结构力学第四章-1
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点处和移动荷载作 用点处的虚位移
B 取与 F y B 方向一致为正; P 取与 F P 方向一致为正
列出虚功方程： 1PFyBB0
1PFyBB0
若使 B 1 ，则有
FyB P
机动法可以将求解内力的静力学问题转化为求 位移图的几何学问题，绘制过程一般十分快捷
以下以伸臂梁为例，介绍如何按机动法作影响线
先将于 F y B 相应的 支座链杆撤除，代 之以支座反力 F y B
此时结构已化为具有一个自由度的机构。现使 结构顺着F y B 的正方向发生虚位移，如下图所示
B 和 P 分别表示B
lx M CFyAal a(ax5l4)
剪力的正向以使微 段隔离体顺时针方 向转动为正，则
FQCFyBxl(0xa) FQCFyAl lx(ax5l4)
以下讨论指定截面C位 于梁的悬臂梁时，弯矩 和剪力影响线的绘制
为方便起见，可以将 荷载作用位置参数x的 原点取在上述指定截 面处，如右上图所示
则
MC x FQC 1
若指定截面取在支座B, M B 的影响线只需在 M C 影响线中取 d l 4 即可
对于支座截面处的剪力影
响线，因在支座处剪力会
发生突变，所以必须按左
右两个截面分别绘制，分
别记为
F
L QB
和
F
R QB
F
L QB
的影响线可以在右
图中使截面C趋近于
B点而得到
Fபைடு நூலகம்
R QB
的影响线也可以在
右图中使截面C趋近
第四章 静定结构的影响线
§4- 2 静力法作影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程，由函 数作图的方法称作静力法。 1、一端伸臂梁的影响线
若取向上为正，梁 支座反力 F y A 和 F y B 的影响线方程为：
FyA
l
l
x
F yB
x l
若弯矩以使梁下边 纤维受拉为正，则
MCFyBbxlb(0xa)
力影响线方程与简支梁对应
( a, l ]
量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。
故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先
作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。
伸臂梁的影响线
故欲作伸臂梁的 反力及支座间的截 面内力影响线，可 先作简支梁的影响 线，然后向伸臂上 延伸。
E A
l1 RA
+
－
当FP=1在D以里移动
例2、作图示多跨静定梁的 MK，MC，QB左，MD，影响线。
AK
B
C
D
E
F
G
ABC是基本 梁，CDE为 其附属梁，
同时也是 EFG的基本 梁，EFG是 附属梁。
2m 2m
1m
+
I.L.MK
2m 2m
1m +
－
4m
2m
－
+ 1m
1m
I.L.QB左
1/2 +
－ 1 － 1/2
－ 1/2
+ 1/2
①作MK、QB左影响线：在ABC梁上按伸臂梁影响线绘 制，在CDE梁上影响线为一直线，且平行于C右的直线，在 铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F点MK、QB左影 响线竖标为零，由此绘出MK、QB左影响线如图所示。
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
重新播放请点 重新播放
§4- 3 机动法作影响线
理论依据：刚体系虚功原理
刚体系在力系作用下处于平衡时，在任何可能 的无限小的位移中，力系所作功的总和为零。
于B点而得到。
反力影响线是基本的 弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出
例1 试用静力法作下图中所示梁的反力F y B 和弯矩M C 的影响线
先作反力 F y B 的影响线 由整体平衡条件
Fy 0 得
F yB 1
在作弯矩 M C 的影响线 时，取支座A为坐标原 点，有
MC M FyB Aa3aa( 0x(2 xa2a x)4a)
时D截面内力等于零，
+
在D以外移动时D
截面才有内力
故伸臂上截面内力 _ 影响线在该截面以外 的伸臂段上才有非零 值。
x FP=1
C
a
b
l
DF
B
d
RB l2
－+ １1
RB.I.L
b/l + － a/l
ab/l +
QC.I.L
QDM.Ic.LI.L
MD.I.L
QB左.I.L
－
+1
_
-d
3、多跨静定梁的影响线
F B
RB=x/l [－l1，l+l2 ]
l1 RA
a
b
l
RB l2
当P=1在EC上时：
QC=－RB=－x/l [－l1，a）
x Aa
RA
FP=C1 b
l
B RB.
