人教B版高中数学必修5-2.3参考课件1-等比数列
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2014-2015学年高一数学(人教B版必修5)课件2-3-1《等比数列的概念及通项公式》
A．90
B．100
C．145
D．190
[解析] 设公差为d，由题意得a22＝a1·a5， ∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， ∴S10＝10×1＋10×2 9×2＝100，故选B.
[答案] B
等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项， 则aa21＋＋aa43＋＋aa190＝________.
此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
易错疑难辨析
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝ 42，求a5、a7的等比中项．
[错解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得
a1＋a1q＋a1q2＝168 a1q－a1q4＝42
，
∴aa11q1＋1－q＋q3q＝2＝42168② ①
[解析] ∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)， ∴Sn＝2Sn－1＋n＋4(n≥2)， 两式相减，得an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2(n≥2)．
∵S2＝2S1＋6＝2a1＋6＝16， ∴a1＋a2＝16，∴a2＝16－a1＝11. ∴a2＋1＝12＝2(a1＋1)． ∴aan＋n＋1＋11＝2(n∈N*)． 又a1＋1＝6， 即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.
4．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则a6＝________.
[答案] 32
[解析] 设公比为q，则a4＝a1q3， ∴q3＝aa14＝81＝8，∴q＝2. ∴a6＝a1q5＝25＝32.
课堂典例讲练
8，求an.
等比数列的通项公式 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝
2017-2018学年高中数学人教B版必修5课件：2-3-1等比数
3 1 3 3
2
1
等比数列来解决问题. 当然,求数列的通项还有很多其他的方法,在求通项时,我们应尽 可能将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比) 数列的通项公式求其通项.
一
二
三
四
三、教材中的“?” 1.为什么q≠0?等比数列中的项有可能等于0吗? 剖析:因为等比数列的公比是后项与前项的商,其商不能为0,除数 也不可能为0,故q≠0,在等比数列中,各项都不会为0. 2.等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推 导等的通项公式的推导类似于等差数列,先采用归纳的方法猜想出通项 公式,然后利用迭乘的方法证明得an=a1qn-1.
用此公式时我们应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分 段式;另一种是“合二为一”,即a1和an(n≥2)合为一个表达式. 3.对于an+1=an+f(n)型或an+1=f(n)an型的数列,其中f(n)是等差数列 或等比数列,可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系 式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式.
一
二
三
四
4.有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变 形,构造出一个等差数列或等比数列,从而利用这个数列求其通项
公式,这叫做构造法.例如:在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2= an+1+ an, 我们在上式的两边减去 an+1,得 an+2-an+1=- (an+1-an),即可构造一个
2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1.其 中,a1,q均不为0. 名师点拨等比数列的通项公式an=a1qn-1的另外一种形式为 an=am· qn-m. 【做一做2】已知在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:由等比数列的通项公式,得a4=a1q3,即64=8×q3,所以q=2. 答案:A
2
1
等比数列来解决问题. 当然,求数列的通项还有很多其他的方法,在求通项时,我们应尽 可能将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比) 数列的通项公式求其通项.
一
二
三
四
三、教材中的“?” 1.为什么q≠0?等比数列中的项有可能等于0吗? 剖析:因为等比数列的公比是后项与前项的商,其商不能为0,除数 也不可能为0,故q≠0,在等比数列中,各项都不会为0. 2.等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推 导等的通项公式的推导类似于等差数列,先采用归纳的方法猜想出通项 公式,然后利用迭乘的方法证明得an=a1qn-1.
用此公式时我们应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分 段式;另一种是“合二为一”,即a1和an(n≥2)合为一个表达式. 3.对于an+1=an+f(n)型或an+1=f(n)an型的数列,其中f(n)是等差数列 或等比数列,可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系 式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式.
一
二
三
四
4.有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变 形,构造出一个等差数列或等比数列,从而利用这个数列求其通项
公式,这叫做构造法.例如:在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2= an+1+ an, 我们在上式的两边减去 an+1,得 an+2-an+1=- (an+1-an),即可构造一个
2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1.其 中,a1,q均不为0. 名师点拨等比数列的通项公式an=a1qn-1的另外一种形式为 an=am· qn-m. 【做一做2】已知在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:由等比数列的通项公式,得a4=a1q3,即64=8×q3,所以q=2. 答案:A
数学：2.3.1《等比数列》课件(1)(新人教B版必修5)
(n
n
1),
求证：
,
2
.......
