高一下 必修5 2.5等比数列的前n项和(一) 第1课时教案
练习1
⑴
根据下列条件,只需列出等比数列 {an } 的
S n 的式子
a1 = 3, q = 2, n = 6;
3 1 26 Sn = 1 2
(
)
1 ⑵ a1 = 2.4, q = 1.5, an = ; S n = 2
1 2.4 ( 1.5) 2 1 ( 1.5)
⑶等比数列1,2,4, 从第5项到第10项的和为
2
n2
(1 q ) S n
+ a1q + a1q .
n
n1
⑵
a1 1 q n Sn = 1 q
(
= a1 a1 q ,
)
说明:这种求和方法称为错位相减法
当q≠1时, ∵
a1 1 q n Sn = 1 q
(
)
a1q n = a1q n 1 q = a n q ,
a1 anq Sn = 1 q
其中 a1 = 5000 , q = 1 + 10 % = 1 . 1, S n = 30000 ,
解:由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 {an },
5000 1 1.1n ∴ = 30000. 1 1 .1
两边取常用 对数,得 ∴
(
)
即
1 .1 = 1 .6 .
n
n lg 1.1 = lg 1.6
S8
1 1 2 = 1 1 2 8 255 1 =1 = 256 2 1 2
8
8 1 1 1 2 2 = 1 2
1 1 (2)由a1 = 27, a9 = , 可得 =27 q 8 243 243
1 又由q < 0, 可得q = 3
1 27 1 3 = 1640 于是当n = 8时,S8 = 81 1 1 3
(
)
∴
显然,当q=1时,
S n = na1
等比数列的前n项和表述为:
Sn =
{
na1 ,
( q=1).
n
a1 an q a1 1 q = , 1 q 1 q
(
)
(q≠1).
证法一: 证法一: Sn=a1+a2+…+ an =a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 ……① ① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn ……② ② (1 q n ) a ① - ②得 Sn-qSn=a1-a1qn sn = 1 1 q 证法二: 证法二: Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2) a1 a n q =a1+q(Sn-an) sn = 1 q
a2 a3 证法三: 证法三: ∵ = == a1 a 2 a2 + a3 + + an =q a1 + a 2 + + a n 1
an =q a n 1 S n a1 a1 a n q = q sn = 1 q Sn an
例 1,求下列等比数列的前 8 项的和 1 1 1 ( 1) , , , 2 4 8 1 ( 2) a 1= 27 , a 9= ,q < 0 243 1 1 1 1 n=8,得 解: (1)由 a1 = , q = ÷ = , 4 2 2 2
�
lg 1 . 6 0 . 20 n = ≈ ≈ 5 (年) lg 1 . 1 0 . 041
答:约5年可以使总销售量量达到30000台
小结
1.已知 a1 , n, q 则 S
n
=
{
na 1 ,
a1 1 q 1 q
(
n
),
( q=1). (q≠1). ( q=1). (q≠1).
已知 a1 , an , q 则
S
n
=
{
na 1 ,
a1 a n q , 1 q
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况.
填 表
数 前 列 n 等 差 数 列 等 比 数 列
项 和 公 式 推导方法
n(a1 + a n ) Sn = 2 n(n 1) d = na1 + 2
倒序相加
a1 1 q n Sn = 1 q (q ≠ 1) a1 a n q = 1 q
分析:第1年产量为 第2年产量为 第3年产量为
……
第n年产量为
n 1
= 5000 × 1.12台
5000 × 1.1 台
则n年内的总产量为:
5 + 5 × 1.1 + 5 ×1.12 + + 5 × 1.1n 1
例2
某商场今年销售计算机5000台,如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么 从今起,大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)?
错位相减
(
)
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑 注意】 公比是否为1 公比是否为 .
