辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
东北育才学校2018-2019学年度下学期期中考试高一年级数学试卷答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）1. 已知α是锐角，3(,sin )4a α=r ，3cos )b α=r ，且//a b r r ，则α为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 30︒或60︒ 2. 化简sin()cos()sin()cos()2παπαπαα-+-+ 的结果为（ ） A. 1-B. 1C. cot αD. cot α-3. 若点(1,2)P -是钝角α的终边上一点，则角α可以表示为（ ）A. 25arcsin5 B. 5arccos(5- C. arctan(2)- D. 以上都不对4. 已知函数()sin 4f x x =-，则（ ） A. ()f x 在(0,)4π上单调递增 B. ()f x 在(0,)4π上单调递减 C. ()f x 在3(,)88ππ上单调递增 D. ()f x 在3(,)88ππ上单调递减 5. 如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于（ ）3B. 1C. 3-D. 1-6. 已知平面上三点,,A B C ，满足||8AB =u u u r ，||6AC =u u u r ，||10BC =u u u r ，则AB BC BC AC CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ） A. 28 B. 28-C. 100D. 100-7. 为了得到函数32sin 2y x x =+的图象，可以将函数2cos 2y x =的图象（ ）A. 向右平移12π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移12π个单位 D. 向左平移6π个单位8. 已知角,(0,)2παβ∈，且1tan2tan 1tan2αβα+=-，则A. 2παβ+=B. 24παβ-=C. 22πβα-=D. 22παβ+=9. 如图，在ABC ∆中，23AD AC =u u u r u u u r ，13BP PD =u u ur u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为（ ）A. 1112B. 34C. 89D. 7910. 若2212sin cos cos sin x xS x x +=-，则S 不能是 （ ） A. 1tan 1tan x x +- B. 1tan 1tan x x -+ C. 1sin 2cos 2x x + D. cos 21sin 2x x-11. O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，AD t AC =u u u r u u u r，若,,B O D 三点共线，则t 的值为（ ）A.14B.13 C. 12 D. 2312. 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其部分图象如图所示，则()(2)(3)(2018)f f f f ππππ++++L 的值为（ ）A. 13--B. 0C. 2018D. 20183-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)3πα+的值为___________． 14. 已知向量(8,2)a =-r 与(4,)b k =-r 的夹角是钝角，则k 的取值范围是_________．15. 已知||1a =r，||2b =r，a r与b r的夹角为120︒，0a b c ++=rr rr，则b r与c r的夹角为___________． 16. 已知函数()|sin |cos f x x x =+，现有如下几个命题：①函数()f x 为偶函数； ②函数()f x 最小正周期为2π； ③函数()f x 值域为[2,2]-；④若定义区间(,)a b 的长度为b a -,则函数()f x 单调递增区间长度的最大值为34π. 其中正确命题为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量(1,0)a =r，(2,1)b =-r． （1）若ka b -rr与3a b +rr平行，求k 的值；（2）若ka b -r r 与3a b +r r 垂直，求k 的值．18.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos 1)a x x =-r ，(3,1)b =-r ，设()f x a b =⋅r r ．（1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心； （2）已知α为锐角，(0,)βπ∈，13()65f πα+=，12sin()13αβ+=- ，求sin(2)αβ+的值．19.（本小题满分12分）设A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，,P Q 是圆O 上两点，O 为坐标原点，4AOP π∠=，AOQ x ∠=，[0,]2x π∈（1）当6x π=时，求OP OQ ⋅u u u r u u u r的值；（2）设函数()sin 2f x OP OQ x =⋅+u u u r u u u r，求()f x 的值域．20.（本小题满分12分）如图，已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，点,A B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，,C D 分别是()f x 的图象上横坐标为2π、23π的两点，且//CD x 轴，AB BD =u u ur u u u r ．（1）求ω，ϕ的值；（2）若关于x 的方程()sin 2f x k x =+在区间7[0,]12π上恰有唯一实根，求实数k 的取值范围．21.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD ，4AD =，2AB =．（1）若ABC ∆为等边三角形，且//AD BC ，E 是CD 的中点，求AE BD ⋅u u u r u u u r；（2）若AC AB =，3cos 5CAB ∠=，45AC BD ⋅=u u ur u u u r ，求||CD uuu r .22.（本小题满分12分） 已知函数()2cos sin()6f x x x π=-.（1）求函数()y f x =图象的对称轴方程； （2）若方程1()3f x =在(0,)π上的解为1x 、2x ，求12cos()x x -的值．2018-2019学年度下学期期中考试高一年级数学答案 一、选择题CDBCD BACAB BA二、填空题13.242514.16k >-且1k ≠ 15. 150︒ 16. ①②④三、解答题 17. 解：向量． ， ，与平行，，解得． ………………5分与垂直，，解得． ………………10分18.解：…………3分最小正周期为2π对称中心为(,1)6k k Z ππ+∈ …………6分，，又为锐角，所以， …………8分，，又，，…………10分． ………………12分19. 解：，，624+ ……6分 22()(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos f x x x x x x x x =++=++ 令sin cos [22]x x t +=∈- ，则22sin cos 1x x t =- 则2222991()[,2]88y t t t =+-=+-∈- …………12分 20.解：Ⅰ根据题意，AB BD =u u u r u u u r， 点的横坐标为；又点C 与点D 关于直线对称，的最小正周期T 满足，解得，即； ………………3分又，，且，； ………………6分Ⅱ由Ⅰ知，函数，为，，……8分设，7[0,]12，则，根据题意，与恰有唯一交点，实数k应满足或…………12分21. 解：因为为等边三角形，且，所以又，所以，因为E是CD的中点，所以：，．又，所以，．，．………………6分因为，，所以：．因为：，所以：．所以：．又．所以：．所以：．故：． ………………12分22.解：1()sin(2)62f x x π=--…………3分 令，得，即的对称轴方程为，． …………6分Ⅱ由条件知，则122266x x πππ-+-=则， …………9分．…………12分。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知图象知， 的最小正周期是 所以 解得 .由 得到，单增区间是 或：因为 所以将 的图象向左平移 后，所对应的解析式为 .由图象知， 所以 .由 得到，单增区间是
【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
19．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数 的图象关于 轴对称，求 的最小值.
7．已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个对称中心为点 ，则 有（）
A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1
【答案】A
【解析】将 代入余弦函数对称轴方程，可以算出 关于 的一个方程，再将 代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个 关于 的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案.
【详解】
由 满足余弦函数对称轴方程可知
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1． （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可以把 角化成 ，利用诱导公式化成 以内的特殊角，从而得到结果.
【详解】
由三角函数的诱公式是三角中最基本的运算，可以把任意大小的角化成 到 范围内进行求解.
