北师大版高二数学必修五课件：不等式的性质
合集下载
北师版数学高二北师大版必修5课件基本不等式
D.21
解析 由 a＋b＝1，b>a>0，得 1>b>12，0<a<12，
∵b－(a2＋b2)＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2≥2ab，即b最大.
当堂测·查疑缺
1234
1.已知 a>0，b>0，则1a＋1b＋2 ab的最小值是( C )
A.2
B.2 2
C.4
D.5
§
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
填要点·记疑点
1.重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).
1234
2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是( )
a＋b A.a> 2 > ab>b
a＋b B.b> ab> 2 >a
a＋b C.b> 2 > ab>a
a＋b D.b>a> 2 > ab
解析 ∵0<a<b，∴2b>a＋b， a＋b
∴b> 2 . ∵b>a>0，∴ab>a2，∴ ab>a.
a＋b 故 b> 2 > ab>a. 答案 C
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.
例2 已知x、y都是正数. 求证：(1)xy＋xy≥2； 证明 ∵x，y 都是正数，∴xy>0，yx>0， ∴xy＋yx≥2 xy·xy＝2，即xy＋yx≥2.
北师大版131不等式的性质课件(37张)
(1)若 a>b，c>d，则 a＋c>b＋d；
(2)若 ac2>bc2，则 a>b；
(3)若 a>b，则1a<1b；
(4)若 a>b，c>d，则 ac>bd.
其中正确命题的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 对于(1)，若 a>b，c>d，则 a＋c>b＋d，命题正确； 对于(2)，若 ac2>bc2，则 a>b，命题正确； 对于(3)，若 a>b，则1a<1b不正确， 如 a＝1，b＝－2； 对于(4)，若 a>b，c>d，则 ac>bd 不正确， 如 a＝1，b＝－2，c＝3，d＝－4. 综上可得，正确的个数是 2 个．
(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， 所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝12，且z＝1时，等号成立．
[解题探究] 本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素 养．
运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． (2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原 则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
[练习 2]若 a>b>c，则下列不等式成立的是( B )
第一章 预备知识
§3 不等式
第1课时 不等式的性质
课前篇·自主梳理知识
【主题】 不等式的性质
1．实数大小的比较 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： a>b⇔__a_－__b_>_0_； a＝b⇔__a_－_b_＝__0_； a<b⇔_a_－__b_<_0__.
高中数学北师大版必修五 基本不等式 课件(37张)
ab ； 何平均数为可 叙 述 为 两 个 正 数 的 算 术 平 均 数
不小于它们的几何平均数． _______
4．基本不等式的常用推论
2 2 a＋b a ＋ b 2 (1)ab≤ 2 ≤ 2 (a，b∈R)；
b a 2 (a，b 同号)； (2)a＋b≥____ b a b a 2 ；当 ab＜0 时， ＋ ≤ (3)当 ab＞0 时，a＋b≥___ a b
b a 当且仅当 ＝ ，即 a＝b 时，取“＝”，故 D 正确． a b 答案：D
类型 2 利用基本不等式求最值 12 [典例 2] (1)若 x＞0，求 f(x)＝ x ＋3x 的最小值； 4 (2)已知 x＞2，求 x＋ 的最小值． x－2 解：(1)因为 x＞0，由基本不等式得 12 f(x)＝ x ＋3x≥2 12 x ·3x＝2 36＝12.
