维纳滤波研究
维纳滤波的应用综述
基于维纳滤波的应用综述一、维纳滤波概述维纳(wiener)滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)的方法。
实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。
一个线性系统，如果它的单位样本响应为h (n )，当输入一个随机信号x (n )，且x (n )=s (n )+v (n ) （1.1）其中s(n)表示信号，v(n)表示噪声，则输出y(n)为()=()()my n h m x n m -∑ （1.2）我们希望x (n )通过线性系统h (n )后得到的y (n )尽量接近于s (n )，因此称y (n )为s (n )的估计值，用^s 表示，即 ^()()y n s n = （1.3）实际上，式(1.2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x (n )，x (n -1)，x (n -2)…x (n -m )，来估计信号的当前值^()s n 。
因此，用h (n )进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。
由于现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。
维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。
对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。
维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。
因此，维纳滤波在实际问题中应用不多，更多的是基于维纳滤波器发展而来的滤波方式。
二、基于维纳滤波的应用2.1在飞机盲降着陆系统中的应用盲降着陆系统(ILS)又译为仪表着陆系统。
它的作用是由地面发射的两束无线电信号实现航向道和下滑道指引，建立一条由跑道指向空中的虚拟路径。
飞机通过机载接收设备确定自身与该路径的相对位置，使飞机沿正确方向飞向跑道并且平稳下降高度。
维纳滤波滤除同频的原理
维纳滤波滤除同频的原理1.引言1.1 概述维纳滤波是一种广泛应用于信号处理领域的滤波算法，其主要用途是去除同频干扰。
在实际应用中，我们经常会遇到不同信号混杂在一起的情况，即使这些信号具有相同的频率，但它们可能具有不同的相位和幅度。
这些干扰信号会对我们所关注的信号产生干扰，影响我们对信号的分析和处理。
维纳滤波通过对输入信号进行加权求和的方式，将干扰信号的影响最小化，使我们能够更准确地恢复出所关注的信号。
其基本原理是通过对干扰信号和所关注信号进行统计特性的估计，然后通过最小均方误差准则确定滤波器的加权系数，最终实现对干扰信号的抑制。
同频干扰是指具有相同频率的干扰信号对所关注的信号产生的干扰作用。
由于干扰信号与我们所关注的信号相同频率，传统的滤波器往往难以区分它们并准确滤除。
而维纳滤波通过对信号的统计特性进行建模，可以较好地区分干扰信号和所关注信号，并实现对同频干扰的有效抑制。
维纳滤波在通信领域、图像处理领域等都有广泛的应用。
在通信系统中，维纳滤波可以用于抑制同频干扰信号，提高系统的抗干扰性能，从而提高通信质量。
在图像处理领域，维纳滤波可以用于去除同频干扰造成的图像噪声，提高图像的清晰度和质量。
总之，维纳滤波是一种重要的信号处理技术，能够有效地滤除同频干扰。
通过对信号的统计特性进行建模和优化滤波器的参数，维纳滤波能够在干扰较严重的情况下提供较好的抑制效果。
在实际应用中，我们可以根据具体的信号特点和要求选择合适的维纳滤波算法，以达到更好的滤波效果。
1.2文章结构文章结构部分应描述整篇文章的组织结构和各个部分的内容。
在这篇文章中，可以按照以下方式来编写文章结构的内容：文章结构:本篇长文将按照以下结构组织内容:1. 引言1.1 概述1.2 文章结构: 本节将介绍文章的结构和各个部分的内容安排。
1.3 目的2. 正文2.1 维纳滤波的基本原理: 本节将介绍维纳滤波的基本原理，包括维纳滤波的数学模型和算法。
2.2 同频干扰的特点: 本节将探讨同频干扰的特点，包括其在信号处理中的影响和表现形式。
基于维纳滤波的探地雷达信号提高分辨率研究
Ｓ ｃ 科 ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ 技 Ｔ ｅ ｃ ｈ 视 ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｗｒ Ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ
