．，C．，D．（﹣2，1）三、解答题（本大题共5题，共48分）17．已知圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，并且圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值．18．已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．（1）若a，求曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a＝1，是否存在一直线y＝kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．19．轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A，B，C三个无线电发射台，其中A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知A，B两点距离10千米，C是AB 的中点，海岸线与直线AB的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晩秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C点距离为4千米．（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），短袖的两个端点分别为B1，B2，且△F1B1B2为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C的方程；（2）如果在椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，求实数c的取值范围；（3）已知点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，求点B横坐标的取值范围．21．已知F1，F2为双曲线：＞的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．。
上海市复旦附中2018-2019学年上学期高二10月数学月考试题( 精品解析)
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n }中，已知a 15＝10，a 45＝90，a 60＝ ．2．（3分）在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，公比q ∈R ，且q ≠1，a n ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则＝3．（3分）＝4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝5．（3分）已知点P 分线段P 1P 2的比为﹣2，若P 1（1，2），P 2（3，﹣1），则点P 的坐标为 6．（3分）已知A （0，1）、B （1，0）、C （3，k ），若∠ABC 为钝角，则k 的取值范围为7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为 8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第 天，两马相逢．9．（3分）△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为10．（3分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝（﹣1）n ﹣1•n ，若对任意的正整数n ，有（a n +1﹣p ）（a n ﹣p ）＜0恒成立，则实数p 的取值范围是 ． 二.选择题11．（3分）在数列{a n }中，a n ＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k +1＝（ ）A ．a k +B ．a k +﹣C ．a k +D ．a k +﹣12．（3分）数列{a n }的通项公式是a n ＝，则此数列（ ） A ．有极限，其值是整数 B ．有极限，其值是分数C ．有两个极限D ．不存在13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝．24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n﹣1＝25．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：①当k＝时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝130．【分析】设公差为d，则d＝＝，而a60＝a45+（60﹣45）d，代入可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d＝＝，故a60＝a45+（60﹣45）d＝90+15×＝130，故答案为：130【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝11【分析】根据条件，即可得出：，从而得出n＝11．【解答】解：∵a1＝1，公比为q，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5；∴；∴n＝11．故答案为：11．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的通项公式．3．（3分）＝【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝（﹣）或（）【分析】运用向量的模长计算和单位向量的求法可解决此问题．【解答】解：根据题意得＝＝5∴同向单位向量＝（﹣3，4）＝（﹣，），同理反向单位向量（，﹣）故答案为（﹣，）或（，﹣）【点评】本题考查向量模长的运算和单位向量的求法．5．（3分）已知点P 分线段P 1P 2的比为﹣2，若P 1（1，2），P 2（3，﹣1），则点P 的坐标为 （5，﹣4） 【分析】直接利用分点坐标公式求出结果． 【解答】解：点P 分线段P 1P 2的比为﹣2， 所以λ＝﹣2．根据分点的坐标公式：x ＝＝，，所以：点P 的坐标为（5，﹣4）． 故答案为：（5，﹣4）．【点评】本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 6．（3分）已知A （0，1）、B （1，0）、C （3，k ），若∠ABC 为钝角，则k 的取值范围为 （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【分析】由题意算出＝（﹣1，1）且＝（2，k ）．根据∠ABC 为钝角，通过向量的数量积小于0，夹角不是180°，即可得到实数k 的取值范围．【解答】解：∵A （0，1）、B （1，0）、C （3，k ），∴＝（﹣1，1）且＝（2，k ）．∵∠ABC 为钝角，∴＜0且、不平行，可得，解之得k ＜2且k ≠﹣2．则k 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2） 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【点评】本题给出三点A 、B 、C 的坐标，在B 为锐角的情况下求参数k 的值．着重考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为【分析】根据题意即可得出（50+a ）2＝（100+a ）（20+a ），从而求出a ＝25，q ＝，这样对前n 项和S n 求n 趋向无穷大时的极限即可．【解答】解：根据题意，（50+a）2＝（100+a）（20+a）；解得a＝25；∴；∴．故答案为：．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的求法．8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第16天，两马相逢．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝193，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m＝193m++97m+＝290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣4800≥0，解得m≥，取m＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为﹣3【分析】因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径．又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴||＝2，所求投影为||cos150°＝﹣3．【解答】解：因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝4×＝2，向量在向量上的投影为：||cos（180°﹣30°）＝2×（﹣）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．，可得a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），对【分析】S n＝（﹣1）n﹣1•n，可得：a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n＝（﹣1）n﹣1•n，∴a1＝S1＝1．＝（﹣1）n﹣1•n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n＝1时也成立，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1∴a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣【分析】由已知中a n＝1﹣+﹣+…+﹣，我们依次给出a1，a2，…，a n，a k的表达式，分析变化规律，即可得到a k+1的表达式．【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，∴a1＝1﹣，a2＝1﹣+﹣，…，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，a k＝1﹣+﹣+…+﹣，所以，a k+1＝a k+﹣．故选：D．【点评】本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在【分析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…，可知数列是摆动数列，所以数列没有极限．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力；13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．【分析】根据投影的概念列式：＝﹣可求得．【解答】解：依题意得：＝﹣，∴•＝﹣×3＝﹣故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．【分析】（1）根据条件即可求出，从而可求出，从而得出；（2）根据（3）⊥（k）即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值．【解答】解：（1）||＝1，||＝2，且与的夹角为120°；∴；∴＝9+12+16＝37；∴；（2）∵；∴；解得．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量长度的求法．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；（2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）；∵A、B、C三点共线；∴共线；∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0；∴；（2）根据题意，；∴；解得；∴，且；∴；∴．【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n ﹣5a n ﹣85，n ∈N * （1）证明：{a n ﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n }的通项公式．请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）【分析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85，求出a 1﹣1＝﹣15，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，从而6a n ＝5a n ﹣1+1，由此能证明{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．（2）由a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，得S n ＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由此能求出n ＝15时，S n 取得最小值． 【解答】证明：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85， 解得a 1＝﹣14，则a 1﹣1＝﹣15．∵当n ≥2时，S n ﹣1＝（n ﹣1）﹣5a n ﹣1﹣85， ∴a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，∴6a n ＝5a n ﹣1+1，即a n ﹣1＝（a n ﹣1﹣1），∴{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．解：（2）∵a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，∴S n ＝n ﹣5[1﹣15•（）n ﹣1]﹣85＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由a n ＝1﹣15•（）n ﹣1＞0，即15•（）n ﹣1＜1，解得n ＞log +1≈15.85．