江西吉安一中12-13学年高一下第二次段考试题-数学.

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江西省吉安一中2013-2014学年高一下学期第一次段考数学试题 Word版含答案

江西省吉安一中2013-2014学年高一下学期第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1. 在△ABC 中，,,1046A B a ππ===，则b ＝（）A.B.C.D. 2. 已知等比数列{}n a 满足：2512,4a a ==，则公比q 为（） A. 12-B.12C. －2D. 23. 《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布。

（不作近似计算）（）A.12B.815C.1629D.16314. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知321510,9S a a a =+=，则1a ＝（） A. 13-B.13C. 19-D.195. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则△ABC 的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定6. 由正数组成的等比数列{}n a 满足：489a a =，则57,a a 的等比中项为（） A. ±3B. 3C. ±9D. 97. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为（）A. 16πB.493πC.473πD. 15π8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =（） A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1n m n m nm n mb a a a-+-+-+=+++，n c =(1)1m n a -+·(1)2(1)(,)m n m n m a a m n N -+-++⋅⋅∈，则以下结论一定正确的是（）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为mq B. 数列{}n b 为等比数列，公比为2mqC. 数列{}n c 为等比数列，公比为mm q D. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m q10. 设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA的取值范围是（）A. (0,)+∞B. 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年江西省吉安市高一下学期7月期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省吉安市高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．下列四个选项中与405︒终边相同的角为（）．A ．5︒B ．45︒C ．105︒D ．215︒【答案】B【分析】根据405︒对应最小正角所在象限，结合各项角的度数判断是否终边相同即可.【详解】由40536045︒=︒+︒为第一象限角，显然只有45︒与已知角终边相同.故选：B2．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为（）A ．1B ．2C ．π3D ．π6【答案】C【分析】如图所示，根据弦长得到OAB 为等边三角形，得到答案.【详解】根据题意：作出如下图形，AB OA OB r ===，则OAB 为等边三角形，故π3BOA ∠=.故选：C.3．sin105sin15cos105cos15︒︒-︒︒的值为（）A ．32B ．12C ．0D ．12-【答案】B【分析】利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值.【详解】sin105sin15cos105cos15(cos105cos15sin105sin15)︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒1cos(105+15)cos120cos(18060)cos 602=-︒︒=-︒=-︒-︒=︒=.故选：B4．已知向量,a b 是两个非零向量，,AO BO 分别是与,a b同方向的单位向量，则以下各式正确的是（）A ．AO BO= B ．AO BO = 或AO OB =C ．AO OB =D ．AO 与BO的长度相等【答案】D【分析】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答.【详解】依题意，0,0a b ≠≠r r r r，显然向量,a b 的关系不确定，而AO 与a 同方向，BO 与b 同方向，因此AO 与BO关系不确定，A ，B ，C 都错误，又,AO BO 都是单位向量，所以AO 与BO的长度相等，D 正确.故选：D5．如果两条直线a 与b 有公共点，那么a 与b （）A ．平行B ．是异面直线C ．共面D ．垂直【答案】C【分析】根据平面的基本性质，即可求解.【详解】由两条直线a 与b 有公共点，可得两直线为相交直线，根据平面的性质，可得两直线,a b 在同一个平面内.故选：C.6．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为BD 和AC 的中点，那么（）A ．1122EF AB DC=+ B ．1122EF AB DC=-C ．