－
基于维纳滤波的探地雷达信号提高分辨率研究
杨 秋芬 （ 西安 文理学 院 物理 与机械 电子 工程 学院 ， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ６ ５ ）
● ●
（ ７ ）
ａｎ
—
ｌ １ ｌ 一
１ 模 型的构成
探地雷达 Ａ ｓ ｃ 记 录在数学上可以由下式的褶积模型近似表示Ⅲ ： ｘ （ ｔ ） ＝ ｗ （ ｔ ） ｅ （ ｔ ） ＋ ｎ （ ｔ ） （ １ ） 其中ｘ （ １ ） 为观测到的探地雷达记录， ｗ （ ｔ ） 是仪器 发射探的地雷达 子波， ｅ （ ｔ ） 代表地层脉 冲响应 （ 地下介质的反射系数序列 ） 。 ｎ （ ｔ ） 表示环 境噪声。 这里的环境 噪声一般为 白噪声。 褶积模型的实际意义在于把 复杂的波动过程简化为一个线性系统问题 。
ｌ
图１ 仿真结 果 ： （ ａ ） Ｒ ｉ ｃ ｋ ｅ ｒ 子 波； （ ｂ ） 反射 系数序 列； （ ｃ ） 褶积 记录 ；
反滤波是反褶积的一种方 法 ． 以输人子波波形 已知为条件 ． 可将 反滤波看作为是确定性反褶积 。 （ 源自 ） 反 褶 积 结 果 。 ｅ
【 参考文献】
［ １ ］ 【 美】 渥・ 伊尔 马兹． 地震资 料分析 ［ Ｍ 】 ． 刘怀 山， 等， 译 一Ｅ 京： 石油 工业 出版社 ，
２ ０ ０ ６ ： １ ２ ３ — ２ １ ５ ．
３ 最 佳 维 纳滤 波
维纳在最小平 方反滤波器 的设计基础上 ． 推导 出了将输入转换 为
任意输出（ 反褶 积指的是将输入子波转化为零 延迟脉 冲的过程 ） 的、 应 ［ ３ ］ ］ Ｄ ａ ｖ ｉ ｄ ｋ ． Ｂ ａ ｒ ｔ ｏ ｎ雷达系统分析与建模［ Ｍ 】 ． 北京 ： 电子工业 出版社 ， ２ ０ ０ ５ ： ２ ４ — 用范围更广的滤波器求解方法 。 ９ ８ ． 当滤波器长度为 ｎ时， 矩 阵方程的普遍形式为 ： ［ ４ ］ Ｌ ｅ ｖ ｅ ｎ ｔ Ｍ． Ａ ｒ ｓ ｌ ａ ｎ ． Ｍ ｏ ｄ ｉ ｉ ｆ ｅ ｄ Ｗｉ ｅ ｎ ｅ ｒ ｉ ｆ ｌ ｔ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ［ Ｊ ］ ． Ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｌ Ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｇ ， ２ ０ ０ ６ ， ８ ６ ： ２ ６ ７ —
一种改进的小波域维纳滤波的图像降噪算法研究
（ ３ ）
（ ＿ ｑ ｉ ａ ， － － － ｏ）
ｑｉ ， Ｊ
（ ９ ）
也 就 足 说运 算 结 果 仅 由 输 入 值 决 定 ， 与 位 置（ 时间１ 是 无
ａ ＝Ｅ Ｅ ｘ ２ ］ ／ Ｅ ［ ｙ ２ ］ ， Ｘ ａ ｙ （ ４ ）
的效果较好 。 随着小波理论的发展 ， 其越来越多地被用于图像
处理， 取 得 了 一 定效 果 。
２ ． 图像 的退 化 模 型
图像 降质过程的模型如图 １ 所示， 其表达式为¨ ３ ＿ ：
ｇ （ ｘ ， ｙ ） ｈ（ Ｘ ， ｙ ） ｆ （ ｘ ， ｙ ） ＋ ｎ （ ｘ ｙ ） （ １ ）
线性： Ｈ［ ｋ ｌ ｆ ｌ （ ｘ ， ｙ ） ＋ ｋ ２ ｆ ２ （ ｘ ， ｙ ） ］ ＝ ｋ Ｈ［ ｆ ｌ （ Ｘ ， ｙ ） 】 ＋ｋ ２ Ｈ ［ ｆ ２ （ Ｘ ， ｙ ） ］ （ ２ ） 空 间移不变 ： 如果 ｇ （ ｘ ， ｙ ） ＝ Ｈ［ ｆ （ ｘ ， ｙ ） ］ ， 那 么 存 在 任 意 一个 函数 ｆ （ ｘ ， ｙ ） ￣ ｌ ｌ 常数 ａ 和ｂ ， 使得：
其中 Ｅ 【 ］ 表 示 变 量 的数 学 期 望 ， 为 Ｘ的 最优 线性 估 计 。 考 虑 到 ｈ和 Ｘ互 不相 关 ， 因此 有 ：
Ｅ ［ ｘ ］ ：Ｅ 【 ｙ ２ ］ 一ｏ （ ５ ）
可以逐个求得 Ｅ 【 ， 对 于位 于坐标（ ｉ ， Ｊ ） 处的 Ｅ ［ ｙ ２ ］ ， 可 利 用 及 其邻 值 估 计 得 到 。 为 了不 失 去 ’ ‘ 般性 的特 征 ， 利 用 个
若待处理 图像表示为 ： Ｙ ＝ Ｘ＋ Ｈ， 其 中： ｘ表示未加 噪声的
图像 或 者 未被 污 染 的图 像 ； Ｈ表 示 高 斯 噪 声 ， 其均值为 ０ ， 方 芹 为ｏ 。 小波 变 换 可 得 ： ｙ ＝ ｘ ＋ ｈ， 其 中， ｙ ＝ ｗＹ， ｘ ＝ｗｘ， ｈ ＝Ｗ Ｈ， ｗ 为小 波 变 换 的 变 换矩 阵 。通 过 小 波 变 换 的正 交 性 我 们 可 以 知道 ， ｈ是 均 值 等 于 ０ 、 方差是 ｏ 的高斯 噪声， 同 时 与 Ｘ是 丝 不 相 关 。 因此 维 纳 滤 波 可 写 成［ ４ １ ：