∴当n ≤15时，a n ＜0；当n ≥16时，a n ＞0． 故n ＝15时，S n 取得最小值．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n 项和的求法，考查前n 项和取最小值时项数n 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2＝a n （S n ﹣） （1）求S n 的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．【分析】（1）因为n≥2，由s n﹣s n＝a n，代入已知等式中求出s n，然后利用做差法得出为等差数列即可﹣1求出通项公式，化简可得s n；（2）要求T n的极限，先要求出T n的通项公式而T n为数列{b n}的前n项和，所以先求b n的通项，可利用第一问中s n的通项代入到b n＝中，化简得出b n后，利用做差法得到T n，求出极限即可．【解答】解：（1）n≥2，s n2＝（s n﹣s n）（s n﹣）﹣1∴s n＝即﹣＝2（n≥2）∴＝2n﹣1故s n＝（2）b n＝＝＝（﹣）T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）∴T n＝【点评】此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．【分析】（1）由题意知．（2），，，用错位相减法可以求出．（3），由此能够求出当n≥6时，．【解答】解：（1）；即；（2），，，两式相减，得，所以，；（3），当n≥6时，2n＝（1+1）n＝∁n0+∁n1+∁n2++∁n n﹣2+∁n n﹣1+∁n n≥2+2n+n（n﹣1）+≥2+2n+n2﹣n+n＞n2+2n，所以，当n≥6时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0]．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），∴•＝﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示以及应用问题，也考查了函数的最值问题，是基础题目．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为3．【分析】由题意，，从而化简可得（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），从而可得＝3，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：，，∵M，N，G三点共线，∴＝x，∴﹣＝x（﹣），∵点G是△ABC的重心，∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），∴，解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），故λ+4μ的最小值为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．【分析】由＝++，得出++＝，P是△ABC的重心，判断①错误；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），＝（+），判断③正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），•＝0，判断④正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且＝λ（+），⊥，判断⑤正确．【解答】解：对于①，动点P满足＝++，∴＝+，∴++＝，∴P是△ABC的重心，∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；对于②，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+）；过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B＝|sin C＝AD，∴＝（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），∴•＝λ（+）＝λ（||﹣||）＝0，∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；对于⑤，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），设＝，则E为BC的中点，则＝λ（+），由④知（+）•＝0，得•＝0，∴⊥；∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．故正确的命题是②③④⑤．故答案为：②③④⑤．【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝．【分析】由，求出a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n ﹣1+a 2n ，然后求得极限．【解答】解：由，得（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键．24．（3分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，对任意n ∈N *，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b 2n ﹣1＝ （3n ﹣1）（3n ﹣2）【分析】根据题意，由根与系数的关系分析可得a n +a n +1＝3n ，变形可得a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），两式相减可得a n +1﹣a n ﹣1＝3，分析求出a 2的值，据此可得数列{a n }的通项公式，再结合根与系数的关系可得b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ，计算可得答案．【解答】解：根据题意，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根， 则a n +a n +1＝3n ，①则有a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），② ①﹣②可得：a n +1﹣a n ﹣1＝3，且当n ＝1时，有a 1+a 2＝3，又由a 1＝1，则a 2＝2，则a n ＝，又由a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ＝[]×[﹣1]＝（3n ﹣1）（3n ﹣2）；故答案为：（3n ﹣1）（3n ﹣2）．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n }的通项公式，属于基础题． 25．（3分）已知数列{a n }满足a n ＝nk n （n ∈N *，0＜k ＜1），下面命题： ①当k ＝时，数列{a n }为递减数列；②当＜k ＜1时，数列{a n }不一定有最大项；③当0＜k ＜时，数列{a n }为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是③④．【分析】①当时，作差a n﹣a n+1═≥0，n＝1时取等号，a1＝a2，即可判断出单调性．②当时，作商＝，由于＜＜1+＜2k，即可判断出结论．③当时，作商，即可得出数列{a n}的单调性．④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，因此数列{a n}必有两项相等的最大项．【解答】解：①当时，a n＝n，则a n﹣a n+1═n﹣（n+1）＝≥0，n ＝1时取等号，因此数列{a n}不是递减数列，不正确；②当时，＝＝，∵＜＜1+＜2k，∴因此数列{a n}一定有最大项，不正确；③当时，＝＝≤1，∴a n＞a n+1，因此数列{a n}是递减数列，正确；④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，∴数列{a n}必有两项相等的最大项，正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018-2019学年高二(上)期末数学试卷2带答案
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷2带答案一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．715．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．816．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【分析】根据所给的直线3x﹣4y﹣5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tanα=，α∈[0，π]，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα=，α∈[0，π]，∴α=arctan，故答案为：arctan．【点评】本题考查反三角函数的应用及直线的倾斜角与斜率的关系，本题解题的关键是理解反三角函数的值域和倾斜角的范围，本题是一个基础题．2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）．【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与单位向量的应用问题，是基础题目．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【分析】由题意可知求得A12=﹣=k+4，代入即可求得k的值．【解答】解：由题意可知：设A=，元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．【点评】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义及行列式的运算，考察计算能力，属于基础题．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y﹣5）2=17．【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式和两点间距离公式的合理运用．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线、圆的性质的合理运用．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为π﹣A．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的夹角，余弦定理，属于基础题．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法法则，是基础题．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=4．【分析】Rt△PF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，△PF1F2面积为16，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，∴mn=32∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，∴b2=c2﹣a2=16，∴b=4．故答案为：4．【点评】本题给出双曲线的焦点三角形为直角三角形及它的面积，着重考查了勾股定理、双曲线的定义和简单几何性质等知识．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x=a+1，2y=b，∴a=2x﹣1，b=2y，∵b2=4a，∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．故答案为：y2=2x﹣1．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定坐标之间的关系是关键．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案．【解答】解：由⇔a1 b2≠a2 b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组有唯一解，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了直线之间的位置关系，是一道基础题．14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．15．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得﹣＞0，即可判断出焦点的位置．【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…（3分）解得或，…（5分）故或．…（6分）（2）∵，∴，即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）【点评】本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即x=﹣2，或x+y﹣1=0．如图：【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，用点斜式求直线的方程，属于基础题．19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b，解得b，进而得到椭圆方程；（2）由题意写出A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交=|OA|•|y B﹣y C|，代入数值即可求得面积．点C、B的纵坐标，S△ABC【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，=|OA|•|y B﹣y C|=×2=6，∴S△ABC△ABC的面积为6．【点评】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系、三角形面积公式，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．【分析】（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；（2）设点P的坐标，根据∠F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．【点评】本题考查了双曲线的标准方程的求法问题，也考查了圆与圆、圆与双曲线的位置关系，是综合性题目．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．【点评】本题考查曲线的外确界与内确界的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，理解题意是关键，注意函数与方程思想的合理运用，属难题．。