1122EF AB DC=-+D ．1122EF AB DC=--【答案】C【分析】根据向量加法的几何意义，结合图形的几何特征即可求解.【详解】因为1122FE FA AB BE CA BD AB=++=++1111()()2222CD DA BC CD AB DA BC CD AB =++++=+++又0DA AB BC CD +++= ，所以11111()22222FE AB CD CD AB AB CD AB DC =--++=+=- ，即1122EF AB DC=-+故选：C7．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，PA=4，E 为侧棱PC 的中点，则异面直线BE 与PA 所成角的正切值为（）A ．24B ．2C ．1D ．22【答案】D【分析】根据线线平行即可得∠BEO 为异面直线BE 与PA 所成的角，由三角形的边角关系即可求解.【详解】连接AC ，BD ，设AC ∩BD=O ，则O 是AC ，BD 的中点，连接OE ，由于E 是PC 的中点，所以//OE PA ，则∠BEO 为异面直线BE 与PA 所成的角，OE=12PA=2，BO=2，由于PA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ，而OB ⊂平面ABCD ,所以OE OB ⊥，则2tan 2BO BEO EO ∠==.故选：D8．已知()π=cos()6f x x ω+在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4ω，则ω的解有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】分类讨论0ω=，0ω>和0ω<三种情况，结合余弦函数的图像和性质，进一步缩小ω的范围，再利用复合函数的单调性与零点存在定理，以及数形结合即可得解.【详解】当0ω=时，()π3=cos62f x =，而04ω=，显然不满足题意；当0ω>时，因为π03x ≤≤，所以ππππ6636x ωω≤+≤+，要使()π=cos()6f x x ω+在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为04ω>，则有πππ3623042ωω⎧+<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，所以01ω<<，此时()π=cos()6f x x ω+在π3x =处取得最小值4ω，即ππcos()364ωω+=，令ππ()cos()(01)364h ωωωω=+-<<，因为ππππ6362ω<+<，所以ππcos()36y ω=+在()0,1上单调递减，又4y ω=-在()0,1上单调递减，所以函数()h ω在()0,1上单调递减，又因为31(0)0,(1)024h h =>=-<，由函数零点存在性定理可知，此时函数()h ω有唯一的零点，也即当0ω>，函数()π=cos()6f x x ω+在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4ω时，则ω的解只有一个；当0ω<时，因为π03x ≤≤，所以ππππ3666x ωω+≤+≤，要使()π=cos()6f x x ω+在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为04ω<，则有πππ362104ωω⎧+<-⎪⎪⎨⎪-≤<⎪⎩，解得42ω-≤<-，当742ω-≤≤-时，则πππ36ω+≤-，结合余弦函数的图象可知，函数()π=cos()6f x x ω+在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为14ω=-，解得4ω=-，满足题意；当722ω-<<-时，则ππππ362ω-<+<-，此时()π=cos()6f x x ω+在π3x =处取得最小值4ω，即ππcos()364ωω+=，从而将问题转化为ππ()cos()23762g x x x ⎪-<<-⎛⎫=+ ⎝⎭与4x y =的图像有多少个交点，因为ππππ362ω-<+<-，所以ππ()cos()36g x x =+在7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，又()77cos π1284x g ⎛⎫-=-=-<-= ⎪⎝⎭，()π12cos 0224x g ⎛⎫-=-=>-= ⎪⎝⎭，则ππ()cos()23762g x x x ⎪-<<-⎛⎫=+ ⎝⎭与4x y =的大致图像如下，所以ππ()cos()23762g x x x ⎪-<<-⎛⎫=+ ⎝⎭与4x y =的图像有唯一交点，即当722ω-<<-，函数()π=cos()6f x x ω+在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4ω时，则ω的解只有一个；综上可知，ω的解有3个，故选：C.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分类讨论0ω>和0ω<时，要结合余弦函数的性质进一步缩小ω的范围，同时将问题转化为ππcos()364ωω+=的零点个数问题，由此得解.二、多选题9．关于复数，给出下列命题正确的是（）A ．33i >B ．()2164i >C ．2i 1i +>+D ．23i 2i +>+.【答案】BD【分析】利用复数的意义判断AC ；利用复数的乘方计算判断B ；计算复数的模判断D 作答.【详解】不全是实数的两个复数不能比较大小，AC 错误；因为2(4i)16=-，因此()2164i >，B 正确；因为222223i 2313,2i 215+=+=+=+=，因此23i 2i +>+，D 正确.故选：BD10．