勾股定理易错点剖析
(人教版)八年级数学下册 易错课堂(二) 勾股定理
一、受思维定势的影响找错直角而出错 【例 1】在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，a＝6，b＝3，则 c＝__3__3__． 分析：由于∠A＝90°，因此 a 为斜边，则有 b2＋c2＝a2，将 a，b 的值代入即可求得 c 值． 【对应训练】 1．在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝45°，b＝2，则 c＝___2_．
【对应训练】 3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a －b)＝c2，则( A ) A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．△不是直角三角形
四、在利用勾股定理求解有关问题时，考虑问题不全面而造成漏解 【例 4】在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，CB 边上的高 AD＝12， 求△ABC 的面积． 分析：需分∠BCA 为锐角和钝角两种情况求解．
第三边为边长的正方形的面积为__9__或__2_3__．
三、受思维定势影响只比较 a2＋b2 和 c2 的大小关系造成错误判断 【例 3】判断以 a＝32，b＝52，c＝2 为边长的三角形是否为直角三角 形． 分析：求解时应先确定最长边，然后分别计算较短两边的平方和与 最长边的平方，若它们相等，则为直角三角形，否则就不是直角三角形． 解：∵a2＋c2＝(23)2＋22＝245，b2＝(25)2＝245，∴a2＋c2＝b2，∴此三角 形是直角三角形
二、应用勾股定理时，直角边和斜边不明确而造成漏解
【例 2】已知直角三角形两边长分别为 3 和 5，则第三边的长为
___3_4_或___4___． 分析：由于题中没有明确说第三边是斜边还是直角边，故求解时需分
两种情况讨论：一是第三边是斜边，二是第三边是直角边． 【对应训练】 2．已知以直角三角形的两边分别为边长的正方形面积为7和16，则以
勾股定理知识点
勾股定理知识点归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bc c baE D CBA理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)
勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
中考数学复习指导：勾股(逆)定理应用中的易错点
勾股（逆）定理应用中的易错点勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，且∠C＝90°，如果已知一个三角形的三条边长，则可以利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是不是直角三角形．由于勾股定理及其逆定理形式上都比较简单，因而在运用这两个定理时，同学们往往因不够重视而出现这样那样的错误．现将几种典型错解列举如下，并作简要的剖析，供同学们参考．一、忽视应用的前提例1 △ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，c为质数，求c．错解由勾股定理得：c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，故c＝5．分析不注意定理的成立条件，而盲目使用勾股定理，这样便出现了错解．其实，只有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本题条件中并没有说△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三边之间的关系来解．正解由三角形的三边关系知：b－a<c<b＋a，即1<c<7，又c为质数，故c＝2，或c＝3，或c＝5．例2 如图1，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，试说明AB＝AC．错解∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BC＝8，又∵AD＝6，∴在△ADC中，由勾股定理，得而AB＝10，故AB＝AC．分析由于受题目题设、结论及图形的影响，在没有进行推证说明的情况下，就先行认为△ADC是直角三角形，忽视了运用勾股定理的前提，导致解题过程错误．正解∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝BC＝8．又∵AB＝10，AD＝6，且有62＋82＝102，即AD2＋BD2＝AB2，则△ADB是直角三角形，且AD⊥BC．∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：∴AB＝AC．友情提示：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是：只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，在非直角三角形中不具备这种关系，因此，在非直角三角形中或者是不知道三角形是否是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理．二、忽视直角所对的边是斜边例3 在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a，b，c，且a＝b，b＝8，求c的长．错解∵△ABC为直角三角形．由勾股定理得：a2＋b2＝c2，且c＝＝10.分析错解未抓住题目实质，受勾股定理的表达式：a2＋b2＝c2的影响而理所当然的认为c是斜边，其实，由∠B＝90°，知道斜边应该是b（如图2）．因此，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行解题．正解因为∠B＝90°，则在Rt△ABC中，由勾股定理得：友情提示：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边才是斜边，而并不一定是我们所习惯的c为斜边．三、忽视隐含情形例4 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边长，错解第三边长为：分析同学们都知道3.4.5是最小的勾股数，在我国古代就已有“勾三、股四、弦五”的说法，这意味着当两直角边分别为3和4时，斜边长为5，部分学生在解这道题时，由于思考不周全，忽略隐含情形，误认为一边是3，一边是4，第三边长也就是斜边长为5．实际上，题目中包含着两种情况：一种是已知的两边之长3，4都是直角边长，这时的第三边即斜边长为5；另一种是已知的两边中较长的边（长）4为斜边长，长为3的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为．