第八章 维纳滤波
维纳滤波
维纳滤波滤波器概念常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，如RC低通滤波器、LC谐振回路等。
但对于混在随机信号中的噪声滤波，这些简单的电路就不是最佳滤波器，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
不管滤波器具有什么样的频率响应，均不可能做到噪声完全滤掉，信号波形的不失真。
因此，滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
维纳滤波定义及发展维纳滤波滤除背景噪声20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
维纳滤波是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。
利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立。
维纳滤波基本概念从噪声中提取信号波形的各种估计方法中，维纳（Wiener）滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。
设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。
期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。
因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。
为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。
如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。
根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。
维纳滤波的应用综述
基于维纳滤波的应用综述一、维纳滤波概述维纳(wiener)滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)的方法。
实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。
一个线性系统，如果它的单位样本响应为h (n )，当输入一个随机信号x (n )，且x (n )=s (n )+v (n ) （1.1）其中s(n)表示信号，v(n)表示噪声，则输出y(n)为()=()()my n h m x n m -∑ （1.2）我们希望x (n )通过线性系统h (n )后得到的y (n )尽量接近于s (n )，因此称y (n )为s (n )的估计值，用^s 表示，即 ^()()y n s n = （1.3）实际上，式(1.2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x (n )，x (n -1)，x (n -2)…x (n -m )，来估计信号的当前值^()s n 。
因此，用h (n )进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。
由于现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。
维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。
对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。
维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。
因此，维纳滤波在实际问题中应用不多，更多的是基于维纳滤波器发展而来的滤波方式。
二、基于维纳滤波的应用2.1在飞机盲降着陆系统中的应用盲降着陆系统(ILS)又译为仪表着陆系统。
它的作用是由地面发射的两束无线电信号实现航向道和下滑道指引，建立一条由跑道指向空中的虚拟路径。
飞机通过机载接收设备确定自身与该路径的相对位置，使飞机沿正确方向飞向跑道并且平稳下降高度。
【精选】图像处理-维纳滤波复原【PPT】PPT课件
维纳滤波
逆滤波处理比较简单，但没有清楚地说 明如何处理噪声，而维纳滤波综合了退化函 数和噪声统计特性两个方面进行复原处理。
逆滤波方法不能完全恢复原始信号f(x,y)，而只能
求出f(x,y)的一个估计值 ˆf x, y 。
希望找到一种方法，在有噪声条件下，从退化图像 g(x,y)复原出f(x,y)的估计值，该估计值符合一定的准 则。
1.储蓄存款
储 蓄 存 款
各考点细化及理解
考点一
收益
利息利=率本：金年X、利月
利率分：类
定流期动：性收：益转高化，为
1.由央行拟定，国活务期院：批收准益低、
2.贷款利率＞存款利率 3. 调风节险存、贷款量—通—胀通货风胀币险、量：提购前
4率.实多际少收益条件适：费中当，最利过好率少，＞不过通利多胀于不
“定存两年”相差( ) A．2 719.5元
D B．1 024.98元
C．960元
D．919.5元
80 000×2.85%×2-[80 000×2.25%＋(80
000×2.25%)×2.25%]
各考点细化及理解
考点二
1.商业银行 中央银行
不为利润
我 国
债权人——借钱出去 债务人——借钱进来
业务
银
关于利率的那些事
2.利率作用
利 率 调 节 经 济
各考点细化及理解
考点一
经济过热
提高利率，减少市
经济滞缓
降低利率，增加市
对点训练
1.某商业银行一年和两年定期存款利率分别是2.