已知函数()3sin cos f x x x =+，则（）A ．()f x 的最大值为3B ．()f x 的最小正周期为2πC ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．π6f x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称【答案】BCD【分析】先利用辅助角公式对函数化简变形，然后逐个分析判断即可.【详解】()31π3sin cos 2sin cos 2sin 226f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，当πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2，所以A 错误，对于B ，()f x 的最小正周期为2π，所以B 正确，对于C ，ππππ2sin 2sin 2cos 3362f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x ∈R ，令π()2cos 3g x f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()2cos()2cos ()g x x x g x -=-==，所以π()2cos 3g x f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，所以C 正确，对于D ，ππ2sin 2π6sin 66x x x f ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，因为2sin y x =的图象关于原点对称，所以π6f x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，所以D 正确，故选：BCD11．设点O 是ABC 的外心，且CO CA CB λμ=+（λ，R μ∈），则下列命题为真命题的是（）A ．若1λμ+=，则π2C =B ．若//OA OB，则221λμ+=C ．若ABC 是正三角形，则23λμ+=D ．若1λμ+>，()4,1AB -=，()2,8CO = ，则四边形AOBC 的面积是17【答案】ACD【分析】分别根据平面向量三点共线定理及三角形外心的性质判断即可求解.【详解】对选项A ：因为1λμ+=，则A ，O ，B 三点共线，且点O 是ABC 的外心，所以OA OB OC ==，所以O 为AB 中点，所以ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，故A 正确；对选项B ：因为//OA OB，则A ，O ，B 三点共线，易知ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，且O 为AB 的中点，则12λμ==，2212λμ+=，故B错；对选项C ：因为ABC 是正三角形，则O 也是ABC 的重心，故()21113233CO CA CB CA CB =⨯+=+ ，则23λμ+=，故C 对；对选项D ：因为1λμ+>，故O 在ABC 外，又42180CO AB ⋅=-⨯+⨯=，所以CO AB ⊥，又2228217CO =+= ，()224117AB =-+= ，则1172AOBCS CO AB =⨯=，故D 对.故选：ACD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别处线段AB 、11A D 的中点，则（）A ．1EF CD ⊥B ．直线EF 与1BC 所成的角为60︒C ．直线EF 与平面1ABC 所成的角的正弦值为36D ．直线1B D 与平面11A BC 的交点是11A BC V 的重心【答案】CD【分析】对于AB ，利用平行线的证明判断得EF 与1CD ，EF 与1BC 的所成角，从而得以判断；对于C ，利用线面角的定义，求得F 到平面11ABC D 的距离，从而求得所求角的正弦值，由此得以判断；对于D ，利用正三棱锥111B A BC -的性质，将问题转化为证1B D ⊥面11A BC ，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证.【详解】对于A ，记CD 的中点为G ，连接EG ，AC 交于O ，连接1D O ，1AD ，易得O 同时是EG 与AC 的中点，1//,2EO AD EO AD =，在正方体1111ABCD A B C D -中，111//,2FD AD FD AD =，所以11//,EO FD EO FD =，所以四边形1FD OE 是平行四边形，则1//EF D O ，不妨设2AB =，则在1ACD △，易得1122AD AC CD ===，则1ACD △是正三角形，因为O 是AC 的中点，易得130OD C ∠=︒，所以1D O 与1CD 不垂直，则EF 与1CD 不垂直，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，又1//EF D O ，所以1AD O ∠是直线EF 与1BC 所成的角（或补角），因为1ACD △是正三角形，O 是AC 的中点，所以130AD O ∠=︒，故B 错误；对于C ，连接1A D ，如图，由选项B 可知平面1ABC 与平面11ABC D 是同一个面，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11AA D D ，而1A D ⊂平面11AA D D ，则1AB A D ⊥，在正方形11AA D D 中，易得11AD A D ⊥，又11,,AD AB A AD AB =⊂ 平面11ABC D ，所以1A D ⊥平面11ABC D ，又F 是11A D 的中点，所以F 