2019-2020学年度最新高三数学一轮复习第26讲空间中的垂直关系教案
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计前言垂直关系是高中数学中的一个重要概念，对应的性质也是非常关键的。
学生对此的理解和把握，对于后续的数学学习同样意义重大。
因此，我们需要针对垂直关系的性质，制定科学合理的教学方案，以帮助学生更好地学习和掌握该知识点。
教学目标1.理解垂直关系的定义和性质2.掌握垂直关系性质的证明方法3.训练学生熟练应用垂直关系性质解题的能力教学过程1. 导入垂直关系性质的教学，可以通过以下问题来引入：•如何确定两条直线是否垂直？•如何确定一个向量的垂直向量？•垂线段的性质是什么？通过这些问题，可以帮助学生加深对垂直关系的认识，为后续学习做好准备。
2. 学习2.1 垂直关系的定义讲授垂直关系的定义和符号表示，由简单到复杂，帮助学生建立直观的概念。
2.2 垂直关系的性质让学生通过大量的实例探究垂直关系性质，尤其是：•一条直线与平面上一点垂直，则过该点的所有直线都与该直线垂直。
•如果两条直线相互垂直，则它们的方向向量垂直。
在讲解性质的过程中，要结合具体的实例进行讲解，以便学生更好地理解。
2.3 垂直关系的证明介绍垂直关系性质的证明方法，让学生通过严密的证明步骤，了解性质背后的原因和内在联系。
3. 实践3.1 课堂练习通过设计一些小组互动、小组对抗等活动形式，让学生在课堂上进行练习，巩固知识点，提高应用能力。
3.2 作业布置相关的练习和题目，以调动学生的自主学习积极性，培养学生的自主学习能力。
4. 总结对课程的内容进行总结，让学生通过回顾所学内容，进行知识结构的梳理和信息的整合。
教学方法通过探究式的学习方法，让学生在教师引导下，通过自己动手实践、研究，掌握垂直关系的相关知识和技能。
教学评价通过检查课堂互动情况和学生完成作业效果，在教师、同学和自评的基础上，进行教学评价和反思。
结语垂直关系是高中数学中至关重要的知识点，教师通过科学的教学方案，可以为学生的数学学习奠定良好的基础。
高考数学一轮复习 第八章立体几何8.5空间中的垂直关系
8.5 空间中的垂直关系考纲要求1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：如果一条直线AB和一个平面(α)相交于点(O)，并且和这个平面内过交点(O)的________直线都垂直，我们就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作______，直线AB叫做平面(α)的______，平面α叫做直线l的______．(2)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的____________垂直，则这条直线与这个平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，__________⇒l⊥α.(3)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．推论2：如果两条直线垂直于__________，那么这两条直线平行．符号表示：a⊥α，b ⊥α⇒a∥b；其作用：证明____平行与作平行线．(4)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直．2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条______，则两个平面互相垂直．符号表示：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.(3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于__________的直线垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a ⊥β.其作用：证明线面垂直与作面的垂线．1．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．(2012北京模拟)已知如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )．A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD3．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．4．在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.一、直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.方法提炼证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理；(2)利用面面垂直的性质定理；(3)利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(4)利用结论：a⊥α，α∥β⇒a⊥β.请做演练巩固提升1,3二、平面与平面垂直的判定与性质【例2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比．方法提炼1．证明平面与平面垂直，主要方法是判定定理，通过证明线面垂直来实现，从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决．2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，其中线线垂直是最基本的，在转化过程中起穿针引线的作用，线面垂直是纽带，可以把线线垂直与面面垂直联系起来．请做演练巩固提升2要善于挖掘图形中存在的关系及添加辅助线【典例】 (12分)(2012课标全国高考)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 规范解答：(1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2分)又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°， 所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .(4分) 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(6分) (2)设棱锥B DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12.(8分)又三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V ＝1，(10分) 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.(12分)答题指导：解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面； (2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；(3)不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力．另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达．1．已知α，β为不重合的两个平面，直线m ⊂α，那么“m ⊥β”是“α⊥β”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．下列命题中错误的是( )．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.4．(2012北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.图1 图2(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)任何l⊥α垂线垂面(2)两条相交直线l⊥a，l⊥b(3)同一个平面线线2．(2)垂线(3)它们交线基础自测1．B2．D 解析：A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.3．①②解析：③中l∥α也满足；④中α与β可能相交．