最优估计之维纳滤波
设计目的：滤除按照统计方式干扰信号的噪声。
9
连续系统维纳滤波器的信息流程图 W ( s) Y(t)
＋ －
X(t)
＋ ＋
Z(t)
G(s)
e( t ) ˆ t X
V(t)
X(t) —— 有用随机信号； V(t) —— 随机干扰信号； G(s) —— 实际滤波器传递函数； W(s) —— 理想滤波器传递函数； ˆ t —— G(s) 的真实输出信号； X Y(t) —— W(s) 的理想输出信号。
ˆ t e(t ) Y (t ) X
W(s) = 1 ------ 滤波问题 s 预测问题 W ( s) e-----W(s) = s ------ 微分平滑问题
10
什么是维纳滤波
目的：设计传递函数G(s)，使e(t) 尽可能小。 ˆ t X (t ) X ˆ t 误差信号： e(t ) Y (t ) X
为求极值：
1 T 2 E e (t ) lim [ X ( t ) h ( ) z ( t ) d ] dt min 0 T 2T T 采用泛函变分方法。定 义泛函： 滤波器脉冲响应 h( ) 的函数， 2
定义在集合 h( ) 上的范函。
1 J [h( )] lim T 2T
S zx ( ) G ( j ) S zz ( )
G( j ) h(t )e jt dt
0
Rzx ( ) e j d Rzz ( ) e j d16
另一方面，可得：
ˆ X t h( ) Z (t )d
8
维纳滤波的特点
基于平稳小波的维纳滤波射线图像去噪算法研究
处理后 图像
线 图像 去噪过 程 中 ，能够取 得很 好 的去噪效果 。
维 纳 滤 波最早 由 Ｗｉ ｅ 提 出 ，并应 用 于一 维信 ｅ ｒ ｎ
原始 图像 ｆ 小波 正变换 Ｈ
维纳 滤波 一 小波逆变换 Ｈ
图 １ 维 纳 滤 波 的 去 噪 过 程
维纳 滤波是 一种 自适 应最 小均 方误差 滤波器 。维 纳 滤波的 方法是一 种统计 方 法 ，它用 的最 优准则 是基 于 图像和 噪声各 自的相关 矩 阵 ，它 能根据 图像 的局部
基 于平 稳 小 波 的维纳 滤 波射 线 图像 信 工 程 学 院 ， 山 西 太 原 中 ００５） ３０ １
摘 要 ： 维 纳 滤 波 的 原 理 应 用 到基 于平 稳 小 波 的 Ｘ 射线 图像 去 噪 过 程 ， 究 了一 种基 于 平 稳 小 波 的 ｘ 射 线 图 将 研
维纳 滤波是 求解 最佳线 性过 滤器 的一种方法 。当 信 号与噪 声 同时作用 于系统 时 ，希 望设计 的滤 波器性 能使 滤波 器输 出端 以均 方误差 最小 准则尽 量复现输 入 信号 ，从 而使输 出噪声得 到最 大 的抑制 ，称这种 滤波 器为最 佳线 性过 滤器 。维 纳滤 波是根 据信 号的 自相关 函数 （ 或信号 的功 率谱 ） 输 出的观 测值 ，在 均方误 差 及 最小 的意义下 ，解 出最佳 滤波器 的单位 抽样 响应 ，以 此 对输 入信号作 出最 优估计 。 假定 被加性 噪声 污染 的图像某 细节 尺度上 的小波
方 差 调 整 滤 波 器 的 输 出 ，局 部 方 差 越 大 ，滤 波 器 的 平
与 （ ， 互 不相 关 、 值 为 ０ 方差 为 盯 的高 斯 自噪 － ） ， ｔ 均 、
第八章 维纳滤波
rxx(λ-k)
rzx(λ)
第八章 维纳滤波 维纳-何甫积分方 程式(离散形式)：
中原工学院
N xx
机电学院
h(k )r
k 0
N
( k ) rzx ( ) 或 h(k )rxx (k ) rzx ( )
k 0
自相关函数为偶函数
▲ 维纳滤波器 如果已知x(n)与所要求的输出信号z(n)，则当x(n)的自相关函 数和z(n)与x(n)的互相关函数为已知时，求解维纳-何甫方程，即可求得满足均 方误差最小的滤波因子h(n)。这就是按照最小平方准则设计的线性滤波系统， 它是一个最佳系统，通常称为维纳滤波器。 这是一个对 称 矩阵 。 卷积形式：
第八章 维纳滤波
中原工学院
机电学院
第二节
反滤波
一、回声鸣震现象及反滤波
问题的提出：在某些情况下（例如，在大礼堂内演讲，由于墙壁多次反射， 而造成回声交混，形成一片轰鸣声，使人们听不清讲话内容）所录取的信号， 可认为是原始信号经过几个物理系统（信号传输的路径或通道）作用的结果， 或者看成是源信号经过几个物理滤波器以串联形式滤波的结果。这时，采用 反滤波方法可以使真正源信号从干扰中恢复出来。