1.已知数列前 项和 n=2n-1,则此数列的奇数项的前 已知数列前n项和 已知数列前 项和s ,则此数列的奇数项的前n . 项的和是 2.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列, 设 为等差数列, 为等比数列, 为等差数列 为等比数列 a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出{a 及 的前10项的和 分别求出 n}及{bn}的前 项的和 10及T10. 的前 项的和S 3.设{an}为等比数列,Tn=na1+(n一1)a2+…+2an-1+an, 设 为等比数列, 为等比数列 一 已知T1=1,T2=4. 已知 , . (1)求数列 n}的首项和公比; 求数列{a 的首项和公比 的首项和公比; 求数列 (2)求数列 n}的通项公式. 求数列{T 的通项公式 的通项公式. 求数列
64
19
说明: 超过了1 说明: 1 超过了 .84 × 10 ,假定千粒麦子的质量为 假定千粒麦子的质量为 2 40g,那么麦粒的总质量超过了 那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.所以国王 亿吨. 那么麦粒的总质量超过了 亿吨 是不可能同意发明者的要求. 是不可能同意发明者的要求.
等比数列的前n项和
复习
的定义: 1.等比数列 {an } 的定义: an = an 1 q, (n≥2). 等比数列
a {an } 的通项公式:n = a1q n 1 , (a1 ≠ 0, q ≠ 0). 的通项公式: 2.等比数列
3. a , G , b 成等比数列 G
2
= ab , ( ab > 0 )
传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明者 发 传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明者,发 明者说: 请在棋盘的第1个格子里放上 颗麦粒,在第2 个格子里放上1颗麦粒 明者说:"请在棋盘的第 个格子里放上 颗麦粒,在第 个格子里放上2颗麦粒 在第3个格子里放上 颗麦粒, 颗麦粒, 个格子里放上4颗麦粒 个格子里放上 颗麦粒,在第 个格子里放上 颗麦粒,在 个格子里放上8颗麦粒 第4个格子里放上 颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦 个格子里放上 颗麦粒,依此类推, 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍 直到第64个格 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 倍,直到第 个格 子.请给我足够的粮食来实现上述要求".国王觉得并不 请给我足够的粮食来实现上述要求" 就欣然同意了他的要求. 难,就欣然同意了他的要求.你认为国王有能力满足发明 者的要求吗? 者的要求吗? 分析:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒 分析: 数的2倍 且共有64个格子 个格子, 数的 倍,且共有 个格子,各个格子里的麦粒数依次是 于是发明者要求的麦粒总数就是
2 3
1, 2 , 2 , 2 , , 2
2
3
63
,
63
1+ 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 .
62
问题:求以 为首项 为公比的等比数列的前64项的和 为首项,2为公比的等比数列的前 问题:求以1为首项 为公比的等比数列的前 项的和
S 64 = 1 + 2 + 4 + 8 + + 2 62 + 2 63.
两边同乘公比2 两边同乘公比2, 得
2S64 = 2 + 4 + 8 +16++ 263 + 264.
将上面两式列在一起, 将上面两式列在一起,进行比较
S 64 = 1 + 2 + 4 + 8 + + 2 ,
63
①
64
2S 64 =
② - ①,得
64
2 + 4 + 8 ++ 2 + 2 .
63
②
S64 = 2 1
设等比数列 a1 , a 2 , a 3 , , a n , 它的前n项和是 即
S n = a1 + a2 + a3 + + an
2 n2
S n = a1 + a1q + a1q + + a1q
+ a1q
n 1
.