正解(1)当两直角边为3和4时，第三边长为：；(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为：∴第三边的长为5或．友情提示：在给出直角三角形两条边长，并且没有确定它们都是直角边时，第三边既可能是斜边，也可能是直角边．四、忽视分类讨论例5 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12．求BC的长．错解如图3，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：分析由于题目并没有给出对应的图形，所以根据习惯画出了图3，认为三角形的高在三角形的内部，忽视了三角形的高也可能在三角形的外部（即图4所示），此时BC＝BD－CD．错解忽视了分类讨论思想的运用.正解如图3，当△ABC的高AD在三角形内部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：如图4，当△ABC的高AD在三角形外部时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：友情提示：在题目没有给出相应图形时，我们一定要周密思考，根据题意画出所有符合条件的图形进行解答．五、忽视区别应用勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理则是直角三角形的判定定理．在已知直角三角形中，需要用到三边的关系时用勾股定理；而已知三边想用直角三角形的性质定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判断它是否是直角三角形．在使用时要特别注意区别对待，例6 △ABC的三边长分别为7，24，25，试判断△ABC的形状．错解∵72＋242＝252，∴由勾股定理可知△ABC是直角三角形．分析虽然最终判断的结果是对的，但是判断的根据是错误的．因为勾股定理是直角三形的性质定理，故只有在直角三角形中才能使用，而本题需对三角形形状作出判断，判断的依据是勾股定理的逆定理，错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念和区别，导致错误运用．正解∵72＋242＝252，∴由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．友情提示：勾股定理是直角三形的性质，可以用它来解决直角三角形的三边的等量关系．而勾股定理的逆定理是根据三边的一个等量关系来判断三角形的形状的.六．忽视定理实质例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)（a－b）＝c2，则( )(A)∠A为直角(B)∠C为直角(C)∠B为直角(D)不是直角三角形错解选B．分析因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性的认为∠C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误，该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一等式进行判断．正解∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2．故选A．例8 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )(A)1.2.3 (B)32，42，52(C)，，(D)，，错解选B．分析对勾3股4弦5的形式根深蒂固，对概念的理解流于表面形式，判断一个三角形是不是直角三角形时，应将所给三边的长进行平方看是否满足a2＋b2＝c2的形式．正解因为，故选C．友情提示：在使用勾股定理及其逆定理时，既要看是否满足a2＋b2＝c2的形式，更要看这个定理中字母a，b，.c的实质．七、忽视最大边所对的角是直角例9 一个三角形的三边的长分别是a＝，b＝，c＝2．问这个三角形是直角三角形吗？所以这个三角形不是直角三角形．分析以上解答是错误的，因为根据三角形的边角关系可知，最大的角所对的边最大，而直角三角形中直角是最大的角，直角所对的边才是它的最大边即斜边，直角三角形中最大的边所对的角是直角．所以要判断一个三角形是不是直角三角形，先得找到它的最大边，而错解中并没有判断哪条边是最大边，却受a2＋b2＝c2的影响，认为c为最大边．实际上本题中b才是最大边．所以应判断a2＋c2与b2之间的关系．根据勾股定理逆定理可知由a，b，c为边组成的三角形为直角三角形．例10 已知△ABC的三边的长分别是BC＝41，AC＝40，AB＝9．试说明△ABC是直角三角形．错解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．分析以上解题思路是对的，但∠C＝90°是不对的．直角三角形中哪个角是直角，应以最大边所对的角来确定，这里的最大边为BC，其所对的角为∠A，所以这里的∠A＝90°．而不是∠C＝90°．正解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠A＝90°．∴△ABC是直角三角形．友情提示：在判断所给的线段能否组成直角三角形时，要先确定最大边，然后再通过计算，判断最大边的平方是否等于其它两边的平方和，应用勾股逆定理时，一定要注意最长边对的角为直角．勾股定理及其逆定理是初中几何中的重要工具，因此熟练掌握它们的使用方法是十分重要的，我们要加深理解这两个定理的本质意义，把“忽视”变为“重视”，尽量减少错误的发生．。
勾股定理易错题分析
勾股定理易错题分析勾股定理是初中几何的重要知识，是几何中的常用工具。
初学时，很多同学常易犯各种各样的错误。
下面仅选择几例，供同学们参考和借鉴，以免犯这类错误。
【例1】在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．错解由勾股定理，得诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a 时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，【例2】已知RT△ABC中，∠B=RT∠,c=求b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴【例3】若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解 设第三边长为xcm ．由勾股定理，得x 2=62＋82．即第三边长为10cm ．诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法 设第三边长为xcm ．若第三边长为斜边，由勾股定理，得若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得=因此，第三边的长度是10cm 或者【例4】如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12AD.