答案：①③
b a 5．如果 a＞0，b＞0，则a＋b的最小值是 2；如果 ab b a ＞0，则 ＋ 的范围是________． a b 答案：[2，＋∞)
类型 1 利用基本不等式比较大小 [典例 1] 设 0<a<b， 则下列不等式中正确的是( a＋b A．a<b< ab< 2 a＋b B．a< ab< <b 2 a＋b C．a< ab<b< 2
基本不等式
[学习目标] 1.通过实例探究抽象基本不等式，体会 数学来源于生活． 2.推导并掌握基本不等式，并从不同 a＋b 角度探索不等式 ab≤ 的证明过程． 3.理解基本不 2 等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≤”取等号的 条件是：当且仅当这两个正数相等．
a＋b 4.熟练掌握基本不等式 ab≤ (a，b∈R)，会用基 2 本不等式证明不等式．
不小于它们的几何平均数． _______
4．基本不等式的常用推论
2 2 a＋b a ＋ b 2 (1)ab≤ 2 ≤ 2 (a，b∈R)；
b a 2 (a，b 同号)； (2)a＋b≥____ b a b a 2 ；当 ab＜0 时， ＋ ≤ (3)当 ab＞0 时，a＋b≥___ a b
b a 当且仅当 ＝ ，即 a＝b 时，取“＝”，故 D 正确． a b 答案：D
类型 2 利用基本不等式求最值 12 [典例 2] (1)若 x＞0，求 f(x)＝ x ＋3x 的最小值； 4 (2)已知 x＞2，求 x＋ 的最小值． x－2 解：(1)因为 x＞0，由基本不等式得 12 f(x)＝ x ＋3x≥2 12 x ·3x＝2 36＝12.
答案：①③
b a 5．如果 a＞0，b＞0，则a＋b的最小值是 2；如果 ab b a ＞0，则 ＋ 的范围是________． a b 答案：[2，＋∞)
类型 1 利用基本不等式比较大小 [典例 1] 设 0<a<b， 则下列不等式中正确的是( a＋b A．a<b< ab< 2 a＋b B．a< ab< <b 2 a＋b C．a< ab<b< 2
基本不等式
[学习目标] 1.通过实例探究抽象基本不等式，体会 数学来源于生活． 2.推导并掌握基本不等式，并从不同 a＋b 角度探索不等式 ab≤ 的证明过程． 3.理解基本不 2 等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≤”取等号的 条件是：当且仅当这两个正数相等．
a＋b 4.熟练掌握基本不等式 ab≤ (a，b∈R)，会用基 2 本不等式证明不等式．
北师大版(2019)高中数学《不等式性质》示范PPT1
第二章·第一节
不等式性质
新课导入
用不等式(组)表示不等关系
(2)中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,
v 它的飞行速度(
)不小于第一宇宙速度(记作 v2 ),且小于第二
宇宙速度(记 v1 ）。 v1 v v2
新课讲授
对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h， “限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.
北师大版（2019）高中数学《不等式 性质》 示范PPT 1
新课讲授
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若
单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x
元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
思考:(1)销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本 0.1
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么 这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到 关于两个实数大小关系的基本事实.
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规 定实数的大小关系：如图2.1-2，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的
对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不
少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
f p
2.5% 2.3%
对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c.
40
对于（4），如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂 直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD
点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a
不等式性质
新课导入
用不等式(组)表示不等关系
(2)中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,
v 它的飞行速度(
)不小于第一宇宙速度(记作 v2 ),且小于第二
宇宙速度(记 v1 ）。 v1 v v2
新课讲授
对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h， “限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.
北师大版（2019）高中数学《不等式 性质》 示范PPT 1
新课讲授
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若
单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x
元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
思考:(1)销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本 0.1
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么 这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到 关于两个实数大小关系的基本事实.
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规 定实数的大小关系：如图2.1-2，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的
对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不
少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
f p
2.5% 2.3%
对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c.