当P=1在CF上时：
QC=RA=（l－x）/l （a，l+l2]
伸臂梁支座反力及支座间内
RB=x/l [0 ,l ]
当P=1在AC上移动 QC=－x/l [0，a） 当P=1在CB上移动 QC=（l－x）/l
如要作下图所示多跨静定梁MK的影响线时，先作伸臂梁HE的MK的影响线， 然后注意到将P =1置于C，D点时产生的MK等于零，所以MK影响线在C、 D点竖标为零，最后在附属梁上依结点E，F为界连成直线，影响线如图所示。 作RC影响线时，在EF范围按伸臂梁反力影响线绘制，在与其相关的基本梁HE 范围内RC影响线竖标为零，与其相关的附属梁FG范围RC影响线按直线规律变 化，RC影响线在D点竖标为零，影响线如图所示。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
AK
B
C
D
E
F
G
2m 2m 2m 2m
4m
2m
I.L.MC I.L.MD
2m +
－ 2m
－ 2m
+ 2m + 2m
②作MC影响线 在基本梁ABC上竖标为零，在CDE梁单跨 梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F
点影响线竖标为零，由此绘出MK影响线如图所示。
作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。
①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应 单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处 影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。
②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的 影响线相同。
2、两端伸臂梁的影响线
①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁 的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得。
②伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在 截面以内部分上影响线竖标为零。伸臂梁的一些量值影响线如下图。
伸臂梁的影响线绘制
E
由平衡条件可得:
A
x FP=1 C
B 取与 F y B 方向一致为正; P 取与 F P 方向一致为正
列出虚功方程： 1PFyBB0
1PFyBB0
若使 B 1 ，则有
FyB P
机动法可以将求解内力的静力学问题转化为求 位移图的几何学问题，绘制过程一般十分快捷
以下以伸臂梁为例，介绍如何按机动法作影响线
先将于 F y B 相应的 支座链杆撤除，代 之以支座反力 F y B
此时结构已化为具有一个自由度的机构。现使 结构顺着F y B 的正方向发生虚位移，如下图所示
B 和 P 分别表示B
lx M CFyAal a(ax5l4)
剪力的正向以使微 段隔离体顺时针方 向转动为正，则
FQCFyBxl(0xa) FQCFyAl lx(ax5l4)
以下讨论指定截面C位 于梁的悬臂梁时，弯矩 和剪力影响线的绘制
为方便起见，可以将 荷载作用位置参数x的 原点取在上述指定截 面处，如右上图所示
则
MC x FQC 1
若指定截面取在支座B, M B 的影响线只需在 M C 影响线中取 d l 4 即可
对于支座截面处的剪力影
响线，因在支座处剪力会
发生突变，所以必须按左
右两个截面分别绘制，分
别记为
F
L QB
和
F
R QB
F
L QB
的影响线可以在右
图中使截面C趋近于
B点而得到
Fபைடு நூலகம்
R QB
的影响线也可以在
右图中使截面C趋近
第四章 静定结构的影响线
§4- 2 静力法作影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程，由函 数作图的方法称作静力法。 1、一端伸臂梁的影响线
若取向上为正，梁 支座反力 F y A 和 F y B 的影响线方程为：
FyA
l
l
x
F yB
x l
若弯矩以使梁下边 纤维受拉为正，则
MCFyBbxlb(0xa)
力影响线方程与简支梁对应
( a, l ]
量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。
故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先
作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。
伸臂梁的影响线
故欲作伸臂梁的 反力及支座间的截 面内力影响线，可 先作简支梁的影响 线，然后向伸臂上 延伸。
E A
l1 RA
+
－
当FP=1在D以里移动
例2、作图示多跨静定梁的 MK，MC，QB左，MD，影响线。
AK
B
C
D
E
F
G
ABC是基本 梁，CDE为 其附属梁，
同时也是 EFG的基本 梁，EFG是 附属梁。
2m 2m
1m
+
I.L.MK
2m 2m
1m +
－
4m
2m
－
+ 1m
1m
I.L.QB左
1/2 +
－ 1 － 1/2
－ 1/2
+ 1/2
①作MK、QB左影响线：在ABC梁上按伸臂梁影响线绘 制，在CDE梁上影响线为一直线，且平行于C右的直线，在 铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F点MK、QB左影 响线竖标为零，由此绘出MK、QB左影响线如图所示。
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
重新播放请点 重新播放
§4- 3 机动法作影响线
理论依据：刚体系虚功原理
刚体系在力系作用下处于平衡时，在任何可能 的无限小的位移中，力系所作功的总和为零。
于B点而得到。
反力影响线是基本的 弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出
例1 试用静力法作下图中所示梁的反力F y B 和弯矩M C 的影响线
先作反力 F y B 的影响线 由整体平衡条件
Fy 0 得
F yB 1
在作弯矩 M C 的影响线 时，取支座A为坐标原 点，有
MC M FyB Aa3aa( 0x(2 xa2a x)4a)
时D截面内力等于零，
+
在D以外移动时D
截面才有内力
故伸臂上截面内力 _ 影响线在该截面以外 的伸臂段上才有非零 值。
x FP=1
C
a
b
l
DF
B
d
RB l2
－+ １1
RB.I.L
b/l + － a/l
ab/l +
QC.I.L
QDM.Ic.LI.L
MD.I.L
QB左.I.L
－
+1
_
-d
3、多跨静定梁的影响线
F B
RB=x/l [－l1，l+l2 ]
l1 RA
a
b
l
RB l2
当P=1在EC上时：
QC=－RB=－x/l [－l1，a）
x Aa
RA
FP=C1 b
l
B RB.
当P=1在CF上时：
QC=RA=（l－x）/l （a，l+l2]
伸臂梁支座反力及支座间内
RB=x/l [0 ,l ]
当P=1在AC上移动 QC=－x/l [0，a） 当P=1在CB上移动 QC=（l－x）/l
如要作下图所示多跨静定梁MK的影响线时，先作伸臂梁HE的MK的影响线， 然后注意到将P =1置于C，D点时产生的MK等于零，所以MK影响线在C、 D点竖标为零，最后在附属梁上依结点E，F为界连成直线，影响线如图所示。 作RC影响线时，在EF范围按伸臂梁反力影响线绘制，在与其相关的基本梁HE 范围内RC影响线竖标为零，与其相关的附属梁FG范围RC影响线按直线规律变 化，RC影响线在D点竖标为零，影响线如图所示。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
AK
B
C
D
E
F
G
2m 2m 2m 2m
4m
2m
I.L.MC I.L.MD
2m +
－ 2m
－ 2m
+ 2m + 2m
②作MC影响线 在基本梁ABC上竖标为零，在CDE梁单跨 梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F
点影响线竖标为零，由此绘出MK影响线如图所示。
作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。
①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应 单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处 影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。
②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的 影响线相同。
2、两端伸臂梁的影响线
①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁 的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得。
②伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在 截面以内部分上影响线竖标为零。伸臂梁的一些量值影响线如下图。
伸臂梁的影响线绘制
E
由平衡条件可得:
A
x FP=1 C