n
⑴
⑴×q, 得 q,
qS n =
⑴-⑵,得 由此得q≠1时,
a1q + a1q ++ a1q
1 2 1 2 S = S10 S4 = 1 2 1 2
10
4
或
a5 1 q6 24 1 26 S= = 1 q 1 2
《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计
《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计教学目标：1. 理解等比数列的概念和性质；2. 掌握等比数列的通项公式、前n项和公式；3. 能够应用等比数列的公式解决实际问题。
教学内容：（1）概念：在等比数列中，任意两个相邻的数之比相等。
（2）公比：相邻两项的比值称为公比，用q表示。
（3）特殊等比数列：① 所有项都相等的等比数列，例如：1，1，1，1，……（4）性质：① 等比数列的任意一项等于它前一项乘以公比。
② 等比数列的第n项公式：an = a1 * q ^ (n-1)S = a1 * (q ^ n - 1) / (q - 1)其中，S表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比。
教学过程：1. 导入新课（1）教师简单介绍等比数列的概念和性质，引出等比数列的前n项和公式。
（2）通过一个问题，引导学生思考能否使用等比数列的通项公式求出数列的前n项和。
提出问题：50，100，200，400，800，……，前6项和是多少？（2）练习：让学生根据公式计算出指定位置的值，例如：若a1=3，q=2，则a5=？（1）教师讲解等比数列的前n项和公式：S = a1 * (q ^ n -1) / (q -1)，并通过几个示例让学生理解公式的意义。
4. 综合应用：解决实际问题（1）讲解通过等比数列的公式解决实际问题的方法和步骤。
（2）实例教学：教师通过实例让学生了解等比数列的应用，例如：某种细菌数量每秒增加1倍，最初只有1个细菌，经过10秒后细菌数量为多少？5. 小结和作业（1）教师进行本节课的内容总结，并强调等比数列的通项公式和前n项和公式。
（2）布置作业：完成课堂练习题和课外作业练习题。
教学方法：1. 图像演示法通过图像演示等比数列的概念和性质，让学生更形象地理解等比数列。
2. 探究法通过导入问题，引导学生思考能否使用等比数列的通项公式求出数列的前n项和，激发学生的学习兴趣。
3. 讲解法通过教师的讲解和示例演示等比数列的公式和应用，让学生快速掌握知识点。
人教版高中数学必修(五)2.5等比数列的前n项和教案(12)
公式中q=1的情况容易被学生忽略，让学生通过一个问题两个追问，自己发现，使学生对公式结构的印象更深刻，培养了学生分类讨论的数学思想和严谨的数学思维。
一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力，突破了本节课的教学难点。
教
学
设
计
教
学
设
计
三
反馈矫正
三
反馈矫正
例1：求等比数列 的前8项和。
反馈训练：
1．求等比数列 的第5项到第10项的和。
【学生活动】：学生讨论解题思路，并运用等比数列的前n项和公式解决。
预计学生可能出现的三个层次的错误：
（1）不认真读题，把问题理解为求 ；
（2）知道是求 ，但是不知道如何下手；
（3）知道利用等比数列的前n项和公式求
根据新课程标准的要求，从提高学生的数学素质和能力出发，结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订而成。
重
点和
难
点
重点：等比数列的前n项和公式的应用。
难点：等比数列的前n项和公式的推导方法及应用。
数学教学不仅使学生获得数学知识，更重要是培养学生对知识的应用能力。
教
学
设
计
教学Βιβλιοθήκη 设计教学
设
，但是把项数弄错了。
教师点拨：
解法一：把 看做首项为 ，公比为 的等比数列的前6项和；
解法二： 。
2．已知 是等比数列，请完成下表：
题号
（1）
（2）
等比数列前n项和第一课时教案-数学-高一必修5第二章数列2.5人教A版
第二章 数列2．5 等比数列前n 项和一．学习目标1．知识与技能(1)理解等比数列前n 项和公式的推导方法和过程. (2)掌握等比数列前n 项和公式及其性质的运用.（重点） (3)能够运用错位相减法对数列求和.（难点） 2．过程与方法通过公式推导，提高数学建模意识，体会特殊到一般的思维方式． 3．情感、态度与价值观通过经历对公式的探索，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，并从中获得成功的体验．二．重点难点重点：等比数列前n 项和公式及其性质的运用 难点：运用错位相减法对数列求和三．专家建议通过学习等比数列前n 项和公式，推导等比数列前n 项和公式过程用到了错位相减的数学方法，教学中应给学生渗透分类、错位相减求和的数学思想方法。
四．教学方法自学训练法、小组讨论法五．教学过程●情景导入国际象棋盘内麦子数“爆炸”传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要您的重赏，陛下，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就行了.在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了.”“区区小事，几粒麦子，这有何难，来人！”，国王令人如数付给西塔.计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，……,还没有到第二十格，一袋麦子已经空了.一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。