，存款到期不取，银行会自动将利息并入本金再转
陈医生有80 000元现金，考虑到可能的应急需要，
维纳滤波的使用最全PPT
m0
m0 r0
Rss(0)2 hopt(m)Rxs(m) hopt(m)[ hopt(r)Rxx(mr)]
m0
m0
r0
由式子5－9进一步简化得：
E[e2(n)]min Rss(0) hopt(m)Rxs(m) m0
有限脉冲响应法求解维纳－霍夫方程
设h(n)是一个因果序列且可以用有限长（N点长）
h(n)
y(n)= sˆ(n)
维纳滤波技术可应用于以下三个方面：
滤波：用当前的和过去的观测值来估计当前的信
号 y(n)sˆ(n)，称为滤波；
预测：用过去的观测值来估计当前的或将来的信
号 y(n ) s ˆ(n N )N , 0 ，称为预测；
平滑或内插：用过去的观测值来估计过去的信
号 y(n)s ˆ(nN )N ,1 ，称为平滑或者内插。
的序列去逼进它，则式(5-5) －(5-10)分别发生
变化：
N1
y(n)sˆ(n)h(m)x(nm) m0 N
E [e2(n) ]E [s((n) h(m )x(nm )2)]
(5-11) (5-12)
m 0
N 1
2 E [s ( ( n )h o( p m )x t(n m )x ( ) n j)] 0 ,j 0 ,1 ,2 .N . .1
维纳滤波器的限制：要求被估计的随机信号 是平稳的。
（2）维纳滤波技术：从噪声中提取有 用的平稳随机信号。
x(n)=s(n)+w(n) h(n)
y(n)=sˆ(n)
基础知识点回顾
1.卷积运算 2.相关运算 3.信号与系统
设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是h(n)，当 输入一个观测到的随机信号x(n)，简称观测值，且 该信号包含噪声w(n)和有用信号s(n)，也即 x(n)=s(n)+w(n)
维纳滤波原理
维纳滤波原理维纳滤波是一种信号处理中常用的滤波方法，它的原理是基于最小均方误差准则，通过对信号和噪声的统计特性进行分析，设计一种能够最小化系统输出与期望输出之间均方误差的滤波器。
维纳滤波在图像处理、语音处理、雷达信号处理等领域都有广泛的应用，下面我们来详细了解一下维纳滤波的原理和应用。
首先，我们需要了解维纳滤波的基本模型。
维纳滤波的输入信号可以表示为s(n)，噪声信号表示为v(n)，系统输出信号表示为x(n)，那么维纳滤波器的输出可以表示为：x(n) = w(n) s(n) + v(n)。
其中，表示卷积操作，w(n)表示滤波器的权值。
维纳滤波的目标是设计一个滤波器，使得系统输出信号x(n)与期望输出信号d(n)之间的均方误差最小，即最小化误差信号e(n)的均方值E[e^2(n)]。
根据最小均方误差准则，我们可以得到维纳滤波器的最优解为：w(n) = R_ss^(-1) p_s。
其中，R_ss表示输入信号s(n)的自相关矩阵，p_s表示输入信号s(n)与期望输出信号d(n)的互相关向量。
这个公式描述了维纳滤波器的权值与输入信号和期望输出信号的统计特性之间的关系。
维纳滤波器的设计需要对输入信号和噪声信号的统计特性有一定的了解。
通常情况下，输入信号和噪声信号被假设为高斯分布，因此可以通过它们的均值和方差来描述它们的统计特性。
在实际应用中，我们可以通过对信号和噪声的样本进行统计分析，估计它们的均值和方差，进而设计维纳滤波器。
除了基本的维纳滤波器设计原理，维纳滤波还有一些扩展应用。
例如，当输入信号和噪声信号的统计特性未知或难以估计时，我们可以通过自适应滤波的方法来实现维纳滤波。
自适应滤波器可以根据系统的实时输入信号和输出信号来动态地调整滤波器的权值，以适应信号和噪声的变化特性，从而实现更好的滤波效果。
维纳滤波在图像处理中有着广泛的应用。
在数字图像处理中，图像通常会受到噪声的影响，例如加性高斯噪声、椒盐噪声等。
维纳滤波基本概念
Wiener 滤波概述Wiener 滤波器是从统计意义上的最优滤波,它要求输入信号是宽平稳随机序列,本章主要集中在FIR 结构的Wiener 滤波器的讨论。
由信号当前值与它的各阶延迟({n x )n ，§3.1从估计理论观点导出Wiener 滤波FIR 结构(也称为横向)的Wiener 滤波器的核心结构如图4所示. 图4.横向Wiener 滤波器FIR 结构的Wiener 是一个线性Beyesian 估计问题.为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入)(n x 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数}1,0,{-=M i w i 使估计误差均方值最小，均方误差定义为：xx R 这里线性0w或a1) 波可能会达到更好结果。
