结构力学第四章-1
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结构力学第四章
Wex =∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
1 YA c 0
bc / a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
三、图形分解 求 B
20 A
MP
20
A
B
40
B
20 kN m
A
20 kN m
EI
40 B
40 kN m 10 m
1
40 kN m
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为
Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
求 B
2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
1 YA c 0
bc / a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
三、图形分解 求 B
20 A
MP
20
A
B
40
B
20 kN m
A
20 kN m
EI
40 B
40 kN m 10 m
1
40 kN m
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为
Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
求 B
结构力学第四章习题参考解答
A B
l
l
C
1 ql 4
2
1 2 ql 4
5 ql 4
A
M P图
1 2 ql 8
l 2
1
1 2 1 2 1 l l ql EI 3 8 2 2
ql 4 1 1 1 ql 4 EI 48 24 48 24EI
A
M图
1 2 3
4－3 试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向 ql 位移。EI=常数。 2 q
（b）解：作 M图、M P图，
CV 1 1 1 2 l 2 l ql EI 2 4 2 3 2
1 1 1 2 1 2 ql l l EI 2 4 2 3
l
q
B
M 1
EI
A
在B点沿水平方向设单位力矩 M 1 。 故 M 1
1 1 qx3 M P qx x x 2 3 6l
l
MM P 1 qx3 ql 3 则 B dx dx EI EI 0 6l 24EI
l
q
4－2 试求桁架结点B的竖向位移，已知桁架各 杆的 EA 21 10 4 KN。
（c）求
BH、 B。
q qx x l
B
解：在B点沿水平方向设单位力 FP 1 。
q qx l x
故 M x 则
BH
1 1 qx3 M P qx x x 2 3 6l
l
EI
A
FP 1
MM P 1 x qx3 ql 4 dx dx EI EI 0 6l 30EI
BV FN FNP l EA
l
l
C
1 ql 4
2
1 2 ql 4
5 ql 4
A
M P图
1 2 ql 8
l 2
1
1 2 1 2 1 l l ql EI 3 8 2 2
ql 4 1 1 1 ql 4 EI 48 24 48 24EI
A
M图
1 2 3
4－3 试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向 ql 位移。EI=常数。 2 q
（b）解：作 M图、M P图，
CV 1 1 1 2 l 2 l ql EI 2 4 2 3 2
1 1 1 2 1 2 ql l l EI 2 4 2 3
l
q
B
M 1
EI
A
在B点沿水平方向设单位力矩 M 1 。 故 M 1
1 1 qx3 M P qx x x 2 3 6l
l
MM P 1 qx3 ql 3 则 B dx dx EI EI 0 6l 24EI
l
q
4－2 试求桁架结点B的竖向位移，已知桁架各 杆的 EA 21 10 4 KN。
（c）求
BH、 B。
q qx x l
B
解：在B点沿水平方向设单位力 FP 1 。
q qx l x
故 M x 则
BH
1 1 qx3 M P qx x x 2 3 6l
l
EI
A
FP 1
MM P 1 x qx3 ql 4 dx dx EI EI 0 6l 30EI
BV FN FNP l EA
结构力学第04章
A C
FRA
R FQC
R M C − FRA a = 0
∑ MC = 0
R C
a (l − x) M = FRA a = FP l
四. 影响线与内力图的比较
影响线是影响系数与荷载位置间的关系曲线，它与内力 分布图是有区别的。 影响线是描述单位集中荷载在不同位置作用时对结构中 某固定处某量的影响。 内力图是描述在固定荷载作用下，内力沿结构各个截面 的分布。 可以通过简支梁内力图与影响线的比较讨论加深对影响线概 念的理解。
第 四 章
影响线
第 5 章
影响线