但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言.如何求呢？请进入本节课的学习！●探究新知探究点------等比数列前n 项和公式 我们来研究新课导入中的问题：思考1 每个格子里的麦粒数依次组成一个什么样的数列？是等比数列吗？提示：每个格子里的麦粒数依次组成2345631,2,2,2,22,2，…，,因为此数列后一项与前一项的比值为2，所以此数列是等比数列.思考2 请同学们思考一下，故事中发明家要求的麦粒总数如何求解？提示：发明家要求的麦粒总数就是上述数列的前64项的和，即：2345631,2,2,2,22,2，…， 由23626364122222. S =++++++①得63646422481622. S =++++++②② － ①，得646421S =-这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法． 思考3 请同学们自由讨论，自己试着推导一下等比数列前n 项和公式？证法一：由等比数列的定义，32121,n n a a a q a a a -==== 根据比例的性质，231121,n n n n na a a S aq a a a S a -+++-==+++- 即11(1).nn n n nS a q q S a a q S a -=⇒-=-- 11(1)1,.11,.n n n a q q S q q S na -≠=-==当时当时 证法二：设等比数列123,,,,,n a a a a它的前n 项和是123n n S a a a a =++++由11231n n n n S a a a a a a q -=++++=及得22111111.n n n S a a q a q a q a q --=+++++⑴ ⑴×q,得22111111.n n n n qS a q a q a q a q a q --=+++++⑵⑴－⑵，得()111,nn q S a a q -⋅=- 所以当q ≠1时，()11111n n n n a q a a qS S qq⋅--==--或显然，当q=1时，1n S na =.等比数列的前n 项和公式思考4 根据前面推导的等比数列的前n 项和公式，计算一下麦粒的总数是多少呢？64641(1)1(12)21112n n a q S q -⨯-===---所以，6421-超过了 1.841910⨯,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总重量超过了7000亿吨，铺在地球表面厚度可达9毫米厚.所以国王是不可能满足发明者的要求的. ●典例精讲例1 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”.怎样用学过的知识来说明它？解：这句古话用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则得到一个首项112a =，公比12q =的等比数列，它的前n 项和为111()1221()1212.n n n S ⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦==--不论n 为何值，n n 11S ()2-=总大于0，这说明一尺长的木棒按上述方法永远也取不完.例2 等比数列{}n a 的公比8112q a ==，，求前8项的和8S 解：因为781,a a q =所以78172.a a q == 因此788818121()(1)221255.1112a q S q ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦===-=-- 小结：等比数列的前n 项和公式及通项公式涉及到5个量：1n n a ,q,n,a ,S ,已知其中3个量就可以求出另外的2个量.【提升总结】等比数列前n 项和“知三求二”问题 S n ＝a 1－a n q 1－q ，S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)均为等比数列的求和公式，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，q 五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就是解方程组，这也是求解等比数列问题的基本方法．例3．求和：9+99+999+…+ 999……99n 个9分析：数列9，99，999，…不是等比数列，不能用公式求和，但将它转化成10-1，100-1，1 000-1，…就容易解决了.解：原式=（10-1）+（102-1）+…+（10n -1）=(10+102+…+10n )-n10(101)101n n -=--10(101).9n n =--例4 某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p （p>0）,求这个工厂去年全年产值的总和. 解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月……的产值分别为a(1+p)2,a(1+p)3,……去年12个月的产值组成以a 为首项，（1+p ）为公比的等比数列，因此，该厂去年全年的总产值为答：该工厂去年全年的总产值为元.例5.n 13572n 1248162-，，，，…，的前n 项和为 .【探究提示】分子是首项为1,公差为2的等差数列,分母是首项为2,公比为2的等比数列. 