3
n
成等比数列。
能力训练
已知数列 an 是正数等比数列，q=2,
a a a a a a a a 满足， 1
2
....
3
230 , 求
30
3g 6g 9...g
30
的值。
能力训练
1.已知数列 an 满足，a1 1,
a a a 2 1,求 的通项公式。
等比数列
学习目标
1.判断一个数列是否为等比数列. 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 3.体会等比数列与指数函数的关系.
等比数列的定义
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数）， 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的公比，公比通常用字母q（ q ≠０）表示。
an1 q或 an q n 2
an
an1
等比数列的通项公式
an q
an1
n2
an a1qn1
等比数列的性质 设an为公比为q的等比数列
1。从an中取出下标成等差的若干项
amk，am2k，am3k，L 仍成等比数列
2。m，n，p, q N且m n p q则aman apaq
例3。等比数列an中，a5 4，a7 6，求a9？
基础训练
Hale Waihona Puke 1.an 是等比数列,a a a 2 g (n k 0)
n
nk nk
是否成立.
2.已知 an ,bn ,是项数相同的等
比数列,求证: an •bn 是等比数列
已 3.知数列 an 满足，a1 1,
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
「精品」高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质同步课件 新人教B版必修5-精品资料
方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的 第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平 方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3， －9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.
2.3.1等比数列课件人教新课标B版
例3： 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18，求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是 a1 ，公比是 q ，那么
a1q2 12 ①
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
把③代入① ，得
a1
16 3
q3 2
a2
a1q
16 3
3 2
8
课堂互动
1．在等比数列{an}中， (1)若 a2＝4，a5＝－12，求 an； (2)若 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
②
1, 20, 202, 203, … ;
③
1.0198, 1.01982, 1.01983, … . ④
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比 都等于同一个常数．
等比数列概念
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项与它的前一项的 比 等于同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这 个常数叫做等比数列的公比（q,q≠0）。
解：设这种物质最初的质量是1，
经过n年，剩留量是an ， 由条件可得数列｛ an ｝是 一个等比数列。
a1=0.84，q=0.84， an=0.84n=0.5. 解得n=4.
答：这种物质的半衰期大约为4年.
例2：根据图中的框图， 写出所打印数列的前5项， 并建立数列的递推公式， 这个数列是等比数列吗？
视察这几个数列，看有何共同特点?
1.细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1, 2, 4, 8 , ….
2. 一尺之棰,日取其半,万世不竭. 如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那 么得到的数列是 1, ____,____,____, ….
3. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址薄，通过邮件进行传播.如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送 病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每 一台计算机都感染20台计算机，那么在不 重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计 算机数构成的数列是：
人教新课标版数学高二-人教B版必修5课件 等比数列(一)
2.3.1 等比数列(一)
4
[预习导引] 1.等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比 都等于_同__一__个__ 常数q(q≠，0) 那么这个数列叫做等比数列. 2.等比中项 如果三个数a、G、b组成等比数列，则G叫做a与b的 等比中项 .根 据定义得G2＝ab，G＝± ab，只有同号的两个数才有等比中项，等 比中项有两个，它们 互为相反数 这一点与等差数列不同.
2.3.1 等比数列(一)
14
规律方法 由等比中项的定义可知：Ga ＝Gb ⇒G2 ＝ ab⇒G ＝± ab.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两 项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，
则Ga ＝Gb，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数 列⇔G2＝ab(ab≠0).
32，所以n＝6.
2.3.1 等比数列(一)
28
12345
3.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7 等于( A )
A.64
B.81
C.128
D.243
解析 ∵{an}为等比数列，∴aa21＋＋aa32＝q＝2.又a1＋a2＝
3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.
2.3.1 等比数列(一)
2.3.1 等比数列(一)
17
要点三 等比数列的判定
例3 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
an＋1－n＋1＝3an－2n＋1＋3－n＋1＝3an－3n＝3(n＝1,2,3，…).