又RT △ABC 的周长是求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形，∴AC:AB:BC=3:4:5∴AC∶AB∶BC=3∶4∶5．∴AC=31232+AB=4 12BC=512)=156+又∵12AC AB∙=12BC AD∙∴AD=AC AB BC∙=25诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AD∴AD又∵MC=MA，∴CD=MD．∵点C与点M关于AD成轴对称．∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．∴∠B=30°,AC=1 2∴AC+AB+BC=12BC+2BC+BC=6+∴BC=4．∵12∴AD=122BC【例5】在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．【例6】已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE．错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．所以高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。
勾股定理常考题型整理
勾股定理易错题型整理：易错点1：错误理解勾股数例1：下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A、a2:b2:c2=1:2:3B、a:b:c=3:4:5C、∠A＋∠B=∠CD、∠A：∠B：∠C=3：4：5易错点2：求最短距离时展开图数据错误或展开错误例1：在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，求一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路．例2：如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．(1)一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______．(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．例3：如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．14cm C．10cm D．无法确定易错点3：忽略分类讨论或多解例1：直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为______．例2：直角三角形两直角边长分别是3和4，则第三边长为______．例3：直角三角形两边长分别是3和4，则最长边为______．易错题型3：作图错误例1：如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14km，C，D为两村庄(可看为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？例2：如图，牧童在A处放牛，其家在C处，A、C到河岸l的距离分别为AB=2km，BD=8km，且CD=4km。
（1）牧童从A处将牛牵到河边P处饮水后再回到家C，试确定P在何处，所走路程最短？请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），不必说明理由。
（2）求出（1）中的最短路程。
（6分）必考知识点1：最短距离问题例1：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝5，BC＝12，求CD的长度。
八上数学 第一章勾股定理知识点归纳+易错题精选(含答案)
八年级数学上册 第一章 勾股定理知识点+易错题精选1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
勾股定理 易错题精选一．选择题1．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．6，8，10C ．5，8，13D ．12，13，142．用四个边长均为a 、b 、c 的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（ ）A ．c 2=a 2+b 2B ．c 2=a 2+2ab+b 2C ．c 2=a 2﹣2ab+b 2D ．c 2=（a+b ）2．3．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都是矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）A．360 B．400 C．440 D．4844．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）A．3 B．4 C．5 D．65．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c26．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点A到边BC的距离为（）A． B．C． D．37．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2=a2 B．a：b：c=3：4：5C．∠C=∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C=9：12：158．某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．长方形门框ABCD中，AB=2m，AD=1.5m．现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：①长1.4m，宽1.2m；②长2.1m，宽1.7m；③长2.7m，宽2.1m；④长3m，宽2.6m．其中不能从门框内通过的木板有（）A．0块 B．1块 C．2块 D．3块10．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A 和B，DA=24千米，CB=16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定二．填空题11．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x= ．12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为．14．