2.可得到Sn 关于n 的表达式,从而为求an,bn 创造了机会. 【解】(1)设n 13572n 1S 248162n-=+++++…，n n 1113572n 1S ,24816322+-=+++++… 两式相减得：n n n 1n 1n 1n 1n 1n 111222222n 1S 22481632221111112n 1()2248162211[1()]12n 132n 322,1222212+-+-++-=++++++--=++++++---+=+-=--……所以n n 2n 3S 3.2+=-【方法技巧】1.错位相减法的使用范围及注意事项(1)适用范围：主要适用于{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,求数列{a n b n }的前n 项和. (2)注意事项：①利用“错位相减法”时,在写出Sn 与qSn 的表达式时,应注意使两式对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn 的表达式;②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1.2.错位相减法进行求和的基本步骤(1)在等式Sn=a 1+a 2+a 3+…+a n 两边同乘以等比数列的公比q. (2)两式相减：左边为(1-q)Sn,右边为q 的同次式对齐相减.(3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列,可以采用公式求和. 例6.(1)已知等比数列{a n }中，前10项和S 10＝10，前20项和S 20＝30，求S 30.(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．【思路探究】 (1)列出关于a 1，q 的方程组能求解吗？S 10，S 20－S 10，S 30－S 20是否成等比数列？用这一性质能解决吗？(2)“奇数项之和”、“偶数项之和”的含义是什么？你能使用等比数列前n 项和的性质求解吗？【解析】 (1)法一 设数列{a n}的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 20)1－q ＝30.两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2.∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q ＝a 1(1－q 10)1－q (1＋q 10＋q 20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列， 又∵S 10＝10，S 20＝30， ∴S 30－30＝(30－10)210，即S 30＝70.(2)法一 设原等比数列的公比为q ，项数为2n (n ∈N *)．由已知a 1＝1，q ≠1，有⎩⎪⎨⎪⎧1－q 2n1－q 2＝85， ①q (1－q 2n )1－q 2＝170. ②由②÷①，得q ＝2， ∴1－4n 1－4＝85,4n ＝256，∴n ＝4. 故公比为2，项数为8.法二 ∵S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)q ＝S 奇·q ， ∴q ＝S 偶S 奇＝17085＝2.又S n ＝85＋170＝255，据S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得1－2n1－2＝255，∴2n ＝256，∴n ＝8.故公比q ＝2，项数n ＝8.规律方法：1．解决本例有两种思路：用等比数列的前n 项和公式直接求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性强，有时使计算简便．2．等比数列前n 项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ； ②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)．(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m的等比数列．●课堂小结1.注意等比数列的前n 项和公式分1q =和1q ≠两种情况.当q≠1时，()n 1n a 1-q S =1-q或1n n a -a qS =1-q，当q=1时，1n S na =。
高一下学期数学人教A版必修5第二章2.5 等比数列的前n项和 教案
课题：2.5 等比数列的前n 项和（第一课时）一 教学目标:1. 知识与技能目标:掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。
通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。
2.过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。
3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
二 教学重点难点重点：等比数列项前n 和公式的推导与简单应用。
难点：等比数列n 项和公式的推导。
三 教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。
五 学情分析本节课是在学习了有关数列的知识如等差数列概念及通项公式和等差数列的前n 项和公式以及等比数列的概念，本课是为了进一步学习数列知识并能够解决一类求和问题。