40
对于（4），如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂 直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD
点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a
北师大版高中数学 -不等式性质 PPT执教课件2
新知探究
性质1：如果a＞b，那么b＜a；
性质1证明：∵a＞b，∴a－b＞0， 又由于正数的相反数是负数，
∴－（a－b）＜0，即b－a ＜0 ∴b＜a
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
新知探究
性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c；
性质2证明：∵a＞b，b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0 根据两个正数的和还是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0， ∴a－c＞0，∴a＞c．
文字语言： 不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向．
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
新知探究
问题4 利用不等式的基本性质，你还能得到哪些不等式性质？
前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探 究个性—应用反思
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
归纳小结
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
A1 A a+c a
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
北师大版高中数学《不等式性质》PPT 执教课 件2(完 美课件 )
新知探究
问题2 在等式中，如果a＋b＝c，那么a＝c－b，你会利用 性质3得到不等式中的移项的结论吗？
结论：如果a＋b＞c，那么a＞c－b．
不等式的基本性质 北师大版(PPT)5-2
退～｜～而不；作文加盟 小学作文加盟 作文班加盟 作文培训加盟 作文加盟品牌排行榜 华语作文 作文加盟品牌；谈｜～一会儿雨。② 防止：～孕｜～雷针。 【避风】∥动①躲避风：找个～的地方休息休息。②比喻避开不利的势头。也说避风头。 【避风港】名供船只躲避大风浪的港湾，比 喻可以躲避激烈斗争的地方。 【避风头】?避风?。 【避讳】∥动封建时代为了维护等级制度的尊严，说话写文章时遇到君主或尊亲的名字都不直接说出或写 出，叫做避讳。 【避讳】?动①不愿说出或听到某些会引起不愉快的字眼儿：旧时迷信，行船的人～“翻”、“沉”等字眼儿。②回避：都是自己人，用不 着～。 【避忌】动避讳（?）。 【避坑落井】躲过了坑，却掉进了井里，比喻避开一害，又遇另一害。 【避雷器】名保护电气设备避免雷击的装置，通常装 在被保护设备附近，原理和避雷针相同。 【避雷针】名保护建筑物等避免雷击的装置。在高大建筑物顶端安装一个金属棒，用金属线与埋在地下的金属板连
2×（-5）__>____3× （-5） ；
2( 1) 2
__>____
3
(
1 2
)
.
从以上能发现什么？可以得到什么结论？
接起来，通过金属棒和金属线，将云层所带的电引入地下。 【避免】动设法不使某种情形发生；防止：～冲突｜看问题要客观、全面，～主观、片面。 【避 难】∥动躲避灾难或迫害：～所。 【避让】动躲避；让开：～道旁。 【避世】动脱离现实生活，避免和外界接触：～绝俗。 【避暑】∥动①天气炎热的时候 到凉爽的地方去住：～胜地｜夏天到北戴河～。②避免中暑：天气太热，吃点避避暑。 【避税】动纳税人在不违反税法的前提下规避纳税的行为。 【避嫌】 ∥动避开嫌疑。 【避邪】动迷信的人指用符咒等避免邪祟。 【避孕】∥动通过工具（避孕套、阴道隔膜、子宫环等）或物阻止精子和卵子相结合，或使受精 卵不能在子宫内发育，以不受孕。 【避孕套】名避孕工具，圆筒状薄膜套，用天然乳胶制成。也叫安全套。 【避重就轻】ī避开重要的而拣次要的来承担， 也指回避主要的问题，只谈无关重要的方面。 【嬖】〈书〉①宠爱：～爱｜～昵。②受宠爱：～臣｜～妾。③受宠爱的人。 【髀】〈书〉大腿，也指大腿骨：
2×（-5）__>____3× （-5） ；
2( 1) 2
__>____
3
(
1 2
)
.
从以上能发现什么？可以得到什么结论？
接起来，通过金属棒和金属线，将云层所带的电引入地下。 【避免】动设法不使某种情形发生；防止：～冲突｜看问题要客观、全面，～主观、片面。 【避 难】∥动躲避灾难或迫害：～所。 【避让】动躲避；让开：～道旁。 【避世】动脱离现实生活，避免和外界接触：～绝俗。 【避暑】∥动①天气炎热的时候 到凉爽的地方去住：～胜地｜夏天到北戴河～。②避免中暑：天气太热，吃点避避暑。 【避税】动纳税人在不违反税法的前提下规避纳税的行为。 【避嫌】 ∥动避开嫌疑。 【避邪】动迷信的人指用符咒等避免邪祟。 【避孕】∥动通过工具（避孕套、阴道隔膜、子宫环等）或物阻止精子和卵子相结合，或使受精 卵不能在子宫内发育，以不受孕。 【避孕套】名避孕工具，圆筒状薄膜套，用天然乳胶制成。也叫安全套。 【避重就轻】ī避开重要的而拣次要的来承担， 也指回避主要的问题，只谈无关重要的方面。 【嬖】〈书〉①宠爱：～爱｜～昵。②受宠爱：～臣｜～妾。③受宠爱的人。 【髀】〈书〉大腿，也指大腿骨：
北师大版(2019)高中数学《不等式性质》演示PPT1
性猜质想6
如果果aabb 0,c dd 0,,那么么aaccbbdd. . 令性质6中a c, b d ,则a2 b2.