2019-2020学年高中人教B版数学必修五同步课件：第2章 数列 2.3 2.3.1 第一课时
(2018·吉 林 延 边 月 考 )下 列 命 题 中 正确的是( )
A．若 a，b，c 是等差数列，则 log2a，log2b，log2c 是等比 数列
B．若 a，b，c 是等比数列，则 log2a，log2b，log2c 是等差 数列
C．若 a，b，c 是等差数列，则 2a,2b,2c 是等比数列 D．若 a，b，c 是等比数列，则 2a,2b,2c 是等差数列
【知识点拨】 判断一个数列是否是等比数列的常用方法 是：
(1)定义法 aan＋n 1＝q(q 为常数且不为零)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法 an2＋1＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法 an＝a1qn－1(a1≠0 且 q≠0)⇔{an}为等比数列．
() A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由 an＝a1·qn－1，得13＝98×23n－1，
∴23n－1＝233，
∴n＝4，故选 C. 答案：C
4．(2018·江西赣州信丰期中)等比数列{an}中，an>0，a1＋
a2＝6，a3＝8，则 a6＝( )
A．64
B．128
C．256
D．512
解析：由题可得aa11＋q2＝a1q8＝ ，②6，① ①
∴②整理得 3q2－4q－4＝0，
∴q＝－23，q＝2， 又 an>0，∴q＝2，∴a1＝2， ∴a6＝a1q5＝64，故选 A. 答案：A.
5．已知实数 a，b，c 成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4 成 等比数列，且 a＋b＋c＝15，求 a，b，c.
解：由题意得
a＋b＋c＝15，① a＋c＝2b，② a＋1c＋4＝b＋12，③ 由①②两式，解得 b＝5. 将 c＝10－a 代入③，整理得 a2－13a＋22＝0， 解得 a＝2 或 a＝11. 故 a＝2，b＝5，c＝8 或 a＝11，b＝5，c＝－1， 经验证，上述两组数都符合题意．
人教B版必修5高二数学2.3.1等比数列教学课件
（2）这个数列中的任意一 项是它后面第 5 项的 1 10
（3）这个数列中任意两项的积仍然在这个数列中.
分析：这是等比数列定义与性质的应用.
n
证明：（1）因为
an1 an
10 5
n1
10 5
1
105 (常数) .
所以，这个数列是等比数列 .
n1
(2)
an an5
10 5
n4
10 5
10
n51
n4 5
•
an1
•
an2
0, n
N*)
{an }是等比数列
知识要点 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b 的等比中项.
如果G是a与b的等比中项，那么
G a
b G
，即
G2
ab
因此，G
ab
反过来，如果 a,b同号，G等于 ab
或 ab 那么G是 a,b的等比中项.
3. 结论：a，b同号，G2=ab是G是a，b的 等比中项的充要条件.
4.对称设法:三数为 a/q,a, aq
5.下标和公式: 等比数列{an}中,如果 m+n=r+s,(m,n,r,s ∈N*) 那么am.an=ar as .
6.. 当三个数成等比数列，并知其积时，可设
它们分别为
a q
,
a,
aq,
2(n 1) 2n1 2 2n 2 2n1 2n
4.已知数列 an 的前n项和为
Sn ,Sn
1 3 (an
1)(n N ).
（1）求 a1 , a2
（2）求证数列 an 是等比数列.
解：
人教新课标版数学高二B必修5课件等比数列(二)
d＝4， d＝－6.
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
明目标、知重点
方法二 设四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
由条件得2aqqa＋－aa＝＋1a2q＝16
a＝8 a＝3
明目标、知重点
跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数 成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四 个数. 解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
y2＝x18－y
则由题意得
，
218－y＝y＋21－x
明目标、知重点
x＝3， 解得
y＝6
或yx＝＝474455.，
故所求的四个数为 3,6,12,18 或745，445，247，94.
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成
等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数
与第三个数的和是12，求这四个数. a＋d2
解 方法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d， a ， 由条件得a－d＋a＋a d2＝16，
a＋a＋d＝12.
明目标、知重点
a＝4， a＝9，
解得
或
明目标、知重点
它是一个与n无关的常数， 所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列. 同理可证{can}(c为非零常数)也是等比数列.
明目标、知重点
反思与感悟 利用等比数列的定义aan＋n 1＝q(q≠0)是判定一 个数列是等比数列的基本方法.要判断一个数列不是等比数 列，举一组反例即可，例如 a22≠a1a3.