学生具有初步的自主探究能力，思想活跃，敢于猜想，在老师的引导下能够独立的解决问题，但学生缺乏冷静容易片面不严谨，并且在推导过程中学生容易将等比数列前n 项和的推导方法与之进行类比，要将此点突破。
六 教学过程：1．创设情境，导入新课：1）复习旧知，铺垫新知：（1）等比数列定义及通项公式；（2）等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q ，从而为“错位相减法”求等比数列前n 和埋下伏笔。
2）问题情境，引出课题：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO ．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，孙悟空很爽快地同意，答应每天给他第一天1万元，，第二天2万元，第三天3万元，连续一个月（30天），但是有一个条件，第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元…后一天返还数为前一天的2倍，假如你是八戒养猪集团的总裁秘书，请你帮八戒决策一下！注：师生合作分别给出两个和式：万46530321S 30=++++= ①②①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n 和的问题但却感到不会解！问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）希望通过本节课的学习我们能帮八戒算出到底需要还多少钱？到底是它占了大便宜还是悟空更有谋略呢？2．师生互动，新课探究：对于一个一般的等比数列，我们如何求出它的前n 项和呢？()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--====-⋅-=--=≠⋅-=--⋅+⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅+=++++=--1,1111,S 1111112121S 11111111111211112111321q q q a a q q a q na na S q qq a a q q a S q qa a S q q a q a q a q a qS qq a q a q a a S a a a a n nn n nnn n n n n n n nn 式采用错位相减法推导公时，当时，当分类讨论等式两边同乘公比 告知学生推导公式的方法（错位相减法），需要注意事项3．师生共同解决遗留问题公式推导完后由学生解答刚才遗留问题？如何计算八戒需要还钱数？亿1010737418241-22-122-122221S 3029293230≈≈=⋅=++++= 因此是悟空更有谋略4．例题讲解例一. 课本63页(叫学生上黑板完成)()()0,81,121618*********<==q a a ，，，，项的和求下列数列的前()()[]()-1640313118,30,181,81,1288451=----⨯==-=<⨯===S n q q q a a 由于可得又由可得解：由5．牛刀小试：练习例1教师板演示范，强调解题的规范。
《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计
《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计第一课时：等比数列的前n项和一、教学目标1. 知识与技能：掌握等比数列的概念和性质，了解等比数列的通项公式以及前n项和的计算方法。
2. 过程与方法：通过案例分析和实例演练，引导学生建立等比数列的基本概念和计算方法。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生的解决问题的能力和思维逻辑能力。
三、教学准备1. 教学内容：等比数列的前n项和。
2. 教学资源：教材、教学课件、实例题材。
3. 教学环境：教室、黑板、投影仪。
4. 学生准备：学生需提前预习并准备好相关课文和课后习题。
四、教学过程1.导入（5分钟）教师可通过引入等比数列的概念及应用案例，引起学生的兴趣，激发学生的求知欲。
2.呈现（15分钟）教师通过教学课件或实例题材，讲解等比数列的概念，并引出等比数列的通项公式和前n项和的计算方法。
重点讲解等比数列前n项和的计算公式，并通过实例进行讲解和演练。
4.练习与讨论（15分钟）教师布置相关练习题，要求学生在课后完成，并组织学生进行解题讨论。
通过练习和讨论，巩固学生所学知识，加深对等比数列前n项和的理解。
5. 拓展与应用（10分钟）教师通过拓展性问题或应用案例，引导学生将所学知识应用于实际问题中，培养学生的数学建模能力。
五、课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点知识进行归纳和总结，澄清学生的疑问，为下节课的学习做好铺垫。
六、作业布置布置相关练习题，要求学生完成课后练习，巩固所学知识。
七、教学反思通过本节课的教学设计和实施，学生可以系统地学习到等比数列的前n项和的计算方法，培养了学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过实例演练和讨论，学生的学习兴趣得到了激发，课堂氛围良好。
需要改进的地方是在教学过程中，对于学生的个别问题能够给予更多的帮助和引导，以确保每个学生都能够理解和掌握所学知识。
高中数学必修五第二章5等比数列前n项和1教案
