反比例函数图象和性质
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
反比例函数反比例函数的图象与性质
在匀速运动中，速度与时间成反比例 关系。通过给定的速度和时间条件， 可以建立反比例函数求解相关问题。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度可能与 位移或时间成反比例关系。根据具体 条件建立反比例函数模型，可以求解 变速运动的相关问题。
浓度问题求解
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶 液的体积成反比例关系。通过给定的 溶质质量和溶液体积条件，可以建立 反比例函数求解相关问题。
题目6
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 y = m/x (m ≠ 0) 的图象交于 A、B 两点 ，且点 A 的坐标为 (2, 1)，则不等式 kx + b > m/x 的解集为 _______．
历年中考真题回顾
题目7
(2019年中考)已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < 0 < x2，则 y1 _______ y2．(填“>”、“<”或“=”)
与一次函数关系比较
相似之处
两者都是线性函数，具有直线型的图象。
不同之处
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，一次函数的斜率是常数，而反比 例函数的斜率则随着x的变化而变化。
与二次函数关系比较
相似之处
两者都是非线性函数，具有曲线型的图象。
不同之处
二次函数的图象是一个抛物线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，二次函数的对称 轴是y轴或x轴，而反比例函数的对称中心是原点。
06
练习题及解析
基础知识练习题
03
题目1
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象 经过点 (2, -3)，则 k 的值为 _______．
反比例函数的图象和性质
P(a,b)
X>0
例5.已知函数y=k/x 的图象如下右图，则y=k x-2 的图象大致是（ D ）
y y o (B) y y o x x y o x x
(A)
o
x
o
(C)
(D)
练一练
1.所受压力为F (F为常数且F≠ 0) 的物体，所受压 强P与所受面积S的图象大致为（ B）
P （A） P （B） O P （C） O S O （D） S S
8. 如图点Ｐ 是反比例函数y= 4/x 的图象上的任意 点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则 Ｓ＝_____
4 2
P
-5
O
A
5
-2
9。已知反比例函数y =k/x 和一次函数 y=kx+b 的图象都经过点（2，1） （1）分别求出这个函数的解析式 （2）试判断是A（-2， -1）在哪个函数的图象上 （3）求这两个函数的交点坐标
P C
A B
o Q x
1.5 8 1 1、反比例函数y , y , y 的共同点是 （ C） x x 4x (A)图像位于同样的象限 (B)自变量取值是全体实数 (C)图像都不与坐标轴相交 (D)函数值都大于0
2、以下各图表示正比例函数y=kx与反比例函数 y y o (B) x o (C)
y
0
y x
0
x
如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 （k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例 函数，其中自变量不能为0。
y
k x
函数名称
函数解 析式和 自变量 取值范 围
正比例函数 y=kx(k≠0，k是 常数) x取一切实数 K>0 K<0 y x o y随着x 增大而 减小 x o
反比例函数的图像和性质
A S1 B
A. B. C. D.
S1 S1 S3 S1
= < < >
S2 S2 S1 S2
= S3 < S3 < S2 >S3
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
7.如图，过平面直角坐标系中的x轴上的整数 点1、2、3、4、5作x轴的垂线，分别交反比例函数 D、E作y轴的垂线。则图中阴影部分的面积是___.
1 4.如图在坐标系中，直线y=x+ 2
k与ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，点A、C是反比例函数
的图
像上的任意两点，过点A作x轴的垂线，过点C 作y轴的垂线，连接OA、OC，设Rt△OAB和 Rt△OCD（O为坐标原点）的面积分别是M和N， y 则M、N的大小关系是（ ） A.M>N B.M<N C.M=N D.M和N的大小关系不能确定.
S1
A
B
o
S2
x
C
D
1 5. .如图, 在 y ( x > 0 )的图像上有三点 A , B , C , x 经过三点分别向 x 轴引垂线 , 交 x 轴于 A1 , B1 , C 1 三点 , 边结 OA , OB , OC , 记 OAA 1 , OBB 1 , OCC 1的 面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , 则有 __ .
