2018年秋八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理及其简单计算同步练习课
1 探索勾股定理
第一章 勾股定理
第2课时 验证勾股定理及其简 单应用
A 知识要点分类练
B 规律方法综合练
C 拓广探究创新练
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
A 知识要点分类练
知识点1 勾股定理的验证
1．已知：如图 1－1－7，用四块两直角边长分别为 a，b，斜 边长为 c 的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的 面积．
答：这架飞机每小时飞行 540 千米．
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
C 拓广探究创新练 8．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中巧妙各有不同，其
中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角 三角形如图 1－1－12 所示摆放时，可以用“面积法”来验证 a2＋b2 ＝c2.你能说明其中的道理吗？请试一试．(提示：结合图中所作辅助 线利用面积相等验证)证勾股定理及其简单应用
解：图形的总面积可以表示为 c2＋2×12ab＝c2＋ab， 也可以表示为 a2＋b2＋2×12ab＝a2＋b2＋ab， 所以 c2＋ab＝a2＋b2＋ab，即 a2＋b2＝c2.
解法(1)：小正方形的面积＝_c_2_－__2_a_b_；
解法(2)：小正方形的面积＝_b_2_－_2_a_b_＋__a_2．
图 1－1－7
由解法(1)(2)，可以得到 a，b，c 之间的关系式为_c_2_＝__a_2＋__b_2___．
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
2．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图 1－1－8 所示的
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
解：根据题意，画出图形，如图．已知 AB＝5000 米＝5 千米，AC＝4000 米＝4 千米．由勾股定理，得 BC2＝AB2－AC2＝52－42＝9，
所以 BC＝3(千米)． 3600
这架飞机 20 秒飞行了 3 千米，那么它 1 小时飞行的距离为 20 ×3＝ 540(千米)．
图 1－1－11
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
7．有一架飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩 头顶正上方 4000 米处，过了 20 秒，这架飞机距离这个男孩头顶 5000 米(这段时间内男孩未移动)，那么这架飞机每小时飞行多少千米？
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
[解析] 根据题意，可以先画出符合题意的图形．如图，在△ABC 中，∠C＝90°， AC＝4000 米，AB＝5000 米，欲求这架飞机每小时飞行多少千米，就要知道这架飞 机在 20 秒时间里飞行的距离，即图中 BC 的长．通过勾股定理能够得出 BC 的长， 一定要注意单位的换算．
米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( A )
A．0.7 米
B．0.8 米
C．0.9 米
D．1.0 米
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
4．教材习题 1.2 第 1 题变式如图 1－1－9，一棵高度为 8 米的 大树在一场暴风雨中折断，经测量树顶端 A 距离树根部 C 的距离为 4 米，则折断点 B 与树根部 C 的距离为____3____米．
所以 c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2，整理，得 a2＋b2＝c2，
所以证明中用到的面积相等关系是 S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S 四边形 . ABCD
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
知识点2 勾股定理的应用
3．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举
办新年晚会，小王搬来一架长为 2.5 米的木梯，准备把梯子架到 2.4
图形，其中两个全等直角三角形的两边 AE，EB 在一条直线上．证
明中用到的面积相等关系是( D )
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S ＝S 四边形 CDAE
四边形 CDEB
D．S ＋S ＋S ＝S △EDA
△CDE
△CEB
四边形 ABCD
图1－1－8
[解析] 由 S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S 四边形 ABCD，可知12ab＋12c2＋12ab＝12(a＋b)2，
②所示的割补可以得到边长为 c 的正方形，且面积等于割补前的两 正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请 你通过对图②的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是( B )
A．割⑤补⑥ B．割③补① C．割①补④ D．割③补②
图1－1－10
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
6．如图 1－1－11 所示，要建一个一面靠墙的西红柿大棚，棚 宽 a＝4 m，墙高 b＝3 m，棚长 d＝12 m，则覆盖在顶上的塑料薄膜 需要的面积至少为_6_0__m_2 ___．
图 1－1－9
[解析] 设 BC 的长度为 x 米，依题意可得 AB＝(8－x)米，由勾股定理可得 x2 ＋42＝(8－x)2，解得 x＝3，即折断点 B 与树根部 C 的距离为 3 米．
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
B 规律方法综合练 5．如图 1－1－10①是边长分别为 a，b 的两个正方形，经如图
八年级数学上册第1章习题课件：探索勾股定理(2)(北师大版)
2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图1的图形，这个图形被称为弦 图．观察图形，可以验证公式( C )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．c2＝a2＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
图1
【解析】 ∵大正方形的面积可表示为c2， 又可以表示为12ab×4＋(b－a)2， ∴c2＝12ab×4＋(b－a)2，即c2＝2ab＋b2－2ab＋a2， ∴c2＝a2＋b2.
