高二数学测试题含答案

高
二
数
学
测
试
题
2014-3-9
一、选择题： ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 , 只有一项是符合题目要求的 .)
1.命题 “若△ ABC不是等腰三角形 ,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（
）
A. 若△ ABC是等腰三角形 ,则它的任何两个内角相等
B.若△ ABC任何两个内角不相等 ,则它不是等腰三角形
（ B） 1 ,1 4
（ C） 2, 2 2
（ D） 2,2 2
x2 y2 11. 已知点 F1、 F2 分别是椭圆 a2 b2 1的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 于 A 、 B 两 点 ， 若 △ ABF2 为 正 三 角 形 ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 e 为
（
）
(C) 小前提不正确 (D) 推理形式不正确
3．以下有四种说法，其中正确说法的个数为： （ ）
（ 1）“ m 是实数”是“ m 是有理数”的充分不必要条件；
(2) “ a b ”是“ a2 b 2 ”的充要条件； (3) “ x 3 ”是“ x2 2 x 3 0 ”的必要不充分条件；
（ 4）“ A I B B ”是“ A ”的必要不充分条件 .
17 解：对任意实数 x 都有 ax2 ax 1 0恒成立
a0
a 0或
0 a 4 ；……………………………………………… 3 分
0
关于 x 的方程 x 2 x a 0 有实数根
1 4a 0
1 a ；…………… 2 分
4
如果 p 正确，且 q 不正确，有 0 a 4,且 a 1 1 a 4 ；…………… 2 分
）
x1
( A ) 2,2
(B) 0,0
1 (C) 0,0 或 2,2 (D) 1,
2
8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆
x 2 y2 2 x 6 y 9 0 的圆心的抛物线的
方程是
（）
A． y 3x2 或 y 3x2
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B
． y 3x 2
C． y2 9 x 或 y 3 x2
D
． y 3x 2 或 y2 9x
平面 PMN CC1 MN ；
(2) 解：在斜三棱柱 ABC A1 B1C1 中，有 SA2BB1A1 SB2CC1B1 S2ACC1A1 2SBCC1B1 SACC1A1 cos ，其中
为 平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所组成的二面角 .
CC1 平面 PMN , 上 述 的 二 面 角 为 MNP , 在
6分
，故椭圆方程为 ……………………………
（ 2）由（Ⅰ）知 A( 2,0), B (0, 3 ) ， k PQ k AB
3 ， ∴ PQ 所在直线方程为 2
y 3 ( x 1) ， 2
y 由
x2
4
3
(x 2
1) 得
8y2
y2 1
3
设
P
(x1
，
4 3y 9 0
y1)
，
Q
( x2
，
y2)
，
则
y1 y2
C.若△ ABC 有两个内角相等 ,则它是等腰三角形
D. 若△ ABC 任何两个角相等 ,则它是等腰三角形
2. “三角函数是周期函数，
y tan x ， x
π，π 是三角函数，所以 22
y tan x ，
x
π，π 是周期函数” ．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（
）
22
(A) 推理完全正确
(B) 大前提不正确
.
17（本小题满分 10 分） 给定两个命题：
p ：对任意实数 x 都有 ax2 ax 1 0恒成立；
q ：关于 x 的方程 x2 x a 0 有实数根；
如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题，求实数 a 的取值范围 ．
18. 设函数 f ( x) ax3 bx c (a 0) 为奇函数 , 其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线
1
又由归纳假设，得 (2 k 1)
(2 k 3)ak 1 ，
(2 k 1)(2 k 1)
1
所以 ak 1
，
(2k 1)(2k 3)
即当 n k 1时，公式也成立． 由①和②知，对一切 n N * ，都有 an
20(1) 证：
CC1 // BB1 CC1 PM , CC1 PN , CC1
1
成立
(2 n 1)(2 n 1)
c
B． | f ( x)dx | a
c
c
b
f (x)dx D ． f ( x)dx f ( x)dx
b
b
a
x2
6 . 已知椭圆
10 m
A. 4 .
y2
m2 B. 5 .