观察下列式子：当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= ．15．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．16．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为度．17．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，AD=13cm．求四边形ABCD的面积= cm2．18．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为米（精确到0.1m）．19．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B 处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里．20．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯米．二．解答题21．如图，你能用它验证勾股定理吗？（提示：以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积）22．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．试判断△ACD的形状，并说明理由．23．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为．解决问题：（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．24．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．25．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O 的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？26．如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？参考答案一．选择题1．【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【解答】解：A、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；C、52+82=89≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误；D、122+132=313≠142，不能构成直角三角形，故本选项错误；故选：B．2．【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式．【解答】解：由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，则有c2=ab×4+（b﹣a）2，整理得：c2=a2+b2．故选：A．3．【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=6+8=14，所以，KL=6+14=20，LM=8+14=22，因此，矩形KLMJ的面积为20×22=440．故选：C．4．【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OA n=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．【解答】解：找到OA n=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，……，故正整数为=1， =2， =3， =4， =5．故选：C．5．【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C．6．【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长，然后得到三角形是等腰三角形，进而利用勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：根据勾股定理可知：AB==，AC==，BC==，则△ABC是等腰三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，即BD=CD=BC=，AD===，即点A到BC的距离为．故选：C．7．【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．【解答】解：b2﹣c2=a2则b2=a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c=3：4：5，设a=3x，b=4x，c=5x，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形；∠C=∠A﹣∠B，则∠B=∠A+∠C，∠B=90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C=9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x=180°，解得，x=5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．8．【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可．【解答】解：∵三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，∴三边的长分别为13米、47米、49米，假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x，则：x2=132+472=2378，∵492=2401＞2378，∴该三角形为钝角三角形．故选：B．9．【分析】求出长方形门框的对角线长，宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过．【解答】解：门框的对角线长是： =2.5m．宽小于或等于2.5m的有：①②③．故选：B．10．【分析】根据题意利用勾股定理得出AD2+AE2=BE2+BC2，进而求出即可．【解答】解：设AE=xkm，则BE=（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴AD2+AE2=BE2+BC2，故242+x2=（40﹣x）2+162，解得：x=16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．二．填空题11．【分析】根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．