么数列{a1n}，{an·bn}，{bann}，{|an|}仍是等比数列，且公比分 别为q11，q1q2，qq21，|q1|；
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数学[RB·必修5]
教
学
教
法
分
析
2.3 等比数列
课
前
自 主
2．3.1 等比数列
导
学
第 1 课时 等比数列
课
堂
互
动
探
究
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 后 知 能 检 测
教 师 备 课 资 源
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数学[RB·必修5]
●三维目标 1．知识与技能 形成并掌握等比数列的概念，理解等比数列的通项公式． 2.过程与方法 培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法． 3.情感、态度与价值观 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣．
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数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn，n∈N＋.求 证：数列Snn为等比数列．
【解】 nS＋n＋11＝Snn＋＋a1n＋1＝Sn＋n＋n＋n12Sn＝2nn＋ n＋21Sn＝2×Snn，即 Sn＋1 n＋Sn1＝2，所以数列Snn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.
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等比中项
【问题导思】 观察上面的 4 个数列，每个数列中任意连续三项间有何关 系？ 【提示】 中间一项的平方等于它前一项与后一项之积． 如果在 x 与 y 中间插入一个数 G，使 x，G，y 成 等比数列 ， 那么 G 叫做 x，y 的等比中项，这三个数满足关系式 G2＝xy .
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数学[RB·必修5] ●重点难点 重点：等比数列的概念． 难点：等比数列通项公式的推导过程及应用．
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数学[RB·必修5]
课 1.理解等比数列的定义．(重点) 标 2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难 解 点) 读 3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
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数学[RB·必修5] 等比数列的定义 【问题导思】 观察下面几个数列： ①1,2,4,8,16，…；②1，12，14，18，116，… ③1，－1,1，－1,1，…；④12，－1,2，－4,8，…
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数学[RB·必修5] 等比数列的判断
已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列， 令 bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
【思路探究】 利用定义法来证明．
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数学[RB·必修5] 【自主解答】 依题意 an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是 bn＝123－n. 而bbn－n 1＝121234－ －nn＝12－1＝2.(n≥2) ∴数列{bn}是公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn＝2n－3.
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数学[RB·必修5] 等比数列的通项公式 【问题导思】 若数列{an}为等比数列、公比为 q，则 a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2， a4＝a3q＝a1q3……由此你可以得出什么结论呢？ 【提示】 an＝a1qn－1.
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等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则 (1)递推公式：aan－n 1＝q(n≥2)； (2)通项公式：an＝ a1qn－1 .
n
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等比数列的实际应用 某工厂 2013 年 1 月的生产总值为 a 万元，计划从
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1．上面几组数列是等差数列吗？为什么？ 【提示】 都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义． 2．如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎 样的共同特点？ 【提示】 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于同一个 非零常数．
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数学[RB·必修5] 如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一项的比都等 于 同一个常数 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等 比数列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示．
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1．a1 和 q 是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求 出这两个基本量，其余的量便可以得出．
2．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知 道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解 决．
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等比数列的通项公式及运算 在等比数列{an}中，
(1)若 a2＝4，a5＝－12，求 an； (2)若 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
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数学[RB·必修5] 【思路探究】 (1)由 a2＝4，a5＝－12能否建立 a1，q 的方程 组求出 a1，q？能否写出通项公式 an? (2)由已知条件能否求 a1，q？怎样求？怎样求 n? 【自主解答】 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，
在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a9； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. 【解】 (1)∵aa63＝＝aa11qq52＝＝294，3， ②
② ∴①得
q3＝27，
∴a9＝a6q3＝243×27＝6 561.
①
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(2)∵a1＝98，an＝13，q＝23， ∴13＝98·23n－1， ∴287＝23n－1， ∴n＝4.
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判断一个数列是等比数列的常用方法 1．定义法：aan＋n 1＝q(常数)(n∈N*)或aan－n 1＝q(常数)(n≥2)⇔{an} 为等比数列． 2．等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2 且 an≠0，n∈N*⇔{an}为等比 数列． 3．通项法：an＝a1qn－1(其中 a1、q 为非零常数，n∈N*)⇔{an} 为等比数列．
a2＝a1q＝4， (1)由题：a5＝a1q4＝－12， ∴q＝－12，a1＝－8， ∴an＝a1qn－1＝－8×－12n－1＝(－2)4－n.