复旦附中高二期末(2018.06)
复旦附中高二期末数学试卷2018.06一. 填空题1. 已知,{0,1,2,3}a b ∈，则不同的复数z a bi =+的个数是2. 一个竖直平面内的多边形，用斜二侧画法得到的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是3. 若2018220180122018(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0122018||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=4. 在9()2ax x -的展开式中，3x 的系数为94，则常数a = 5. 已知球的体积是V ，则此球的内接正方体的体积为6. 点(1,2,1)A 、(3,3,2)B 、(1,4,3)C λ+，若AB u u u r 、AC uuu r 的夹角为锐角，则λ的取值范围为7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比值是8. 正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A 、B 、C 、D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为9. 从集合{1,2,,30}⋅⋅⋅中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是10. 在正三棱锥P -ABC 中，2PA =，1AB =，记二面角P -AB -C 、A -PC -B 的平面角依次为 α、β，则23sin 2cos αβ-=11. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线4PA =，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且AB ⊥OB ，C 为P A 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当三棱锥O -PCD 的体积最大时，OB =12. 已知数列{}n a ，令k b 为1a 、2a 、…、k a 中的最大值()k ∈*N ，则称数列{}n b 为“控制 数列”，数列{}n b 中不同数的个数称为“控制数列”{}n b 的“阶数”，例如：{}n a 为1、3、 5、4、2，则“控制数列”{}n b 为1、3、5、5、5，其“阶数”为3，若数列{}n a 为1、2、3、 4、5、6构成，则能构成“控制数列”{}n b 的“阶数”为2的所有数列{}n a 的首项和是二. 选择题13. 在20183(23)x +的展开式中，系数为有理数的项数为（ ）A. 336项B. 337项C. 338项D. 1009项14. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（ ）A. 42B. 93+C. 33+D. 32 15. 定义“创新01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意12k m ≤≤，1a 、2a 、…、k a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“创新01数列”{}n a 的个数为（ ）A. 12个B. 14个C. 16个D. 18个16. 已知椭圆方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满 足5022.5y x y x ≥-⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩的平面区域绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（ ）A. 21V V =B. 2132V V =C. 2154V V = D. 21,V V 无明确大小关系三. 解答题 17. 已知空间向量a r 与b r 的夹角为66，且||2a =r ||3b =r ， 令m a b =-u r r r ，2n a b =+r r r .（1）求a r 、b r 为邻边的平行四边形的面积S ；（2）求m u r 与n r 的夹角θ.18. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？（1）3名女生排在一起；（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；（4）每两名女生间至少有两名男生；（5）3名女生中，A 、B 要相邻，A 、C 不相邻.19. 在正四棱锥P -ABCD 中，正方形ABCD 的边长为32，高6OP =，E 是侧棱PD 上的 点且3PD PE =，F 是侧棱P A 上的点且2PA PF =，G 是 PBC 的重心，如图建立空间直 角坐标系.（1）求平面EFG 的一个法向量；（2）求直线AG 与平面EFG 所成角的大小；（3）求点A 到平面EFG 的距离.20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正 方形， ADE 是等腰直角三角形且∠AED 为直角，EF ⊥平面ADE 且1EF =.（1）求异面直线AE 和DF 所成角的大小；（2）求二面角B -DF -C 的平面角的大小.21. 已知p 、0q >，在()m px q +()m ∈*N 的二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，将m 的所有可能值从小到大排列构成数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项n a ()n ∈*N ；（2）若在2()a px q +的二项展开式中，当且仅当第10项的系数最大，求q p的取值范围.参考答案一. 填空题1. 162.3. 201834. 45.6. (2,4)(4,)-+∞U7.212ππ+ 8. 3+ 9. 98 10. 2 11. 12. 1044 二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. C三. 解答题17.（1）S =（2）θπ=-. 18.（1）63634320P P =；（2）456786720⨯⨯⨯⨯=；（3）35452880P P =；（4）122323542523(22)2880P P P P P P ⨯+⨯=；（5）152256526528640P P P P P ⨯+=.19.（1）(0,1,1)；（2）；（3. 20.（1）2π；（2）3π. 21.（1）242n a n n =++，n ∈*N ；（2）(0,10).。
上海市复旦附中2018-2019学年上学期高二10月数学月考试题( 解析版)
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝3．（3分）＝4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝．24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n＝﹣125．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：①当k＝时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝130．【分析】设公差为d，则d＝＝，而a60＝a45+（60﹣45）d，代入可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d＝＝，故a60＝a45+（60﹣45）d＝90+15×＝130，故答案为：130【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝11【分析】根据条件，即可得出：，从而得出n＝11．【解答】解：∵a1＝1，公比为q，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5；∴；∴n＝11．故答案为：11．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的通项公式．3．（3分）＝【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝（﹣）或（）【分析】运用向量的模长计算和单位向量的求法可解决此问题．【解答】解：根据题意得＝＝5∴同向单位向量＝（﹣3，4）＝（﹣，），同理反向单位向量（，﹣）故答案为（﹣，）或（，﹣）【点评】本题考查向量模长的运算和单位向量的求法．5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为（5，﹣4）【分析】直接利用分点坐标公式求出结果．【解答】解：点P分线段P1P2的比为﹣2，所以λ＝﹣2．根据分点的坐标公式：x＝＝，，所以：点P的坐标为（5，﹣4）．故答案为：（5，﹣4）．【点评】本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【分析】由题意算出＝（﹣1，1）且＝（2，k）．根据∠ABC为钝角，通过向量的数量积小于0，夹角不是180°，即可得到实数k的取值范围．【解答】解：∵A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），∴＝（﹣1，1）且＝（2，k）．∵∠ABC为钝角，∴＜0且、不平行，可得，解之得k＜2且k≠﹣2．则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【点评】本题给出三点A、B、C的坐标，在B为锐角的情况下求参数k的值．着重考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为【分析】根据题意即可得出（50+a）2＝（100+a）（20+a），从而求出a＝25，q＝，这样对前n项和S n求n趋向无穷大时的极限即可．【解答】解：根据题意，（50+a）2＝（100+a）（20+a）；解得a＝25；∴；∴．故答案为：．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的求法．8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第16天，两马相逢．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝193，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m＝193m++97m+＝290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣4800≥0，解得m≥，取m＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为﹣3【分析】因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径．又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴||＝2，所求投影为||cos150°＝﹣3．【解答】解：因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝4×＝2，向量在向量上的投影为：||cos（180°﹣30°）＝2×（﹣）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．【分析】S n＝（﹣1）n﹣1•n，可得：a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n，可得a n＝（﹣﹣1 1）n﹣1（2n﹣1），对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n＝（﹣1）n﹣1•n，∴a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝（﹣1）n﹣1•n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），﹣1当n＝1时也成立，∴a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣【分析】由已知中a n＝1﹣+﹣+…+﹣，我们依次给出a1，a2，…，a n，a k的表达式，分析变化规律，即可得到a k+1的表达式．【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，∴a1＝1﹣，a2＝1﹣+﹣，…，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，a k＝1﹣+﹣+…+﹣，所以，a k+1＝a k+﹣．故选：D．【点评】本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n 项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在【分析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…，可知数列是摆动数列，所以数列没有极限．