在一般工程结构中，除了受固定荷载外，还会受到移 动荷载作用。显然，在移动荷载作用下，结构的内力或支 座反力（称为量值）不在是常量。 在进行结构设计时，需要计算出结构在固定荷载和移 动荷载共同作用下内力的最大值，为此，需要进一步研究 在移动荷载共同作用下结构某个内力或支座反力等量值的 变化规律，以便找出它们的最大值。 本章着重讨论结构在移动荷载作用下的内力或支座反 力的计算问题。影响线是研究移动荷载作用的基本工具。
FP
FQK
FNK
∑M
B
=0
B
x M K = FRB b = b l
当 FP = 1在截面K右 方时 ( a ≤ x ≤ l ) ，取 K左边为隔离体
A
B
FNK
FQK
FRB
∑M
l−x M K = FRAy a = a l
A
=0
则 M K 影响线为
FRAx
FRB
FRAy
ab l
M K 影响线
（3） FQK 影响线 当 FP = 1在截面K左 方时 ( 0 ≤ x ≤ a ) ，取 K右边为隔离体
FRA
R FQC
R M C − FRA a = 0
∑ MC = 0
R C
a (l − x) M = FRA a = FP l
四. 影响线与内力图的比较
影响线是影响系数与荷载位置间的关系曲线，它与内力 分布图是有区别的。 影响线是描述单位集中荷载在不同位置作用时对结构中 某固定处某量的影响。 内力图是描述在固定荷载作用下，内力沿结构各个截面 的分布。 可以通过简支梁内力图与影响线的比较讨论加深对影响线概 念的理解。
第 四 章
影响线
第 5 章
影响线
在一般工程结构中，除了受固定荷载外，还会受到移 动荷载作用。显然，在移动荷载作用下，结构的内力或支 座反力（称为量值）不在是常量。 在进行结构设计时，需要计算出结构在固定荷载和移 动荷载共同作用下内力的最大值，为此，需要进一步研究 在移动荷载共同作用下结构某个内力或支座反力等量值的 变化规律，以便找出它们的最大值。 本章着重讨论结构在移动荷载作用下的内力或支座反 力的计算问题。影响线是研究移动荷载作用的基本工具。
FP
FQK
FNK
∑M
B
=0
B
x M K = FRB b = b l
当 FP = 1在截面K右 方时 ( a ≤ x ≤ l ) ，取 K左边为隔离体
A
B
FNK
FQK
FRB
∑M
l−x M K = FRAy a = a l
A
=0
则 M K 影响线为
FRAx
FRB
FRAy
ab l
M K 影响线
（3） FQK 影响线 当 FP = 1在截面K左 方时 ( 0 ≤ x ≤ a ) ，取 K右边为隔离体
结构力学第四章知识讲解
位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
《结构力学》_第4章_2014-1
i
B
d
B
A
B
Q
d
B
A N
A 1
i
Q
FN
i A
N
1
A
B
FN
A
虚功方程：
F Q 1 sin
F N 1 cos
虚功方程：
1 Q F Q d 0
者的叠加，有：
Q F Q d
1 N F N d 0
N F N d
虚功方程
FR 1
b a
FR 1
b 1 FR 1 c1 0 c1 a
小结：⑴ 形式是虚功方程，实质是几何方程； ⑵ 在拟求位移方向虚设一单位力（单位荷载），利用平衡条件求 出与已知位移 相应的支座反力。构造一个平衡力系； ⑶ 特点是用静力平衡条件解决几何问题。
4、支座移动时静定结构的位移计算
4 3
C C 1 D 3 2l
B
A
1 2l
2 l
1 c cA 3 1 (2) 1 c A 0 2l 1 cA 2l
求解步骤：⑴ 沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； ⑵ 代入公式
FR k ck 解得，根据正负号定出方向。
D
C E
练习4-1：三铰刚架B支座发生移动如图示，求铰C两侧杆端的相对转角φ。
B
d
A
m
i
a
B
d
a
A
m
虚功方程：
1 m M d 0 m M d
( c)
B
M
1
A
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对剪位移d ，试求A点在 i－ i 方向的位移 Q 。
结构力学4-1移动荷载和影响线的概念
FP
显然：
S FP S
§4-2 静力法作影响线 ⒈ 支座反力影响线 由∑MB = 0
A
x
FP 1
l
B
x
FRA l 1 (l x ) 0 FRA l x , (0 x l ) l
FRA
O
FRB
y F RB FRB影响线 y
1
x
1
FRA影响线
§4-2 静力法作影响线 ⒉ 剪力（FQC）影响线 ⑴当FP=1 在C截面以左移 动时，取C截面以右部 分为隔离体。
E
A
x F 1 P
B
F
a
l1
C
b
D
d
FRA
1
l
①作FRA 影响线。
FRA影响线
FRB
l2
FRA l x , (l1 x l l2 ) l
②作FRB 影响线。 由∑MA=0，得：
以A点为坐标原点，横坐标 x 以向右为正。 由∑MB=0，得：
FRB影响线
l1 l
l2 l
1
1
l2 l
l
A
x
a
FP 1 C
b