即 的最大值为 ；
①当 时， （满足条件）；
②当 时，
辽宁东北育才双语学校2018-2019学度高一下学期年中考试数学试题word版含解析
辽宁东北育才双语学校2018-2019学度高一下学期年中考试数学试题word 版含解析I 卷选择题共60分【一】选择题〔每题只有一个正确选项，5×12=60分〕1.等差数列}{n a 中，前15项的和9015=S ，那么8a 等于A 、245 B 、6 C 、445 D 、12 2.设A=21++x x ，B=43++x x ,那么A 与B 的大小关系是A 、A<BB 、A>BC 、仅有x>0,A<BD 、以上结论都不成立3、在△ABC 中，依照以下条件解三角形，那么其中有两个解的是 A 、a =14，b =16，A=45°B 、a =60，c =48，B=100° C 、a =7，b =5，A=80°D 、b =10，A=45°，B=70°4.某工厂年产量第二年增长率为a ，第三年增长率为b ，那么这两年平均增长率x 满足5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，以下选项不可能．．．是()n S n ,的图像的是6、假设110a b<<,那么以下结论不正确的选项是 A 、22a b <B 、2ab b <C 、a b a b +>+D 、2a b b a+>7.各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，那么456a a a =A.8、假如点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A.122-B.154- C.15- D.12-9、为得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图像A 、向左平移125π个长度单位B 、向右平移π6个长度单位 C 、向左平移π6个长度单位D 、向右平移125π个长度单位 10、当0<x ≤12时，4log xa x <，那么a 的取值范围是 A.(0，22)B.(22，1)C.(1，2)D.(2，2)11.设等差数列｛n a ｝{n b }的前n 项和为n S ，n T ，假设1n n S n T n =+，那么57a b = A.910B.914C.1314D.131112、定义在R 上的函数()22=++f x mx x n 的值域是[)0,+∞，又对满足前面要求的任意实数n m ,都有不等式22112013+≥++n m am n 恒成立，那么实数a 的最大值为 A.2018B.1C.21D.22013II 卷非选择题共90分【二】填空题〔此题包括4个小题共计20分〕 13.假设4sin ,tan 05θθ=->，那么cos θ=、 14、等差数列{}n a 满足32=a ，)3( 513>=--n S S n n ，100=n S ，那么n 的值为 .15.下面有四个命题： ①函数2sin 32y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数②函数()2|2cos 1|f x x =-的最小正周期是π； ③函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数()sin cos f x a x b x =-的图像的一条对称轴为直线4x π=，那么0a b +=.其中正确命题的序号是。
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辽宁省东北育才学校高一下学期期中考试（数学）一、选择题:(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1. 下面命题中正确论述的命题个数是（ ）①求解某一类问题的算法是唯一的；②任何一个算法都可能包含顺序结构、条件结构、循环结构； ③在“Scilab ”程序语言中,赋值号与数学中的等号的意义相同。
④在“Scilab ”程序语言中,赋值号左右能对换； ⑤循环结构中一定包含条件结构A.1个B.2个C.3个D.4个2. 若向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈，则a b -=( ) A. 2-或0B. 2或2或103. 如图是一次考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=，若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是（ ） A.B.36C. 60D.14. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在1=x 处取最大值，则 （ ）A ．)1(-x f 一定是奇函数B ． )1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数5. 给出命题：（1）某彩票的中奖概率为11000，意味着买1000张彩票一定能中奖 （2）对立事件一定是互斥事件（3）若事件A 、B 满足P(A)+P(B)=1，则A 、B 为对立事件（4）从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，记事件A 为“恰有1个白球”, 记事件B 为“恰有2个白球”，则A 与B 为互斥而不对立的两个事件 其中正确命题的个数是 （ ）A.3B. 2C. 1D. 0 6. 若sin cos tan ,0,,cos sin 2ααπβαββααα+⎡⎫=∈-⎪⎢-⎣⎭，则等于（ ）A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7.在△ABC 中，给出下列四个命题：①若B A 2sin 2sin =，则△ABC 必是等腰三角形； ②若B A cos sin =，则△ABC 必是直角三角形；③若0cos cos cos <⋅⋅C B A ，则△ABC 必是钝角三角形；204060 80 100④若1)cos()cos()cos(=-⋅-⋅-A C C B B A ，则△ABC 必是等边三角形.以上命题中正确的命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 用秦九韶算法计算多项式2456()187543f x x x x x x =+++++在x=5时所对应的4V 的值为（ ） A ．1829 B. 1805 C. 2507 D. 25439. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,...,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2,...,270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，265； ③11，38，65，92，119，146，173，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样10. 有五条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）A. 35 B. 25 C. 310 D. 1211. 如图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．i<＝100B ．i >100C ．i>50D ．i<＝5012．若点P 是ABC ∆的外心，且0PA PB PC λ++=，120C ∠=︒，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12 D ．12- 二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，共 13. 在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = . 14. 设对变量x,y 有如下观察数据:则y 对x 的回归直线ˆybx a =+必过定点________. 15. 已知ΔAOB 中，点P 在直线AB 上，且满足：2()OP tPA tOB t R =+∈，则||||PA PB = 16. 给出下列命题：①(sin ,1),(cos ,1),a b a b ααα==-⊥则存在实数，使得 ②1(2,2),(sin 1,cos ),//2a b a b ααα==--若则存在实数，使得 ③函数3sin()2y x π=+是偶函数 ④5sin(2)84x y x ππ==+是函数的一条对称抽方程⑤sin sin αβαβαβ>>若，是第一象限的角且，，则⑥13tan ,2tan 2ππαβπαπαββ⎛⎫∈<<+< ⎪⎝⎭若，，且则 其中所有正确命题的序号为_________________三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)(m/s)的数据如下表:(1)画出茎叶图；(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、标准差（精确到0.01）,并判断选谁参加比赛更合适.18.(本题满分12分)阅读以上流程图，若记y=f （x ）(1) 写出y=f(x)的解析式，并求函数的值域， （2） 若x 0满足f(x 0)＜0 且f(f(x 0))=1,求x 0.19.(本题满分12分)已知直线a x y +-=与圆422=+y x 交于B A ,两点，O 为原点，求 （1）与的数量积；（2）a 为何值时，与两向量夹角为3π。
2018-2019学年辽宁省高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年辽宁省高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合m={x∈Z|-x2+6x＞0}，N={x|x2-5＜0}，则M∩N等于（）A. {1，2，3}B. {1，2}C. {2，3}D. {3，4}2.sin600°的值是（）A. B. C. D.3.已知点P（tanα，sinα）在第三象限，则角α在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设函数，则（）A. 3B. 6C. 9D. 125.在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是( )A. ＝（0，0），＝（1，2）B. ＝（－1，2），＝（5，－2）C. ＝（3，5），＝（6，10）D. ＝（2，－3），＝（－2，3）6.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A. x＋y－2＝0B. x－y＋2＝0C. x＋y－3＝0D. x－y＋3＝07.下列命题正确的是（）A. 单位向量都相等B. 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C. 若||=||，则=0D. 若与是单位向量，则=18.设a=cos2°-sin2°，b=，c=，则有（）A. a＜c＜bB. a＜b＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A. 12B. 24C. 36D. 810.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A. 关于直线x=对称B. 关于直线x=对称C. 关于点（，0）对称D. 关于点（，0）对称11.已知向量，的模分别为，2，且，的夹角为45°．在△ABC中，=2，=2，=2，则||=（）A. 2B. 2C. 4D. 812.函数y=的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sin（）=，则的值为______．14.，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则，的夹角为______．15.已知与是单位向量，=0．若向量满足||=2，则||的取值范围是______．16.函数f（x）=x2-tan（）•x+1在[）上单调递增，则α的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知=（1，0），=（2，1）（1）当k为何值时，k与共线；（2）若=2，=且A、B、C三点共线，求m的值.18.已知=（1，2sinθ），=（cosθ，-2），且．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）方程在上的两解分别为x1，x2，求sin（x1+x2），cos（x1-x2）的值．