n n n n
期望输出s(n)与输入x(n)的互相关函数为
n n
rsx (k ) s(n k ) x(n) s(n k )[s(n) n(n)] rss (k )
如果以 Rss(ejω) 和 Rnn(ejω) 分别表示 rss(k) 和 rnn(k) 的频谱，即分别为 s(n) 和 n(n) 的功率谱，则在对维纳滤波的时间范围不加限制的情况下，由式H(ejω)=Rzs(ejω)/ Rxx(ejω)，可以得到维纳滤波器的频率响应应为：
基于MATLAB的维纳滤波器仿真研究
中国凝通信ｔ 技术版 ） ２ ０ ． ０ ８６
４７
维普资讯
方误 差同
Ｅ ｃ ＝ 凡 Ｅ
取 噪声方 差为 ４时 ， 采样 点数 Ⅳ为 ３８个 ， ２ 阶数
｛ Ｏ ｍ｝ ［一ｃｃ ｃ ｍｍ凡］５ ｃ 一 凡＝
从 １ 阶到 １０阶变化 ， ６ 仿真 结果 如 图 ３ 示 。 所 取 噪声 方差 为 ４时 ，采 样 点数 Ⅳ为 ３８ ２０个 ， 阶 数 从 １ 阶到 １０阶变化 ， 真结 果如 图 ４所 示 。 ６ 仿
数 与 采 样 点 的一 半 较 接 近 时 ， 数 越 大 ， 阶 均方 误差 越 小 ， 总 体 均 方 误 差 小 于 阶 数 与 采 样 点 差 距 较 大 时 的 均方 误 其
差， 但是滤 波器 可能存在 畸变现象 ； 阶数一定 的条件 下 ， 噪声 方差较小时 ， 方误差性 能对 噪声方 差 比较敏感 ， 均 当
本文 主要通 过 研究 维纳 滤波 器 的滤 波功 能 ，探讨 维
则 称 为 估计 误 差 。 计误 差 ｅ ｎ 为可 正 可 负 的 估 （）
纳 滤 波器 阶数对 滤 波效 果 的影 响 ，以及 噪声 方差 对 随机变量 ，用它 的均方值描述误差的大小显然更为 合 理 。利 用最 小均 方误 差 作为 最佳 过滤 准则 比较 方 滤波效 果 的影 响。 便 ， 不涉 及概 率 的描述 ， 以它 导 出 的最佳 线性 系 它 且
（） ５
’
Ｅ［ （ ）＝ 一 ）［ ｏ 凡 ］ （ ｈｌ， ｐ
（） ７
３ 仿 真 分 析
在 本次仿 真实 验 中 ， 用 的某 随机信 号 服从 ＡＲ 采 （） ４ 过程 ， 它是 一个宽 带过 程 ， 数如 表 １ 示 。 参 所 通过 观测 方程 ｙ 凡 （ ） （ ） 测量 该 信号 ， （ ） 凡 凡 来
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维纳滤波研究XXX摘要：滤波问题，指的就是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干扰，分离出所期望的信号。
维纳滤波是基于最小均方误差的基础上的维纳滤波器设计，使其与输入信号滤波后的输出在最小平方意义下与期望输出最佳逼近，寻求最小均方误差的实质其实就是解维纳-霍夫方程。
关键词：维纳滤波；最小平方准则；维纳-霍夫方程Research of Wiener FilteringXXXAbstract：Filtering issue is to dispose the signal that has been interfered with, to separate the anticipant signal. The dissertation designs a wiener filter basing upon minimum mean-square error. In fact, the essential of seeking minimum mean-square error is solving the Wiener-Hopf equation. Key words：Wiener Filtering; Minimum Mean-Square; Wiener-Hopf Equation引言滤波技术是信号分析、处理技术的重要分支，无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传递是至关重要的。
信号分析检测与处理的一个十分重要的内容就是从噪声中提取信号，实现这种功能的有效手段之一是设计一种具有最佳线性过滤特性的滤波器，当伴有噪声的信号通过这种滤波器的时候，它可以将信号尽可能精确地重现或对信号作出尽可能精确的估计，而对所伴随噪声进行最大限度地抑制。
维纳滤波器就是这种滤波器的典型代表之一。
1维纳滤波理论基础1.1 维纳滤波背景介绍维纳滤波理论是由数学家N∙维纳(Norbert Wiener, 1894~1964)于第二次世界大战期间提出的。
这一科研成果是这一时期重大科学发现之一，他提出了线性滤波的理论和线性预测的理论，对通信工程理论和应用的发展起了重要的作用。