l
B
x
FRA
FRB
M图
ab l
M则表示FP = 1 作用于C时， 梁的各截面弯矩值。
MC影响线表示截面C的弯矩 随FP = 1 作用位置的移动而 变化的规律。 ab l
MC 影响线
例 作FRA、FRB、FQC、FQD 的影响线。 解： ⑴ 支座反力的影响线。
l 1 1 l
FRB x , (l1 x l l2 ) l
x F 1 P 例 作FRA、FRB、FQC、FQD E A B F 的影响线。 D C 解： d b a ⑵作剪力FQC的影响线： l2 l1 l 当FP = 1 在C 截面以左时， FRA FRB 取C 截面的右边为隔离体： 1 l1 1 F 影响线 RA B F l
结构力学 第四章 作业参考答案
结构力学 第四章习题 参考答案2005级4－1 图示抛物线拱的轴线方程24(fy x l l=−)x ，试求截面K 的内力。
解：（1） 求支座反力801155 kN 16AV AV F F ×=== 0805(5580)0.351500.93625 kN 16BV BV F F ×==−×+×== 0Mc 55880350 kN 4H F f ×−×===（2） 把及代入拱轴方程有:16m l =4m f =(16)16xy =−x （1）由此可得:(8)tan '8x y θ−==（2） 把截面K 的横坐标 ,代入（1），（2）两式可求得: 5m x ==＞, 3.44m y =tan 0.375θ= 由此可得:20.56θ= 则有sin 0.351θ=,cos 0.936θ=最后得出截面k 处的内力为: (上标L 表示截面K 在作用力左边，R 则表示截面在作用力右边)055550 3.44103 kN m K H M M F y =−=×−×=i0cos sin 550.936500.35133.93 kN L sK s H F F F θθ=−=×−×= (5580)0.936500.35140.95 kN R sK F =−×−×==40.95 KN 0sin cos 550.351500.93666.1 kN L NK s H F F F θθ=+=×+×= (5580)0.351500.93638.03 kN R NK F =−×+×=4－2 试求拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。
解：（1）以水平方向为X 轴,竖直方向为Y 轴取直角坐标系，可得K 点的坐标为：2m6mK K x y =⎧⎪⎨==⎪⎩ （2）三铰拱整体分别对A ，B 两点取矩，由平衡方程可解得支座反力：0 20210500 20210500 2100A By B Ay x Ax M F M F F F ⎧=×−××⎪⎪=×+××⎨⎪=−×=⎪⎩∑∑∑=== =＞ 5 kN ()20 kN () 5 kN ()Ay Ax By F F F =−⎧⎪=−⎨⎪=⎩向下向上向左（3）把拱的右半部分隔离，对中间铰取矩，列平衡方程可求得横拉杆轴力为：CN 0 105100MF =×−×∑=＞N 5 kN F =（4）去如图所示的α角，则有：=＞cos 0.6sin 0.8θθ=⎧⎨=⎩于是可得出K 截面的内力，其中：22(6)206525644 kN m 2K M ×=−+×−×−×=isK F (20265)sin 5cos 0.6 kN θθ=−×−×−×=− NK F (20265)cos 5sin 5.8 kN θθ=−−×−×−×=−13K M F r Fr ==（内侧受拉） K 截面作用有力，剪力有突变 且有01sin3032LSK 2F F F F =−=−×=− （2） 22R SK F FF F =−=（3）011sin30(326NKF F F F ==×=拉力）（4）4-4 试求图示三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线方程。
计算结构力学第四章
v(x) {X}T14[G]414{}
(7)
这里
[N(x)][N1(x) N2(x) N3(x) N4(x)]
1 3 x l 2 2 x l 3x 1 x l 23 x l 2 2 x l 3x x l 1 x l ( 8 )
1、选择位移函数
考虑图示桁架单元(等截面直杆)在杆端力作用 下杆内应力应变均为常量，根据轴力杆单元的几 何条件(应变-位移关系)，故可将单元位移场选为：
u=a1+a2x
(1)
其中：u=u(x)即为单元位移函数(单元位移模式)
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y
Fxi
EA,l
F xj
i
j
x
x
式(1)中：
a1——刚体位移项； a2——常应变项。 满足单元位移模式的选择准则。将(1)式写成矩阵形式
a1
a2l
(4)
可将上式写成矩阵形式
{
}
ui
u
j
1 1
0
l
a1 a2
[G
]{a}
(5)
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求 [ G ]的 逆 :
