高三数学上学期第二次段考试题 理

江西省新余一中2016-2017学年高三年级第二次段考数学试卷(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列图象可以表示以M={x|0≤x ≤1}为定义域,以N={x|0≤x ≤1}为值域的函数的是( )2．函数()()1ln 21f x x =+的定义域是（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞ 3．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于 ( ) A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对4．若0<x <y <1，则( )A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．(14)x <(14)y5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 6．下列判断错误．．的是（ ） A ．若q p ∧为假命题，则q p ,至少之一为假命题B. 命题“01,2<--∈∀x x R x ”的否定是“01,2≥--∈∃x x R x ” C ．幂函数()2-=m mxx f 在其定义域上为减函数D ．“若22bm am <，则b a <”的否命题是假命题7．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）8 .由1=xy ,x y =,3=x 所围成的封闭区域的面积为( )A. 3ln 2B. 3ln 2+C. 3ln 24-D. 3ln 4-9. 设()()dx x f x x f ⎰+=1022,则dx x f ⎰1)(的值为 ( ) A. 1- B. 31 C. 32 D.31-10.函数()x f 为奇函数,且图象关于1=x 对称,当()1,0∈x 时,())1ln(+=x x f ,则 当()4,3∈x 时,()x f 为( )A. 增函数且()0>x fB. 增函数且()0<x fC.减函数且()0>x fD.减函数且()0<x f11．已知命题p :函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,)2(0,1)(2x e a x ax x f ax为R 上的单调函数，则使命题p 成立的一个充分不必要条件为（ ）A ．()0,1-∈aB ．[)0,1-∈aC ．()0,2-∈aD ． ()2,-∞-∈a12. 若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数f (x )的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”．点对(A ，B )与(B ，A )可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x <0)2ex (x ≥0)， 则f (x )的“姊妹点对”有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋1-x a()10≠>a a 且的图象恒过定点P ,则P 点的坐标是_______________． 14．已知函数2()sin 21x f x x =++，则()()=-+20172017f f _____ 15.已知命题p :()()011,2≤++∈∃x m R x 使,命题q :01,2>++∈∀mx x R x .若q p ∧为真命题,则实数m 的取值范围为______________16.设集合()(){}x f y y x A ==,,若对于任意的()A y x ∈11,,总存在()A y x ∈22,,使得02121=+y y x x ,则称集合A 具有性质P.给定下列4个集合:①(){}xy y x A 2,1== ②(){}x y y x A sin 1,2+==③()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==3131,x y y x A ④(){}x y y x A ln ,4==.其中具有性质P的为_____________(填对应的序号)三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos2B C －－sinB ·sinC （1）求A ； （2）若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．18. （本小题满分12分）国庆期间,我校高三(1)班举行了社会主义核心价值观知识竞赛,某轮比赛中,要求参赛者回答全部5道题,每一道题回答正确记1分,否则记1-分.据以往统计,甲同学能答对每一道题的概率均为32.甲同学全部回答完这5道题后记他的得分为X .(1) 求1=X 的概率;(2)记随机变量X Y =,求Y 的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ， △PAD 是等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形， ∠ADC ＝120°,AB ＝2AD ．（1）求证：平面PAD ⊥平面PBD ； （2）求二面角A －PB －C 的余弦值．20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 12222=+by a x ()0>>b a 的离心率为35,且过点()2,3P(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设与直线OP ()为坐标原点O 平行的直线l 交椭圆C 于B A ,两点,求证: 直线PB PA ,与x 轴围成一个等腰三角形.21（本小题满分12分）已知函数()xexf x e =，()2ln g x ax x a =--（,a R e ∈为自然对数的底数）. （1）求()f x 的极值；（2）在区间(0,]e 上，对于任意的0x ，总存在两个不同的12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求实数a 的取值范围.请考生在第22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22．如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ． （1）证明：AE BE =；（2）若9AG =，7GC =，求圆O 的半径．23． 