4．证明：连接A1E，EC，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2.设AD＝x，则BD＝22－x，∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(22－x)2，A1E2＝(22)2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝ 2.∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.考点探究突破【例1】证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.①又由∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，得PA＝AC.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD.∴AE⊥PD.②由①②，得PD⊥平面ABE.【例2】 (1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，得PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G ，F 分别为PB ，PC 的中点， 所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)解：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2，所以V P ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，V P MAB ＝13×12×1×2×2＝23，所以V P MAB ∶V P ABCD ＝1∶4. 演练巩固提升1．A 解析：根据面面垂直的判定定理可知若m ⊂α，m ⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立．2．D 解析：对于命题A ，在平面α内存在直线l 平行于平面α与平面β的交线，则l 平行于平面β，故命题A 正确．对于命题B ，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B 正确．对于命题C ，设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，在平面γ内取一点P 不在l 上，过P 作直线a ，b ，使a ⊥m ，b ⊥n .∵γ⊥α，a ⊥m ，则a ⊥α，∴a ⊥l ，同理有b ⊥l .又a ∩b ＝P ，a ⊂γ，b ⊂γ， ∴l ⊥γ.故命题C 正确．对于命题D ，设α∩β＝l ，则l ⊂α，但l ⊂β. 故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D 错误． 3．证明：(1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， 所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形， 所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.4．解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP. 所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。
高考数学一轮复习7.5空间中的垂直关系精品课件理新人教A版
能否在棱PC上找到一点F，
使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
（1）证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为 AD的中点，∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD.
（2）证明：连结PG.因为△PAD为正三角形，G为AD 的中点，得PG⊥AD.
∴EC⊥BN.
又∵BN⊥AC，BN⊥EC，AC∩EC=C,
∴BN⊥面ECA.
又BN⊂ BMD，∴平面BMD⊥平面ACE.
(2)∵DM∥BN，BN⊥平面ACE, ∴DM⊥平面ACE.
又DM⊂ DEA，∴平面DEA⊥平面ACE.
【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另 一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直， 一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线， 则借助中点、高线与添加辅助线解决.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角 是 直角 ；一条直线和平面平行,或在平面内，我们 说它们所成的角是 0° 的角.
二、平面与平面垂直
1.二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内 分别作垂直于棱的两条射线 ，这两条射线所成的角 叫二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.
＊对应演练＊
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是
∠DAB=60°,且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
P
（1）若G为AD边的中点，
求证：BG⊥平面PAD；
F
（2）求证：AD⊥PB;
A
D G
（3）求二面角A—BC—P的大小；
高考数学一轮复习人教A版空间中的垂直关系名师公开课省级获奖课件
7
高中新课标总复习
理 数
3.(2014· 广东)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4， 满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( D ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
8
高中新课标总复习
理 数
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高中新课标总复习
(3)因为 AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 所以三棱锥 EABC 的体积 1 1 1 3 V＝3S△ABC· AA1＝3×2× 3×1×2＝ 3 .
理 数
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高中新课标总复习
理 数
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高中新课标总复习
高考中的垂直问题
理 数
1 1 则 MN⊥平面 BCD，且 MN＝2AB＝2.
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高中新课标总复习
1 又 CD⊥BD，BD＝CD＝1，所以 S△BCD＝2. 所以三棱锥 AMBC 的体积 VAMBC＝VABCD－VMBCD 1 1 ＝3AB· S△BCD－3MN· S△BCD 1 ＝12.
理 数
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高中新课标总复习
理 数
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高中新课标总复习
理 数
三
垂直的综合应用
【例 3】 如图，六面体 ABCDE 中，面 DBC⊥面 ABC，AE
⊥面 ABC. (1)求证：AE∥面 DBC； (2)若 AB⊥BC，BD⊥CD， 求证：AD⊥DC.
31
高中新课标总复习
证明：(1)过点 D 作 DO⊥BC，O 为垂足． 因为面 DBC⊥面 ABC， 又面 DBC∩面 ABC＝BC，DO⊂面 DBC， 所以 DO⊥面 ABC. 又 AE⊥面 ABC，则 AE∥DO. 又 AE⊄面 DBC，DO⊂面 DBC，故 AE∥面 DBC.