1 0
[G ]1
1
1
(6)
l l
代 入 (5), 便 可 求 出 常 数 (系 数 )矩 阵 {a} :
{a} [G ]1{ }
(7 )
将 ( 7 ) 代 入 ( 2 ), 即 可 求 出 u ( x )的 结 点 位 移 插 值 形 式
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Ni(x)仍满足： ①0—l 特性；
②在区间内仍按(1)式的形式变化(三次函数)。(7)式称 Hermite型插值(不考虑函数本身，包括函数的导数均作为 内插函数)。
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lx M CFyAal a(ax5l4)
剪力的正向以使微 段隔离体顺时针方 向转动为正，则
FQCFyBxl(0xa) FQCFyAl lx(ax5l4)
以下讨论指定截面C位 于梁的悬臂梁时，弯矩 和剪力影响线的绘制
为方便起见，可以将 荷载作用位置参数x的 原点取在上述指定截 面处，如右上图所示
则
MC x FQC 1
第四章 静定结构的影响线
§4- 2 静力法作影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程，由函 数作图的方法称作静力法。 1、一端伸臂梁的影响线
若取向上为正，梁 支座反力 F y A 和 F y B 的影响线方程为：
FyA
l
l
x
F yB
x l
若弯矩以使梁下边 纤维受拉为正，则
MCFyBbxlb(0xa)
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
AK
B
C
D
E
F
G
2m 2m 2m 2m
4m
2m
I.L.MC I.L.MD
2m +
－ 2m
－ 2m
+ 2m + 2m
②作MC影响线 在基本梁ABC上竖标为零，在CDE梁单跨 梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F
点影响线竖标为零，由此绘出MK影响线如图所示。
时D截面内力等于零，
+
在D以外移动时D
截面才有内力
故伸臂上截面内力 _ 影响线在该截面以外 的伸臂段上才有非零 值。
x FP=1
C
a
b
l
DF
B
d
RB l2
－+ １1
RB.I.L
b/l + － a/l
ab/l +
QC.I.L
QDM.Ic.LI.L
MD.I.L
QB左.I.L
－
+1
_
-d
3、多跨静定梁的影响线
作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。
①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应 单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处 影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。
②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的 影响线相同。
如要作下图所示多跨静定梁MK的影响线时，先作伸臂梁HE的MK的影响线， 然后注意到将P =1置于C，D点时产生的MK等于零，所以MK影响线在C、 D点竖标为零，最后在附属梁上依结点E，F为界连成直线，影响线如图所示。 作RC影响线时，在EF范围按伸臂梁反力影响线绘制，在与其相关的基本梁HE 范围内RC影响线竖标为零，与其相关的附属梁FG范围RC影响线按直线规律变 化，RC影响线在D点竖标为零，影响线如图所示。
机动法可以将求解内力的静力学问题转化为求 位移图的几何学问题，绘制过程一般十分快捷
以下以伸臂梁为例，介绍如何按机动法作影响线
先将于 F y B 相应的 支座链杆撤除，代 之以支座反力 F y B
此时结构已化为具有一个自由度的机构。现使 结构顺着F y B 的正方向发生虚位移，如下图所示
B 和 P 分别表示B
2、两端伸臂梁的影响线
①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁 的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得。
②伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在 截面以内部分上影响线竖标为零。伸臂梁的一些量值影响线如下图。
伸臂梁的影响线绘制
E
由平衡条件可得:
A
x FP=1 C
于B点而得到。
反力影响线是基本的 弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出
例1 试用静力法作下图中所示梁的反力F y B 和弯矩M C 的影响线
先作反力 F y B 的影响线 由整体平衡条件
Fy 0 得
F yB 1
在作弯矩 M C 的影响线 时，取支座A为坐标原 点，有