2) 在联合高斯条件下，Wiener 滤波也是总体最优的（①从Bayesian 估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件） 3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w 时，其误差性能表示：它是w 的二次曲面，只有一个最小点，0w w =时，m in )(J w J =§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener 滤波器 Wiener 滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR 或FIR 的。
导出最优滤波器的正交原理,并从正交原理出发重新导出一般IIR 。
=∑∞=--0*)(][k kk n x w n d均方误差是：{}][*][n e n e E J ={}2|][|n e E = 设权系数:k k k jb a w +=定义递度算子Tk ],,[10 ∇∇∇=∇.其中k k k k b ja w ∂∂+∂∂=∂∂=∇符号J ∇是递度算子作用于J ，其中第k 项为：k k k b Jja J J ∂∂+∂∂=∇要求由J 得∇[nje J k由[e a k∂k 代入J k ∇表达式整理得：]][*][[2n e k n x E J k --=∇当0=∇Jk ,1,0=k 时，J 达到最小。
维纳滤波文档
维纳滤波1. 简介维纳滤波（Wiener filtering）是一种经典的信号处理技术，用于消除信号中的噪声并恢复原始信号。
它是由诺贝尔奖获得者诺里斯·伯特·维纳（Norbert Wiener）于1949年提出的。
维纳滤波基于统计信号处理理论，通过在频域对信号和噪声进行建模，利用最小均方误差准则来估计信号。
它可以应用于许多领域，例如图像处理、语音信号处理、雷达信号处理等。
2. 维纳滤波的原理维纳滤波的目标是根据信号和噪声的统计特性，对接收到的被噪声污染的信号进行优化处理，以尽可能地恢复原始信号。
其基本原理可以分为以下几个步骤：2.1 信号与噪声建模首先，需要对信号和噪声进行建模。
假设接收到的信号为s(s)，噪声为s(s)，那么接收到的被噪声污染的信号可以表示为：s(s)=s(s)+s(s)2.2 计算信号和噪声的统计特性通过观测和采样，可以估计信号和噪声的统计特性，例如均值、方差、功率谱密度等。
以图像处理为例，可以通过对图像的样本进行统计分析来估计信号和噪声的统计特性。
2.3 估计滤波器函数利用信号和噪声的统计特性，可以估计滤波器函数s(s)，其中s为频率。
滤波器函数描述了在不同频率上应该对信号进行的滤波程度。
通过估计滤波器函数，可以为不同频率的信号分配适当的增益。
2.4 滤波过程在维纳滤波中，滤波器函数s(s)是根据信号和噪声的功率谱密度来估计的。
通过将接收到的信号进行频谱变换，将频谱域中的信号与滤波器函数相乘，然后再进行逆向频谱变换，即可得到滤波后的信号。
3. 维纳滤波的应用维纳滤波在信号处理领域有广泛的应用，下面以图像处理为例说明其应用场景。
3.1 噪声去除在图像处理中，噪声往往是由于图像的采集、传输等过程中产生的。
维纳滤波可以根据图像的统计特性，将噪声进行估计，并对图像进行滤波，从而实现去噪的效果。
3.2 图像恢复图像的失真往往是由于拍摄条件、传输等因素引起的。
维纳滤波可以通过估计图像的信号特性，去除噪声和失真，从而恢复图像的细节和清晰度。
维纳滤波(最小均方滤波)
（3-10）
其中������������������ (������, ������ )为噪声功率谱，������������������ (������, ������)为图像功率谱。由式(2.5)可以看出， 当没有噪声时，有P u, v = 1/H(u, v)，维纳滤波器就可以简化的看成是逆滤波 器。 在有噪声的情况下， 维纳滤波也用信噪功率比作为修正函数对逆滤波器进行 了修正，但它在均方误差最小的意义上提供最佳恢复。 通常将噪声假设为白噪声，即噪声功率谱������������������ (������, ������ )为常数，若������������������ (������, ������)在频 谱空间上高频区下降比������������������ (������, ������ )快得多，这种假设就近似正确。于是可以认为 ������������������ ������, ������ = ������������������ 0,0 = 常数（3-11） 如果噪声时各态历经的，可以用一幅噪声图像进行计算从而求得������������������ 0,0 ，
∞ ������(������ , ������ )������(������ −∞
− ������, ������ − ������ )������������������������（3-6）
式中，������(������, ������)为维纳滤波器的点扩散函数。按照均方误差最小准则，������ ^ x, y 应该满足 ������ 2 = ������ ������ ������, ������ − ������ ^ x, y