维纳滤波就是为纪念他的重要贡献而命名的。
维纳是著名的数学家，后来被誉为信息理论家。
维纳的著作不仅是一个很好的创见，而且具有结合工程的实际意义，是线性滤波理论研究的一个重要开端。
在第二次世界大战中，由于雷达的发明以及防空炮火控制的任务，把大量有修养的数学家和物理学家都动员到信息科学这个研究领域中来了，这个时候人们活跃于这个领域，并有许多重大的科学创造。
数学家维纳对于滤波理论的研究成果，就是这时候重大的科学创见之一。
通讯与控制中的滤波问题，指的是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干扰，分离出所期望的信号，或者说，是通过对一系列带有误差的实际测量数据的处理，得出证明：在一定条件下，处在统计平衡的时间序列的时间平均等于相平均。
维纳正是基于这点提出了他著名的滤波和预测理论。
滤波问题就是尽可能地恢复一个被噪声干扰了的信号的问题。
实质上，就是预测一个被噪声干扰了的时间序列的问题，因此，滤波问题也可以视为一个预测问题。
数学上讲，预测就是从一个时间序列的过去的数据估算整个序列的统计参数。
工程上的滤波问题也是理论上的一类统计估计问题，最佳线形滤波是最佳线性估计的方法之一，在最佳估计中最小均方误差估计是最有现实意义的。
估计理论的课题是众多的，最小均方误差估计只是估计理论的一个小的分支。
然而，它却是最重要又最富有实际意义的一个分支，对系统所加的线性条件起初是为了简化理论分析，非线性滤波问题是在理论处理上比线性滤波问题要困难和复杂的多，但是后来证明：在一定条件下，在最小均方误差准则下得到的最佳线性系统是所有系统中的最佳者。
近代滤波理论的发展对于信息科学的发展是有重大贡献的，它概括了通讯与控制中信息过滤的统计本质。
这是由于滤波理论与通讯和控制中的许多课题有密切的联系，从而赋予了滤波理论以极大的生命力，滤波理论本来是一个小的研究领域，但是它联系着许多大的广泛的研究领域，因此它的价值已经超出了它起源时自身的价值，也就是它能够继续活跃地向前发展的保证。
几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究领域，可以有许多不同的方法来介绍它的内容，有的可以选择不同的重点。
本文主要是关于维纳滤波的，介绍维纳滤波的基本概念以及讲其维纳滤波的应用。
从数学的观点来说滤波理论是统计学中的估计理论的一个重要分支，从工程的观点来看它又是系统工程研究的一个重要组成部分[1]。
1.2 维纳滤波原理介绍图1.1 维纳滤波器原理在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。
如何最大限度的抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题，信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。
相应的处理系统称为滤波器。
这里，我们只考虑加性噪声的影响。
我们的目的是为了得到不含噪声的信号是s(n)，也称为期望信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)，系统的期望输出用y d(n)表示，y d(n)应等于信号的真值s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表示为y d(n)=s(n)， y(n)=ŝ(n)。
因此，对信号x(n)进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器，也就是说，信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。
若已知x(n),x(n−1),…,x(n−m)，要估计当前的信号值ŝ(n)，称为过滤或滤波，维纳(Wiener)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的过滤问题，并以估计的结果与信号真值之间的均方误差最小作为最佳准则。
设计维纳滤波器的任务，实际上就是选择h(n)，使其输出信号y(n)与期望信号d(n)误差的均方值为最小。
根据维纳滤波器时域求解的方法，可以得到：+∞y(n)=h(n)∗x(n)=∑ℎ(m)x(n−m), n=0,1,2…m=0设期望信号为d(n)，误差信号为e(n)，则e(n)=d(n)−y(n)=s(n)−y(n)E[|e(n)|2]=E[|d(n)−y(n)|2]要使均方误差最小，需满足E[|e(n)|2]=0ðℎj进一步导出维纳-霍夫方程为：M−1r xd(k)=∑ℎ(m)r x x(k−m)=ℎ(k)∗r x x(k), k=0,1,2…m=0将维纳-霍夫方程写成矩阵形式为：R xd=R xxℎ对上式求逆，得到h=R xx−1R xd上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。