MC M FyB Aa3aa( 0x(2 xa2a x)4a)
若指定截面取在支座B, M B 的影响线只需在 M C 影响线中取 d l 4 即可
对于支座截面处的剪力影
响线，因在支座处剪力会
发生突变，所以必须按左
右两个截面分别绘制，分
别记为
F
L QB
和
F
R QB
F
L QB
的影响线可以在右
图中使截面C趋近于
B点而得到
F
R QB
的影响线也可以在
右图中使截面C趋近
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
重新播放请点 重新播放
§4- 3 机动法作影响线
理论依据：刚体系虚功原理
刚体系在力系作用下处于平衡时，在任何可能 的无限小的位移中，力系所作功的总和为零。
力影响线方程与简支梁对应
( a, l ]
量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。
故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先
作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。
伸臂梁的影响线
故欲作伸臂梁的 反力及支座间的截 面内力影响线，可 先作简支梁的影响 线，然后向伸臂上 延伸。
E A
l1 RA
+
－
当FP=1在D以里移动
例2、作图示多跨静定梁的 MK，MC，QB左，MD，影响线。
AK
B
C
D
E
F
G
ABC是基本 梁，CDE为 其附属梁，
同时也是 EFG的基本 梁，EFG是 附属梁。
2m 2m
1m
+
I.L.MKቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2m 2m
1m +
－
4m
2m
－
+ 1m
1m
I.L.QB左
1/2 +
－ 1 － 1/2
－ 1/2
+ 1/2
①作MK、QB左影响线：在ABC梁上按伸臂梁影响线绘 制，在CDE梁上影响线为一直线，且平行于C右的直线，在 铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F点MK、QB左影 响线竖标为零，由此绘出MK、QB左影响线如图所示。
F B
RB=x/l [－l1，l+l2 ]
l1 RA
a
b
l
RB l2
当P=1在EC上时：
QC=－RB=－x/l [－l1，a）
x Aa
RA
FP=C1 b
l
B RB.
当P=1在CF上时：
QC=RA=（l－x）/l （a，l+l2]
伸臂梁支座反力及支座间内
RB=x/l [0 ,l ]
当P=1在AC上移动 QC=－x/l [0，a） 当P=1在CB上移动 QC=（l－x）/l
点处和移动荷载作 用点处的虚位移
B 取与 F y B 方向一致为正; P 取与 F P 方向一致为正
列出虚功方程： 1PFyBB0
1PFyBB0
若使 B 1 ，则有
FyB P
剪力的正向以使微 段隔离体顺时针方 向转动为正，则
FQCFyBxl(0xa) FQCFyAl lx(ax5l4)
以下讨论指定截面C位 于梁的悬臂梁时，弯矩 和剪力影响线的绘制
为方便起见，可以将 荷载作用位置参数x的 原点取在上述指定截 面处，如右上图所示
则
MC x FQC 1
第四章 静定结构的影响线
§4- 2 静力法作影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程，由函 数作图的方法称作静力法。 1、一端伸臂梁的影响线
若取向上为正，梁 支座反力 F y A 和 F y B 的影响线方程为：
FyA
l
l
x
F yB
x l
若弯矩以使梁下边 纤维受拉为正，则
MCFyBbxlb(0xa)
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
AK
B
C
D
E
F
G
2m 2m 2m 2m
4m
2m
I.L.MC I.L.MD
2m +
－ 2m
－ 2m
+ 2m + 2m
②作MC影响线 在基本梁ABC上竖标为零，在CDE梁单跨 梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F
点影响线竖标为零，由此绘出MK影响线如图所示。
时D截面内力等于零，
+
在D以外移动时D
截面才有内力
故伸臂上截面内力 _ 影响线在该截面以外 的伸臂段上才有非零 值。
x FP=1
C
a
b
l
DF
B
d
RB l2
－+ １1
RB.I.L
b/l + － a/l
ab/l +
QC.I.L
QDM.Ic.LI.L
MD.I.L
QB左.I.L
－
+1
_
-d
3、多跨静定梁的影响线
作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。
①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应 单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处 影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。
