双曲线及其标准方程(1)

双曲线及其标准方程 （1） 理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤
导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。

学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。

双曲线的定义和双曲线的标准方程．
（ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定
义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．
双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程
的推导 类比． ）
教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7
双曲线 7 展示现实生活中的双曲线
7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习
一、 复习引入：
前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。

问题 1：椭圆的定义是什么？
（板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的 轨迹叫做椭
圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。

二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？
若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的
一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉
教学方法： 启发式
福建师大附中
苏诗圣
教学目标： 教学重点： 教学难点： 数学实验 7 双曲线的定义
7 例与练
1、
笔就画出了一条曲线。

请同学们观察在变化中哪些量在变化，哪些量不变。

进作图工具？ 3、对双曲线有了初步的认识，现实生活中的双曲线的实物图
(古代建
筑、现代建筑、冷却塔、北京市区交通图
)，这些古今中外与双曲
线有关的图片给人一种对称、简洁、流畅的美的享受。

那么，如何 给双曲线一个科学的定义呢？
4、(请同学回答)双曲线的定义：平面内与两定点 F i 、F 2的距离的差的绝对
值是常数(大于零且小于|F I F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.
(1) 定义中“平面内”起到什么作用？
如果没有这个条件，点的轨迹将变为一个立体图形。

(2) 将定义中的“绝对值”去掉，动点的轨迹是什么？
双曲线的一支，双曲线有两支，丢掉任意一支都是不完整的。

⑶ 将定义中的常数改为零，动点的轨迹是什么？
F I F 2的中垂线。

(4) 将定义中的 两条射线。

(5) 将定义中的 不存在。

(6) 将定义中的 分类讨论
电脑演示(用几何画板制作课件)以上6种情形，在上述基础上，引导学生再 次理解双曲线的定义。

2、双曲线标准方程的推导
现在我们可以用类似于求椭圆标准方程的方法求双曲线的标准方程， 们思考回忆椭圆标准方程的推导方法，随后引导学生自己推导。

(1) 建系设点
取过焦点F i 、F 2的直线为x 轴，线段F I F 2的垂直平分线为y 轴(如图2-24) 建立直角坐标系. 设M(x , y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是
2C (C >0),
那么F i 、F 2的坐标分别是(-C , 0)、(C , 0).又设点M 与 F i 、F 2的距离的差的绝对值等于常数
2a .
(2) 点的集合
由定义可知，双曲线就是集合
)思考如何改
F i 、F 2 “小于” 改
为“等于” ，动点的轨迹是什么?
“小于” 改
为“大于” ，动点的轨迹是什么? 动点的轨迹是什么?
|F I F 2| ” 去掉, “小于 请同学
F1
F 曾雷
P={M||MF i|-|MF 2||=2a}={M|MF i|-|MF 2|= ± 2a}.
(3) 代数方程
+ I 亚 I 卡一八汽 J (K + c)2 +5? ■ J(if +y2 = ± 2a.
(4) 化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
(£ + + 护=4『+ (;: Y 尸 +y<
cx+a 2 2=± a J (x c)2
y 2
化简整理得：(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2).
由双曲线定义，2c >2a>0 即c >a>0,所以c 2-a 2>0. 设 c 2-a 2=b 2(b > 0)，代入上式得：b 2x 2-
a 2y 2=a 2
b 2.
2
y
E T 1(a 0,b 0) b
这就是双曲线的标准方程.(从以上推导过程中可知，曲线上的每一点的坐 标都满足方程。

若以F I F 2所在的直线为y 轴，F I F 2的中垂线为x 轴建立直角坐标系，只须将
2 2
方程中的X 、y 对调即得务 1
a 2
b 2
2 双曲线标准方程中，a >0, b > 0,但a 不一定大于b ;
2
x
~2
a
(1) 2
x
2 a
2 y b 1(a 0,b 0)表示焦点在 0)、
F 2 (c ， 0)， 这里 c 2=a 2+b 2。

2 2
⑵ y
2
x 2 1(
a
0,b 0)表示焦点在
a
b
-C )、
冃(0, c )， 这里
2 2 , 2
c =a +b 。

X 轴上的双曲线，焦点是F i (-c ,
y 轴上的双曲线，焦点是 F i (O ,
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
取值范围和焦点坐标。

分析：
（0, J 2m 1）
变式三：上述方程是否可以表示椭圆和圆？
2
L 1 (2) 2y
2
-7X 2= -14
2
是（2， 例2（书P105例1）:已知双曲线两个焦点 F 1（-5,0） 、F 2（5,0），双曲线上
一
点P 到F 1、F 2的距离差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程。

分析：（1） “定位”
中心是否在原点，焦点在哪个轴上，以便确定是哪个
标准方程；
（2） “定量” 双曲线的标准方程中有两个参数，
必须有两个相互独
立的条件来确定 a 和b ；
0)
是(0，
3)
因此，所求方程是梦率
X 2
例3：（书P107练习2）已知方程——
2
1表示焦点在x 轴上的双
曲线，求m 的取值范围。

分析：（2-m ）>0 且
（m+1）>0
2
变式一：已知方程」一
2 m
1表示双曲线,
求m 的取值范围。

分析：(2-m)(m+1)>0
得-1<m<2
2
变式二：已知方程一X —
2 m
1表示焦点在 y 轴上的双曲线，求 m 的
(m 1) (m 2) 2m 1
隹占为
八、、八
分析：2-m>0 且 m+1>0 得-1<m<2時为椭圆。

当 2-m=m+1>0时 得m =l 时，表示圆。

四、 小结
双曲线与椭圆的联系与区别 （图表）。

五、 布置作业
P 108 1、2、3
六、 思考题：将作业第一题改为 “△ ABC —边的两个端点是 B （a ，0）和C （-a ，
0），另两边所在直线的斜率之积为常数 k ”，求顶点A 的轨迹。

七、研
究性问题：平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹是什么？
1、 可以进行理论研究
2、 可以利用电脑进行研究
3、 可以利用文曲星自编 BASIC 语言进行研究
4、 进行合作探究，相互学习和交流。

设两定点分别为 A （ -C , 0 ）、B （ c , 0 ）,
P （ X , y ）到两定点的距离的积为
a ,则J （x C ）2
y 2
J （x
V X 2 c 2 J a 2 4X 2C 2.
点的轨迹为两个分离的封闭图形，如图 1所
点的轨迹为两个相切的封闭图形，在原点相切，如图
\2 2
C ) y a,
示。

化简得
2
当c >a 当c 2
=a 时,
y
时, 当C 2 <a 时, 3所示。

点的轨迹为一个封闭图形，我们可称其为“花生形” 如图
©
e
图1 图2
厂f
■.
c >0 .平面上任意一点
平面内到两个定点的距离之商为定值K 的点的轨迹是什么？当K>0 且不等于1 时，表示圆，当K 等于1 时，表示中垂线。