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力；13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．【分析】根据投影的概念列式：＝﹣可求得．【解答】解：依题意得：＝﹣，∴•＝﹣×3＝﹣故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．【分析】（1）根据条件即可求出，从而可求出，从而得出；（2）根据（3）⊥（k）即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值．【解答】解：（1）||＝1，||＝2，且与的夹角为120°；∴；∴＝9+12+16＝37；∴；（2）∵；∴；解得．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量长度的求法．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；（2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）；∵A、B、C三点共线；∴共线；∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0；∴；（2）根据题意，；∴；解得；∴，且；∴；∴．【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n }的通项公式．请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）【分析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85，求出a 1﹣1＝﹣15，当n ≥2时，a n ＝S n﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，从而6a n ＝5a n ﹣1+1，由此能证明{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．（2）由a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，得S n ＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由此能求出n ＝15时，S n 取得最小值．【解答】证明：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85， 解得a 1＝﹣14，则a 1﹣1＝﹣15．∵当n ≥2时，S n ﹣1＝（n ﹣1）﹣5a n ﹣1﹣85， ∴a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，∴6a n ＝5a n ﹣1+1，即a n ﹣1＝（a n ﹣1﹣1），∴{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．解：（2）∵a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，∴S n ＝n ﹣5[1﹣15•（）n ﹣1]﹣85＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由a n ＝1﹣15•（）n ﹣1＞0，即15•（）n ﹣1＜1，解得n ＞log +1≈15.85．∴当n ≤15时，a n ＜0；当n ≥16时，a n ＞0． 故n ＝15时，S n 取得最小值．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n 项和的求法，考查前n 项和取最小值时项数n 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2＝a n （S n ﹣） （1）求S n 的表达式；（2）设b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，求．【分析】（1）因为n ≥2，由s n ﹣s n ﹣1＝a n ，代入已知等式中求出s n ，然后利用做差法得出为等差数列即可求出通项公式，化简可得s n ；（2）要求T n 的极限，先要求出T n的通项公式而T n为数列{b n}的前n项和，所以先求b n的通项，可利用第一问中s n的通项代入到b n＝中，化简得出b n后，利用做差法得到T n，求出极限即可．）（s n﹣）【解答】解：（1）n≥2，s n2＝（s n﹣s n﹣1∴s n＝即﹣＝2（n≥2）∴＝2n﹣1故s n＝（2）b n＝＝＝（﹣）T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）∴T n＝【点评】此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．【分析】（1）由题意知．（2），，，用错位相减法可以求出．（3），由此能够求出当n≥6时，．【解答】解：（1）；即；（2），，，两式相减，得，所以，；（3），当n≥6时，2n＝（1+1）n＝∁n0+∁n1+∁n2++∁n n﹣2+∁n n﹣1+∁n n≥2+2n+n（n﹣1）+≥2+2n+n2﹣n+n＞n2+2n，所以，当n≥6时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0]．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），∴•＝﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示以及应用问题，也考查了函数的最值问题，是基础题目．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为3．【分析】由题意，，从而化简可得（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），从而可得＝3，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：，，∵M，N，G三点共线，∴＝x，∴﹣＝x（﹣），∵点G是△ABC的重心，∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），∴，解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），故λ+4μ的最小值为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．【分析】由＝++，得出++＝，P是△ABC的重心，判断①错误；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），＝（+），判断③正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），•＝0，判断④正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且＝λ（+），⊥，判断⑤正确．【解答】解：对于①，动点P满足＝++，∴＝+，∴++＝，∴P是△ABC的重心，∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；对于②，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+）；过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B＝|sin C＝AD，∴＝（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），∴•＝λ（+）＝λ（||﹣||）＝0，∴⊥，∴△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足＝+λ（+）（λ＞0），设＝，则E 为BC 的中点，则＝λ（+），由④知（+）•＝0，得•＝0，∴⊥；∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线； ∴△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确． 故正确的命题是②③④⑤． 故答案为：②③④⑤．【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．23．（3分）数列{a n }中，若a 1＝1，（n ∈N *），则＝．【分析】由，求出a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n ﹣1+a 2n ，然后求得极限．【解答】解：由，得（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键． 24．（3分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，对任意n ∈N *，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b 2n ﹣1＝ （3n ﹣1）（3n ﹣2）【分析】根据题意，由根与系数的关系分析可得a n +a n +1＝3n ，变形可得a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），两式相减可得a n +1﹣a n ﹣1＝3，分析求出a 2的值，据此可得数列{a n }的通项公式，再结合根与系数的关系可得b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根， 则a n +a n +1＝3n ，①则有a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），② ①﹣②可得：a n +1﹣a n ﹣1＝3，且当n ＝1时，有a 1+a 2＝3，又由a 1＝1，则a 2＝2，则a n ＝，又由a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ＝[]×[﹣1]＝（3n ﹣1）（3n ﹣2）；故答案为：（3n ﹣1）（3n ﹣2）．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n }的通项公式，属于基础题．25．（3分）已知数列{a n }满足a n ＝nk n （n ∈N *，0＜k ＜1），下面命题：①当k ＝时，数列{a n }为递减数列；②当＜k ＜1时，数列{a n }不一定有最大项；③当0＜k ＜时，数列{a n }为递减数列；④当为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是 ③④ ．【分析】①当时，作差a n ﹣a n +1═≥0，n ＝1时取等号，a 1＝a 2，即可判断出单调性．②当时，作商＝，由于＜＜1+＜2k ，即可判断出结论．③当时，作商，即可得出数列{a n }的单调性．④当为正整数时，＝＝＝1，当k ＝时，因此数列{a n }必有两项相等的最大项．【解答】解：①当时，a n ＝n，则a n ﹣a n +1═n﹣（n +1）＝≥0，n＝1时取等号，因此数列{a n}不是递减数列，不正确；②当时，＝＝，∵＜＜1+＜2k，∴因此数列{a n}一定有最大项，不正确；③当时，＝＝≤1，∴a n＞a n+1，因此数列{a n}是递减数列，正确；④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，∴数列{a n}必有两项相等的最大项，正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
(精品)上海市2019年高二上学期期末数学试卷-版含解析
上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|?|MQ|=2，求点M的轨迹方程．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是y2=﹣x或x2=y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将（﹣2，3），代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），∴9=4p解得：2p=，∴y2=﹣x；（2）对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），抛物线的方程为x2=2py（p＞0），∴4=6p，得：2p=，∴抛物线的方程为：x2=y．所以所求抛物线的标准方程为：y2=﹣x或x2=y．故答案为：y2=﹣x或x2=y．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】将圆化成标准方程，得（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0，可化为（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1．∵方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0表示圆，∴k+1＞0，解之得k＞﹣1．又∵过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，∴点P（2，2）在圆外，可得（2﹣k）2+（2﹣1）2＞k+1，解之得k＜1或k＞4综上所述，可得k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞），故答案为（﹣1，1）∪（4，+∞）．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是x2+（y﹣1）2=1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数平方关系，可得结论．【解答】解：由题意，消去参数θ，可得普通方程是x2+（y﹣1）2=1，故答案为x2+（y﹣1）2=1．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．