高三数学立体几何专题复习
高三数学立体几何专题复习
1、如图,已知面ABC ⊥面BCD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,且AB=BC=CD ,
设AD 与面为
AB C 所成角为α,AB 与面ACD 所成角为β,则α与β的大小关系 (A )α<β (B )α=β (C )α>β (D )无法确定
2、下列各图是正方体或正四面体,P ,Q ,R ,S 分别是所在棱的中点,这
四个点中不.
共面..
的一个图是 P
P P
P
Q Q Q
Q
R
R
R R S
S
S S
P
P
P
P
Q
Q
Q
Q R
R
R
R
S
S S S
P
P
P
P
Q
Q
Q
Q R R
R
R S
S
S S P
P
P
P
Q
Q
Q
Q
R
R
R
R S
S
S S
(A ) (B ) (C ) (D )
3、在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 是对角线A 1C 上的点,且PQ =
2
a
,则三棱锥P -BDQ 的体积为 (A )
3363a (B )3183a (C )324
3a (D )无法确定 4、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直,长度分别为3cm ,2cm 和3cm ,则此球的体积为
(A )
33312cm π (B )33
3
16cm π (C )3316cm π (D )3332cm π
5、如图,在一根长11cm ,外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成10个螺旋,如
果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上,则铁丝长度的最小值为
(A ) 61cm (B )157cm (C )1021cm (D )1037cm
6、设a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:
① 若b a ⊥,α⊥a ,α?b ,则α//b ;②若α//a , βα⊥,则β⊥a ; ③若β⊥a ,βα⊥,则α//a 或α?a ;④若b a ⊥,α⊥a ,β⊥b ,则βα⊥ 其中正确命题的个数为 ( )
A .0
B .1
C .2
D .3
7、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等,如果E 、F 分别为SC ,AB 的中点,那么异面直线EF
与SA 所成角为 ( ) A .090 B .060 C .045 D .030 8.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中: ①BM 与DE 平行; ②CN 与BE 是异面直线; ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直
以上四个命题中,正确的是 ( ) A .①②③ B .②④ C .②③④
D .③④
A
B
C
D
9.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为( )
A .
π2
3 B .
π3
2 C .
6
π D .
3
4π 10.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是BC 的中点,则A 1C 与DE 所成的角的余弦为( )
A .
15
15 B . 15
10 C . 6
30 D . 10
10 11.有3个命题
(1)底面是正三角形,其余各个面都是等腰三角形的棱锥是三棱锥; (2)各个侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;
(3)底面是正三角形,相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。 其中假命题的个数是 ( ) A .0
B .1
C .2
D .3
12、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
45,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 ( )
A.
2221+ B. 22+ C. 21+ D. 2
21+ 13、、在空间四边形ABCD 各边上分别取E 、F 、G 、H 四点,如果EF 和GH 能相交于点P ,那么
(A )点P 必在直线AC 上 (B )点P 必在直线BD 上 (C )点P 必在平面ABC 内 (D )点P 必在平面上ABC 外 14、设长方体的三条棱长分别为
a ,
b ,
c ,若长方体所有棱的长度之和为24,一条对角线长度为5,体积
为2,则=++c
b a 1
11 (A )
411 (B )114 (C )211 (D )11
2 15、若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等,则动点P 的轨
迹与ABC 组成图形可能是:( )
(C ) (D )
16、已知异面直线a 、b 成6?0角,过空间一点p ,与a 、b 也都成6?0角的直线,可以作( )
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条 17.若a ,b ,l 是两两异面的直线,a 与b 所成的角是3
π
,l 与a 、l 与b 所成的角都是α, 则α的取值范围是
A .[
65,
6π
π] B .[
2
,3ππ] C .[
65,