到平面11ABC D 的距离是1A 到平面11ABC D 的距离的一半，记F 到平面11ABC D 的距离为h ，则1112222h A D =⨯=，而易得2221126EF =++=，记直线EF 与平面1ABC 所成的角为θ，则213sin 266h EF θ==⨯=，故C 正确；对于D ，不妨设直线1B D 与平面11A BC 的交点为M ，连接11B D ，如图，易得111122A B BC AC ===，又111112A B B C BB ===，所以三棱锥111B A BC -是正三棱锥，故要证M 是11A BC V 的重心，只需要证1B M ⊥面11A BC ，即1B D ⊥面11A BC 即可，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111D C B A ，而11AC ⊂平面1111D C B A ，则111DD AC ⊥，在正方形1111D C B A 中，易得1111B D A C ⊥，又1111111,,DD B D D DD B D =⊂ 平面11DD B ，所以11A C ⊥平面11DD B ，而1B D ⊂平面11DD B ，故111AC B D ⊥，同理11A B B D ⊥，又1111111,,AC A B A AC A B ⋂=⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥面11A BC ，所以直线1B D 与平面11A BC 的交点是11A BC V 的重心，故D 正确.故选：CD三、填空题13．如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图为A B C ''' ，已知1A O B O C O ''''''===，则ABC 的周长为.【答案】225+【分析】根据斜二测画法结合题意还原ABC ，从而可求出其周长【详解】由题意可知在ABC 中，1,2OA OB OC ===，=90AOC ∠︒，所以22125BC AC ==+=，所以ABC 的周长为225AB BC AC ++=+，故答案为：225+.14．设a ，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka b + 与8a kb + 的方向相反，则k =.【答案】4-【分析】依题意存在()0λλ<，使得()28ka b a kb λ+=+，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.【详解】因为向量2ka b +与8a kb + 的方向相反，所以存在()0λλ<，使得()28ka b a kb λ+=+，又a ，b是两个不共线的非零向量，所以82k k λλ=⎧⎨=⎩，解得412k λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩或412k λ=⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故答案为：4-15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山底C 在西偏北30︒的方向上；行驶400m 后到达B 处，测得此山底C 在西偏北75︒的方向上，山顶D 的仰角为45︒，则此山的高度CD =m.【答案】2002【分析】由题可得CD CB =，在ABC 中利用正弦定理即可得答案.【详解】由题可得，3018075105o o o o ,CAB CBA ∠=∠=-=，则45o BCA ∠=.则在ABC 中，由正弦定理，有14002200222sin sin sin sin AB CB AB CAB CB BCA CAB BCA⨯⋅∠=⇒===∠∠∠.又由题可知，CD CB =，则2002CD =.故答案为：2002.16．正四棱台1111ABCD A B C D -的高为32，4AB =，111A B =，球O 在该正四棱台的内部，则球O 表面积的最大值为.【答案】8π【分析】设正四棱台1111ABCD A B C D -上底面、下底面的中心为1O ，2O ，设球O 与面11ADD A ，面11BCC B 分别切于点E ，F ，作出截面如图，利用锐角三角函数求出tan MNH ∠，连接ON ，则2ONO ONE ∠=∠，利用二倍角公式正切公式求出2tan ONO ∠，即可求出2OO 即为最大球的半径，即可求出球的表面积.【详解】设正四棱台1111ABCD A B C D -上底面、下底面的中心为1O ，2O ，球O 在该正四棱台的内部，要使球O 的表面积尽可能大，则球O 与正四棱台1111ABCD A B C D -的尽可能多的面相切，显然球心O 在12O O 上，设球O 与面11ADD A ，面11BCC B 分别切于点E ，F ，过1O 、2O 、E 、F 作其正四棱台的截面如图所示，则112MO =，22EN NO ==，过点M 作2MH NO ⊥交2NO 于点H ，则1232MH O O ==，212HO =，13222NH =-=，所以32tan 2232MH MNH NH ∠===，连接ON ，则2ONO ONE ∠=∠，所以22222tan tan tan 2221tan ONO MNH ONO ONO ∠∠=∠==-∠，解得22tan 2ONO ∠=或2tan 2ONO ∠=-，显然2ONO ∠为锐角，所以22tan 2ONO ∠=，则2222tan 2OO ONO NO ∠==，解得22OO =，此时球的直径为222232OO =<，符合题意，即正四棱台1111ABCD A B C D -内的最大球的半径2R =，此时球与下底面、及四个侧面均相切，与上底面不相切，所以球的表面积为24π8πR =故答案为：8π四、解答题17．