运算中的 不变性
性质7 如果a b 0,那么an bn (n N, n 2).
北师大版（2019）高中数学《不等式 性质》 演示PPT 1
课堂引入丨新课讲授丨例题讲解丨课堂小结
例： 因为a b,由性质3得, a c b c.
证明： a b 0 ab 0, 1 0
ab a 1 b 1 ,即1 1
ab ab b a 由于c 0,得 c c
ba
北师大版（2019）高中数学《不等式 性质》 演示PPT 1
北师大版（2019）高中数学《不等式 性质》 演示PPT 1
又因为c d，由性质3得,b c b d.
由性质2得, a c b d.
性质1
如果a b, 那么b a; 如果b a, 那么a b.
性质2 如果a b,b c,那么a c.
性质3 性质4
如果a b,那么a c b c.
如果a b, c 0,那么ac bc; 如果a b, c 0,那么ac bc.
课堂引入丨新课讲授丨例题讲解丨课堂小结
小结
本节课你学到了哪 些不等式性质呢？
性质1
如果a b, 那么b a; 如果b a, 那么a b.
性质2 如果a b,b c,那么a c.
性质3 性质4
如果a b,那么a c b c.
如果a b, c 0,那么ac bc; 如果a b, c 0,那么ac bc.
如果a b,b c,那么a c.
性质3 如果a b,那么a c b c.
猜性想质4 如果a b,c 0,那么ac bc;
不等式的性质ppt课件(21张) 高中数学选修4-5 北师大版
答案 ②④
知识点2 实数大小的比较
【例2】 实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，试 比较x，y，z的大小．
解 x2－2x＋y＝z－1⇒z－y＝(x－1)2≥0⇒z≥y； x＋y2＋1＝0⇒y－x＝y2＋y＋1
12 3 ＝y＋2 ＋4>0⇒y>x，故
z≥y>x.
c c <b 1 1 a ⇒ < ，当 a<0，b>0 时，此式成立， 解析 (1) a b c>0 推不出 a>b，∴(1)错． (2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时，命题显然不成立．∴ (2)错． a>b>0 a b ⇒ > >0⇒ (3) c>d>0 d c a d> b c 成立．∴(3)对．
(
)．
答案
B
x2 1 3．设 x∈R，则 4与 的大小关系是________． 1＋x 2 x2 1 答案 4≤ 1＋x 2
知识点1
不等式的性质及应用
【例 1】 判断下列各题的对错 c c (1) < 且 c>0⇒a>b a b (2)a>b 且 c>d⇒ac>bd (3)a>b>0 且 c>d>0⇒ a b (4)c2>c2⇒a>b a > d b c ( ( ( ( )． )． )． )．
●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行．其 一般步骤是： (1)作差． (2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法．
(3)定号，即确定差的符号．
(4)下结论．
2．比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R.
解 ∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3
知识点2 实数大小的比较
【例2】 实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，试 比较x，y，z的大小．
解 x2－2x＋y＝z－1⇒z－y＝(x－1)2≥0⇒z≥y； x＋y2＋1＝0⇒y－x＝y2＋y＋1
12 3 ＝y＋2 ＋4>0⇒y>x，故
z≥y>x.
c c <b 1 1 a ⇒ < ，当 a<0，b>0 时，此式成立， 解析 (1) a b c>0 推不出 a>b，∴(1)错． (2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时，命题显然不成立．∴ (2)错． a>b>0 a b ⇒ > >0⇒ (3) c>d>0 d c a d> b c 成立．∴(3)对．
(
)．
答案
B
x2 1 3．设 x∈R，则 4与 的大小关系是________． 1＋x 2 x2 1 答案 4≤ 1＋x 2
知识点1
不等式的性质及应用
【例 1】 判断下列各题的对错 c c (1) < 且 c>0⇒a>b a b (2)a>b 且 c>d⇒ac>bd (3)a>b>0 且 c>d>0⇒ a b (4)c2>c2⇒a>b a > d b c ( ( ( ( )． )． )． )．
●反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行．其 一般步骤是： (1)作差． (2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法．
(3)定号，即确定差的符号．
(4)下结论．
2．比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R.
解 ∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3