热力学与统计物理重点

Ω不一定掌握，玻色 麦克斯韦 费米 玻尔兹曼 简答题 简单回答三个简答题相空间（μ空间的解释）如何描述微观粒子运动，用相空间的一个点描述，把物理问题转几何问题 谐振子计算 考一个计算吗 能量均分定理等概率原理（一个假设，系统的限制不能乱加孤立系统…） 玻尔兹曼分布导出能量均分：X^2贡献理想自由单原子气体 3个维度 ，N 个粒子再乘以N ，相关计算波色——爱因斯坦凝聚：（为何一定只有波色有：费米体系玻尔兹曼化学势不会小于0）TC 相变温度，凝聚点，：费米面费米面只有费米体系才有，泡利不相容原理，下面站满了，往上占，费米面就是化学势，是一个固定值。

布置的2维…（综合）一起；固体热容量爱因斯坦理论这一节的例题 所有。

n x 、n y 、n z 三个量子数描述...,2 ,1 ,0 ,2...,2 ,1 ,0 ,2... ,2 ,1 ,0 ,2±±==±±==±±==z z z y y y x x x n n c p n n b p n n a pπππ动量跟量子数之间一一对应的函数关系，如果利用q 和p 来描述粒子的运动状态，则一个状态对应于-空间中的一个体积，称为一个相格。

对于自由度为r 的自由粒子，该相格的大小为h r准静态过程：是一个非常缓慢的过程。

系统在过程中经历的每一个状态都可以dQdW dU ＋＝zy x z y x z y x dp dp dp hV dp dp dp L dn dn dn 332=⎪⎭⎫ ⎝⎛= π2222221222xm m p x A mp ωε+=+=看作平衡态。

* dW=Ydy 体积有dV 的变化时，外界对系统做的功为-PdV配分函数：热力学性质（内能、熵、自由能）玻尔兹曼 系统内能U,广义力Y,P=-Y ：Zy N NU ln Y lnZ ∂∂-=∂∂-=ββ熵:定域系统熵计算： ：不可分辨粒子熵计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⋅=ββZ N eZNk S ln ln 自由能为F=U-TS=。

理想气体的物态方程PV=nRT=Nk B T外界所作的功体现为：粒子分布不变，能级的改变； 所吸收的热量体现为：粒子能级不变，分布的改变。

简答：1、 什么是“最概然分布” 孤立系统: 这样的系统具有确定的粒子数N 、体积V 和总能量E 。

定域系:可以分辨非定域的玻色子:不可分辨，每个个体量子态上的粒子数目不受限制非定域的费米子:不可分辨，且服从Pauli 不相容原理，每个个体量子态只能有1个粒子 分布:给出的是在每个能级上的粒子数:能级： 123 。

，l ，。

简并度： 1 2 3 。

， l ，。

粒子数：12 3。

，l ，。

微观状态数：分布+(既要确定在每一个能级l上的是哪l个粒子)(定域)还要......),2 ,1 ,0( ; ;=∑∑==l E N lll l l εααΩ⋅=ln k S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⋅=ββZ Z Nk S ln ln ∑=-ιβειιωe Z Tk B 1=β确定每一个能级l上l个粒子占据l个量子态的方式。

与一个分布{l}相对应的微观状态数 如下：玻尔兹曼 费米：玻色等几率原理:对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观态出现的几率相等 微观状态数目最多的分布出现的概率最大。

这种分布称为最概然分布。

用取对数加斯特林公式ln(m!)=m(lnm-1)， ln =0，^2 ln <0引入Lagrange 乘子，玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布对于宏观系统，与最概然分布（玻尔兹曼分布）相对应的值非常陡，使其他分布的微观状态数目与之相比，几乎等于零。

因此，可以认为在平衡态下粒子玻色 费米2、 如何理解“经典极限条件” “经典极限分布” 经典极限或者非简并条件为(l《l)下，e >>1，玻色费米分布可忽略分子分母的+-1，在平衡态，近似为玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布。

在玻色和费米分布中，l个粒子占据能级l上l个量子态本来是关联的。

在经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数远远小于1，粒子之间的关联（粒子遵循的统计特性之间的差异）可以忽略。

但是，粒子的全同性仍然发挥影响：1/N!3、 什么是“能量均分定理”由能量均分定理给出自由电子气的定容热容量Cv 。

（粗略估计or 实在估计）能量均分定理：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个∏•∏=Ωl l ll B M lN αωα!!..∏-⋅-+=Ωll l l l E B )!1(!)!1(..ωααω∏-⋅=Ωl l l l l D F )!(!!..αωαω0 ;0=∑=∑==ll l ll E N δαεδδαδlel l βεαωα--=1-=+lel l βεαωα1+=+le ll βεαωα平方项的平均值为1/2kBT。