1，若其长轴在 y 轴上 .焦距为 4 ，则 m 等于
C. 7 .
D.8 .
7. 已知斜率为 1 的直线与曲线 y
x 相切于点 p ，则点 p 的坐标是（
（ A） 1 2
12．已知 ,
是三次函数
（ B） 2 2
f ( x) 1 x3 3
1 ax2 2
（ C） 1 3
2bx 的两个极值点，
（D） 3 3
(0,1), (1,2) ,
b2
则
的取值范围是 ( ）
a1
A ( 1 ,1)
B
4
( 1 ,1)
C
2
( 1 , 1) 24
D
( 1 , 1)
22
二、填空题 ( 共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)
y2 b2 1(a b 0) 的左、右两个焦点，
A、 B 为两个
已知椭圆 C 上的点 (1, 3 ) 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2
（ 1）求椭圆 C 的方程和焦点坐标；
（ 2）过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点，求△ F1PQ 的面积 .
22. 已知函数 f ( x) x 2 a(2 ln x),( a 0) 。 x
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
4 .已知动点 P（ x， y）满足 (x 2) 2 y 2 ( x 2)2 y2 2 ,则动点 P 的轨迹是
A.双曲线
B.双曲线左支 C. 双曲线右支
D. 一条射线
5． 用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S的值是（
）
c
A ． f (x)dx a
b
C． f (x)dx a
(2) 在任意 DEF 中有余弦定理：
DE 2 DF 2 EF 2 2DF EF cos DFE . 拓展到空间， 类比三角形的余弦定理， 写出斜三
棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明
.
21. （本题满分 12 分）
如图所示， F1、F2 分别为椭圆
C： x2 a2
顶点，
1 有 共 同 的 渐 近 线 ， 且 过 点 ( 3, 2 3) 的 双 曲 线 的 方 程
9 16
为
.
16、已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数 , f (1)
f ( x) 0 的解集是
.
0 , xf ( x) f (x) x2
0 (x
0) , 则不等式
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
∴ c 0 , 又∵ f '(x) 3ax2 b 的最小值为 12 , ∴ b 12 ;
又直线 x 18 y 7 0 的斜率为 ∴ a 2 , b 12 , c 0 为所求 .
1 , 因此 , f '(1)
3a
b
18 , ∴ a
2,
18
(2)
由
(1)
得
f ( x) 2x3 12 x
,
∴
当
x0
时, g( x)
x2 ax 2
x2
.
设 g( x) x2 ax 2 ,二次方程 g (x) 0 的判别式
a2 8 .
① 当 a2 8 0 ，即 0 a 2 2 时，对一切 x 0 都有 f ( x) 0 ,此时 f ( x) 在 (0, )
上是增函数。
②当
a2 8 0 , 即 a 2 2 时 ， 仅 对 x 2 有 f ( x) 0 , 对 其 余 的 x 0 都 有
f ( x) x2
6
6
2(x ) 2 2 x 4 6 ,
x
x
∴ g( x) 的最小值为 4 6 .
19. 解：（ 1）由已知 a1
1 ， a1 3
a2
a3 L n
1
11
a2
a1
，
5 3 5 15
1
11
a3
14 (a1 a2 )
57
，
35
1
11
a4
(a1 a2 a3 )
，
27
7 9 63
1
11
a5
44 (a1 a2
44
如果 q 正确，且 p 不正确，有 a
所以实数 a 的取值范围为
,0
0 或 a 4, 且 a 1 a 0 ．………… 2 分
4
1 ,4
……………………………………
10 分
4
18. 解 :(1) ∵ f ( x) 为奇函数 , ∴ f ( x) f (x) , 即 ax 3 bx c ax 3 bx c ,
9.设 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数，将 y f (x) 和 y f '( x) 的图象画在同一个直角