3 2
5 D. 2
y A D C O B
x
例1.如图：一次函数y=ax+b的图象与 k 反比例函数y= x 交于M （2，m） 、N （1，-4）两点。（1）求反比例函数和一次 函数的解析式；（2）根据图象写出反比 例函数的值大于一次函数 y 的值的x的取值范围。
反比例函数的性质
反比例函数定义一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。
k大于0时，图像在一、三象限。
k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
反比例函数图像及性质反比例函数图像：1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。
反比例函数性质：1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B 两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
反比例函数的图像与性质.
x
0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
k＞0 当x＜0时，y随x的增大而减小，
则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限
y
k＞0 ,-k＜0
o
x
例4:图是反比例函数y= m-5 的图象的一支.根据 x 图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范 围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和 点B(a’,b’).如果a﹥a’,那么b和b’有怎么的大小 y 关系?
则y1与y2的大小关系(从大到小)
x
为 y1 ＞0＞y2
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
4.已知点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(4,y ) 1 2 3 4 y 都在反比例函数 的图象上 , x 则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
为 y3 ＞y1＞y2
.
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数的性质及图像
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像：
具体性质：
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
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K>0
2、k＜0 图象在第二和第四象 限，在每个象限内y 随x的增大而增大。
K<0
动脑想一想
1、反比例函数y= y
5 x
的图象大致是（
y
D ）
xLeabharlann A：oxB：
o
y y
C：
x o
D：
o x
2、反比例函数y=
k x
（k≠0）的
图象过点P（-3，2），则它的图 象所在象限是（ C ）象限。
A C 一、三 二、四 B D 三、四 一、二
看谁反应 快
1、从丹凤广场到育才学校 相距5千米，小曹从广场到 学校行驶速度y（千米／小 时）与所用时间x（小时） 5 之间的关系是 y= 。
x
2、我校共有30吨煤，则可烧天数y与每天烧煤 30 量x之间的关系是 y= 。
x
定义
形如y=
k x
（k≠0）的函
数叫反比例函数
k y= （k≠0） x
-1 y=kx
3、我校有30吨煤，用y表示可以用的天数， 用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的图 象大致是（ D ）
y
y
A：
y
x
B：
x
y x
C：
D：
x
拓展练习
1、已知点（ x1，-1 ）（ x2，-5），
90 （x3，-9）在函数y= 的图象上， x
则下列关系式正确的是（ B ）
A C x1＜x2＜x3 X1＞X3＞X2 B x1＞x2＞x3
3、反比例函数y=
6 x
,图像形状是什么？在
那些象限？在每一个象限内，图像从左到右
是上升还是下降？随x的增大y如何变化？
反比例函数y= 6 x
呢？
6 x
4、反比例函数y=
和y= -
6 x
图像对称吗？
检测： 不画图像说出下列反比例函数图像性质：
（1）y=
12
(2)y=
-3 x
- 2 x
k x
x
（3）y=
k y= （k≠0） x
k 2、对y= （k≠0） x k＞0 图象位于第一和第三象限，在每个
象限内y 随x的增大而减小。
k＜0
图象位于第二和第四象限，在每个 象限内y 随x的增大而增大。
xy=k（k≠0）
(k≠0)
细心填一填：
1、已知点P（x1，3）和点Q（-2，y1）满
1 x
1 3
足反比例函数y= 1 y= -2 。
1
，则x1=
，
2、已知点P（2，-3）满足反比例函数
k y= x
，则k= - 6 。
反比例函数的 图象和性质
自学提纲：
1、如何画反比例函数图象？有哪些步骤？
2、反比例函数图像的形状是什么？
D x1＜x3＜x2
2、若k1k2＜0，则 函数y=k1x与y=
k2 x
在同
一坐标系中的图象大致为（
B ）
A：
B：
C： D：
动笔做一做
已知y是x的反比例函数，且当x=4时，y= -1，求： （1）y和x的函数关系式。
2 3
（2）当x=
-
时y的值。
4 （3）当x为何值时，y= 5
知识小结：
1、反比例函数 xy=k（k≠0）
1 x
(4)y=
（5）y=
k x
(k>0)
(6)y=
(k<0)
反比例函数的性质：y=
k x
(k ≠0)
1、当k>0时，
2、当k<0时，
小明在作业中画 出了一个反比 例函数图象， 如下图，他 画的对吗？ 为什么？
反比例函数的图象和性质：
1、k＞0 图象在第一和第三象 限，在每个象限内y随x的增大而减小。