2．[2017·邵东县三模]如图2-6，校园内有两棵树，相距8 m，一棵树高13 m，另一棵树高7 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少 要飞( C )
A．8 m C．10 m
图2-6 B．9 m D．11 m
【变式跟进2】 [2017春·岳池县期末]“中华人民共和国道路交通管理条例” 规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h，如图2-4，一辆小汽车在 一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30 m的 C处，过了2 s后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m.
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(第2课时)
知识管理 归类探究 随堂练习 分层作业
知识管理
验证勾股定理 面积法：用面积验证勾股定理要通过变形寻找原图形与转化后图形的面积的 等量关系． 注 意：(1)图形变了，面积不变； (2)图形的整体面积表示为部分面积之和； (3)把不规则的图形分割成特殊图形．
归类探究
类型之一 拼图验证勾股定理 如图2-1是一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请
写出你的证明过程．(提示：已知图中三个三角形均是直角三角形)
图2-1
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
1.1-探索勾股定理-(第二课时)立峰
总统证法
c a
b
cb
面积法
a
S梯形
1 (a b)(a b) 2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
1 (a b)(a b) 1 (ab ab c2)
2
2
化简得 a2 b2 c2.
环节三：合作探究—拼图验证 c
a
右图有四个全等的直角三
b
角形，
c a
用这四个三角形拼一 拼、摆一摆, 看看是否得到 a
b c
一个含有以斜边c为边长的 正方形, 你能利用它说明勾
b c
股定理吗? 小组合作交流. a
b
环节三：层层设问，完成验证一
b
利
用a c 面
积
法
c
b
a
c
b
(a+b)2
= C2+4×
1
2 ab
a2+b2+2ab=c2+2ab
c
a 可得:a2+b2=c2
a
b
这四个直角三角形还能怎样拼？
环节三：自主探究—完成验证二
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
复习旧知
上节课学习了勾股定理,它的内容是什么? 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方.
c
a
b
a2+b2=c2
环节一：目标定位
1、在上节课对具体的直角三角形探索发 现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的 验证过程，体会数形结合的思想和从特殊 到一般的思想. 2、掌握勾股定理及其验证，并能应用勾 股定理解决一些实际问题. 3、在勾股定理的验证活动中，培养探究 能力和合作精神；通过对勾股定理历史的 了解，感受数学文化，增强爱国情感，并 通过应用勾股定理解决实际问题，培养应 用数学的意识.
1 探索勾股定理第2课时
a
b
用“外镶法”拼图
拓展阅读
2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大 会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中 国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各 地的数学家们！
这种验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学 家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将此 图称为弦图。
“总统证明法”
新知归纳
“勾股定理”的验证方法： 1.数形结合法： (1)拼正方形图： 运用正方形面积表达式进行证明； (2)拼梯形图： 运用梯形面积表达式进行证明。
例、我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发 现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪， 测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米， 你能帮助小王计算敌方汽车的速度吗？
为了寻求上图中的三个正方形的面积之间的关 系，小明对大正方形适当画线后，得到下图。
用“数格子法”发现： “两直角边的平方和 等于斜边的平方”。
（1）将图中所有三角形和 正方形的面积用a，b，c的 关系式表示出来；
（2）图中正方形ABCD 的面积是多少？你有哪 些表示方法？与同伴进 行交流。
用“内嵌法”拼图
3.如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的大树断 裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后 有多高？
18-x x
6米
4.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC 边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
A
10
D
8
10
E
B
F
C
“勾股定理”的验证方法： 1.数形结合法： (1)拼正方形图： 运用正方形面积表达式进行证明； (2)拼梯形图： 运用梯形面积表达式进行证明。
1.1 第2课时 验证勾股定理(教学设计——精品教案)
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教学目标【知识与能力】1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.【情感态度价值观】培养学生大胆探索,不怕失败的精神.教学重难点【教学重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【教学难点】用拼图法验证勾股定理.课前准备【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.教学过程第一环节：引入新课导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).第二环节：新知构建1.勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 -5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c 的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.2.勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.[知识拓展]利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.第三环节：课堂小结1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 第四环节：检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C .c 2=a 2-2ab +b 2D .c 2=(a +b )2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,里面ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故选A.的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有c2=123.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.2.课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2. 证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,则DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab , 又∵S 四边形ADCB=S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE.验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴ , ∴a 2+b 2=c 2.【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,则(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.故选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.故选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如图所示. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如图所示,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,则ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,则a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.故选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,则S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,则BF =b-a ,∵S 五边形ACBED=S ΔACB +S ΔABE+S ΔADE=12ab +12b 2+12ab ,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.板书设计1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用. 教学反思成功之处在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.不足之处在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散. 再教设计勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.备课资源古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前,花离原位两尺远; 能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗? 〔解析〕 要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如图所示,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.- 11 -设CD =x 尺,则AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2.解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结] 建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。