3π
π] D .[
2
,6ππ] 18、对于平面M 与平面N, 有下列条件: ①M 、N 都垂直于平面Q; ②M 、N 都平行于平面Q; ③ M 内不共线的三点到N 的距离相等; ④ l , M 内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l , m 是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M 与平面N 平行的条件的个数
A .1
B .2
C .3
D .4
19.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ,点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上,AP=C 1Q ,则四棱锥B -APQC 的体积为
(A )
2V (B )3V (C )4V (D )5
V
A
C
P
Q
A 1
B 1
C 1
A
B
C
A 1
B 1
C 1
A
C
D
E F
20.棱长为a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为
(A )33a (B )43a (C )63a (D )12
3
a
21.如图,在斜三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,∠BAC =900,BC 1⊥AC ,则C 1在底面ABC 上的射影H 必在 (A )直线AB 上 (B )直线BC 上 (C )直线AC 上 (D )△ABC 内部 22.如图所示,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB ,EF =2
3
,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为 (A )
29 (B )5 (C )6 (D )2
15 23.(天津卷6)如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD
-中,
O 是底面ABCD 的中心,E 、F 分别是1CC 、AD 的 中点。那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于
A
(A)
5
10 (B)
5
15 (C)
54 (D)3
2 24.(天津卷10)如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,3,4,61===AA AD AB ,分别过BC 、11D A 的两个平行
截面将长方体分成三部分, 其体积分别记为111DFD AEA V V -=,C F C B E B V V 11113==。
若1:4:1::321
=V V V ,则截面11EFD A 的面积为 (A)10
4 (B)38
(C)134 (D)16
25.北纬45圈上有甲、乙两地,它们分别在东经50与东经140,则甲、乙两地的球面距离是(地球半径为R ) A .1
2
R π
B .13
R π
C .14
R π
D
R 26.(福建卷16)如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的底面边长为 时,其容积最大。 27、已知∠ACB=90o,S 为平面ABC 外一点,且∠SCA=∠SCB=60o,则直线SC 和平面ABC 所成的角
为 .
28、点A 是二面角α-l -β内一点,AB ⊥α于B ,AC ⊥β于C ,设AB=3,AC=2,∠BAC=60?,则点A 到棱l 的距离是 . 29.由图(1)有关系''''
PA B PAB S PA PB S PA PB ?=?,则由图(2)有关系'''P A B C P ABC
V V --= 。
A
B
D
E
P
30.如图,在四棱锥P -ABCD 中,E 为CD 上的动点,四边形ABCD 为 时,体积V P -AEB 恒
为定值(写上你认为正确的一个答案即可).
31.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1, E 、F 分别为BC 与A 1D 1的中点, (1) 求直线A 1C 与DE 所成的角;
(2) 求直线AD 与平面B 1EDF 所成的角; (3)求面B 1EDF 与 面ABCD 所成的角。
A
(1)
(2)
在三棱锥S —ABC 中,△ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA=SC=23,M 、N 分别为AB 、SB
的中点.
(Ⅰ)证明:AC ⊥SB ;
(Ⅱ)求二面角N —CM —B 的大小; (Ⅲ)求点B 到平面CMN 的距离.
32.如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F 。 (1)证明PA//平面EDB ; A
B
D C
E
F
P
3,D 1 (1)求点D 到AB 所在直线的距离. (2)求二面角A 1-BD -B 1的度数.
答案
ADADADCDCADDAAB
16、满分12分。如图,以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -。 (I )解:依题意得B ()0 ,1 ,0,N ()1 ,0 ,1,∴ ()()()30110012
22=-+-+-=
BN
(II )解:依题意得1A ()2 ,0 ,1,B ()0 ,1 ,0,C ()0 ,0 ,0,1B ()2 ,1 ,0。 ∴ ()2 ,1 ,11-=BA ,()2 ,1 ,01=CB 。
?