再由余弦定理，计算即可得到所求最大角．【解答】解：椭圆的a=3，b=1，c==2，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．则cos∠F1MF2===﹣，可得∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．故答案为：π﹣arccos．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是[﹣6，6] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，根据图象可知数a的取值范围．【解答】解：∵椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，|x|≤5，|y|≤4，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．∴若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，则实数a的取值范围|a|≤6；故答案为：[﹣6，6]．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x（x＞0）或y=0（x＜0）．【考点】轨迹方程；抛物线的定义．【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴．【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x，若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0，x≤0，故答案为y2=8x，或y=0，x≤0．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）（0，±）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，即可求得c．【解答】解；双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，根据双曲线方程可知c==，∴双曲线焦点坐标为（0，±）故答案为（0，±）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为﹣2．【考点】圆的标准方程．【分析】假设点P的坐标为（﹣1+cosα，sinα），利用三角函数，可求最值．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2=1，设P（﹣1+cosα，sinα），则2x+3y=2cosα+3sinα﹣2=cos（α+θ）﹣2∴2x+3y的最大值为：﹣2．故答案为：﹣2．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0，1）；一是直线与圆相切，分别求出m的值，即可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a的范围．【解答】解：分两种情况：当直线过（0，1）时，将x=0，y=1代入得：a=；当直线与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离d==r=1，解得：a=2或﹣2（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（，2）．故答案为（，2）．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=?丨MN丨?d．【解答】解：由题意可知：椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=﹣，丨MN丨=?=?=，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=?丨MN丨?d=××=，∴△MBN的面积为，故答案为：．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，可得结论．【解答】解：抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，即的最小值是3﹣1=2，故答案为2．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，利用直线系的性质可得：直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a．【解答】解：直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，令，解得x=1，y=2，因此直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a=8．故答案为：8．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点．【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．【解答】解：若a=1，b=﹣1，c=0，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a，b异号，是必要条件，故ab＜0是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件，故选：C．15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，可得结论．【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，∴过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有2条．故选：B．16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定【考点】轨迹方程．【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF1﹣PF2=F1Q﹣F2Q=2a，F1Q+F2Q=F1F2解出OQ，可得结论．【解答】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a=4．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F1Q=a+c，F2Q=c﹣a，∴OQ=F1F2﹣QF2=c﹣（c﹣a）=a．∴△F1PF2内切圆与x轴的切点坐标为（a，0），∴当P变化时，I的轨迹为直线的一部分．故选C．三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1①因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（+）=1②因为x1+x2=k，x1x2=﹣，代入②得k=1．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|?|MQ|=2，求点M的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．可得y1=x1+t，y2=x2+t，t=n ﹣m．直线方程与椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t2﹣4=0，|MP|==，同理可得：|MQ|=．利用|MP|?|MQ|=2，代入化简即可得出．【解答】解：设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．则y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．联立，化为：3x2+4tx+2t2﹣4=0，△=16t2﹣12（2t2﹣4）＞0，解得：t2＜6．∴x1+x2=﹣，．|MP|==，同理可得：|MQ|=．∵|MP|?|MQ|=2，∴1=|（x1﹣m）（x2﹣m）|=，∴m2+2n2=1或7．∴点M的轨迹为椭圆，其方程为m2+2n2=1或7．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为﹣，代入求得AB中点M（x0，y0），横坐标和纵坐标与m的关系，代入x2+2y2＜1，即可求得b的取值范围．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=1，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+b对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为﹣则x12+2y12=1，①x22+2y22=1，②①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0?（x1﹣x2）+2?2y0?（y1﹣y2）=0，∴=﹣?=﹣．∴y0=x0，代入直线方程y=4x+b得x0=﹣b，y0=﹣b；∵（x0，y0）在椭圆内部，∴+2×＜1，即6b2＜49，解得﹣＜b＜．实数b的取值范围（﹣，）．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，设双曲线方程﹣y2=λ，λ≠0，由定点A（50）到双曲线C上的动点P的最小距离为，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得λ，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线C的一条渐近线L的方程为x±2y=0，∴设双曲线方程为﹣y2=λ，λ≠0设P（m，n），则m2﹣4n2=4λ，点A（5，0）到双曲线上动点P的距离为：===，当m=4时，上式取得最小值，由题意可得=，解得λ＝﹣1．则双曲线C的方程为y2﹣=1．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之差4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得．（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意，﹣=4＜2m，∴动点M的轨迹是以（﹣m，0），（m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥2）；（2）由直线L：与点M的轨迹方程，联立可得（m2﹣5）x2+12x﹣36﹣4（m2﹣4）=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵，∴x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=，∴x1x2﹣2（x1+x2）+16=，∴m2=9，m=±3，∵m≥2，∴m=3检验m=3时x1+x2=﹣3＜0，所以不存在m．。
2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)_2
2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知命题，下列命题中正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：命题，使的否定为,使，故选C．考点：特称命题的否定．2.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线，开口向右且焦点在轴上，坐标为.故选A.3.“a>1”是“<1”的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.4. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】试题分析：由已知中△ABC三个顶点为A（3，3，2），B （4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.考点：空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．5.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项．【详解】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选：C．【点睛】本题考查共线向量与共面向量，考查学生分析问题，解决问题的能力，是基础题．6.如图所示，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的加法、减法的几何意义，可以把用已知的一组基底表示.详解】.【点睛】本题考查了空间向量用一组已知基底进行表示.7.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A. （x≠0）B. （x≠0）C. （x≠0）D. （x≠0）【答案】B【解析】由于，所以到的距离之和为，满足椭圆的定义，其中，由于焦点在轴上，故选.点睛：本题主要考查椭圆的定义和标准方程. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解. 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．【详解】抛物线中，，∴，故选B．【点睛】是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．9.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解.【详解】解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知即解得＜k＜－1.答案：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.10.试在抛物线上求一点，使其到焦点距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时．故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．11.