20.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.（1）求证:AE∥平面PCD;（2）求四棱锥P-ABCD的体积.21.已知向量=（3sin x，cos x），=（-cos x，，f（x）=．（1）求函数f（x）的对称轴及对称中心；（2）若方程f（x）=a在区间[0，]上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．22.平面内有两个定点A（1，0），B（1，-2），设点P到A、B的距离分别为d1，d2，且=（I）求点P的轨迹C的方程；（II）是否存在过点A的直线l与轨迹C相交于E、F两点，满足（O 为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案及其解析 --------1.答案：B解析：解：由M中不等式变形得：x（x-6）＜0，解得：0＜x＜6，即M={1，2，3，4，5}；由N中不等式解得：-＜x＜，即N=（-，），则M∩N={1，2}．故选：B．求出M中不等式的整数解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=-sin60°=故选：C．利用诱导公式，我们可得sin600°=sin240°=-sin60°，再由特殊角的三角函数值，即可得到答案．本题考查的知识点是运用诱导公式化简求值，诱导公式是三角函数中最常用的公式之一，正确理解“奇变偶不变，符号看象限”是使用诱导公式求解的关键．3.答案：D解析：解：∵点P（tanα，sinα）在第三象限，∴，∴α在第四象限．故选：D．由于点P（tanα，sinα）在第三象限，可得，即可得出．本题考查了三角函数值的符号与角的关系，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．先求f（-2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（-2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==×=12×=6，则有f（-2）+f（log212）=3+6=9．故选C．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．根据向量的坐标运算及，计算判断即可．【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（-1，2）+μ（5，-2），则3=-λ+5μ，2=2λ-2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能；选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C 不能；选项D：（3，2）=λ（2，-3）+μ（-2，3），则3=2λ-2μ，2=-3λ+3μ，无解，故选项D 不能．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y -3=x-0，即x-y+3=0，故选D．7.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，向量既有大小，又由方向，单位向量的模相等，但方向不相同，则A错误；对于B，若=，满足与是共线向量，与是共线向量，但与不一定是共线向量，则B错误；对于C，若||=||，则有2+2•+2=2-2•+2，即•=0，C正确；对于D，与是单位向量，只有当与方向相同时，才有=1，D错误；故选：C．根据题意，结合向量的定义以及数量积的计算公式，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查向量定义以及数量积的计算，关键是掌握向量的定义，属于基础题．8.答案：D解析：解：∵a=cos2°-sin2°=sin（30°-2°）=sin28°，b==tan（14°+14°）=tan28°，c===sin25°，∵正弦函数在（0°，90°）是单调递增的，∴c＜a．又∵在（0°，90°）内，正切线大于正弦线，∴a＜b．故选：D．由两角差的正弦公式求a，由二倍角的正切公式求b，由二倍角的正弦公式求c，即可根据正弦函数的单调性和三角函数线的知识比较大小．本题主要考查了两角差的正弦公式，二倍角的正切公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的单调性和三角函数线的知识应用，属于基础题．9.答案：A解析：解：由已知中的三视图，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角边长为4和2，高为4的直角梯形，四棱锥高为3，SA=3，CD=2．BC=AB=4，是长方体的一部分．故该几何体的体积：V==12．故选：A．由已知中的三视图，可该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角边长为4和2，高为4的直角梯形，四棱锥高为3，求出棱锥的体积，即可得出结论．由已知中的三视图，判断该几何体的形状是解题的关键，是基本知识的考查．10.答案：B解析：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x-）+φ]=sin（2x+φ-），若此时函数关于原点对称，则φ-=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=-1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：根据题意，向量，的模分别为，2，且，的夹角为45°，则•=2×cos45°=2，在△ABC中，=+=+=（+）=2-2，则||2=42+42-8•=8，则||=2，故选：B．根据题意，由数量积的计算公式可得•的值，又由向量的三角形法则可得=+=+=（+）=2-2，进而由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的运算及向量的模长，关键是分析与、的关系．12.答案：B解析：解：如图所示，两个图象在点（1，0）对称，然后-2到4一共有4个交点，对称的两交点横坐标和为1的2倍，4个点就是两对对称点，所以和为4．故选：B．作出函数的图象，利用对称性，即可得出结论．本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：-解析：解：sin（）=，则=cos（α++）=-sin（α+）=-．故答案为：-．根据三角函数的诱导公式，即可求出对应函数值．本题考查了三角函数诱导公式的应用问题，是基础题．14.答案：解析：解：∵；∴=；∴；又；∴的夹角为．故答案为：．根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，从而便可得出的夹角．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围．15.答案：[2-，2+]解析：【分析】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足||=2，可得（x-1）2+（y-1）2=4，其圆心C（1，1），半径r=2．利用r-|OC|≤||=≤|OC|+r即可得出．【解答】解：∵与是单位向量，=0．向量满足||=2∴都是单位向量，且⊥，设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．∵向量满足||=2，∴（x-1）2+（y-1）2=4，因为r-|OC|=≤||=≤|OC|+r，∴|OC|=．∴2-≤||=≤2+．∴||的取值范围是[2-，2+]．故答案为[2-，2+]．16.答案：[，kπ+），k∈Z解析：解：∵f（x）=x2-tan（）•x+1在[）上单调递增，∴f′（x）=2x-tan（）在[）大于等于0恒成立，由y=2x-tan（）在[）上为增函数，可得-tan（）≥0，即tan（）≤．则＜≤，k∈Z．∴≤x＜kπ+，k∈Z．∴α的取值范围是[，kπ+），k∈Z．故答案为：[，kπ+），k∈Z．由函数f（x）在[）上单调递增，可得f′（x）≥0在[）上恒成立，即f′（x）在[）上的最小值大于等于0恒成立，然后求解三角不等式得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角不等式的解法，是中档题．17.答案：解：（1）∵=（1，0），=（2，1），∴k=（k-2，-1），=（5，2），又k与共线，∴2（k-2）+5=0，即k=-；（2）=2=（8，3），==（2m+1，m），∵A、B、C三点共线，∴8m-3（2m+1）=0，即m=．解析：（1）由已知求得k与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；（2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．本题考查平面向量的坐标加减运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．18.答案：解：（1）∵=（1，2sinθ），=（cosθ，-2），且，∴cosθ-4sinθ=0，又∵cosθ≠0，∴tan；（2）=．解析：（1）由向量垂直的坐标运算可得cosθ-4sinθ=0，进一步得到tanθ的值；（2）化弦为切，结合（1）求解．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．19.答案：（本小题满分12分）解：（1）由图象可知A=2，，又∵，∴ω=2，又∵f（x）的图象过点，即，（k∈Z），即（k∈Z），又∵，∴，∴f（x）=；（2）∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，可得：，sin（x1+x2）=sin=，方程在上的两解分别为x1，x2，x1-x2∈（-，）可得：sin（2x1+）=，sin（2x2+）=，由图象可知2x1+∈（，），2x2+∈（，），cos（2x1+）=，cos（2x2+）=-，cos2（x1-x2）=cos[（2x1+）-（2x2+）]=-+=，∴2cos2（x1-x2）-1=．∴cos（x1-x2）=．解析：（（1）由图象可知A，利用周期求解ω，通过f（x）的图象过点，求解φ，然后求解函数的解析式．（2）∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，求出，利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式求解即可．本题考查三角函数的图象的应用，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：证明：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∵BC=2AD，E是BC的中点，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD，又AE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE∥平面PCD．解：（2）连接DE，BD，设AE∩BD=O，则四边形ABED是正方形，∴O为BD的中点，∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，∴BD=2，OB=，OA=，PA=PB=PD=2，∴OP⊥OB，OP=，∴OP2+OA2=PA2，即OP⊥OA，又OA⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，OA∩BD=O，∴OP⊥平面ABCD．∴V P-ABCD===2．解析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．（1）证明四边形AECD是平行四边形，得出AE∥CD，从而有AE∥平面PCD；（2）连接DE，BD，设AE∩BD=O，由三线合一证明OP⊥BD，根据勾股定理逆定理证明OP⊥OA，故而OP⊥平面ABCD，于是V P-ABCD=．21.答案：（本题满分为12分）解：（1）∵=（3sin x，cos x），=（-cos x，，∴f（x）==-3sin x cosx+cos2x-=-sin2x+（1+cos2x）-=-sin2x+cos2x=sin（2x+），当2x+=kπ+，∴对称轴为x=-，（k∈Z），2x+=kπ，x=-，∴对称中心（-，0）（k∈Z），（2）由于x∈[0，]时，2x+∈[，]，而函数g（x）=sin x在区间[，]上单调递减，在区间[，]上单调递增．