∞ ������(������ , ������)������(������ −∞ ∞ ������(������ , ������)������(������ −∞
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rxx(λ-k)
rzx(λ)
第八章 维纳滤波 维纳-何甫积分方 程式(离散形式)：
中原工学院
N xx
机电学院
h(k )r
k 0
N
( k ) rzx ( ) 或 h(k )rxx (k ) rzx ( )
k 0
自相关函数为偶函数
▲ 维纳滤波器 如果已知x(n)与所要求的输出信号z(n)，则当x(n)的自相关函 数和z(n)与x(n)的互相关函数为已知时，求解维纳-何甫方程，即可求得满足均 方误差最小的滤波因子h(n)。这就是按照最小平方准则设计的线性滤波系统， 它是一个最佳系统，通常称为维纳滤波器。 这是一个对 称 矩阵 。 卷积形式：
第八章 维纳滤波
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机电学院
第二节
反滤波
一、回声鸣震现象及反滤波
问题的提出：在某些情况下（例如，在大礼堂内演讲，由于墙壁多次反射， 而造成回声交混，形成一片轰鸣声，使人们听不清讲话内容）所录取的信号， 可认为是原始信号经过几个物理系统（信号传输的路径或通道）作用的结果， 或者看成是源信号经过几个物理滤波器以串联形式滤波的结果。这时，采用 反滤波方法可以使真正源信号从干扰中恢复出来。
n n n n
期望输出s(n)与输入x(n)的互相关函数为
n n
rsx (k ) s(n k ) x(n) s(n k )[s(n) n(n)] rss (k )
如果以 Rss(ejω) 和 Rnn(ejω) 分别表示 rss(k) 和 rnn(k) 的频谱，即分别为 s(n) 和 n(n) 的功率谱，则在对维纳滤波的时间范围不加限制的情况下，由式H(ejω)=Rzs(ejω)/ Rxx(ejω)，可以得到维纳滤波器的频率响应应为：
Q 0, 0 n N h(n)
x(n) 的 自 相关函数
λ=nT,T 是 采样周期 z(n) 与 x(n) 的 互相关函数
N Q 2[ h(k ) x(n k ) z (n)]x(n ) h(n) n k 0 N
2 h(k ) x(n k ) x(n ) 2 z (n) x(n ) 0
第一节
一、最小平方滤波
维纳滤波
滤波因子h(t)
y (t ) h(t ) x(t )
▲ 现在的问题：设计一种滤波 器，希望获得的输出为z(t)，那么， 用什么标准来衡量 y(t) 与 z(t) 的接近 程度呢？答：最小平方标准。 ▲ 最小平方滤波器：其实际输出与
希望输出之间的均方差为最小。
输入x(t)
二、最小平方反滤波
设滤波器的冲激响应为 {h(n)}={h(0) ， h(1) ， … ， h(N)} ，使得序列 {p(n)} 经 过这个滤波器的滤波，其输出尽可能接近于单位样值序列{δ(n)}，即
h(n) p(n) y(n) (n)
h(n) [ p(n) s( n)] [ h( n) p( n)] s( n) (n) s(n) s(n)
滤波器
输出y(t)
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设 h(n) 为有限长序列，除 0≤n≤N 以外均为零； ε(n)为输出误差； E(•) 对误差 的平方求数学期望或平均值；Q为均方误差，Qmin为最小均方误差，则有
输出误差：
2 Q [ （ y n ） （ z n ） ] 均方误差： n
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x(n) r k s(n kn 0 )
k 0
此式表达了回声干扰信号的数学模型，根据此式，可求得传输函数（或称 为由于鸣震效应而产生的反射函数） 1 n
X ( z) 1 k kn0 反射函数 P( z ) r z S ( z ) k 0 1 rz n0
(n) y(n) （ z n）
滤波器输出 y (n)
N
h( k ) x ( n k )
k 0
N
Q [ h( k ) x ( n k ) （ z n） ]2
n k 0
▲ 按照最小平方滤波准则，如果h(n)是所求的最小平方滤波因子，则它的 每一个数值必须满足Q对它的一阶导数等于零的条件，即
j R ( e ) j ss H (e ) Rss (e j ) Rnn (e j )
期 望 输 出 z(n) (=s(n)) 与 输 入信号x(n)的互功率谱
输入信号x(n)的自功率谱
可见：维纳滤波器的频率响应取决于源信号与噪声的自功率谱。具有这一 频响函数的滤波器就是最小平方滤波器，即维纳滤波器。
(0) 1, (n) |n0 0
p(n i) (n) p(i)
n