在长方体中，如果，，那么到直线的距离为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得：连接，AC，过A作，根据长方体得性质可得：平面ABCD，即可得到，，再根据等面积可得答案．【详解】由题意可得：连接，AC，过A作，如图所示：根据长方体得性质可得：平面ABCD．因为，，所以，，根据等面积可得：．故选：C．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．.12.已知点分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在方程中，令，可得，∴．∵△ABF2为正三角形，∴，即，∴，∴，整理得，∴，解得或（舍去）．选D．点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求的值，由直接求．(2)列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．第Ⅱ卷(主观题共90分)二、填空题(每题5分，共20分，将答案写在答题纸上)13. 已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.【答案】2．【解析】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．考点：空间三点共线．14.已知抛物线型拱桥的顶点距水面米时，量得水面宽为米．则水面升高米后，水面宽是____________米（精确到米）．【答案】【解析】试题分析：设抛物线方程为，当x=0时 c=2，当x=-4和x=4时y=0，求得， b=0，则，令y=1，得，所以水面宽.考点：抛物线方程.15.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；③是的充要条件；④“”是“”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________.【答案】③④【解析】对于①，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；对于②，若，则，有，则三个角成等差数列，反之若三个角成等差数列，有，又由，则，故在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③，当，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；对于④，若，当时，有，则“”是“”的不必要条件，④错误，故答案为③④.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.已知命题有两个不相等的负根，命题无实根，若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据命题和的真假性，逐个判断.【详解】因为假，并且为真，故假，而真即不存在两个不等的负根，且无实根.所以，即，当时，不存在两个不等的负根，当时，存在两个不等的负根.所以的取值范围是【点睛】此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于基础题.18.已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6。
复旦附中2018-2019学年第一学期高二年级期末考试卷2019.01 (1)
复旦附中2018-2019学年第一学期高二年级期末考试卷2019.01 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1、抛物线y x 42=的准线方程是_________.2、若方程11722=-+-m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是_________. 3、若直线0102:1=-+y ax l 与直线()0532:2=+++y a x l 平行，则1l 与2l 之间的距离为_________.4、过点()3,3作圆()()11222=++-y x 的切线，则切线所在直线的方程为_________.5、若一条双曲线与1822=-y x 有共同渐近线，且与椭圆12202=+y x 有相同的焦点，则此双曲线的方程为_________.6、已知三角形ABC 的顶点()03，-A ,()0,3B ，若顶点C 在抛物线x y 62=上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为___________.7、设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-=-=t y t x 281（t 为参数，R t ∈）和曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 52cos 51y x C ：（θ为参数，R ∈θ）上的点，则PQ 的取值范围是_________.8、已知直线,0834:=+-y x l 若P 是抛物线x y 42=上的动点，则点P 到直线l 和它到y 轴的距离之和的最小值为_________.9、如果M 为椭圆1925221=+y x C ：上的动点，N 为椭圆199:222=+y x C 上的动点，那么⋅的最大值为_________.10、若关于x 的方程a a x x --=2-1有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________.11、已知直线0=+by ax l ：与椭圆1922=+y x 交于B A ,两点，若()，5,5C 则→→⋅CB CA 的取值范围是_________.12、在平面直角坐标系中，已知圆222r y x C =+：与曲线y x 3=交于两点N M ,（M 在第一象限），与y 轴正半轴交于P 点，若(),0>=→→m OM m OT 点)2,7(-Q ，则当m 和r 变化时，NQ TP +的最小值为_________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13、方程028322=+-y xy x 所表示的曲线的对称性是（ ）A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于x y =轴对称D 关于原点对称 14、若点()b a ,是圆222r y x =+外一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系为（ ） A 相离 B 相切 C 相交不过圆心 D 相交且过圆心15、已知，R ∈θ由所有直线()1cos 2:=-θx L 组成的集合记为M ，则下列命题中的假命题是（ ）A 存在一个圆与所有直线相交B 存在一个圆与所有直线不相交C 存在一个圆与所有直线相切D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等16、双曲线122=-y x 的左右焦点分别为21,F F ,若P 是双曲线左支上的一个动点，则△21F PF 的内切圆的圆心可能是（ ）A )2,1(-B )21,1(- C )1,21(- D )1,2(-三、解答题（本大题共5题，共48分）17、已知圆C 的圆心在直线08=-+y x 上，并且圆C 与直线212:1-=x y l 和112:2-=x y l 都相切.（1）求圆C 的方程；（2）若直线1462:+=++ax a ay x l 与圆C 有两个不同的交点MN 长的最小值.18、在平面直角坐标系xoy 中，动圆M 圆心的轨迹为曲线C .（1）如果直线l 过点()4,0且和曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）已知不经过原点的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，判断命题“如果∠︒=90AOB ，那么直线l 经过点()0,4T ”是真命题还是假命题，并说明理由.19、轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有C B A ,,三个无线电发射台，其中A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知B A ，两点距离10千米，C 是AB 的中点，海岸线与直线AB 的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚375001秒（注：无线电信号每秒传播5103⨯千米），在某时刻，测得轮船距离C 点距离为4千米.（1）以点C 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置 （2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20、已知椭圆C 的两个焦点分别为()()(),00,,0,21>-c c F c F 短袖的两个端点分别为,,21B B 且△211B B F 为等边三角形.（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点Q P ,关于直线121+=x y 对称，求实数c 的取值范围； （3）已知点()，1,0M 椭圆C 上两点B A ,满足2=，求点B 横坐标的取值范围. 21、已知21,F F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左,右焦点，过2F 作垂直于x 轴的垂线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠ 3021=F MF . （1）求双曲线C 的两条渐近线的夹角θ；（2）过点2F 的直线l 和双曲线C 的右支交于B A ,两点，求△B AF 1的面积最小值；过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于21Q Q ，两点，求平行四边形21QQ OQ 的面积.。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）抛物线x2＝4y的准线方程为．2．（3分）若方程表示椭圆，则实教m的取值范围是．3．（3分）若直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，则l1与l2之间的距离为．4．（3分）过点（3，3）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的切线，则切线所在直线的方程为．5．（3分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为．6．（3分）已知三角形ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，则三角形ABC的重心的轨迹方程为．7．（3分）设P，Q分别为直线（t为参数，t∈R）和曲线（θ为参数，θ∈R）上的点，则||PQ|的取值范围是．8．（3分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，若P是抛物线y2＝4x上的动点，则点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值为9．（3分）如果M为椭圆上的动点，N为圆上的动点，那么的最大值为．10．（3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，若C（5，5），则的取值范围是．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2＝r2与曲线交于两点M，N（M 在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若，点Q（7，﹣2），则当m和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）方程3x2﹣8xy+2y2＝0所表示的曲线的对称性是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y＝x轴对称D．关于原点对称14．（4分）已知点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，则直线ax+by＝r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心15．（4分）已知θ∈R，由所有直线L：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等16．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则△PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A．（﹣1，2）B．C．D．（﹣2，1）三、解答题（本大题共5题，共48分）17．已知圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，并且圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值．18．已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．（1）若a＝，求曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a＝1，是否存在一直线y＝kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．19．轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A，B，C三个无线电发射台，其中A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知A，B两点距离10千米，C是AB 的中点，海岸线与直线AB的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晩秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C点距离为4千米．