又g（）=-，g（）=-，g（）=，所以方程f（x）=a在区间x∈[0，]上有两个不同的实数根时，a∈（-，-]．解析：（1）根据向量的数量积运算及三角函数恒等变换的应用化简得到f（x）解析式，根据三角函数的性质即可得解．（2）求出函数f（x）的单调区间，根据正弦函数的图象和性质可得到答案．本题考查了向量的运算和三角函数的化简，考查了正弦函数的图象和性质以及参数的取值范围，属于中档题．22.答案：（本小题12分）（Ⅰ）设P（x，y），则，d2=，∵，∴，----（2分）整理得：（x-1）2+（y+4）2=8，∴点P的轨迹C的方程为（x-1）2+（y+4）2=8．----（4分）（II）存在过点A的直线l，l与轨迹C相交于E，F两点，且使三角形S△OEF=．理由如下：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，直线过圆心，，点O到直线l的距离为1，此时，，所以成立．----（6分）②当直线l斜率存在时，设l方程为：y=k（x-1）．点C到l的距离，利用勾股定理，得：．----（8分）点O到l的距离，∴，----（10分）整理得3k2=-1，无解．所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在．综上，存在过点A的直线l：x=1，满足题意．----（12分）（其它做法相应给分）解析：（1）设P（x，y），利用两点间距离公式能求出点P的轨迹C的方程．（2）求出N（1，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不成立；当直线l的斜率成立时，设直线l的方程为y=k（x-1），联立直线与轨迹C方程，得（1+k2）x2-（2k2-8k+2）x+k2-8k+9=0，由此利用根的判别式、点到直线的距离公式、弦长公式能求出不存在过点N的直线l，l与轨迹C相交于E、F两点，且使三角形OEF 满足．本题考查两点距离公式的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、点到直线的距离公式、弦长公式的合理运用．。
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东北育才学校高中部2018——2018学年度下学期期中教学诊断高一数学试题命题人：李牧江 考试时间：2018年5月9日 满分：150分 答题时间：120分钟 一、选择题（每题5分，共60分）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是 （ ）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数3．若)23(53sin ππ<<-=x x ，则x 的值等于（ ） A ．)53arcsin(- B ．54arccos +π C ．53arcsin 2-π D ．53arcsin 23-π（ ）5．已知|a |=2，|b |=1，a 与b 的夹角为60°，又c =m a ＋3b ，d =2a －m b ，且c ⊥d ，则m 的值是（ ）A ．0B ．1或－6C ．－1或6D ．6或－6 6．将函数x y 2sin =的图象向左平移125π个单位，得到函数)(x f y =的图象，则函数)(x f 的单调区间是（ ） A ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,32ππππ B ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++432,42ππππ C ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ,432,4 7．设c b a,,为平面向量，则下列命题①222)(b a b a ⋅=⋅ ②a b ab a =⋅2 ③)()(c b a c b a ⋅=⋅④若)(c b a-⊥，则c a b a⋅=⋅ ⑤若0=⋅b a，则||||b a b a-=+其中正确命题的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．已知非零向量a ＝(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，则（ ）A ．a∥bB ．a⊥bC ．a 与b 的夹角为|α－β|D ．(a ＋b)⊥(a －b) 9．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是 （ ）A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 10．已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正（ ）11.已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ12、方程||log 21sin4x x π=的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：（每题4分，共16分）13．在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC＝________．则a 的坐标是_____．16、若j i a +=6，j i b 22+-=，单位向量c 与b a32+共线，则向量c 坐标为_______.三、解答题：17．（本小题满分12分）已知a ＝(1，2)，b =(x ，1)．(1)若(a ＋2b)∥(2a－b)，求x 的值； (2)若(a ＋2b)⊥(2a－b )，求x 的值．18．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，a=22, b=32,角A 为45度，求角B, 角C 和边c.19．（本小题满分12分）已知向量)23sin ,23(cos x x a =，)2sin ,2(cos x x b -= ，且]2,0[π∈x ，（1） 求b a ⋅及||b a+；（2） （2）若=)(x f b a ⋅λ2-||b a+的最小值为23-，求λ的值。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一第二学期期中数学试卷 解析版
2018-2019学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）. 1．cos225°的值等于（ ）A ．−√22B ．√22C ．﹣1D ．12．已知向量m →=(3，2)，n →=(1，λ)，且m →∥n →，则λ＝（ ） A ．13B ．23C ．1D ．−323．已知向量m →=(1，tanθ)，n →=(−1，cosθ)，θ∈(π2，π)，若m →⋅n →=−12，则角θ＝（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．函数f(x)=tan(x +π6)的图象的一个对称中心是（ ） A ．(π3，0)B ．(π4，0)C ．(π2，0)D ．(π6，0)5．若cosα+2sinα=−√5，则tan α＝（ ） A ．12B ．2C ．−12D ．﹣26．已知a ＝sin 3π7，b ＝cos4π7，c ＝tan （−3π7），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b7．已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的一条对称轴为x =π3一个对称中心为(π12，0)，则ω有（ ） A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值18．如图，在△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →，若AP →=λBA →+μBC →，则λ+μ＝（ ）A ．89B ．−29C ．76D ．−239．设函数y ＝sin ωx （ω＞0）的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx （ω＞0）的单增区间是（ ）A ．[7kπ6−7π24，7kπ6+7π24]（k ∈Z ）B ．[7kπ3−7π24，7kπ3+7π24]（k ∈Z ） C ．[7kπ3−7π12，7kπ3+7π12]（k ∈Z ） D ．[7kπ6+7π24，7kπ6+21π24]（k ∈Z ）10．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），且AN →•AM →=43，则λ的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣311．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，垂心为H ，OH →=m （OA →+OB →+OC →），则m 的取值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则|a →−2b →|= ．14．已知向量a →=(3，4)，b →=(8，6)，c →=(2，k)，其中k 为常数，如果向量a →，b →分别与向量c→所成的角相等，则k＝．15．4sin2x+1cos2x的最小值为．16．已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x＜0log a x(a＞0，a≠1)，x＞0的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是．三、解答题：（共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17．（1）已知f（α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)，求f（π3）．（2）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α的值．18．已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=4，且a→，b→的夹角为60°．（1）求(2a→−b→)(a→+b→)；（2）若(a→+b→)∥(λa→−2b→)，求λ的值．19．已知函数f（x）＝2cos（2x+π4），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数f（x）＝2cos （2x+π4）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求m的最小值．20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈(π3，5π6)时，求函数f（x）的值域．21．在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点A（1，1），B（﹣3，4），O（0，0）．（1）求AB边上的高；（2）设点E是∠ABO平分线所在直线上的一点，若|OE|＝2，求点E的坐标．22．已知a→=（1，sin x），b→=（1，cos x），e→=(0，1)，且(cosx−sinx)∈[1，√2]．（1）若(a→+e→)∥b→，求sin x cos x的值；（2）设f(x)=a→⋅b→+me→⋅(a→−b→)，m∈R，若f（x）的最大值为−12，求实数m的值．参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos225°的值等于（）A．−√22B．√22C．﹣1D．1【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解：cos225°＝cos（180°+45°）＝﹣cos45°=−√22，故选：A．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．已知向量m→=(3，2)，n→=(1，λ)，且m→∥n→，则λ＝（）A．13B．23C．1D．−32【分析】利用向量共线定理即可得出．解：∵m→∥n→，∴3λ﹣2＝0，解得λ=2 3．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知向量m→=(1，tanθ)，n→=(−1，cosθ)，θ∈(π2，π)，若m→⋅n→=−12，则角θ＝（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【分析】由向量坐标数量积的运算得﹣1+sinθ=−12，再由θ范围可求角．