已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线 13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的普通方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．已知函数()|||2|f x x m x =---.（1）若函数()f x 的值域为[4,4]-，求实数m 的值；（2）若不等式()|4|f x x ≥-的解集为M ，且[2,4]M ⊆，求实数m 的取值范围.参考答案13. ()3,1 14. 2 15. (]1,2-- 16. ②③ 17.解：(1)由422sin sin 2cos 2-=⋅--C B C B ，得()cos sin sin 2B C B C --⋅=所以()cos B C +=所以)cos 0A A π=<<，即4π=A . （2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得()bc bc c b 2221622-≥-+=，当且仅当c b =时取等，即()228+≤bc .所以)1sin 424ABC S bc A ∆==≤. 所以ABC ∆面积的最大值为)4.18. (1)=P 2438031322335=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C(2)Y 的取值为1,3,5()814031323132132252335=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C Y P ()8130313231323415445=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C Y P ()81115==Y P81=EY 19.(1)证明： 在平行四边形ABCD 中,令1=AD ,则BD ，在ABD ∆中,222AB BD AD =+，所以BD AD ⊥. 又平面⊥PAD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD .所以平面⊥PAD 平面PBD . (2)由（1）得BD AD ⊥，以D 为空间直角原点， 建立空间直角坐标系xyz D -，如图所示，令1=AD ，()()()1100,0102A B C P ⎛- ⎝⎭，，，，，, ()()131********AB PB BC ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，， 设平面PAB 的法向量为()111,,x y z =n，则0,0,AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得111110,10,2x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令11y =，得111x z ==， 所以平面PAB 的法向量为)=n ； 设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，0,0,BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即22220,10,2x x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩令22z =，得21y =， 所以平面PBC 的法向量为()0,1,2=m . 所以3cos ,5⋅<>==n m n m n m ，所以所求二面角C PB A --的余弦值为35-.20. ()1181822=+y x (2) 设直线l 的方程为032=+-t y x ()0≠t ()11,y x A ()22,y x B 将直线代入椭圆得:0724822=-++t tx x1200<<⇒>∆t 221t x x -=+ 872221-=t x x032322211=--+--=+x y x y k k BP AP 故围成等腰三角形21.（1）因为e ()e x xf x =，令()0f x '=，得1x =． 当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x ∈∞+时，()0f x '<，()f x 是减函数．所以()f x 在1x =时取得极大值()11f =，无极小值．（2）由（1）知，当(0,1)x ∈时，()f x 单调递增；当(]1,e x ∈时，()f x 单调递减. 又因为1e (0)0,(1)1,(e)e e 0f f f -===⋅>， 所以当(0,e]x ∈时，函数()f x 的值域为(]0,1. 当0a =时，()2ln g x x =-在(0,e]上单调，不合题意；当0a ≠时，2e a >． 此时，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下：所以对任意给定的(]00,e x ∈，在区间(]0,e 上总存在两个不同的1x ，22.：（1）连接AB ，因为点A 为的中点， 故BA AF =，ABF ACB ∴∠=∠ 又因为AD BC ⊥，BC 是O 的直径，BAD ACB ∴∠=∠ ABF BAD ∴∠=∠AE BE ∴=（2）由ABGACB ∆∆知2916AB AG AC =⋅=⨯12AB =直角ABC ∆中由勾股定理知20BC = 圆的半径为1023.（1）由3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩得cos 3sin 2x yαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22cos sin 1a α+=得22194x y +=（2）曲线C 的普通方程是：2100x y +-= 设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：)10d αϕ==--其中34cos ,sin 55ϕϕ==0αϕ∴-=时，min d ，此时98(,)55M.24. (1) 由不等式的性质得：222x m x x m x m ---≤--+=- 因为函数()f x 的值域为[]4,4-，所以24m -=， 即24m -=-或24m -=所以实数=2m -或6. (2) ()4f x x ≥-，即24x m x x ---≥-当24x ≤≤时，4+2+4+22x m x x x m x x -≥--⇔-≥--=，2x m -≥，解得：2x m ≤-或2x m ≥+，即解集为(],2m -∞-或[)2,m ++∞，由条件知：+220m m ≤⇒≤或246m m -≥⇒≥ 所以m 的取值范围是(][),06+-∞∞，。