玻色、费米统计的应用五：金属中的自由电子气从图中看出，温度T下，同0K时相比，只有在费米能级附近的分布发生了改变。

所以：只有费米能级附近的电子对热容量有贡献。

粗略估计以下。

假设对热容量有贡献的电子数目为：利用能量均分定理，金属中自由电子对热容量的贡献为：系统的内能近似为：热容量近似为：4、什么是“玻色-爱因斯坦”凝聚“玻色-爱因斯坦”凝聚和一般原子在固（液）体中的凝聚有什么不同简并理想玻色气体的情况以及其在动量空间中的凝聚现象根据玻色分布，有：将，与化学势和温度T间的关系代入，有1-=+lellβεαωαkTkTμαβ-==;1≥⎫⎛-=lllμεωαNkTN eff⋅≈μFeffeV TTNkkTNkkNC⋅=≈≈232323μ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=22125153μπμkTNU()022μπkTNkTUCVeV⋅=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=()⎰+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=∞2/32/331exp24kTdmhVUμεεεπ处在任意能级上的粒子数目不能为负数：理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。

如果假设粒子的最低能级（基态）能量＝0，则有：<0，可以由右式求出：化学势为温度T 和粒子数密度n 的函数。

在粒子数密度n 不变的情况下，温度越低，化学势越高。

化学势随着温度的下降而上升。

当温度趋于某一临界温度T c 时，化学势将趋于零（假设基态能量＝0）。

由于玻色子在能级上的占据数目不受限制，因此在温度趋于绝对零度时，基态上的粒子数目将会很大。

因而不能忽略。

在T<Tc 时，有：在T<Tc 时激发态对粒子数密度的贡献n ：基态对离子数密度的贡献为：在T<Tc 时，玻色粒子将在基态（能级＝0）上凝聚。

其粒子数密度n 0与总的粒子数密度n 具有相同的量级。

这一现象称为玻色－爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein-Condensation)，温度T c 称为凝聚温度。

玻色爱因斯坦凝聚是指粒子在极低温的情况下的凝聚，温度接近绝对零度，此时粒子的能量最低（基态），粒子的状态相同。

而一般的原子凝聚（不知道你说的是真正意义上的凝聚还是只是凝固）只是宏观上的稳定态，其本质只不过如同水凝结成冰，温度不需要极低，而且粒子仍旧在运动，因此粒子有能量。

计算：推导爱因斯坦固体的熵；(P223 与(公式要推导 n 个粒子化为3n 个亚子（声子）、，假定振动频率都是w)对上述熵的计算结果的高温极限（T»T E ）和低温极限（T«T E ）情况作讨论。

线性谐振子。

以表示谐振子的频率，三个方向上 振子的能级为..., ,1 ,0 ,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n v ωε μεμε>⇒>-00l n VNkT V ll l==∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1exp 1μεω01exp 0=≈⇒≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-εμμεc kT ()()nkT d m h T n =⎰-+∞02/12/3301/exp 22)(εεεπ()()2/302/12/3301/exp 22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎰-=∞>c T T n kT d m h n εεεπε⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=>2/3001)(c T T n n n T n ε配分函数 带入能级得Einstein 特征温度E又 T>>E ,熵S=3NK （） *3代入Z ，S->∞ T<<E*3，代入Z ，S->0计算：假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n ，求温度为绝对零度时此二维电子气的费米温度(P188 +P248 (平均能量=总内能/总粒子) 温度为T 时，处在能量为的一个量子态上的平均电子数为：现在讨论温度T ＝0K 时的情况。

在T ＝0K 时，能量小于化学势的能级都被占据了；能量高于化学势的能级都空着。

根据泡里不相容原理，化学势是0K 时电子的最大能量。

0K 时的化学势 （0）可以由下式得到：二维是4Πa/h 2 md从0到μ（0）积分=N μ（0）=h^2/4πm(N/A)= h^2*n/4πm0K 时电子的最大动量，称为费米动量。

0K 时电子气的内能为： 费米温度:Cu 的费米温度T F 为T F=μ（0）/k= h^2*n/4πmk.∑=-ιβειιωe Z ωβωβωβ --∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=e e eZ n n 12021ωθ =E B k 1exp 1+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=kT f με⎩⎨⎧>=<=)0( 0)0( 1μεμεf f ()0μ=F kT ()()N d m h V =⎰⋅002/12/33 24μεεπTk B 1=β⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⋅=ββZ Z Nk S ln ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⋅=ββZ Z Nk S ln ln。