【解答】解：分两种情况进行讨论：①两直角边分别为6，8，由勾股定理得x==10，②一直角边为6，一斜边为8，由勾股定理得x==2；故答案为：10或2．12．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=•AF•BC=10．故答案为：10．13．【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1．故答案为： +1．14．【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．【解答】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．15．【分析】根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．【解答】解：∵2ab=（a+b）2﹣c2，∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2=c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．16．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，进而可得答案．【解答】解：∵（）2+（）2=（）2，∴三角形为直角三角形，∴这个三角形的最大内角度数为90°，故答案为：9017．【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△CBD是直角三角形，分别求出△ABD和△CBD的面积，即可得出答案．【解答】解：连结BD，在△ABD中，∵∠A=90°，BC=3cm，DC=4cm，∴BD==5（cm），S△BCD=BC•DC=×3×4=6（cm2），在△ABD中，∵AD=13cm，AB=12cm，BD=5cm∴BD2+AB2=AD2，∴△ABD是直角三角形，∴S△ABD=AB•BD=×12×5=30（cm2），∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=6+30=36（cm2）．故答案为：36．18．【分析】根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论．【解答】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=150米，AC=120米，在Rt△ABC中，BC=≈192.2米，故答案为：192.219．【分析】根据方位角可知船与海岛、灯塔的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，再根据勾股定理，即可求得海岛B与灯塔C之间的距离．【解答】解：因为∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，所以△ABC是直角三角形，∵AB=15×2=30海里，∠BAC=60°，∴AC=60海里，∴BC==30（海里）故答案为：3020．【分析】利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出BC的长，再根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，斜边AC是4米，∴BC=AC=2米，∴AB===2（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=（2）米．故答案为：2+2三．解答题（共6小题）21．【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积；化简得a2+b2=c2，即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．22．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．【解答】解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=9+16=25，∴AC=5，又∵AC2+CD2=25+144=169，AD2=169，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形．23．【分析】根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．【解答】解：（1）AB==5，BC==，AC==，△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1=，故答案为：5；；；；（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1=5．24．【分析】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB 的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得AB=500米，∵AB•CD=BC•AC，∴CD=240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．25．【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求得AO的长即可；（2）在梯子长度不变的情况下，求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=，=，=12m，∴梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，∵AC=4m，∴OC=AO﹣AC=8m，∴OD=，=，∴BD=OD﹣OB=，∴滑动不等于4m．（3）AB上的中点到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．26．【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．【解答】解：（1）如图所示，∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴AD=12cm，∴AB===12（cm）．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12cm；（2）∵AD=12cm，∴蚂蚁所走的路程==20，∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（cm/s）．。
用勾股定理解题应注意的几个问题