课题： 2.5 等比数列的前 n 项和（1）第课时总序第个教课设计课型：新讲课编写不时间：年月日履行时间：年月日教课目的：批知识与技术：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的注前 n 项和公式解决相关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵巧应用，总结数列的乞降方法，并能在详细的问题情境中发现等比关系成立数学模型、解决乞降问题。
感情态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探究，踊跃进取，激发学习数学的热忱和勤苦求是的精神。
教课要点：等比数列的前n 项和公式推导教课难点：灵巧应用公式解决相关问题教课器具：投影仪教课方法：经历等比数列前 n 项和的推导与灵巧应用，总结数列的乞降方法，并能在详细的问题情境中发现等比关系成立数学模型、解决乞降问题。
教课过程：Ⅰ . 课题导入[ 创建情境 ][ 提出问题 ] 课本 P55“国王对国际象棋的发明者的奖赏”Ⅱ . 讲解新课[ 剖析问题 ]假如把各格所放的麦粒数当作是一个数列，我们能够获得一个等比数列，它的首项是1，公比是 2，求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64 项的和。
下边我们先来推导等比数列的前n 项和公式。
1、等比数列的前n 项和公式：当 q 1 时，S n a1(1 qn)①或S n a1a n q②1q1q当 q=1 时，S n na1当已知 a1, q, n时用公式①；当已知a1, q,a n时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列a1 , a2a3 , a n它的前 n 项和是S n a1a2a3a nS n a1a2a3a n由a1q n 1a nS n a1a1 q a1 q 2a1 q n 2a1q n 1得qS n a1q a1q 2a1 q3a1 q n 1a1q n (1q)S n a1 a1q n∴当 q 1 时，S n a1 (1qn)①或 S n a1a n q②1q1q 当 q=1 时，S n na1公式的推导方法二：a2a3a n q 有等比数列的定义，a1a2a n1a2a3a n S n a1q 依据等比的性质，有a1a2an 1S n a n即Sn a1q (1q) S n a1 a n q（结论同上）S n a n环绕基本观点，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：S n a1a2a3a n＝ a1q(a1 a2 a3a n 1 )＝ a1qS n 1＝ a1q(S n a n )(1 q)S n a1a n q （结论同上）[ 解决问题 ]有了等比数列的前n 项和公式，就能够解决方才的问题。
《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计
《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计教学目标：1. 了解等比数列的概念和性质。
2. 掌握等比数列的通项公式。
3. 能够求解等比数列的前n项和。
教学难点：1. 等比数列的前n项和的计算方法的推导和应用2. 运用等比数列的前n项和解决实际问题教学准备：教师准备：教案、黑板、彩色粉笔、相关教学素材学生准备：纸和铅笔教学过程：一、导入新课（约5分钟）1. 引入等差数列的概念和性质，复习上节课的内容，并与本节课进行对比。
2. 提问：你们还记得等差数列的通项公式和前n项和的计算方法吗？通过复习，回顾等差数列的通项公式和前n项和的计算方法。
二、讲解等比数列的概念和性质（约10分钟）1. 定义等比数列：等比数列是指任意两项之间的比值相等的数列。
2. 等比数列的特点：相邻项之间的比值相等，比值称为公比，用q表示。
3. 等比数列的通项公式：对于等比数列an，有an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
4. 求解等比数列的前n项公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn为前n项和，a1为首项，q为公比，n为项数。
三、求解等比数列的前n项和（约20分钟）1. 讲解等比数列的前n项和的计算方法，推导出计算公式。
2. 指导学生进行练习，通过例题加深对计算方法的理解。
3. 指导学生应用公式计算特定问题，如求数列的前n项和等。
四、运用等比数列解决实际问题（约15分钟）1. 提供一个实际问题，如年利率为4%，存款每年翻一番，求10年后的本息和。
引导学生利用等比数列的前n项和计算方法解决问题。
2. 指导学生进行实际问题的练习。
五、归纳总结（约5分钟）1. 让学生总结等比数列的性质和应用方法。
2. 梳理教学内容，帮助学生理清知识点。
六、课堂小结（约5分钟）本堂课主要讲解了等比数列的概念、性质、通项公式以及前n项和的计算方法。
通过例题和实际问题的练习，帮助学生巩固了所学知识。
七、课后作业1. 完成课后习题，进一步巩固等比数列的知识。
人教A版高中数学必修五等比数列前n项和教案新(1)(1)
第一课时 2.5等比数列的前n 项和教学要求：探索并掌握等比数列的前n 项和的公式；结合等比数列的通项公式研究等比数列的各量；在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，能用有关知识解决相应问题。
教学重点：等比数列的前n 项和的公式及应用教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导过程。
