等比数列前n项和-(公开课教案)

等比数列的前n 项和

命题分析：

1. 高考主要考查两种基本数列（等差与等比数列）、两种基本求和方法（裂项求和法、错

位相减法）、两类综合（与函数综合、与不等式综合），主要突出数学思想的应用。

2. 若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；

若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也会出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时要引起关注。

一、首先回忆一下基本内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：

｛n a ｝成等比数列 ?n

n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。

2. 等比数列的通项公式:

)0(111≠??=-q a q a a n n ， 1(0)n m n m a a q a q -=??≠

3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

4．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.

5．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?

6．判断等比数列的方法：定义法，等比中项法，通项公式法

如： 有一个数列满足135-?=n n a ，与公式)0(111≠??=-q a q a a n n 比较我们可以

判断出这个数列为等比数列且3,51==q a 。

二、 【趣味数学问题】

传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．

国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．

国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．

计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，

也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．

这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？

各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨?班?达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．

*动脑思考 探索新知

如何求数列1，2，4，…262，263的各项和

以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：

636264228421+++++= S ①

26463642216842+++++= S ②

由②—①可得：126464-=S

这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法

公式的推导方法二：

=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a

＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+

?q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）

公式的推导方法三：

当11(1)1,11n n n a a q a q q s q q

--≠==--时 当 11n q s na ==时， “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决

现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？ 国王承诺奖赏的麦粒数为

646419641(12)21 1.841012

S -==-≈?-， 据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1710g ，约合7360多亿吨．我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！(全世界目前的小麦总产量约为6亿吨)