用勾股定理解题应注意的几个问题勾股定理是中学几何中一个很重要的定理，是继学习三角形三边关系之后用来描述特殊三角形三边关系的又一个重要的结论．它揭示了直角三角形三边长的内在联系，反映了三边之间特殊的平方关系，它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法，因此应用十分广泛．但在应用勾股定理时，经常会出现这样或那样的错误，那么怎样正确运用勾股定理呢？一、注意分清直角边和斜边例1 在Rt △ABC 中，a=8㎝，b=10㎝，90B ∠=，求第三边长c ．错解:由勾股定理，得22222810164c a b =+=+=，∴C =分析:本题解法中错在没有正确运用题中所给的条件，忽视了90B ∠=，由于90B ∠=，所以b 应为斜边，而不是c ．正解:因为90B ∠=，222b a c ∴=+，2222210836c b a ∴=-=-=， 6c ∴=，故第三边长为 6㎝．二、注意定理的应用条件例2 已知△ABC 中，三边长a 、b 、c 为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c 的长． 错解: 由勾股定理，得222a b c +=，∴2223425c =+=，5c ∴=（㎝）． 分析: 勾股定理使的条件必须是在直角三角形中，本题解法是受“勾3股4弦5 ”的影响，错把ABC 当成直角三角形，导致错误的使用勾股定理．正解: 由三角形三边关系可得-<<+b a c b a ，17c ∴<<，又c 为整数，∴C 的长应为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝．三、注意定理和逆定理的区别例3 判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、c=5．错解:22234916255+=+==，即222a b c +=，所以根据勾股定理可知，a 、b 、c 能构成直角三角形．分析: 本题错在在解题依据上混淆了定理和逆定理的条件结论，勾股定理是由“形”推得“数”，而逆定理则是由“数”推得“形”．因此不可混用．正解: 22234916255+=+==，即222a b c +=，由勾股定理逆定理可知，三条线段能构成直角三角形．四、注意解题语言叙述例4 已知三角形的三边长为5、12、13，试说明三角形是直角三角形．错解:因为直角边是5和12，斜边是13 ，所以22251216913+==，故三角形是直角三角形．分析:解法中错在一开始就明示了“直角边”和“斜边”，事实上只有在三角形是直角三角形的条件下才能称其为“直角边”、“斜边”．正解:22251216913+==，满足222a b c +=，由由勾股定理逆定理可知， 三角形是直角三角形．五、注意分类讨论例5 在Rt ABC 中，已知两边长为3、4，求第三边的长．错解: 因为ABC 是直角三角形，∴ABC5=．分析: 本题错在只考虑3、4为直角边的可能，而忽视了4也可以作为斜边的情况，因此须分类讨论．正解:(1)若4为直角边，5=;(2) 若4为斜边， 则第三边的=5．例6已知在ABC 中，AB=4，AC=3，BC 边上的高等于2．4，求ABC 的周长．错解:如图1所示， A B C D图12.434由勾股定理，得165BD ==，95CD ==，169555BC BD DC ∴=+=+=． ∴ABC 的周长为45312AB BC CA ++=++=．分析:上面解法中，只考虑了三角形的高在三角形内部的情况，忽视了高在形外的情况，即当ABC 是钝角三角形时．因此须分类讨论．正解:由勾股定理，得165BD ==，95CD ==． (1)若C ∠是锐角(如图1)，则169555BC BD DC =+=+=，这时ABC 的周长为 45312AB BC CA ++=++=;(2) 若C ∠是钝角(如图2)，AB D C图22.434则1697555BC BD DC =-=-=，这时ABC 的周长为7424355AB BC CA ++=++=．所以ABC 的周长为12或425． 例7已知在Rt ABC 中，两直角边的长为20和15，90BAC ∠=，求BD 的长． 错解: 如图3所示， ABC D 12图31520由题意根据勾股定理，得25BC ==，又由面积法可得1120152522AD ⨯⨯=⨯⨯，12AD ∴=，在Rt ADB 中，由勾股定理得16=．分析:本题错在只考虑了AB 的长是20的可能，忽视了AC 的长也可能为20的情况．因此须分两种情况求解．正解: 由题意根据勾股定理，得25BC ==，又由面积法可得1120152522AD ⨯⨯=⨯⨯，12AD ∴=． (1)当AB=20时，如图3，16=．(2) 当AC=20时，如图4，A1520B CD图4=．9所以BD的长为16或9 ．当然，应用勾股定理解题时的错误不仅仅上述这些，错误也多种多样，但最根本原因是对定理不熟悉或理解不深刻造成的，为避免上述错误，大家一定要加强基础知识的学习，在正确理解的基础上强化练习，不断提高自己．。
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勾股定理及其逆定理的探究
忽视运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状
例在Ｂ港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６０°方向以每小时８海里的速度前进，乙船沿南偏东某角度以每小时１５海里的速度前进．２小时后，甲船到达Ｍ岛，乙船到达Ｐ岛，两岛相距３４海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
错解：甲船航行的距离为BM＝８×２＝１６（海里），乙船航行的距离为BP＝１５×２＝３０（海里）．
∵2
230
16 ＝３４（海里），且MP＝３４（海里），
∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP＝９０°，
∴乙船是沿着南偏东３０°的方向航行的．
错解分析：本题最终判断的结果虽然也是正确的，但是在解题的过程中忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误．本题考查的重点是对三角形形状的判定，应该先应用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状，再求出乙船的航行方向．
正解：甲船航行的距离为BM＝８×２＝１６（海里），乙船航行的距离为BP＝１５×２＝３０（海里）．
∵１６２＋３０２＝１１５６，３４２＝１１５６，
∴BM２＋BP２＝MP２，∴△MBP为直角三角形，且∠MBP＝９０°，
∴乙船是沿着南偏东３０°的方向航行的．
点拨：已知三角形为直角三角形求其边的关系时，应用直角三角形的勾股定理；知道三角形的三边关系判定三角形是否为直角三角形时，应用勾股定理的逆定理.在解题时要分清这两个定理的使用方法．通过本例告诉我们，
掌握勾股定理的逆定理要注意以下两点：一是勾股定理的逆定理是利用三角形三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理；二是只要一个三角形的三边满足两较小边的平方和等于第三边的平方，就可以判定这个三角形是直角三角形，反之，这个三角形就不是直角三角形．。