②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的 影响线相同。
如要作下图所示多跨静定梁MK的影响线时，先作伸臂梁HE的MK的影响线， 然后注意到将P =1置于C，D点时产生的MK等于零，所以MK影响线在C、 D点竖标为零，最后在附属梁上依结点E，F为界连成直线，影响线如图所示。 作RC影响线时，在EF范围按伸臂梁反力影响线绘制，在与其相关的基本梁HE 范围内RC影响线竖标为零，与其相关的附属梁FG范围RC影响线按直线规律变 化，RC影响线在D点竖标为零，影响线如图所示。
机动法可以将求解内力的静力学问题转化为求 位移图的几何学问题，绘制过程一般十分快捷
以下以伸臂梁为例，介绍如何按机动法作影响线
先将于 F y B 相应的 支座链杆撤除，代 之以支座反力 F y B
此时结构已化为具有一个自由度的机构。现使 结构顺着F y B 的正方向发生虚位移，如下图所示
B 和 P 分别表示B
2、两端伸臂梁的影响线
①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁 的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得。
②伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在 截面以内部分上影响线竖标为零。伸臂梁的一些量值影响线如下图。
伸臂梁的影响线绘制
E
由平衡条件可得:
A
x FP=1 C
于B点而得到。
反力影响线是基本的 弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出
例1 试用静力法作下图中所示梁的反力F y B 和弯矩M C 的影响线
先作反力 F y B 的影响线 由整体平衡条件
Fy 0 得
F yB 1
在作弯矩 M C 的影响线 时，取支座A为坐标原 点，有
MC M FyB Aa3aa( 0x(2 xa2a x)4a)
若指定截面取在支座B, M B 的影响线只需在 M C 影响线中取 d l 4 即可
对于支座截面处的剪力影
响线，因在支座处剪力会
发生突变，所以必须按左
右两个截面分别绘制，分
别记为
F
L QB
和
F
R QB
F
L QB
的影响线可以在右
图中使截面C趋近于
B点而得到
F
R QB
的影响线也可以在
右图中使截面C趋近
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
重新播放请点 重新播放
§4- 3 机动法作影响线
理论依据：刚体系虚功原理
刚体系在力系作用下处于平衡时，在任何可能 的无限小的位移中，力系所作功的总和为零。
力影响线方程与简支梁对应
( a, l ]
量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。
故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先
作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。
伸臂梁的影响线
故欲作伸臂梁的 反力及支座间的截 面内力影响线，可 先作简支梁的影响 线，然后向伸臂上 延伸。
E A
l1 RA
+
－
当FP=1在D以里移动
例2、作图示多跨静定梁的 MK，MC，QB左，MD，影响线。
AK
B
C
D
E
F
G
ABC是基本 梁，CDE为 其附属梁，
同时也是 EFG的基本 梁，EFG是 附属梁。
2m 2m
1m
+
I.L.MKቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2m 2m
1m +
－
4m
2m
－
+ 1m
1m
I.L.QB左
1/2 +
－ 1 － 1/2
－ 1/2
+ 1/2
①作MK、QB左影响线：在ABC梁上按伸臂梁影响线绘 制，在CDE梁上影响线为一直线，且平行于C右的直线，在 铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F点MK、QB左影 响线竖标为零，由此绘出MK、QB左影响线如图所示。
F B
RB=x/l [－l1，l+l2 ]
l1 RA
a
b
l
RB l2
当P=1在EC上时：
QC=－RB=－x/l [－l1，a）
x Aa
RA
FP=C1 b
l
B RB.
当P=1在CF上时：
QC=RA=（l－x）/l （a，l+l2]
伸臂梁支座反力及支座间内
RB=x/l [0 ,l ]
当P=1在AC上移动 QC=－x/l [0，a） 当P=1在CB上移动 QC=（l－x）/l
点处和移动荷载作 用点处的虚位移
B 取与 F y B 方向一致为正; P 取与 F P 方向一致为正
列出虚功方程： 1PFyBB0
1PFyBB0
若使 B 1 ，则有
FyB P