毫无疑问，当i＞0，p(-i)=0，所以只有rpd(0)=p(0)不为零。可以假定p(0)=1， 根据前面的“ 时域中实现这种数字滤波的矩阵形式”，可得最小平方反滤波的矩 阵方程： rpp (1) rpp ( N ) h(0) 1 rpp (0)
反射函数 P( z ) (k 1)r z
k k 0
k 0
kn0
1 (1 rz n0 )2
反鸣震的滤波器的传输函数应为
H ( z) 1 P( z) (1 rz n0 )2 1- 2rz n0 r 2 z 2n0
这是一个简单的FIR滤波器的传输函数，写成差分方程的滤波运算式为
反滤波的目的：就是从这个关系式中提取原信号s(n)。因此，反滤波的传输 函数H(z)和滤波因子h(n)应当满足下列关系：
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H ( z) X ( z) H ( z) P( z)S ( z), h(n) x(n) h(n) [ p(n) s(n)] s(n)
可见，上式是对卷积求卷积，故反滤波又称为反卷积。但在实际应用中，由 于对P(z)不可能掌握得很详细，例如，很难确切知道 r和n0的数值，尤其是r的 数值，往往需从{x(n)}本身去测定，而且描述鸣震的模型在数学上也只能是一 种近似的模拟。因此，在信号处理上避开了对P(z)和1/P(z)的计算，而是从时域 的途径去寻求逼近的算法。
rxx (1) rxx (0) 时域中实 rxx (0) 现这种数 rxx (1) 字滤波的 矩阵形式 r ( N ) r ( N 1) xx xx
而且，沿着主对角 线的平行线排列的 元素全部相等。因 此 ， 这 个 N+1 阶 方 阵 实 际 上 由 N+1 个 值完全确定。这种 方阵称为托布列兹 (Toepliz) 阵 ， 相 应 的方程组称为托布 列兹方程组。它的 解可以用一组递推 公式算出，从而求 出所需滤波器的滤 波因子.
▲ 当 y(n)尽可能接近于 δ(n) 时，就能达到反滤波的目的。因此，要求它们 满足最小平方的关系：
2 [ y ( n ) ( n )] Qmin n
第八章 维纳滤波 最小平方反滤波模型：
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rxz (i) rp (i) 输入与希望输出的互相关函数为：
输入的自相关函数为： rxx (i) rpp (i)
y(n) s(n) x(n) 2rx(n n0 ) r 2 x(n 2n0 )
▲ 推广到一般情况
设声源信号为{s(n)}，接收到的信号为{x(n)}，相应的Z变换分别为S(z)和X(z)， 而反射函数P(z)及其序列为p(n)，则有
X ( z) P( z)S ( z) x(n) p(n) s(n)
▲ 回声鸣震问题 【例1】
设信号序列为 {s(n)}，经过延迟 n0，其一次回声序列为 {rs(n-n0)}，二次回声 序列为 {r2s(n-2n0)} ，三次回声序列为 {r3s(n-3n0)} ，等等。其中 r 为反射因子， |r|≤1。滤波器的输入x(n)是信号序列与回声序列的叠加，即
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k 0
消除鸣震现象的滤波器的传输函数应为
H ( z) 1 P( z) 1 rz
▲ 回声鸣震问题 【例2】
n0
在海上石油勘探技术中，要考虑海水中的声音在海面和海底来回反射的鸣 震现象。由于回声反射的途径不止一种，可以推出接收的信号是：
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x(n) (k 1)r k s(n kn 0 )
其中 X ( z )
n
a
n 0
1 a
x ( n) z
k kn0
n
r
k 0
k
n m
s(n kn0 ) z
n
r
k 0
k
m
s (m) z mkn0
r zk 0Fra bibliotekm
s ( m) z
r k z kn0 S ( z )
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第八章
维纳滤波
▲ 问题：在雷达、通讯、控制和测量系统中，需要从被干扰了的观测数据 中提取传输的参数和信息。解决这类问题的数学理论称为估计或滤波。 ▲ 维纳滤波理论所解决的问题：最小均方误差准则下的线性估计。 ▲ 维纳滤波的基本思想：将研究对象视为平稳随机过程，已知相关函数， 在白噪声假设条件下，确立了最优传输函数应满足维纳 –何甫（Wiener-Hopf） 方程的理论。这为设计滤波器提供了一种频域方法。
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二、维纳滤波的物理解释
设输入信号x(n)由源信号s(n)和干扰噪声n(n)混合，且s(n)与n(n)不相关，那 么维纳滤波器的期望输出就是源信号本身，即z(n)=s(n)，则x(n)的自相关函数