解：∵m→⋅n→=（1，tanθ）•（﹣1，cosθ）＝﹣1+sinθ，又m→⋅n→=−12，∴﹣1+sinθ=−12，即sinθ=12，又θ∈(π2，π)，∴θ=5π6，故选：D．【点评】本题考查向量数量积的运算，三角函数求值，属于基础题．4．函数f(x)=tan(x +π6)的图象的一个对称中心是（ ） A ．(π3，0)B ．(π4，0)C ．(π2，0)D ．(π6，0)【分析】根据正切函数的对称中心列方程求出x 的值，从而求得f （x ）图象的对称中心． 解：由正切函数的对称中心为(kπ2，0)(k ∈Z)， 所以函数f （x ）对称中心的横坐标满足x +π6=kπ2，k ∈Z ； 解得x =−π6+kπ2，k ∈Z ；当k ＝1时，x =π3，所以(π3，0)是f （x ）图象的一个对称中心． 故选：A ．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 5．若cosα+2sinα=−√5，则tan α＝（ ） A ．12B ．2C ．−12D ．﹣2【分析】本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果． 解：∵cos α+2sin α=−√5， ∴cos α≠0，两边同时除以cos α得1+2tan α=−√5secα， ∴（1+2tan α）2＝5sec 2α＝5（1+tan 2α）， ∴tan 2α﹣4tan α+4＝0， ∴tan α＝2． 故选：B ．【点评】同角三角函数之间的关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义． 6．已知a ＝sin3π7，b ＝cos4π7，c ＝tan （−3π7），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b【分析】注意到3π7，4π7互补，将a ＝sin3π7利用诱导公式化为 a ＝sin4π7，且a ＞b 且均小于1，而c ＜﹣1．大小关系即可确定． 解：a ＝sin3π7＞0；∵π2＜4π7＜π，∴cos π＜cos4π7＜cos π2，即﹣1＜b ＜0．又正切函数在（0，π2）上单调递增， ∵π4＜3π7；∴tan3π7＞tan π4=1；∴c ＝tan （−3π7）＝﹣tan 3π7＜−1， ∴a ＞0＞b ＞﹣1＞c ， 故选：C ．【点评】本题考查非特殊角三角函数值大小比较，可化为同角或同名函数再进行比较，用到的知识有同角三角函数基本关系式，三角函数的单调性．7．已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的一条对称轴为x =π3一个对称中心为(π12，0)，则ω有（ ） A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【分析】由函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的﹣条对称轴为x =π3，求得φ＝3k ﹣1 ①．再由﹣个对称中心为(π12，0)，求得ω＝12n +2 ②．综合①②可得，ω 的最小值为2． 解：由已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的﹣条对称轴为x =π3，可得ω×π3+π3=k π，k ∈z ，求得φ＝3k ﹣1 ①．再由﹣个对称中心为(π12，0)，可得ω×π12+π3=n π+π2，n ∈z ，解得ω＝12n +2 ②． 综合①②可得，ω 的最小值为2， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数y ＝A cos （ωx +φ）的对称性的应用，属于中档题．8．如图，在△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →，若AP →=λBA →+μBC →，则λ+μ＝（ ）A ．89B ．−29C ．76D ．−23【分析】结合图形，利用BA →、BC →表示向量AP →，求出λ、μ的值即可． 解：△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →， ∴AP →=AB →+BP →=AB →+13BD →=AB →+13（AD →−AB →）=23AB →+13•34AC → =23AB →+14（BC →−BA →）=−1112BA →+14BC →；又AP →=λBA →+μBC →， ∴λ=−1112，μ=14， ∴λ+μ=−1112+14=−23． 故选：D ．【点评】本题考查了平面向量的线性表示应用问题，是基础题．9．设函数y ＝sin ωx （ω＞0）的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx （ω＞0）的单增区间是（ ）A ．[7kπ6−7π24，7kπ6+7π24]（k ∈Z ）B ．[7kπ3−7π24，7kπ3+7π24]（k ∈Z ） C ．[7kπ3−7π12，7kπ3+7π12]（k ∈Z ） D ．[7kπ6+7π24，7kπ6+21π24]（k ∈Z ）【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，由整体思想和正弦函数的单调性求出递增区间． 解：由图象得，12T =7π12，则T =7π6， 由T =2πω=7π6得，ω=127， 所以y ＝sin127x ，由−π2+2kπ≤127x ≤π2+2kπ(k ∈Z)得，−7π24+76kπ≤x ≤7π24+76kπ(k ∈Z)，所以函数的递增区间是[−7π24+76kπ，7π24+76kπ](k ∈Z)，故选：A ．【点评】本题考查由图象求形如y ＝A sin （ωx +φ）的解析式，正弦函数的单调性，以及整体思想，属于中档题．10．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），且AN →•AM →=43，则λ的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣3【分析】结合已知，用AB →，AC →表示AM →，然后结合向量数量积的运算性质即可求解． 解：∵CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），∴AM →=AB →+BM →=AB →+13(AC →−AB →)=13AC →+23AB →，∵，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4， ∴AC →⋅AB →=3×4×(−12)=−6， ∵AN →•AM →=43，∴（13AC →+23AB →）•（λAC →+AB →）=13λAC →2+(13+2λ3)AC →⋅AB →+23AB →2=λ3×16+(13+2λ3)×(−6)+23×9=43， 则λ＝﹣2， 故选：C ．【点评】本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题． 11．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【分析】结合图象得f （0）=sinφa =2，sin φ＝2a ，f （1）=sin(ω+φ)aπ=0，f （﹣1）=sin(−ω+φ)aπ=0，f （3）=sin(3ω+φ)aπ3=0，f （﹣3）=sin(−3ω+φ)aπ3=0，由此可取ω＝φ=12π，a =12，由此能求出ωa的可能取值．解：函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，结合图象得f （0）=sinφa=2，∴sin φ＝2a ， f （1）=sin(ω+φ)aπ=0， f （﹣1）=sin(−ω+φ)aπ=0，f （3）=sin(3ω+φ)aπ3=0，f （﹣3）=sin(−3ω+φ)aπ3=0，由此可取ω＝φ=12π，a =12， ∴ωa 可取π．故选：B ．【点评】本题考查两数比值的可能取值的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，垂心为H ，OH →=m （OA →+OB →+OC →），则m 的取值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【分析】根据△ABC 的外心和垂心的性质，给OH →=m （OA →+OB →+OC →）两边同乘AB →，化简该式即可求得m 的值． 解：∵OH →=m （OA →+OB →+OC →），∴OH →⋅AB →=m （OA →+OB →+OC →）⋅AB →=m(OA →+OB →)⋅AB →+mOC →⋅AB →． ∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴(OA →+OB →)⋅AB →=0， ∴OH →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴(OC →+CH →)⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴OC →⋅AB →+CH →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∵H 为△ABC 的垂心，∴CH →⋅AB →=0， OC →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴m ＝1． 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理和数量积的应用，解题时要有转化的思想，注意认真审题，属中档题．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则|a →−2b →|= √3 ．【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得a →•b →的值，又由|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2+4b →2−4a →⋅b →，代入数据计算可得答案．解：根据题意，向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则a →•b →=1×12×（−12）=−14， 则|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2+4b →2−4a →⋅b →=√3；故答案为：√3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14．已知向量a →=(3，4)，b →=(8，6)，c →=(2，k)，其中k 为常数，如果向量a →，b →分别与向量c →所成的角相等，则k ＝ 2 ．【分析】根据题意，设向量a →、c →的夹角为α，向量b →、c →的夹角为β，由数量积计算公式可得cos α、coa β的表达式，进而可得有6+4k 5×|c →|=16+6k10×|c →|，变形解可得k 的值，即可得答案．解：根据题意，设向量a →、c →的夹角为α，向量b →、c →的夹角为β，向量a →=(3，4)，c →=(2，k)，则a →•c →=6+4k ，|a →|=√9+16=5，则cos α=6+4k5×|c →|，向量b →=(8，6)，c →=(2，k)，则b →•c →=16+6k ，|b →|=√64+36=10，则cos β=16+6k10×|c →|，则有6+4k5×|c →|=16+6k10×|c →|，变形可得：6+4k ＝8+3k ，解可得k ＝2； 故答案为：2【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的夹角，属于基础题． 15．4sin x+1cos x的最小值为 9 ．【分析】令t ＝sin 2x ，则4sin x+1cos x=4t+11−t，然后利用乘1法即可求解．解：令t ＝sin 2x ，则4sin 2x+1cos 2x=4t+11−t，＝（4t +11−t ）[t +（1﹣t ）]＝5+t 1−t +4(1−t)t≥9， 当且仅当t1−t=4(1−t)t时取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查利用乘1法求解最值，属于中档试题． 16．