教学过程：一、复习准备：提问： 等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差数列的前n 项和公式；二、讲授新课：1. 教学：思考：一个细胞每分钟就变成两个，那么经过一个小时，它会分裂成多少个细胞呢？分析：11,a =公比221q ==，因为11n n a a q -=，一个小时有60分钟 5959601125764607523a a q ===思考：那么经过一个小时，一共有多少个细胞呢？()1231n n s a a a a =+++()211121.........2n n s a a q a q a q -⋅=+++()2q =()2121.........3n n qs a q a q a q ⋅=++()()31-=()111n n q s a a q -=- 111(1)11n n n a a q a q s q q--==-- 又因为111n n n a q a q q a q -== 所以11n n a a q s q -=-，则602011212s -=-=1152921504 则一个小时一共有1152921504个细胞2. 练习：列1（解略）列2（解略）在等比数列{}n a 中：()1已知163,96,a a ==求6,q s ()2已知51,11,2q s =-=求15,a a 在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +==，则6s ？三、小结：等比数列的前n 项和公式四、作业：P66, 1题。
《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计
《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计第一课时教学设计一、教学目标1. 知识与技能：a. 了解等比数列的概念和性质；b. 学习如何计算等比数列的前n项和；c. 掌握等比数列前n项和的求解方法。
2. 过程与方法：通过课堂讲解、例题演练和学生互动讨论，引导学生掌握等比数列前n项和的计算方法，提高学生的数学思维能力和解题能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学知识的兴趣，激发学生学习数学的积极性，提高学生的数学学习成绩。
三、教学难点等比数列前n项和的计算方法。
四、教学方法1. 利用黑板、多媒体等教学工具进行讲解；2. 通过例题讲解及学生思维导向的提问，引导学生深入理解。
五、教学内容和学时安排教学内容：等比数列的前n项和学时安排：1课时六、教学过程1. 教师引入（5分钟）教师通过举例引入，让学生了解等比数列的定义和性质，引起学生对本节课的兴趣。
2. 理论知识讲解（15分钟）教师通过多媒体工具，向学生介绍等比数列的定义和性质，让学生明白等比数列是指一个数列中任意两个相邻的项的比都是一个常数，即公比。
接着，教师讲解等比数列的前n项和的计算方法，引导学生掌握公式的推导过程。
3. 例题演练（20分钟）教师以具体的例题进行讲解，带领学生掌握等比数列前n项和的计算方法，让学生在理解的基础上熟练运用。
4. 学生练习与互动（15分钟）教师设计一些与课程内容相关的练习题，让学生进行课堂练习，并相互交流讨论解题思路，提高学生的解题能力和数学思维能力。
5. 课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生需要在课后进行巩固和复习。
七、教学辅助1. 多媒体教学工具2. 黑板和彩色粉笔3. 练习题和解答八、教学反思本节课通过引入、讲解、演练和练习相结合的教学方法，使学生在理解等比数列前n 项和的基础上，掌握了计算方法。
教学中，老师要注重启发式提问，引导学生主动探究和思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
在课后，学生需要适当进行课外拓展和巩固练习，提高数学学习成绩。
人教A版高中数学必修5教案2.5等比数列的前n项和(1)
课堂小结：
1.等比数列求和公式：当q= 1时，
当 时， 或 ；
2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．
活动五：作业布置
1.阅读教ห้องสมุดไป่ตู้第57～58页；
2.课本61页“A”第1、2、3题．
板书设计：
教学后记：
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中
a1=5000, 于是得到
整理得 两边取对数,得 用计算器算得 (年).
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
例3．求数列 前n项的和。
例4：求求数列 的前n项的和。
练习：教材第58面练习第1题．
（三）等比数列的前n项和公式：
当 时， ①或 ②
当q=1时，
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知a1,q,n时用公式①；当已知a1,q,an时，用公式②.）
活动三：合作学习，探究新知（18分钟）
例1：求下列等比数列前8项的和．
（1） ， ， ，…（2）
解：由a1= ， 得
例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
3．｛ ｝成等比数列 =q（ ,q≠0） ≠0
4．性质：若m+n=p+q，
活动二：步入新知，师生交流（20分钟）
（一）提出问题：关于国际相棋起源问题
例如：怎样求数列1，2，4，…262，263的各项和？