2015年山东省淄博市中考数学试卷和解析

2015年山东省淄博市中考数学试卷一.选择题（每小题4分，四个选项只有一个是正确的）1．（4分）下列计算正确的是（）A．a6÷a3=a3B．（a2）3=a8C．a2•a3=a6 D．a2+a2=a42．（4分）如图，是由四个相同的正方体组合而成的两个几何体，则下列表述正确的是（）A．图甲的主视图与图乙的左视图形状相同B．图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同C．图甲的俯视图与图乙的俯视图形状相同D．图甲的主视图与图乙的主视图形状相同3．（4分）如图，四条直线a，b，c，d．其中a∥b，∠1=30°，∠2=75°，则∠3等于（）A．30°B．40°C．45°D．75°4．（4分）在直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点成中心对称的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=8，AD=4，则图中长为4的线段有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条6．（4分）下列调查，样本具有代表性的是（）A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查B．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查D．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查7．（4分）一次函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象如图所示，其交点为P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．（4分）若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能10．（4分）如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，CD上的数是12，则AD上的数是（）A．2 B．7 C．8 D．1511．（4分）如图，在一张矩形纸片的一端，将折出的一个正方形展平后，又折成了两个相等的矩形，再把纸片展平，折出小矩形的对角线，并将小矩形的对角线折到原矩形的长边上．设MN的长为2，在下面给出的三种折叠中能得到长为（﹣1）线段的有（）A．0种 B．1种 C．2种 D．3种12．（4分）从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（）A．21 B．22 C．23 D．99二.填空题（共5小题，满分20分）13．（4分）计算﹣的结果是．14．（4分）如图，在⊙O中，=，∠DCB=28°，则∠ABC=度．15．（4分）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，5．随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字的概率是．16．（4分）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．17．（4分）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+9．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．三.解答题（共7小题，共52分）18．（5分）计算：（+）×．19．（5分）在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表：根据以上信息，解决一下问题：（1）写出甲、乙两人命中环数的众数；2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳（2）已知通过计算器求得=8，s甲定？20．（8分）在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a 的值；（2）设这条直线与y 轴相交于点D ，求△OPD 的面积．21．（8分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点D 是AB 的中点，点P 是AB 上的一个动点（点P 与点A 、B 不重合），矩形PECF 的顶点E ，F 分别在BC ，AC 上．（1）探究DE 与DF 的关系，并给出证明；（2）当点P 满足什么条件时，线段EF 的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）22．（8分）为充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的量如表：气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？23．（9分）如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），平行四边形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．已知BC=2，S △ABC =1．设BP=x ，平行四边形AFPE 的面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．24．（9分）如图，点B，C是线段AD的三等分点，以BC为直径作⊙O，点P是圆上异于B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．（1）当PB=PC时，求tan∠APB的值；（2）当P是上异于B，C的任意一点时，求tan∠APB•tan∠DPC的值．2015年山东省淄博市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，四个选项只有一个是正确的）1．（4分）下列计算正确的是（）A．a6÷a3=a3B．（a2）3=a8C．a2•a3=a6 D．a2+a2=a4【解答】解：A、a6÷a3=a3，正确；B、（a2）3=a6，错误；C、a2•a3=a5，错误；D、a2+a2=2a2，错误；故选A2．（4分）如图，是由四个相同的正方体组合而成的两个几何体，则下列表述正确的是（）A．图甲的主视图与图乙的左视图形状相同B．图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同C．图甲的俯视图与图乙的俯视图形状相同D．图甲的主视图与图乙的主视图形状相同【解答】解：图甲的三视图如下：图乙的三视图如下：因此图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同，故选：B．3．（4分）如图，四条直线a，b，c，d．其中a∥b，∠1=30°，∠2=75°，则∠3等于（）A．30°B．40°C．45°D．75°【解答】解：∵a∥b，∠1=30°，∠2=75°，∴∠4=∠1=30°，∵∠3=∠2﹣∠4=75°﹣30°=45°．故选C．4．（4分）在直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点成中心对称的点的坐标为（）A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）【解答】解：点（3，1）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，﹣1），故选D．5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=8，AD=4，则图中长为4的线段有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【解答】解：∵∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足，∴AD=DE=4，BE=EC，∵DC=8，AD=4，∴BE=EC=4，在△ABD和△EBD中，∴△ABD≌△EBD（AAS），∴AB=BE=4，∴图中长为4的线段有3条．故选：B．6．（4分）下列调查，样本具有代表性的是（）A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查B．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查D．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查【解答】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误；B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确．故选：D．7．（4分）一次函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象如图所示，其交点为P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：从图象得到，当x＞﹣2时，y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax﹣3的图象上面，∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2．故选C．8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．9．