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(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q， 即 9＝18q，∴q＝12， 由 a1q＋a1q4＝18 得 a1＝32， 由 an＝a1qn－1＝1 知 n＝6.
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2.3 等比数列
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前
自 主
2．3.1 等比数列
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第 1 课时 等比数列
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究
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 后 知 能 检 测
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●三维目标 1．知识与技能 形成并掌握等比数列的概念，理解等比数列的通项公式． 2.过程与方法 培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法． 3.情感、态度与价值观 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣．
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数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn，n∈N＋.求 证：数列Snn为等比数列．
【解】 nS＋n＋11＝Snn＋＋a1n＋1＝Sn＋n＋n＋n12Sn＝2nn＋ n＋21Sn＝2×Snn，即 Sn＋1 n＋Sn1＝2，所以数列Snn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.
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等比中项
【问题导思】 观察上面的 4 个数列，每个数列中任意连续三项间有何关 系？ 【提示】 中间一项的平方等于它前一项与后一项之积． 如果在 x 与 y 中间插入一个数 G，使 x，G，y 成 等比数列 ， 那么 G 叫做 x，y 的等比中项，这三个数满足关系式 G2＝xy .
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数学[RB·必修5] ●重点难点 重点：等比数列的概念． 难点：等比数列通项公式的推导过程及应用．
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课 1.理解等比数列的定义．(重点) 标 2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难 解 点) 读 3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
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数学[RB·必修5] 等比数列的定义 【问题导思】 观察下面几个数列： ①1,2,4,8,16，…；②1，12，14，18，116，… ③1，－1,1，－1,1，…；④12，－1,2，－4,8，…
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数学[RB·必修5] 等比数列的判断
已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列， 令 bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
【思路探究】 利用定义法来证明．
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数学[RB·必修5] 【自主解答】 依题意 an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是 bn＝123－n. 而bbn－n 1＝121234－ －nn＝12－1＝2.(n≥2) ∴数列{bn}是公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn＝2n－3.
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数学[RB·必修5] 等比数列的通项公式 【问题导思】 若数列{an}为等比数列、公比为 q，则 a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2， a4＝a3q＝a1q3……由此你可以得出什么结论呢？ 【提示】 an＝a1qn－1.
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等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则 (1)递推公式：aan－n 1＝q(n≥2)； (2)通项公式：an＝ a1qn－1 .
n
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等比数列的实际应用 某工厂 2013 年 1 月的生产总值为 a 万元，计划从
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1．上面几组数列是等差数列吗？为什么？ 【提示】 都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义． 2．如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎 样的共同特点？ 【提示】 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于同一个 非零常数．
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数学[RB·必修5] 如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一项的比都等 于 同一个常数 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等 比数列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示．
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1．a1 和 q 是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求 出这两个基本量，其余的量便可以得出．
2．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知 道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解 决．
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等比数列的通项公式及运算 在等比数列{an}中，
(1)若 a2＝4，a5＝－12，求 an； (2)若 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
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数学[RB·必修5] 【思路探究】 (1)由 a2＝4，a5＝－12能否建立 a1，q 的方程 组求出 a1，q？能否写出通项公式 an? (2)由已知条件能否求 a1，q？怎样求？怎样求 n? 【自主解答】 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，
在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a9； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. 【解】 (1)∵aa63＝＝aa11qq52＝＝294，3， ②
② ∴①得
q3＝27，
∴a9＝a6q3＝243×27＝6 561.
①
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(2)∵a1＝98，an＝13，q＝23， ∴13＝98·23n－1， ∴287＝23n－1， ∴n＝4.
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判断一个数列是等比数列的常用方法 1．定义法：aan＋n 1＝q(常数)(n∈N*)或aan－n 1＝q(常数)(n≥2)⇔{an} 为等比数列． 2．等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2 且 an≠0，n∈N*⇔{an}为等比 数列． 3．通项法：an＝a1qn－1(其中 a1、q 为非零常数，n∈N*)⇔{an} 为等比数列．
a2＝a1q＝4， (1)由题：a5＝a1q4＝－12， ∴q＝－12，a1＝－8， ∴an＝a1qn－1＝－8×－12n－1＝(－2)4－n.
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(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q， 即 9＝18q，∴q＝12， 由 a1q＋a1q4＝18 得 a1＝32， 由 an＝a1qn－1＝1 知 n＝6.