1BA 31=CB 。61=BA ,
51=CB ∴ 1 1 1111= ?= >CB BA CB BA CB (III )证明:依题意得1C ()2 ,0 ,0,M ?? ? ??2 ,21 ,21,=B A 1()2 ,1 ,1--,=M C 1?? ? ??0 ,21 ,21 , ∴ ?B A 1=M C 1002121=++-,∴⊥ 1B A M C 1 ——12分 17、本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证 能力,满分12分。 方法一: (1)证明:连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO 。 ∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在PAC ?中,EO 而?EO 平面EDB 且 所以,PA // 平面P A D F E B C O (2)证明: ∵PD ⊥底面ABCD 且∵PD=DC ,可知?∴PC DE ⊥。 同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC 。 ∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC 。 而?DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥。 ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 。 而?PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥ 又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD 。 (3)解:由(2)知,DF PB ⊥,故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角。 由(2)知,DB PD EF DE ⊥⊥,。 设正方形ABCD 的边长为a ,则a BD a DC PD 2,= == a BD PD PB 322=+=, a DC PD PC 222=+= a PC DE 2 221== 。 在PDB Rt ?中,a a a a PB BD PD DF 36 32=?=?= 。 在EFD Rt ?中,233 6 22 sin ===a a DF DE EFD ,∴3π=∠EFD 。 所以,二面角C —PB —D 的大小为 3 π。 方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设a DC =。 (1)证明:连结AC ,AC 交BD 于G ,连结EG 。 依题意得)2 ,2, 0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A 。 ∵底面ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为)0,2 , 2 (a a 且 )2 ,0,2(),,0,(a a a a -=-=。 ∴EG PA 2=,这表明PA//EG 。 而?EG 平面EDB 且?PA 平面EDB ,∴PA//平面EDB 。 (2)02 202 2=-+=?a a 。 ∴DE PB ⊥。 由已知PB EF ⊥,且E DE EF = ,所以⊥PB 平面EFD 。 (3)解:设点F 的坐标为),,(000z y x ,λ=,则 ),,(),,(000a a a a z y x -=-λ。 从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===。所以 ))2 1 (,)21(,()2,2, (000a a a z a y a x ---=---=λλλ。 由条件PB EF ⊥知,0=?PB FE ,即 0)21()21(222=---+-a a a λλλ,解得3 1 =λ ∴点F 的坐标为)3 2,3,3(a a a ,且 )6,6,3(a a a --=,)3 2,3,3(a a a ---= ∴03 2332 22=+--=?a a a 即FD PB ⊥,故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角。 ∵6 91892222a a a a =+-=?,且 a a a a 6636369||222=++=,a a a a 3 6 9499||222=++=, ∴2 1 3 6666| |||cos 2 = ?==a a a FD FE EFD 。 ∴3 π = ∠EFD 。 所以,二面角C —PB —D 的大小为 3 π。 18、解:(1)如图,以点A 为坐标原点O ,以AB 所在直线为Oy 轴,以 1AA 所在直线为Oz 轴,以经过原点且与平面1 1A ABB 垂直的直线为Ox 轴,建立空间直角坐标系。由已知,得)2,2 ,23(),2,0,0(),0,,0(),0,0,0(11a a a C a A a B A - 4分 (2)坐标系如上。取 11B A 的中点M ,于是有)2,2 ,0(a a M ,连1,MC AM 有 )0,0,2 3 (1a MC - =且 )2,0,0(),0,,0(1a a ==由于0,01111=?=?AA MC AA MC 所以,111A ABB MC 面⊥ ∴所成的角。与侧面所成的角就是与1111A ABB AC AM AC 19.(12分) ①∵CC 1⊥面ABC , ∠B=90°,∴DB ⊥AB , ∴DB 的长是点D 到AB 所在直线的距离, ∠DBC 是BD 与底面所成的角,即∠DBC=30°,∵BC= 3, ∴BD= 30cos 3 cos = ∠DBC BC =2 . ……(6分) ②过B 1作B 1E ⊥BD 于E ,连A 1E ,∵BB 1⊥AB ,AB ⊥BC ,且BB 1∩BC=B ,∴AB ⊥平面BCC 1B 1, ∵A 1B 1∥AB ,∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1,∵B 1E ⊥BD ,∴A 1E ⊥BD ,即∠A 1EB 1是面A 1BD 与面BDC 1B 1所成二面角的平面角. 连 B 1D . ∵BC= 3,BD=2,∴CD=1 . ∵CC 1=2,∴D 为CC 1的中点 ∴S △BDB1= 21S BCC1B1 ∴21B 1E ·BD=21BC ·CC 1 即21 B 1E ·2=2 13·2 ∴B 1E= 3在Rt △A 1B 1E 中,tan ∠A 1EB 1= 633arctan ,333 111111π ==∠∴==EB A E B B A (12分) 11112 22 22 2 2 221130232 3349,2324324 4349 240),2,2,0(),2,2,23(所成的角为与侧面所成的角,即与所以,A ABB AC AM AC a a a a a a a a a a a a a AC a a a a a AC = ?=∴=+==++= =++=?∴=-= 2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结(文科) 一.平行问题 (一) 线线平行: 方法一:常用初中方法(1中位线定理;2平行四边形定理;3三角形中对应边成比例;4同位角、内错角、同旁内角) 方法二:1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三:2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四:3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,,则m l //。 (二) 线面平行: 方法一:4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二:5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? (三) 面面平行:6方法一:线线平 行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二:7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l I , 方法三:8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l 二.