高三数学一轮复习空间中的垂直关系教案
空间中的垂直关系教学过程1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：,,PO OPA A a AOa a APαααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l与平面α垂直记作：l⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
典例解析题型1：线线垂直问题aPαOA例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。
证明：如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。
在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF。
(人教A版)高考数学一轮复习精品学案：空间中的垂直关系
2019年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）空间中的垂直关系一．【课标要求】以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二．【命题走向】近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。
在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。
预测2019年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。
（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点. 三．【要点精讲】1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直.推式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a. 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理. ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
空间中的垂直关系(教学案)
高三数学一轮复习空间中的垂直关系【复习目标】1、能通过动手实践、简图或利用长方体等恰当的平台来判断关于空间线线、线面、面面关系命题的真假性；2、有明确的目标意识，根据目标分析论证思路，并熟练运用线线、线面、面面间垂直关系的判定定理及性质定理严谨证明目标，规范书写.【重点】性质定理及判定定理的应用【难点】性质定理及判定定理的应用【知识回顾】：1.直线与平面垂直（1）判定方法①判定定理：，，，，⇒；②性质定理：，⇒2..平面与平面垂直：（1）判定方法①定义法：即证是直二面角②判定定理：，⇒；（2）性质定理：，，，⇒【基础自测】1.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)．2.设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：(1)若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；(2)若m ⊥α，n∥m，则n⊥α；(3)若n∥α，m⊂α，则n∥m；(4)若m∥α，n∥α，则m∥n.其中真命题是________(填序号)．3.给出下列命题：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号为________．4.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：(1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是________(填序号)．5.如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．【例题分析】 例1．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱C 1D 1的中点，F 为棱BC 的中点．(1)求证：AE ⊥DA 1；(2)在线段AA 1上求一点G ，使得直线AE ⊥平面DFG .例2. 如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .（1）请在木块的上底面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；（2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形11BB D D 是矩形，试证明：平面BDEF ^平面11AC CA .1例3. 在三棱锥P －ABC 中，D 为AB 的中点．（1）与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置，并说明理由； （2）若PA=PB ，且△PCD 为锐角三角形，又平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC ．例4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点． （1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长．ACB MNC 1B 1A 1PACD例5. 如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证：（1）直线//FM 平面1A EB ；（2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．ＡＢＣＥＦ图①ＢＣＥＦ Ｍ1A图②。
(新课标)高三数学一轮复习 第7篇 空间中的垂直关系学案 理
b βα第四十三课时 空间中的垂直关系课前预习案以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.1.两条直线垂直（1）定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.（2）判定：<1>平面几何中的重要结论：①等腰三角形ABC 中，D 为BC 的中点，则 ； ②若四边形ABCD 为菱形，则 ； ③已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，则有 ； ④已知MN 为圆O 的一条弦，P 为MN 的中点， 则有 .<2>若//a b ，b c ⊥，则 .<3>线面垂直的性质：若a α⊥，α⊂b ，则 . 2.直线和平面垂直（1）定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和 ，我们就说这条直线和这个平面垂直，记作 ，直线叫做平面的 ，平面叫做直线的 ，交点叫做垂足. （2）判定：<1>线面垂直的判定定理： 如图（1）<2>线面垂直判定定理的推论:如图（2）<3>面面平行的性质：如图（3）<4>面面垂直的性质：如图（4）3.面面垂直两个平面垂直的判定定理： .C1 ．（2013广东高考）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂ ,n β⊂ ,则m n ⊥ B.若//αβ,m α⊂ ,n β⊂ ,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂ ,n β⊂ ,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β ,则αβ⊥ 2 ．（2013新课标Ⅱ高考）已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l课堂探究案考点1：线线垂直问题【典例1】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =. 点D 是AB 的中点， （1）求证：1AC BC ⊥； （2）求证：1//AC 面1CDB .