已知复数z 的虚部为2-，z 在复平面上对应的点在第三象限，且满足5z =.(1)求z .(2)已知2R,zm m z ∈+为纯虚数，求m 的值.【答案】(1)12iz =--(2)1m =【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得z .（2）利用复数除法运算、复数的模以及纯虚数的知识求得m .【详解】（1）设2i,R z a a =-∈，且a<0，由()2225a +-=解得1a =-.（2）由（1）得12i,12i z z =--=-+，则()()()2512i 512i 12i 12i 12i zm m m m z --+=+=+=---+-+--为纯虚数，所以10m -=，1m =.18．近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.(1)求a 的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）；(2)现按照分层抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60,70]的概率.【答案】(1)0.030a =，58(2)710【分析】（1）根据频率之和为1可得0.030a =，进而由百分位数的计算即可求解，（2）根据列举法，结合古典概型的计算公式即可求解.【详解】（1）依题意，0.070.18100.250.21a ++++=，解得0.030a =，因为前3组的频率和为10(0.0070.0180.030)0.55++=⨯<0.75，前4组的频率和为100.0070.0180.0300.0250.800.75⨯+++=>（），所以所求上四分位数（第75百分位数）为0.750.555010580.25-+⨯=（2）由频率分布直方图可知年龄在[40,50)和[60,70]的频率分别为0.3,0.2，所以年龄在[40,50)的投资者应抽取3人，记为A ，B ，C年龄在[60,70]的投资者应抽取2人,记为a ，b ，则任取2人，所有的情况为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B C a b A a A b B a B b C a C b ，共10种，满足条件的为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b a b 共7种.故至少有1人年龄在[60,70]的概率为710P =.19．等腰直角ABC 中，5,90,BA BC ABC P ∠=== 为ABC 内一点，90APB ∠= .(1)若4AP =，求PC ；(2)若120BPC ∠= ，求tan BAP ∠.【答案】(1)10(2)332-【分析】（1）在BPC △中，由余弦定理计算可得;（2）在BPC △中由正弦定理计算可得.【详解】（1）Rt ABP 中，5,4AB AP ==，3BP ∴=.4cos sin 5PBC PBA ∴∠=∠=.在BPC △中，由余弦定理得2222cos PC BP BC BP BC PBC∠=+-⋅⋅22435235105=+-⨯⨯⨯=10,PC ∴=（2）设BAP θ∠=，则PBC θ∠=，又5sin BP θ=，在BPC △中由正弦定理得sin sin BC BP BPC BCP ∠∠=即()55sin sin120sin 60θθ=- 3sin 3cos sin θθθ∴=-即()31sin 3cos θθ+=33tan 2θ-∴=.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．(1)试判断直线1BD 与平面ACE 的位置关系，并说明理由；(2)若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，求点B 到平面1AB C 的距离．【答案】(1)直线1//BD 平面AEC ，理由见解析(2)233【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）解法一：设点B 到平面1AB C 的距离为h ，由11B AB C B ABC V V --=求解即可；解法二：连接1B O ，由线面垂直的判定定理和性质定理证明BH ⊥平面1AB C ，所以BH 为点B 到平面1AB C 的距离，求解即可.【详解】（1）直线1//BD 平面AEC ，理由如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，如图1，因为四边形ABCD 为正方形，则O 为BD 中点，又E 为1DD 中点，因此1//OE BD ，又OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC ，所以1//BD 平面AEC ．（2）解法一：（等体积法）在三棱锥1B AB C -中，1122AC AB CB ===，则11113sin60222223222AB C S AC AB =⋅︒=⨯⨯⨯= ，ABC 的面积122ABC S AB BC =⋅=△，设点B 到平面1AB C 的距离为h ，由11B AB C B ABC V V --=得：11133AB C ABC S h S BB ⋅=⋅△△，于是112223323ABC AB C S BB h S ⋅⨯=== ，所以点B 到平面1AB C 的距离为233．解法二：（直接法）连接1B O ，在平面11BB D D 中，设11B O BD H⋂=在正方形ABCD 中，AC BD⊥又∵1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1AC BB ⊥．