北师大版八年级上册1.1探索勾股定理(第2课时)教案
利用拼图验证勾股定理（课前准备 8 个全等的直角三角形）： 活动：用四个全等的直角三角形拼出图 1，并思考： 1．拼成的图 1 中有_______个正方形， ___个直角三角形。 2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
(a + b)2 (a + b)2 (a + b)2
四、达标测评： 1、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则 CD=________；
2、如图，阴影部分的面积为
；
D
15
8
A
3
B
C
3、一个直角三角形的三边分别为 3，4， x ，则 x2 =
4、若等腰三角形的腰为 10cm，底边长为 16cm，则它的面积为
；
5、从电线杆离地面 6 米处向地面拉一条长 10 米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点
3 你能利用类似的方法由图 2 得到勾股定理吗？
9、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方 4000 m 处，过了 20 s，飞机距离这个男孩子头顶 5000m，飞机每小时飞行多少千米？
◎备课留白：
1/1
◎教学反思： ◎安全提醒：
距离电线杆底部有
米。
6、一直角三角形的斜边比直角边大 2，另一直角边长为 6，则斜边长为
；
7、直角三角形一直角边为 5 厘米、斜边为 13 厘米，那么斜边上的高是
；
8、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为
；
图22Leabharlann 三．合作探究：21. 如图 1，你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法表示吗？
2. （a+b）2 与 c2+2ab 有什么关系？为什么？你能验证勾股定理了吗？
八年级数学上册第一章勾股定理第一节探索勾股定理时教案北师大
1探索勾股定理课题1探索勾股定理（第2课时）课型探究课教学目标知识技能：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.过程方法：在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.情感态度和价值观：在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；重点用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点和难点. 难点用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点和难点.教学用具制作四个全等直角三角形教学环节说明二次备课复习教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.课程讲授活动1：（小组合作展示）今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.活动2：学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2D'C'B'DC BA （1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（先思考，后小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？活动3 ： 自主探究，完成验证二.我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（三）勾股定理的简单应用例1、议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2例2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例3、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。
探索勾股定理验证勾股定理北师大版八年级数学上册精品课件PPT
A的面积+B的面积=C的面积 C A
B
CD B
A
1.1探索勾股定理 第2课时验证勾股定理-北师大版八年级 数学上 册课件
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之 一，它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系.
⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 平方和， 等于斜边c平方
a2+b2 =c2
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角 形中,已知任意两边求第三边的长
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1.1探索勾股定理 第2课时验证勾股定理-北师大版八年级 数学上 册课件
变式：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、 D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它 到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处?
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4.如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将 △ADE折叠使点D恰好落在BC边上的 点F，求CE的长.
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解：作点B关于MN的对称 点B′，连接AB′，交A1B1于 P点，连BP. 则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′， 易知P点即为到点A，B距离之和最短的点． 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)． 由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62， ∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km， 故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.
八年级数学上册第1章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证及简单应用预学新版北师大版
长分别是 a ， b ， c ，将它们拼成如图②的大正方形.
1
2
3
4
(1)观察：图②中，大正方形的面积可以用( a ＋ b )2表示，也
可以用含 a ， b ， c 的代数式表示为 2 ab ＋ c2 ，那么可
以得到等式： ( a ＋ b )2＝2 ab ＋ c2 .整理后，得到 a ，
解： (2)如图.(答案不唯一)
1
2
3
4
知识点1
验证勾股定理
如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与
验证过程，请补充完整：
因为 S1＝
4
＝
S3.
)2＋(
BC
所以 S1＋ S2
即(
笔记：
AC
， S2＝
9
， S3＝ 13
)2＝(
AB
)2.
，
变式1【教材P7读一读变式】意大利著名画家达·芬奇用如图
的面积.
解： 根据勾股定理得，斜边长为10 cm，
所以圆的半径为5 cm.所以 S圆＝π×52＝25π(cm2).
1
2
1. 勾股定理的验证方法很多，有测量法、数格子法、割补法
面积
(拼图法)、面积法(通过
的不同表示方法得到验
证，也叫等面积法或等积法)等.
1
2
3
4
直角
2. 勾股定理的适用范围仅限于
所示的方法证明了勾股定理.图①中的空白部分是由两个正
方形和两个全等的直角三角形组成的.若设图①中空白部分
的面积为 S1，图③中空白部分的面积为 S2，则下列表示 S1，
S2的等式成立的是( B )
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件
“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ，
在中国古代，
斜边称为 弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分 勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你 所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角 形尝试证明一下吧？
语言表述： 几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？ 你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们 拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？