垂直问题:(一)线线垂直 方法一:常用初中的方法(1勾股定理的逆定理;2三线合一 ;3直径所对的圆周角为直角;4菱形的对角线互相垂直。) 方法二:9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?????⊥αα (二)线面垂直:10方法一:线线垂直?线面垂直 α α⊥??? ? ???? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥???????⊥=?⊥l l m l m , (面) 面面垂直: 方法一:12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥???? ?⊥l l 三、夹角问题:异面直线所成的角: (一) 范围:]90,0(?? (二)求法:方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角:直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法:就是放到三角形中解三角形 四、距离问题:点到面的距离求法 1、直接求, 2、等体积法(换顶点) 2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ; 一、选择题 1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( ) 2 3 + 为 ( ) C 、120; 。 3、边长为a 正四面体的表面积是 ( ) A 、34; B 、312a ; C 、24 a ; D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距,下列说法正确的是 ( ) A 、在y 轴上的截距是6; B 、在x 轴上的截距是6; C 、在x 轴上的截距是3; D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//,则直线a 与直线b 的位置关系是 ( ) A 、平行; B 、相交或异面; C 、异面; D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=,且12l l //,则满足条件a 的值为A 、12-; B 、12 ; C 、2-; D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。 若AC BD a ==,且AC 与BD 所成的角为60,则四边形EFGH 的面积为 ( ) A 2; B 2a ; C 2; D 2。 8、在右图的正方体中,M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点, 则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A .30° B .45° C .90° D . 60° 9、下列叙述中错误的是 ( ) A 、若P αβ∈且l αβ=,则P l ∈; B 、三点,,A B C 确定一个平面; C 、若直线a b A =,则直线a 与b 能够确定一个平面; 图(1) 1 A D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈,则l α?。 10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( ) A 、两条平行直线; B 、一点和一条直线; C 、两条相交直线; D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A 、25π; B 、50π; C 、125π; D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形,则圆柱的体积为 ; 14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径.. 和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 . 15、过点(1 16、已知,a b (1) a b αβ////,,则a b //; (2) ,a b γγ⊥⊥,则a b //; (3) ,a b b α?//,则a α//; (4) ,a b a α⊥⊥,则b α//; M 2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 立体几何大题题型及解题方法 立体几何大题一般考以下五个方面: 一、平行位置关系的证明 1、证明线面平行(重点) 解题方法:(1)线面平行判定定理;(2)面面平行的性质定理。 2、证明面面平行 解题方法:(1)面面平行的判定定理;(2)面面平行判定定理的推论;(3)垂直于同一直线的两平面平行;(4)平行平面的传递性。 3、平行位置关系的探索 (1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。 二、垂直位置关系的证明 1、证明线线垂直 解题方法: 2、证明线面垂直(重点) 解题方法: 3、证明面面垂直 4、垂直位置关系的探索 (1)对命题条件的探索;(2)对命题结论的探索;(3)通过翻折来探索。 三、求空间距离 1、点到平面的距离 解题方法: 2、空间线段长 解题方法:(1)解三角形法;(2)列方程法。 四、求几何体体积 五、求空间角 1、异面直线所成的角 2、直线与平面所成的角 考点一:如何判断空间中点、线、面的位置关系(排除法) 考点二:平行位置关系的证明 证明题一般的解题步骤: 一、根据题目的问题,确定要证明什么;根据题目的条件,确定用什么证明方法, 如果无法确定,则要通过逆向思维来分析题目; 二、看题目是否需要作辅助线(创造条件),证明平行位置问题一般作的辅助线是连等 分点,特别是中点; 三、根据确定的证明方法,看该方法需要多少个条件,然后看题目给的条件通过什 么方式给,如果是间接条件则需要推理证明得出,如果是直接条件或隐含条件则直接罗列; 四、准备好条件后,再次检查条件是否都满足,是否都罗列了,最后得出结论; 五、规范书写答案过程:一般过程为1、作辅助线;2、准备间接条件;3、罗列直接 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C 第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影:中心投影 平行投影 (1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤: ①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系'''x O y ∠,使''' x O y ∠=450(或1350 ),注意它们确定的平面表示水平平面; ③画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘ 轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘ 轴,且长度变为原来的一半; ⑴圆柱侧面积;l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积:l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积:()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式: h S V ?=柱体;h S V ?=31锥体; ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积:高三数学知识点总结:立体几何
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