又∵1B B BD B ⋂=，1B B 、BD ⊂平面11BB D D∴AC ⊥平面11BB D D ，而1BD ⊂平面11BB D D ，∴1AC BD ⊥同理可得：11B C BD ⊥，又∵1AC B C C ⋂=，AC ，1B C ⊂平面1AB C ，∴1BD ⊥平面1AB C ，即BH ⊥平面1AB C ，所以BH 为点B 到平面1AB C 的距离，由题意可知，在直角三角形1B BO 中，12B B =，2BO =，22116B B O B BO =+=由11B B BO B BH O ⋅=⋅得233BH =，所以点B 到平面1AB C 的距离为233．21．珠海长隆的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24T =分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为112 （可视为点）.现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t 分钟.(1)当18t =时，求1号座舱与地面的距离；(2)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H 米，若在00t t ≤≤这段时间内，H 恰有三次取得最大值，求0t 的取值范围.【答案】(1)2m(2)[)32,44【分析】（1）设座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为()()sin ,(0,0,0)h t A t b A t ωϕω=++>>≥，根据题意求出()h t 的表达式，代入数据即可求解；（2）依题意()51ππ30sin 32,30sin 8321212h t h t =+=++，可得ππ303sin 126H t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当812,N t k k =+∈时，H 取得最大值，故081228123t +⨯≤<+⨯，解不等式得0t 的取值范围.【详解】（1）设座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为()()sin ,(0,0,0)h t A t b A t ωϕω=++>>≥，则30,32A b ==，()()30sin 32(0)h t t ωϕω=++>，依题意2ππ24,12T T ω===，当0=t 时，()30sin 3232,sin 0h t ϕϕ=+==，取()()π0,30sin 32012h t t t ϕ==+≥，()π1830sin 1832212h ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，所以当18t =时，1号舱与地面的距离为2m .（2）依题意()51ππ30sin 32,30sin 8321212h t h t =+=++，()ππππ2π30sin 3230sin 83230sin sin 121212123H t t t t ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭∣3π3πππ30sin cos 303sin 212212126t t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令ππππ,Z 1262t k k -=+∈，解得812,N t k k =+∈，当812,N t k k =+∈时，H 取得最大值，故081228123t +⨯≤<+⨯，即03244t ≤<，即0t 的取值范围是[)32,44.22．如图，在梯形ABCD 中，2AD =，3DC CB ==，2AB DC =，点E 、F 是线段DC 上的两个三等分点，点G ，点H 是线段AB 上的两个三等分点，点P 是直线BC 上的一点．(1)求AB AD ⋅ 的值；(2)求FH 的值；(3)直线AP 分别交线段EG 、FH 于M ，N 两点，若B 、N 、D 三点在同一直线上，求AM AN 的值．【答案】(1)4(2)433(3)47AM AN =【分析】（1）以AB ，AD 为基底表示CB ，3CB = ，可得AB AD ⋅ ；（2）以AB ，AD 为基底表示FH ，进而计算模长；（3）根据向量共线定理分别可表示AM ，AN ，进而确定AM AN.【详解】（1）设AB a = ，AD b=1122CB CD DA AB a b a a b =++=--+=- ，22211394CB a a b b a b ∴=-⋅+=-⋅= ，即4AB AD a b ⋅=⋅= ；（2）22113323AF AD DC b a a b =+=+⨯=+ ，13FH AH AF a b =-=- ，222112433933FH a b a a b b ⎛⎫=-=-⋅+= ⎪⎝⎭ ；（3）设AN xAF y AH =+ ，即()()()x AF AN y AH AN AN x y AN -+-=-+ ，()1xNF yNH x y AN +=-- ，因为N 在FH 上，所以10x y --=，即1y x =-，()()1221113333AN xAF x AH x a b x a x a xb ⎛⎫⎛⎫∴=+-=++-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即2133AN x AB xAD ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，即()()2121221333333x AB AN x AD AN AN x AN xAN x AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，即212213333x NB xND x AN ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于D ，N ，B 三点共线，所以221033x --=，12x ∴=，1122AN a b =+ ，设AM AE AG λμ=+ ，则()()()1AE AM AG AM AM λμλμ-+-=-- ，即()1ME MG AM λμλμ+=--，又M 在EG 上，则10λμ--=，即1μλ=-，()()111111132336AM AE AG AD AB AB AB AD λλλλλλλ⎛⎫=+-=+⋅⋅+-⋅=-+ ⎪⎝⎭，由于A ，M ，N 三点共线，所以111362112λλ-==，即27λ=，所以224777AM b a AN =+= ，47AM AN =.。