考点2 线面垂直问题【典例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 是菱形，其中2AB =,60BAD ∠=.（1）求证:BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求四棱锥P ABCD -的体积.DCBAP【变式1】已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥. 求证：AD ⊥面SBC ．考点3 面面垂直问题【典例3】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==，2AB =，120PAB ∠=，90PBC ∠=.（1）求证：平面PAD ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.【变式2】如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）求证：平面PDC ⊥平面PDA ；（2）求几何体P ABCD -被平面ACE 分得的两部分的体积比ACDE V ：.PABCE V1.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面三个结论： ①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥.其中正确的个数为：（ ）A ．0个B ．1个C ． 2个D ． 3个2.已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则n 应满足的条件是3. 如图，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，ABC ∆内接于圆O ，且AB 为圆O 的直径，现有以下命题： ①BC PC ⊥；②平面⊥PAC 平面PBC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中真命题的序号为 。
空间中的垂直关系教案
空间中的垂直关系教案一、教学目标1. 让学生理解垂直关系的概念，能够识别和描述物体之间的垂直关系。
2. 培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手能力和合作意识。
二、教学内容1. 垂直关系的定义及识别2. 垂直关系的应用3. 实际问题解决三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生能够识别和描述物体之间的垂直关系，运用垂直关系解决实际问题。
2. 教学难点：培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。
四、教学方法1. 采用观察、讨论、实践、解决问题的教学方法。
2. 利用教具、模型等辅助教学。
五、教学准备1. 教具：垂直关系模型、实物图片等。
2. 学具：学生用书、练习本、画笔等。
六、教学过程1. 导入新课：通过展示实际生活中的垂直关系实例，引导学生发现和关注垂直关系。
2. 教学新课：讲解垂直关系的定义，让学生观察和描述实例中的垂直关系。
3. 实践操作：学生分组讨论，运用教具模型演示垂直关系，并互相评价。
4. 解决问题：引导学生运用垂直关系解决实际问题，如计算物体的高度、距离等。
5. 巩固拓展：出示不同类型的题目，让学生独立完成，提高运用垂直关系解决问题的能力。
七、课堂小结八、课后作业1. 完成学生用书上的练习题。
2. 观察生活中的垂直关系，拍照或绘图，下节课分享。
九、教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况调整教学策略。
十、章节测试设计一份章节测试题，检测学生对空间中垂直关系的掌握程度。
六、教学内容与活动1. 活动一：探索垂直关系的性质目的：让学生通过实践探索垂直关系的性质。
过程：学生分组，每组使用不同的材料（如直尺、三角板、绳子等）来构建垂直关系，并记录观察到的性质。
反馈：小组之间分享观察结果，讨论垂直关系的共同特点。
2. 活动二：垂直关系的应用游戏目的：培养学生将垂直关系应用于实际情境中。
过程：设计一个游戏，要求学生在游戏中识别和利用垂直关系，如在建筑游戏中使用垂直关系来构建稳定的结构。
高三数学第一轮复习 第7编 5空间中的垂直关系课件 新人教B版
AD 2AD 4
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为 2 .
4
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(3)∵DE∥BC,又由（1）知，BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE 平面PAC,PE 平面PAC,
∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角.
1.空间任意两条直线互相垂直的一般定义 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点， 并且交角为直角 ，则称这两条直线互相垂直.
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2.直线与平面垂直
（1）空间直线与平面垂直的定义
如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O， 并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直 ， 我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记 作 AB⊥α ，这条直线叫做平面的垂线，这个平面 叫做直线的垂面，交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂 足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段.
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证明：
} AP⊥平面ABC⇒ AP⊥BC
BC⊥AC
BC⊥面APC
⇒AF⊂面APC
AP∩CA=A
AF⊥PC
⇒ BC⊥AF
} AE⊥PB ⇒ AF⊥面PBC ⇒ AF⊥PB
}⇒
BC∩PC=C
AF∩AE=A
PB⊥面AEF.
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考点3 面面垂直
［2009年高考山东卷］如图7-5-6，在直四棱柱ABCD
—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰 梯形，图AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,
AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点. （1）设F是棱AB的中点，证明：
直线EE1∥平面FCC1; （2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
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面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替
定义：如果一条直线l和一个平面
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
叫做平面的垂线，平面
的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的
平面ACC
平面CDE。
平面
平面
C
CE
EC
EC
MN
平面
平面
B BB
作与
、，求证：、分别是点
为点在直线
为点在直线
是侧棱，使直线
，D
PC＝。
时，直线AP与平面
平面ACC
平面DBC平面DBC
是边长为的正三角形
、，连结
为
、、、
、分别是边、分别是边。