已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x ＜0log a x(a ＞0，a ≠1)，x ＞0的图象上关于y 轴对称的点恰有9对，则实数a 的取值范围是 (√2121，√1717) ．【分析】求出函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论． 解：若x ＞0，则﹣x ＜0，∵x ＜0时，f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，∴f （﹣x ）＝sin （−π2x ）﹣1＝﹣sin （π2x ）﹣1，则若f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称，则f （﹣x ）＝﹣sin （π2x ）﹣1＝f （x ），即y ＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0，设g （x ）＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0作出函数g （x ）的图象，要使y ＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0与f （x ）＝log a x ，x ＞0的图象恰有9个交点，则0＜a ＜1且满足f （17）＞g （17）＝﹣2，f （21）＜g （21）＝﹣2， 即﹣2＜log a 17，log a 21＜﹣2， 即log a 17＞log a a ﹣2，log a 21＜log a a ﹣2， 则17＜12，21＞12， 解得√2121＜a ＜√1717， 故答案为：(√2121，√1717)【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y 轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．三、解答题：（共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17．（1）已知f （α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)，求f （π3）． （2）若tan α＝2，求4sin 2α﹣3sin αcos α﹣5cos 2α的值．【分析】（1）由题意利用诱导公式化简f （α）的解析式，可得f （π3）的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：（1）∵已知f （α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)=−sinα⋅(−sinα)sinα⋅tanα=cos α， 故有 f （π3）＝cosπ3=12．（2）若tan α＝2，求4sin 2α﹣3sin αcos α﹣5cos 2α=4sin 2α−3sinαcosα−5cos 2αsin 2α+cos 2α=4tan 2α−3tanα−5tan 2α+1=16−6−54+1=1．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题． 18．已知向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=4，且a →，b →的夹角为60°．（1）求(2a →−b →)(a →+b →)；（2）若(a →+b →)∥(λa →−2b →)，求λ的值．【分析】根据题意，（1）利用平面向量的乘法法则直接进行数量积运算即可．（2）由向量共线的条件得λa →−2b →=μ（a →+b →），进而找出λ，μ关系，可求出λ． 解：（1）(2a →−b →)(a →+b →)=2a →2+a →•b →−b →2＝2×1+1×4cos60°﹣16＝﹣12， （2）∵(a →+b →)∥(λa →−2b →)，∴λa →−2b →=μ（a →+b →），则{λ=μ−2=μ故λ＝﹣2．【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，向量共线问题，是基础题目．19．已知函数f（x）＝2cos（2x+π4），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数f（x）＝2cos （2x+π4）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求m的最小值．【分析】（1）由已知利用余弦函数的周期性，单调性即可得出结论．（2）由函数图象变换可得g（x）的解析式，根据余弦函数的图象和性质即可求解．解：（1）对于函数f（x）＝2cos（2x+π4），函数f（x）的最小正周期T=2π2=π．令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，可得函数的单调增区间为[kπ−π8，kπ+3π8]，k∈Z．（2）依题意得g（x）＝2cos（x﹣2m+π4），∵g（x）的图象关于y轴对称，∴﹣2m+π4=kπ，k∈Z，∴m=π8−12kπ，k∈Z，又m＞0，∴当k＝0时，m取最小值为π8．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，余弦函数的图象，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈(π3，5π6)时，求函数f（x）的值域．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分，可得A ＝2， 再根据34•2πω=5π12−（−π3），∴ω＝2．结合五点法作图可得2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3， 故f （x ）＝2sin （2x −π3）． （2）当x ∈(π3，5π6)时，2x −π3∈（π3，4π3），sin （2x −π3）∈（−√32，1]，f （x ）＝2sin （2x −π3）∈（−√3，2]， 即f （x ）的值域为（−√3，2]．【点评】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．21．在平面直角坐标系中，已知△ABO 的顶点A （1，1），B （﹣3，4），O （0，0）． （1）求AB 边上的高；（2）设点E 是∠ABO 平分线所在直线上的一点，若|OE |＝2，求点E 的坐标． 【分析】（1）直接利用点的坐标求出直线的方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．（2）利用到角公式的应用和两点间的距离公式的应用求出结果． 解：（1）已知△ABO 的顶点A （1，1），B （﹣3，4），O （0，0）． 所以直线AB 的斜率k =1−41+3=−34， 所以直线AB 的方程为y −1=−34(x −1)，整理得3x +4y ﹣7＝0，所以AB 边上的高为d =|0+0−7|√3+4=75． （2）由于E 是∠ABO 平分线所在直线上的一点，设直线BE 的斜率为k ，由于直线OB 的斜率k =−43，直线AB 的斜率为k =−34，利用到角公式：−34−k 1−34k=k+431−43k ，解得k ＝﹣1，所以直线AE 的直线方程为x +y ﹣1＝0．设点E （x ，y ），由于点E 在直线AE 上，所以E （x ，1﹣x ），利用|OE |＝2，故√x 2+(x −1)2=2，解得x =1±√72，①当x =1+√72时，y =1−√72，即：E （1+√72，1−√72）． ②当x =1−√72时，y =1+√72，即：E （1−√72，1+√72）． 所以点E 的坐标为：E （1+√72，1−√72）或（1−√72，1+√72）． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的应用，到角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．已知a →=（1，sin x ），b →=（1，cos x ），e →=(0，1)，且(cosx −sinx)∈[1，√2]．（1）若(a →+e →)∥b →，求sin x cos x 的值；（2）设f(x)=a →⋅b →+me →⋅(a →−b →)，m ∈一、选择题，若f （x ）的最大值为−12，求实数m 的值．【分析】（1）由平面向量共线的坐标运算可得解，（2）由平面向量数量积的运算及含参二次函数的最值问题，分类讨论对称轴与区间的位置关系即可得解．解：（1）a →=（1，sin x ），b →=（1，cos x ），e →=(0，1)， 所以a →+e →=（1，sin x +1）， 又（a →+e →）∥b →，所以1×cos x ＝1×（sin x +1）， 即cos x ﹣sin x ＝1，两边平方得（cos x ﹣sin x ）2＝1，即1﹣2sin x cos x ＝1， 解得sin x cos x ＝0．（2）因为f （x ）＝1+sin x cos x +m （sin x ﹣cos x ）， 设t ＝cos x ﹣sin x ，t ∈[1，√2]，又因为sin x cos x =1−(cosx−sinx)22=1−t 22，即g （t ）＝1+1−t 22−mt =−12t 2﹣mt +32，t ∈[1，√2]， ①当﹣m ≤1，即m ≥﹣1时，g （t ）max ＝g （1）=−12−m +32=−12，解得m =32，满足条件；②当1＜﹣m ＜√2即−√2＜m ＜﹣1时，g （x ）max ＝g （﹣m ）=12m 2+32=−12，无解；③当﹣m ＞√2即m ＜−√2时，g （x ）max ＝g （√2）=−√2m +12=−12，解得m =√22，不合条件，故舍去； 综上知，实数m 的值为32．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值问题，属中档题。
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性(重难点突破)(解析版)
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性重难点突破一、考情分析1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．二、经验分享三、考点梳理知识点1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．知识点2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．知识点3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．四、题型分析重难点题型突破1 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.(3)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间．【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ， ∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)． (3)f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．【变式训练1】．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年期中）已知函数23()4ln 2f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．1(0,)3，(1,)+∞ B ．(0,1)，(3,)+∞ C ．1(0,)3，(3,)+∞ D ．1(1)3， 【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()()()2311314ln 342x x f x x x x f x x x x--=-+⇒-'=+=， 当()0f x '<时，函数单调递减，即()()3110x x x--<而0x >，解不等式得：113x <<，故本题选D 。
辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
；根据向量数量积运算的定义可将所求等式变成模长和夹 ，即
本题正确选项： 【点睛】本题考查向量数量积的运算，关键是能够通过模长关系得到垂直关系和夹角的余弦值，属于基础 题.