（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置（2）根据经验，船只在距离海岸线 1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），短袖的两个端点分别为B1，B2，且△F1B1B2为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C的方程；（2）如果在椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，求实数c的取值范围；（3）已知点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，求点B横坐标的取值范围．21．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1．【分析】由抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣即可求得抛物线x2＝4y的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为x2＝4y，∴其准线方程为：y＝﹣1．故答案为：y＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题．2．（3分）若方程表示椭圆，则实教m的取值范围是1＜m＜7且m≠4．【分析】找出等价不等式组求解即可．【解答】解：∵表示椭圆，∴∴1＜m＜7且m≠4．故答案为：1＜m＜7且m≠4．【点评】本题考查了椭圆的方程，属基础题．3．（3分）若直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，则l1与l2之间的距离为．【分析】由直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，求出a＝1，由此能求出l1与l2之间的距离．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，∴，解得a＝1，∴直线l1：x+2y﹣10＝0，即2x+4y﹣20＝0，直线l2：2x+4y+5＝0∴l1与l2之间的距离为：d＝＝．故答案为：．【点评】本题考查两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（3分）过点（3，3）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的切线，则切线所在直线的方程为x ＝3或15x﹣8y﹣21＝0．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分切线的斜率不存在与存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的圆心为（2，1），半径r＝1，分2种情况讨论：①，切线的斜率不存在，此时切线的方程为x＝3，与圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1相切，符合题意，②，切线的斜率存在，设切线的方程为y﹣3＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+3＝0，若直线与圆相切，则有＝＝1，解可得：k＝，则切线的方程为y﹣3＝（x﹣3），即15x﹣8y﹣21＝0，则切线的方程为x＝3或15x﹣8y﹣21＝0，故答案为：x＝3或15x﹣8y﹣21＝0．【点评】本题考查圆的切线方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．5．（3分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为﹣＝1．【分析】可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），求得已知双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求双曲线方程．【解答】解：由题意可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），的渐近线的方程为y＝±x，可得＝，由椭圆的焦点为（±3，0），可得a2+b2＝18，解得a＝4，b＝，则双曲线的方程为﹣＝1．故答案为：﹣＝1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．（3分）已知三角形ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，则三角形ABC的重心的轨迹方程为y2＝2x，x≠0．【分析】设C（m，n），三角形ABC的重心的坐标为（x，y），由抛物线的方程和重心坐标公式可得m＝3x，n＝3y，代入抛物线方程，化简可得所求方程．【解答】解：设C（m，n），可得n2＝6m，设三角形ABC的重心的坐标为（x，y），由A（﹣3，0），B（3，0），可得：3x＝m，3y＝n，即m＝3x，n＝3y，则9y2＝6?3x，即y2＝2x，x≠0，故答案为：y2＝2x，x≠0．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的重心坐标公式，以及代入法，考查运算能力，属于基础题．7．（3分）设P，Q分别为直线（t为参数，t∈R）和曲线（θ为参数，θ∈R）上的点，则||PQ|的取值范围是[，+∞）．【分析】|PQ|无最大值，|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．【解答】解：由消去t得2x﹣y+6＝0，由消去θ得（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心（（1，﹣2）到直线2x﹣y+6＝0的距离d＝＝2，∴|PQ|≥2﹣＝，故答案为：[+∞）．【点评】本题考查了参数化成普通方程，属中档题．8．（3分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，若P是抛物线y2＝4x上的动点，则点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值为【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得|PM|＝|PF|，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，如图设|PH|＝d，P到y轴的距离为P到准线x＝﹣1的距离减1，即|PM|﹣1，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，可得点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值即为|PM|+|d﹣1＝|PF|+d﹣1的最小值，由F，P，H三点共线，即|PF|+d≥|m，（m为F到准线4x﹣3y+8＝0的距离），可得m＝＝，则所求最小值为﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义和方程，考查三点共线的性质，以及转化思想和运算能力，属于基础题．9．（3分）如果M为椭圆上的动点，N为圆上的动点，那么的最大值为15．【分析】借助三角函数的有界性可求结果．【解答】解：设M（5cosθ，3sinθ），N（3cosφ，3sinφ），＝15cosθcosφ+9sinθsinφ＝9cos（θ﹣φ）+6cosθcosφ当θ＝φ＝0或θ＝φ＝π时，最大为15．故答案为：15．【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是基础题．10．（3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（﹣，]．【分析】根据函数与方程的关系作出y＝和y＝|x﹣a|﹣a的图象，讨论a的正负，结合绝对值函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：y＝，表示以O为圆心，半径为1的圆的上半圆，y＝g（x）＝|x﹣a|﹣a＝，图象关于x＝a对称，顶点为A（a，﹣a），若a＜0，顶点A位于第二象限．要使两个图象有两个交点，则A只要在半圆内即可，即|OA|＜1，即＝＜1，得2a2＜1得a2＜，得﹣＜a＜，∵a＜0，∴﹣＜a＜0，当a＝0时，半圆和y＝|x|，一定有两个交点，满足条件．当a＞0时，在x≤a时，y＝g（x）＝﹣x，一定与半圆有一个交点，要使g（x）与半圆有两个交点，则只需要当x＞a时，g（x）＝x﹣2a与圆的右半圆有一个交点即可，此时顶点A（a，﹣a）一定在第四象限，当x≥a时的直线g（x）＝x﹣2a经过B（1，0）时，1﹣2a＝0，得a＝，此时对应的直线y＝x﹣1，要使g（x）＝x﹣2a与圆的右半圆有一个交点即可，则满足﹣2a≥﹣1，即a≤，∵a＞0，∴0＜a≤，综上﹣＜a≤，即实数a的取值范围是（﹣，]，故答案为：（﹣，]．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的图象交点个数问题，利用绝对值函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．11．（3分）已知直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，若C（5，5），则的取值范围是[41，49]．【分析】由题意可设A（m，n），B（﹣m，﹣n），且m2+＝1，运用向量数量积的坐标表示，以及二次函数的最值求法，可得所求范围．【解答】解：直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，由于直线l过原点，可设A（m，n），B（﹣m，﹣n），且m2+＝1，由C（5，5），则＝（m﹣5，n﹣5）?（﹣m﹣5，﹣n﹣5）＝（m﹣5）（﹣m﹣5）+（n﹣5）（﹣n﹣5）＝50﹣m2﹣n2＝49﹣n2，由0≤n2≤9，可得49﹣n2∈[41，49]．故答案为：[41，49]．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及二次函数的性质，考查运算能力，属于基础题．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2＝r2与曲线交于两点M，N（M 在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若，点Q（7，﹣2），则当m和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为7．【分析】求得圆与曲线的交点M，N的坐标，以及P的坐标，由向量共线的坐标表示可得T的坐标，运用两点的距离公式和二次函数的最值和二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，可得所求最小值．【解答】解：x2+y2＝r2与曲线交于M（r，r），N（r，﹣r），P（0，r），由＝m可得T（mr，mr），|TP|+|NQ|＝+＝r+≥r+（当m＝时取得等号），设t＝+r，t＞0，可得t﹣r＝，两边平方可得t2﹣r（2+7﹣t）+53﹣t2＝0，由△＝（2+7﹣t）2﹣4?（53﹣t2）≥0，解得t≥7，t取得最小值7时，r＝．则|TP|+|NQ|的最小值为7．故答案为：7．【点评】本题考查圆的方程的运用，考查两点的距离公式和二次函数、二次方程有实根的条件，考查化简运算能力，属于难题．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）方程3x2﹣8xy+2y2＝0所表示的曲线的对称性是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y＝x轴对称D．关于原点对称【分析】根据对称的性质，将x用﹣x，同时y用﹣y代替看方程是否与原方程相同【解答】解：将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y方程变为3x2﹣8xy+2y2＝0与原方程相同，故曲线关于原点对称，故选：D．【点评】本题考查点（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y）；关于y轴的对称点为（﹣x，y）；关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）；关于y＝﹣x的对称点为（﹣y，﹣x）．14．（4分）已知点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，则直线ax+by＝r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心【分析】由点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，知a2+b2＜r2，由此得到圆心（0，0）到直线ax+by＝r2的距离d∈（0，r），由此能判断直线ax+by＝r2与圆的位置关系．【解答】解：∵点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，∴a2+b2＜r2，∵圆心（0，0）到直线ax+by＝r2的距离：d＝＜r，且d＞0，∴直线ax+by＝r2与圆相交且不过圆心．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意圆、直线方程等知识点的合理运用．15．（4分）已知θ∈R，由所有直线L：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【分析】根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，可判断A，B，C；存在可取一点（0，2）即可验证，可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可判定D．【解答】解：根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1（θ∈R），得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；可取圆心为（0，2），半径分别为2，可得与所有直线相交；圆心为（0，2），半径分别为，可得与所有直线不相交；圆心为（0，2），半径分别为1，可得与所有直线相切；故A，B，C正确；M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，如图中：等边三角形ABC和ADE面积不相等，故D不正确．