2维纳滤波发展现状20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则（滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小），求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
维纳滤波是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。
利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立。
从噪声中提取信号波形的各种估计方法中，维纳(Wiener)滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。
设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。
期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。
因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。
为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。
如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。
根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。
维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。
对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。
维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。
因此，维纳滤波在实际问题中应用不多。
实现维纳滤波的要求是：(1) 输入过程是广义平稳的；(2) 输入过程的统计特性是已知的，根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。
然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求。
这就促使人们研究自适应滤波器。
3维纳滤波应用现状3.1在飞机盲降着陆系统中的应用盲降着陆系统(Instrument Landing System．ILS)又译为仪表着陆系统。
是目前应用最为广泛的飞机精密进近和着陆引导系统。
它的作用是由地面发射的两束无线电信号实现航向道和下滑道指引。
建立一条由跑道指向空中的虚拟路径。
飞机通过机载接收设备．确定自身与该路径的相对位置，使飞机沿正确方向飞向跑道并且平稳下降高度。
最终实现安全着陆。
由于是仪表指针引导飞行员按预定下滑线着陆，无需目视。
故又称为盲降着陆系统。
该系统为飞行员提供相对预定下滑线的水平和垂直面内的修正指示以及到跑道端口的距离指示。
在飞机盲目着陆系统的实际应用中。
盲降着陆时，飞机以较慢的恒定速度沿着一个无线电波束下降。
为了自动对准跑道，通常要为盲目着陆系统提供两个信号。
一个是由无线电波束提供的信号。
由航向台提供，它与飞机航向滑离跑道方向的大小成正比；另一个信号由飞机通过自身方位的测量来提供。
在这两个信号中，前者是飞机位置信号与高频噪声的叠加。
作为前面分系统的x1(n)后者由于飞机下降过程中风向的改变而在信号中引入了低频噪声，作为x2(n)。
为了对飞机的位置信号进行最佳估计，采用互补维纳滤波器去除无用噪声信号[2]，提高信噪比。
由此，增强了飞机着陆时的精度，提高了飞机自身的安全。
3.2在图像处理中的应用在图像处理中，噪声问题是经常会遇到的问题，它使得图像信息受损，降低了信噪比。
如何尽可能地滤去噪声，恢复真实的信号．是图像处理中关键的问题。
几类简单、常用的滤波器如维纳滤波器和卡尔曼滤波器等都是假定噪声是高斯的且是加性的，噪声和信号相互独立，这样能得到最小均方误差意义下的最优滤波。
对于实际问题中遇到的非加性噪声，也能通过基于维纳滤波器的思想计算，求出适合的滤波器算式[3]。