7.为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位
9.如图，在 中，
，
，若
，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量线性运算，可利用 和 表示出 ，从而可根据对应关系求得结果.
【详解】由题意得：
又
，可知：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.
10.若
，则 不能是 （ ）
A. 【答案】B 【解析】 【分析】 分子分母同时除以 从而得 选项.
B.
C.
D.
可知 正确；利用二倍角公式可知 正确；根据同角三角函数平方关系可知 正确，
【详解】 选项：
，可知 正确；
选项：由二倍角公式可得：
，可知 正确；
选项：若
，为恒等式，知 正确
成立，则需
；即需
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系化简三角函数式的问题，考查学生对公式的掌握程
D. 或
【详解】 又 为锐角 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用三角函数值求角的问题，关键是能够利用向量共线求得三角函数值.
2.化简 A.
的结果为（ ）
B.
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．2502．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1 B．C． D．13．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．4．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点， =，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+5．设a=sin，b=cos，c=tan，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．347．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．设D为△ABC所在平面内一点， =﹣+，若=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣39．已知，且﹣π＜α＜，则等于（）A．B．C． D．10．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．11．设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．612．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f （0）＜f（2） D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为．14．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ= ．15．函数的单调递增区间为．（x﹣2），（a＞0，且a≠1）其图象过定点P，角α16．已知函数f（x）=4+loga的始边与x轴的正半轴重合，顶点为坐标原点，终边过定点P，则= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合（1）若终边经过点P（﹣1，2），求sin αcos α的值；（2）若角α的终边在直线y=﹣3x上，求tan α+的值．18．已知平面向量||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角θ的大小；（2）求|+|19．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人名币储蓄存款（年底余额）如表（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程；（Ⅱ）用所求回归直线方程预测该地区2016年（t=6）的人民币储蓄存款．附：回归方程，，．20．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ） （A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）当x 0∈（0，），f （x 0）=，若g （x ）=1+2cos2x ，求g （x 0）的值．21．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表B 地区用户满意度评分的频数分布表（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．22．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．2．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1 B．C． D．1【分析】由条件可得 1﹣2sinαcosα=2，求得sin2α=﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．【解答】解：∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，∴α=，tanα=﹣1．故选：A．3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．4．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点， =，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．5．设a=sin，b=cos，c=tan，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．【解答】解：sin=cos（﹣）=cos（﹣）=cos，而函数y=cosx在（0，π）上为减函数，则1＞cos＞cos＞0，即0＜b＜a＜1，tan＞tan=1，即b＜a＜c，故选：A6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．34【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C7．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【分析】利用函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．8．设D为△ABC所在平面内一点， =﹣+，若=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【分析】若=λ（λ∈R），可得=﹣，化简与=﹣+比较，即可得出．【解答】解：若=λ（λ∈R），∴=﹣，化为： =+，与=﹣+比较，可得： =﹣， =，解得λ=﹣3．则λ=﹣3．故选：D．9．已知，且﹣π＜α＜，则等于（）A．B．C． D．【分析】根据同角三角函数基本关系根据=sin（+α），求得sin （+α）的值，进而根据α的范围确定+α的范围，求得．【解答】解： =cos[﹣（+α）]=sin（+α）又﹣π＜α＜﹣，∴﹣＜+α＜﹣，∴sin（+α）=﹣，∴cos（﹣α）=﹣故选D．10．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．11．设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6【分析】根据图形得出=+=，==， =•（）=2﹣，结合向量结合向量的数量积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得： =+=，==，∴=，∵=•（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f （0）＜f（2） D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）【分析】依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．【解答】解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0，f（0）=Asin=Asin＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为1211 ．【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列，可用数列知识求解．【解答】解：3000袋奶粉，用系统抽样的方法从抽取150袋，每组中有20袋，第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为11+60×20=1211故答案为：1211．14．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ= ．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．15．函数的单调递增区间为．【分析】y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），利用复合三角函数的单调性即可求得其在[﹣2π，2π]上的单调递增区间．【解答】解：∵y=sin（﹣x）=﹣sin（x﹣），∴由2kπ+≤x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：4kπ+≤x≤+4kπ（k∈Z），∴y=sin（﹣x）的递增区间为[4kπ+， +4kπ]（k∈Z），又x∈[﹣2π，2π]，∴y=sin（﹣x）在x∈[﹣2π，2π]上的递增区间为[﹣2π，﹣]和[，2π]．故答案为：[﹣2π，﹣]和[，2π]．（x﹣2），（a＞0，且a≠1）其图象过定点P，角α16．已知函数f（x）=4+loga的始边与x轴的正半轴重合，顶点为坐标原点，终边过定点P，则= 10 ．【分析】利用对数函数的图象特征，求得点P的坐标，再利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．（x﹣2），（a＞0，且a≠1）其图象过定点P 【解答】解：∵函数f（x）=4+loga（3，4），角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点为坐标原点，终边过定点P，∴x=3，y=4，r=|OP|=5，∴tanα==，则==10，故答案为：10．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合（1）若终边经过点P（﹣1，2），求sin αcos α的值；（2）若角α的终边在直线y=﹣3x上，求tan α+的值．【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义，求得sin αcos α的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系求得tanα、cos α的值，可得tan α+的值．【解答】解：（1）角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，若角α终边经过点P（﹣1，2），则x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sin αcosα===﹣．（2）∵角α的终边在直线y=﹣3x上，∴tanα=﹣3=，sin2α+cos2α=1，当α的终边在第二象限，则cosα=﹣，∴tan α+=﹣3﹣3；当α的终边在第四象限，则cosα=，∴tan α+=﹣3+3．综上可得，tan α+的值为﹣3﹣3或﹣3+3．