故选：D．【点评】本题考查圆上一点的切线方程的运用，以及直线和圆的位置关系的判断，考查数形结合思想，属于中档题．16．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则△PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A．（﹣1，2）B．C．D．（﹣2，1）【分析】设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，运用切线的性质和双曲线的定义可得I的横坐标为﹣a，再由渐近线的特点，可得I的纵坐标的范围．【解答】解：设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，可得|PM|＝|PN|，|F2N|＝|F2K|，|MF1|＝|F1K|，由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，即有|F2K|﹣|F1K|＝2a，又|F2K|+|F1K|＝2c，可得|F1K|＝c﹣a，即K的横坐标为﹣a，即﹣1，可得I的横坐标为﹣1，由于P在左支上，可得当PF2与渐近线y＝﹣x平行时，P不存在，此时经过点（0，），可得I的纵坐标不超过，则内切圆的圆心可能为（﹣1，）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是渐近线的运用，考查三角形的内切圆的圆心特点，考查数形结合思想方法，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共48分）17．已知圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，并且圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值．【分析】（1）根据题意，分析可得圆心在直线y＝2x﹣16上，又由圆C的圆心在直线x+y ﹣8＝0，则有，解可得圆心的坐标，求出两切线间的距离，分析可得圆C的半径r＝，将圆心与r代入圆C的方程，分析可得答案；（2）由直线l的方程分析可得直线l恒过点（7，1），设P（7，1），求出PC的长，由直线与圆的位置关系分析可得当CP与直线l垂直时，即P为MN的中点时，MN的长度最小，计算此时|MN|的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切，则圆C的圆心在直线y＝2x﹣16上，又由圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，则有，解可得，则圆心C的坐标为（8，0），直线l1：y＝2x﹣21即2x﹣y﹣21＝0和l2：y＝2x﹣11即2x﹣y﹣11＝0之间的距离d＝＝2，则圆C的半径r＝＝，故圆C的方程为（x﹣8）2+y2＝5；（2）直线l：2x+ay+6a＝ax+14即（2x﹣14）+a（y﹣x+6）＝0，分析可得直线l恒过点（7，1），设P（7，1），则|PC|＝＝，直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN，当CP与直线l垂直时，即P为MN的中点时，MN的长度最小，此时|MN|＝2×＝2，故MN长的最小值为2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．18．已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．（1）若a＝，求曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a＝1，是否存在一直线y＝kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）由双曲线定义得曲线C是以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，以2为实数的双曲线，由此能求出曲线C的方程．（2）设直线l的方程为：y＝kx+1，k＝时，直线l为y＝x+1与曲线C：＝1只有一个焦点．联立，得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6＝0，当1﹣3k2≠0时，△＝36k2+24（1﹣3k2）＝0，由此能求出直线l的方程．（3）当a＝1时，曲线C的方程为，联立，得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣4＝0，由OA⊥OB，x1x2+y1y2＝0，能求出k．【解答】解：（1）∵曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2，∴由双曲线定义得曲线C是以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，以2为实数的双曲线，∴曲线C的方程为＝1．（2）∵直线l过（0，1）点，∴当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝0，不成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为：y＝kx+1，当k＝时，直线l为y＝x+1与曲线C：＝1只有一个焦点．联立，得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6＝0，当1﹣3k2≠0时，△＝36k2+24（1﹣3k2）＝0，解得k＝±2，∴直线l与曲线C只有一个公共点，直线l的方程为y＝±2x+1．综上所述，直线l的方程为y＝x+1或y＝±2x+1．（3）当a＝1时，曲线C的方程为，联立，得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣7＝0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝﹣，y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+k（x1+x2）+4＝﹣++4＝，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝﹣+＝0，5﹣7k2＝0，解得k＝±．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的斜率是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．19．轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A，B，C三个无线电发射台，其中A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知A，B两点距离10千米，C是AB 的中点，海岸线与直线AB的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晩秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C点距离为4千米．（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置（2）根据经验，船只在距离海岸线 1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？【分析】（1）根据题意知轮船的航行轨迹是双曲线的一支，写出双曲线的标准方程，求出该时刻轮船在双曲线的顶点位置；（2）设双曲线的参数方程，求双曲线上的点到直线y＝x的距离d的最小值，利用导数判断函数单调性，从而求出最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，由×3×105＝8，设轮船的航行轨迹是点P的运动轨迹，则|P A|﹣|PB|＝8；又|AB|＝10，所以点P的轨迹为双曲线的一支，且双曲线中，2a＝8，2c＝10，b＝3，所以双曲线标准方程为﹣＝1，其中x≥4；某一时刻测得轮船距离C点4千米，则该时刻轮船在CB的连线上，即双曲线顶点位置；（2）根据题意，设双曲线的参数方程为其中θ∈[0，），则双曲线上的点P（x，y）到直线y＝x的距离为d＝＝，其中θ∈[0，）；设f（θ）＝，其中θ∈[0，），则f′（θ）＝，令f′（θ）＝0，解得sinθ＝，所以sinθ∈（0，）时，f′（θ）＜0，函数f（θ）单调递减；sinθ∈（，1）时，f′（θ）＞0，函数f（θ）单调递增；所以sinθ＝时，cosθ＝＝，此时函数f（θ）取得最小值为；此时d取得最小值为＝＞＝1.5，所以轮船保持目前的航路不变时，不会有搁浅风险．【点评】本题考查了圆锥曲线的实际应用问题，也考查了利用参数方程求最小值应用问题，是中档题．20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），短袖的两个端点分别为B1，B2，且△F1B1B2为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C的方程；（2）如果在椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，求实数c的取值范围；（3）已知点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，求点B横坐标的取值范围．【分析】（1）设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得a＝2，b＝1，进而得到椭圆方程；（2）可设PQ的方程为y＝﹣2x+t，代入椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，中点坐标公式可得PQ的中点，即可得到所求范围；（3）可设AB的方程为y＝kx+1，A（m，n），B（u，v），联立椭圆方程，运用韦达定理，化简变形，结合基本不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得2a＝4，即a＝2，且△F1B1B2为等边三角形，可得|B1B2|＝|F1B1|，即2b＝a，即b＝1，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），由a＝2b可得x2+4y2＝4b2，椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，可设PQ的方程为y＝﹣2x+t，代入椭圆方程可得17x2﹣16tx+4t2﹣4b2＝0，△＝256t2﹣4×17×（4t2﹣4b2）＞0，即17b2＞t2，且x1+x2＝，可得PQ的中点为（，），即有＝+1，解得t＝﹣，则b2＞，而c2＝a2﹣b2＝3b2，可得c2＞，解得c＞；（3）点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，可得b＞1，可设AB的方程为y＝kx+1，A（m，n），B（u，v），可得﹣m＝2u，联立直线AB的方程和椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kx+4﹣4b2＝0，可得m+u＝﹣，mu＝，可得u＝，u2＝＞0，当k＝0，B与M重合，不成立；当k＞0时，u＝≤＝2，即0＜u≤2；当k＜0时，u＝≥﹣＝﹣2，即﹣2≤u＜0．综上可得点B横坐标的取值范围为[﹣2，0）∪（0，2]．【点评】本题考查椭圆方程和性质，以及直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，考查向量共线定理的运用，考查化简运算能力，以及推理能力，属于中档题．21．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．【分析】（1）求得双曲线的a，c，以及M的坐标，由直角三角形的锐角三角函数的定义可得b，即可得到双曲线方程和渐近线方程，运用夹角公式计算可得所求值；（2）讨论直线AB的斜率不存在，求得A，B的坐标和三角形AF1B的面积；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合三角形的面积公式，化简可得所求最小值；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，求得双曲线的渐近线方程，求得Q到渐近线的距离，以及Q2的坐标，以及|OQ2|，由平行四边形的面积，计算可得所求值．【解答】解：（1）双曲线的a＝1，c＝，可令x＝c，解得y＝b＝b2，设M（c，b2），由∠MF1F2＝30°，可得b2＝2ctan30°＝，解得b＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1，可得双曲线的方程为y＝±x，即有tanθ＝||＝2，可得夹角θ＝arctan2；（2）当直线AB的斜率不存在，可得A（，2），B（，﹣2），可得△AF1B的面积为×2×4＝4；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立双曲线方程2x2﹣y2＝2，可得（2﹣k2）x2+2k2x﹣3k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2＝﹣＞0，x1x2＝﹣＞0，可得k2＞2，可得△AF1B的面积为S＝?2c?|y1﹣y2|＝?|k（x1﹣x2）|＝?|k|?＝|k|?，设t＝k2﹣2（t＞0），可得S＝4?＝4?＞4，综上可得△AF1B的面积的最小值为4；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，Q到直线y＝x的距离为d＝，由平行于直线y＝﹣x的直线y＝﹣（x﹣m）+n，联立直线y＝x，可得Q2（，），|OQ2|＝|n+m|，即有行四边形OQ1QQ2的面积为d?|OQ2|＝|n+m|?＝?|2m2﹣n2|＝?2＝．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查分类讨论思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．第21页（共21页）。