（4分）若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能【解答】解：解不等式组得a＜﹣3，∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+）=2a+5，∵a＜﹣3，∴△=2a+5＜0，∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0没有实数根，故选C．10．（4分）如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，CD上的数是12，则AD上的数是（）A．2 B．7 C．8 D．15【解答】解：设A端点数为x，B点为y，则C点为：7﹣y，D点为：z，根据题意可得：x+y=3①，C点为：7﹣y，故z+7﹣y=12②，故①+②得：x+y+z+7﹣y=12+3，故x+z=8，即AD上的数是：8．故选：C．11．（4分）如图，在一张矩形纸片的一端，将折出的一个正方形展平后，又折成了两个相等的矩形，再把纸片展平，折出小矩形的对角线，并将小矩形的对角线折到原矩形的长边上．设MN的长为2，在下面给出的三种折叠中能得到长为（﹣1）线段的有（）A．0种 B．1种 C．2种 D．3种【解答】解：如图：如图1，∵MN=2，则MD=1，∴MC=，∵折出内侧矩形的对角线MC，并把它折到图1中所示的AM处，∴AM=MC=，∴AD=﹣1；如图2，∵MN=2，则AD=1，∴AN=，∵折出内侧矩形的对角线AN，并把它折到图3中所示的AC处，∴AC=AN=，∴CD=﹣1；如图3，∵MN=2，则AC=1，BC=2，∴AB=，∵折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图3中所示的AD处，∴AD=AB=，∴CD=﹣1；综上所知，三种折叠都能得到长为（﹣1）线段．故选：D．12．（4分）从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（）A．21 B．22 C．23 D．99【解答】解：由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4个数一组，后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的个数为：21个，故选A．二.填空题（共5小题，满分20分）13．（4分）计算﹣的结果是．【解答】解：原式===，故答案为：．14．（4分）如图，在⊙O中，=，∠DCB=28°，则∠ABC=28度．【解答】解：∵=，∴；又∵∠DCB=28°，∴∠ABC=28度．故答案为：28．15．（4分）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，5．随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字的概率是．【解答】解：列表得：∵共有16种情况，第二次抽出的数字恰好能整除第一次抽出的数字的有5种，∴P（第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字）=，故答案为：．16．（4分）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120，150度．【解答】解：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°，在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD=30°，∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°，故答案为：120，15017．（4分）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+9．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式y2=（x+）2+3；y2=（x﹣）2+3（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．【解答】解：答案不唯一，例如：y2=（x+）2+3；y2=（x﹣）2+3．故答案为：y2=（x+）2+3；y2=（x﹣）2+3．三.解答题（共7小题，共52分）18．（5分）计算：（+）×．【解答】解：（+）×=×+×=1+9=1019．（5分）在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表：根据以上信息，解决一下问题：（1）写出甲、乙两人命中环数的众数；2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳（2）已知通过计算器求得=8，s甲定？【解答】解：（1）由题意可知：甲的众数为8，乙的众数为10；（2）乙的平均数==8，2=[（5﹣8）2+（10﹣8）2+…+（10﹣8）2]=≈3.71．乙的方差为：S乙2≈1.43，∵得=8，s甲∴甲乙的平均成绩一样，而甲的方差小于乙的方差，∴甲的成绩更稳定．20．（8分）在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．【解答】解：（1）设直线的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，5），B（3，﹣3）代入，可得：，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x+3，把P（﹣2，a）代入y=﹣2x+3中，得：a=7；（2）由（1）得点P的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD的面积=．21．（8分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P 是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上．（1）探究DE与DF的关系，并给出证明；（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）【解答】解：（1）DE=DF，DE⊥DF，证明：连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，∴CD=AD，CD⊥AD，∵四边形PECF是矩形，∴CE=FP，FP∥CB，∴△APF是等腰直角三角形，∴AF=PF=EC，∴∠DCE=∠A=45°，∴△DCE≌△DAF，∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，∵∠CDA=90°，∴∠EDF=90°，∴DE=DF，DE⊥DF；（2）∵DE=DF，DE⊥DF，∴EF=DE=DF，∴当DE 和DF 同时最短时，EF 最短，∴当DF ⊥AC ，DE ⊥AB 时，二者最短，∴此时点P 与点D 重合，∴点P 与点D 重合时，线段EF 最短．22．（8分）为充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的量如表：气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？【解答】解：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x 立方米的水注入小明家的蓄水池，由题意得=，解得：x=6，经检验：x=6是所列方程的根．答：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取6立方米的水注入小明家的蓄水池．23．（9分）如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），平行四边形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．已知BC=2，S △ABC =1．设BP=x ，平行四边形AFPE 的面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）∵四边形AFPE是平行四边形，∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，∴=（）2，∵S=1，△ABC=，∴S△BFP=（）2，同理：S△PEC∴y=1﹣﹣，∴y=﹣+x；（2）上述函数有最大值，最大值为；理由如下：∵y=﹣+x=﹣（x﹣1）2+，﹣＜0，∴y有最大值，∴当x=1时，y有最大值，最大值为．24．（9分）如图，点B，C是线段AD的三等分点，以BC为直径作⊙O，点P是圆上异于B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．（1）当PB=PC时，求tan∠APB的值；（2）当P是上异于B，C的任意一点时，求tan∠APB•tan∠DPC的值．【解答】解：（1）如图1，过点B作BE∥PC，与PA交于点E，，∵AB=BC，∴，∴EB=，∵PB=，∴EB=PB，∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC=90°，∠PBE=90°，∴tan∠APB=．（2）如图2，过点A作AE∥PC，与PB的延长线交于点E，，∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC=90°，∠AEP=90°，在△ABE和△CBP中，∴△ABE≌△CBP，∴BE=BP，AE=CP，∴tan∠APB=，∴tan∠DPC=，∴tan∠APB•tan∠DPC=，即tan ∠APB•tan ∠DPC 的值为．。