18．已知平面向量||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求与的夹角θ的大小；（2）求|+|【分析】（1）利用数量积性质及其定义即可得出；（2）利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）∵平面向量||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．∴=61，∴4×42﹣3×32﹣4×4×3cosθ=61．解得cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴θ=．（2）|+|===．19．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人名币储蓄存款（年底余额）如表（Ⅰ）求y关于t的回归方程；（Ⅱ）用所求回归直线方程预测该地区2016年（t=6）的人民币储蓄存款．附：回归方程，，．【分析】（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程；（Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区今年的人民币储蓄存款．【解答】解：（1）因为……，……，∴…（2）t=6时，…预测该地区2016年的人民币储蓄存款为10.8千亿元…20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x0∈（0，），f（x）=，若g（x）=1+2cos2x，求g（x）的值．【分析】（1）通过图象中的函数零点以及极值点对应的自变量求得周期，即可求得ω，通过函数图象经过的点求A，φ；（2）由（1）代入解析式求得x0∈（0，），对应的值，代入g（x），求g（x）的值．【解答】解：（1）由图象知道A=2，，所以T=π=，所以ω=2，又图象经过（，2），所以sin（2x+）=1，|φ|＜，所以φ=．所以f（x）=2sin（2x+）．（2）由（1）得到f（x0）==2sin（2x+），x∈（0，），所以x0=或者，所以x=，g（x）=1+2cos=+1；x 0=，g（x）=1+2cos=1．21．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表B 地区用户满意度评分的频数分布表（1）做出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 【分析】（I ）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II ）计算得出C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”， P （C A ），P （C B ），即可判断不满意的情况． 【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记CA 表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（CA）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（CB）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．22．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．．【分析】（1）根据五点法进行求解即可．（2）根据函数平移关系求出函数g（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）通过平移，g（x）=5sin（2x+），方程g（x）﹣（2m+1）=0可看成函数g（x），x∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g（x）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m＜2．。
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辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一数学下学期期中试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）1. 已知α是锐角，3(,sin )4a α=，3(cos )b α=，，且//a b ，则α为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 30︒或60︒2. 化简sin()cos()sin()cos()2παπαπαα-+-+ 的结果为（ ） A. 1- B. 1C. cot αD. cot α-3. 若点(1,2)P -是钝角α的终边上一点，则角α可以表示为（ ） A.arcsin5 B. arccos(5- C. arctan(2)- D. 以上都不对 4. 已知函数()sin 4f x x =-，则（ ）A. ()f x 在(0,)4π上单调递增B. ()f x 在(0,)4π上单调递减C. ()f x 在3(,)88ππ上单调递增D. ()f x 在3(,)88ππ上单调递减5. 如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于（）B. 1C.D. 1-6. 已知平面上三点,,A B C ，满足||8AB =，||6AC =，||10BC =，则AB BC BC AC CA AB ⋅+⋅+⋅= （ ）A. 28B. 28-C. 100 D .100-7. 为了得到函数2sin 2y x x =+的图象，可以将函数2cos 2y x =的图象（ ）A. 向右平移12π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移12π个单位 D. 向左平移6π个单位8. 已知角,(0,)2παβ∈，且1tan2tan 1tan 2αβα+=-，则 A. 2παβ+= B. 24παβ-= C. 22πβα-=D.22παβ+=9. 如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP PD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ）A. 1112B. 34C. 89D. 7910. 若2212sin cos cos sin x xS x x +=-，则S 不能是 （ ）A. 1tan 1tan x x +-B. 1tan 1tan x x -+C. 1sin 2cos 2x x +D. cos 21sin 2x x-11. O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若,,B O D 三点共线，则t 的值为（ ） A.14B. 13C.12 D. 2312. 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其部分图象如图所示，则()(2)(3)(2018)f f f f ππππ++++的值为（ ）A. 1-0 C. 2018D. -二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)3πα+的值为___________．14. 已知向量(8,2)a =-与(4,)b k =-的夹角是钝角，则k 的取值范围是_________．15. 已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a b c ++=，则b 与c 的夹角为___________．16. 已知函数()|sin |cos f x x x =+，现有如下几个命题：①函数()f x 为偶函数； ②函数()f x 最小正周期为2π；③函数()f x 值域为[；④若定义区间(,)a b 的长度为b a -,则函数()f x 单调递增区间长度的最大值为34π.其中正确命题为___________．三、 解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分） 已知向量(1,0)a =，(2,1)b =-． （1）若ka b -与3a b +平行，求k 的值； （2）若ka b -与3a b +垂直，求k 的值．18.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos 1)a x x =-，(3,1)b =-，设()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心；（2）已知α为锐角，(0,)βπ∈，13()65f πα+=，12sin()13αβ+=- ，求si n (2)αβ+的值．19.（本小题满分12分）设A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，,P Q 是圆O 上两点，O 为坐标原点，4AOP π∠=，AOQ x ∠=，[0,]2x π∈（1）当6x π=时，求OP OQ ⋅的值；（2）设函数()sin 2f x OP OQ x =⋅+，求()f x 的值域．20.（本小题满分12分）如图，已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，点,A B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，,C D 分别是()f x 的图象上横坐标为2π、23π的两点，且//CD x 轴，AB BD =．（1）求ω，ϕ的值；（2）若关于x 的方程()sin 2f x k x =+在区间7[0,]12π上恰有唯一实根，求实数k 的取值范围．21.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD ，4AD =，2AB =．（1）若ABC ∆为等边三角形，且//AD BC ，E 是CD 的中点，求AE BD ⋅； （2）若AC AB =，3cos 5CAB ∠=，45AC BD ⋅=，求||CD .22.（本小题满分12分） 已知函数()2cos sin()6f x x x π=-. （1）求函数()y f x =图象的对称轴方程；（2）若方程1()3f x =在(0,)π上的解为1x 、2x ，求12cos()x x -的值．2018-2019学年度下学期期中考试高一年级数学答案一、选择题CDBCD BACAB BA二、填空题13. 242514. 16k>-且1k≠ 15. 150︒ 16. ①②④三、解答题17. 解：向量．，，与平行，，解得．………………5分与垂直，，解得．………………10分18.解：…………3分最小正周期为2π对称中心为(,1)6k k Z ππ+∈ …………6分，，又为锐角，所以， …………8分，，又，，…………10分． (12)分 19. 解：，，4……6分()cos )sin 2cos )2sin cos f x x x x x x x x =++=++令sin cos [x x t +=∈ ，则22sin cos 1x x t =-则22991([,2]2488y t t =+-=+-∈- …………12分 20.解：Ⅰ根据题意，AB BD =， 点的横坐标为；又点C与点D关于直线对称，的最小正周期T满足，解得，即；………………3分又，，且，；………………6分Ⅱ由Ⅰ知，函数，为，，……8分设，7[0,]12，则，根据题意，与恰有唯一交点，实数k应满足或…………12分21. 解：因为为等边三角形，且，所以又，所以，因为E是CD的中点，所以：，．又，所以，．，． ………………6分 因为，，所以： ．因为：，所以：．所以：．又．所以：．所以：．故：． ………………12分22.解：1()sin(2)62f x x π=-- …………3分令，得，即的对称轴方程为，． …………6分Ⅱ由条件知，则122266x x πππ-+-=则， …………9分．…………12分。