2024-2025学年江西省吉安一中高一(上)第一次段考数学试卷(含答案)

2024-2025学年江西省吉安一中高一（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=( )A. 2B. 1C. 23D. −12.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.集合M={x|x=5k−2,k∈Z}，P={x|x=5n+3,n∈Z}，S={x|x=10m+3,m∈Z}的关系是( )A. S⊆P⊆MB. S=P⊆MC. S⊆P=MD. P=M⊆S4.已知a∈R，b∈R，若集合{a,ba,1}={a2,a−b,0}，则a2019+b2019的值为( )A. −2B. −1C. 1D. 25.命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤56.已知a=2，b=7−3，c=6−2，则a，b，c的大小关系为( )A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a7.已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+6y+3xy的最小值为( )A. 24B. 25C. 6+42D. 62−38.若对任意实数x>0，y>0，不等式x+xy≤a(x+y)恒成立，则实数a的最小值为( )A. 2−12B. 2−1 C. 2+1 D. 2+12二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知集合A={x|−7<x<−3}，B={x|a−5<x<1−2a}，下列说法正确的是( )A. 不存在实数a使得A⊆BB. 当a=4时，B⊆AC. 当B⊆(∁R A)时，a的取值范围是a≥2D. 当2<a<3时，B⊆A10.已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0，则下列结论正确的是( )A. xy的取值范围是(0,9]B. x+y的取值范围是[2,3)C. x+2y的最小值是42−3D. x+4y的最小值是311.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，则( )A. a>0B. 不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}C. a+b+c>0D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<12}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

江西省吉安一中2014年下学期高一年级期中考试数学试卷有答案

江西省吉安一中2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题、填空题共75分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

） 1. 在△ABC 中，已知222=++a b bc c ，则角A 为 A.3π B.6π C.23π D.3π或23π2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)=-n n S a ，则2a ＝ A. 4B. 2C. 1D. －23. 等差数列{}n a 中，14736939,27++=++=a a a a a a ，则数列{}n a 前9项的和9S 等于A. 66B. 99C. 144D. 2974. 在下列函数中，当x 取正整数时，最小值为2的是 A. 4=+y x xB. 1lg lg =+y x xC.=yD. 223=-+y x x5. △ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝A.B. 1+C.D. 26. △ABC 中，若sinA ＜cosB ，则△ABC 为 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7. 数列11111,2,3,424816，…前n 项的和为 A. 2122++n n nB. 21122+-++n n nC. 2122+-+n n nD. 21122+--+n n n8. 数列{}n a 中，123,7==a a ，当1≥n 时，2+n a 等于1+n n a a 的个位数，则该数列的第2014项是A. 1B. 3C. 7D. 99. 已知不等式222(cos 5)4sin 0+-+≥m m θθ恒成立，则实数m 的取值范围是（）A. 04≤≤mB. 14≤≤mC. 4≥m 或0≤mD. 1≥m 或0≤m10. 用1111max(,,,),min(,,,)n n a a a a a a 分别表示11,,,n a a a 中的最大与最小者，有下列结论：①max(,)max(,)max(,,,)+=++++a b c d a b c d a c b d ； ②min(,)min(,)min(,,,)+=++++a b c d a c a d b c b d ； ③若max(,)max(,)<a b c d ，则,<<a c b d ； ④若min(,)min(,)<a b c d ，则,<<a c b d 。

江西省吉安一中2013-2014学年高二数学下学期第二次段考试题理新人教A版

某某省某某一中2013－2014学年下学期高二年级第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 化简224(1)+ii +的结果是（） A. 2i + B. 2i -+ C. 2i - D. 2i --2. 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点（1，(1)g ）处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处切线的斜率为（） A. 4 B. 14-C. 2D. 12- 3. 变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2）（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（） A. 2r ＜1r ＜0 B. 0＜2r ＜1r C. 2r ＜0＜1r D. 2r ＝1r4. 某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。

如果A 、B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则有不同的游览路线（）A. 120种B. 240种C. 480种D. 600种5. 某同学在电脑上进行数学测试，共10道题，答完第n 题（n ＝1,2,3,…,10）电脑都会自动显示前n 题的正确率()f n ，则下列关系不可能成立的是（）A. (5)2(10)f f =B. (8)(9)(9)(10)f f f f <=且C. (1)(2)(3)(10)f f f f ==== D. (1)(2)(3)(10)f f f f <<<<6. 610(1(1+展开式中的常数项为（） A. 1 B. 46 C.4245 D. 42467. 若,,0()4a b c a a b c bc >+++=-且2a b c ++的最小值为（）A. 31-B. 31+C. 232+D. 232-8. 定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1,(0)4f x f x f +>=，则不等式()3xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A. (0,)+∞ B. (,0)(3,)-∞+∞ C. (,0)(0,)-∞+∞ D. (3,)+∞9. 如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为n S ，则21S 的值为（）A. 66B. 153C. 295D. 36110. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动（说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。

江西省吉安一中2013-2014学年高一下学期第一次段考数学试卷(带解析)

江西省吉安一中2013-2014学年高一下学期第一次段考数学试卷（带解析）1．在△ABC 中，,,1046A B a ππ===，则b ＝（）A. C. 【答案】A 【解析】试题分析：根据正弦定理BbA a sin sin =,解得25=b . 考点：正弦定理.2．已知等比数列{}n a 满足：2512,4a a ==，则公比q 为（） A. 12-B. 12C. －2D. 2 【答案】B 【解析】试题分析：根据等比等比数列中,m n m n q a a -=)(m n ,所以325q a a =,可得21=q . 考点：等比数列m n m n q a a -=)(m n .3．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布。

（不作近似计算）（） A.12 B. 815 C. 1629 D. 1631【答案】C 【解析】试题分析：由题可知,是等差数列,首项是5,公差为d ,前30项和为390.根据等差数列前n 项和公式,有d 22930530390⨯+⨯=,解得2916=d . 考点：等差数列定义,等差数列前n 项和公式.4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知321510,9S a a a =+=，则1a ＝（） A. 13-B. 13C. 19-D. 19【答案】D 【解析】试题分析：根据32112310a a a a a S ++=+=,所以319a a =,根据等比数列通项有213q a a =可得92=q ,又因为415q a a =,所以911=a .考点：等比数列通项公式.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则△ABC 的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B 【解析】试题分析：根据正弦定理cos cos sin b C c B a A+=,可得A ABC C B s i n s i n c o s s i n c o s s i n =+,根据正弦和角公式有A C B 2sin )sin(=+,即A A A 2sin sin )sin(==-π,因为三角形中,0sin ≠A ,所1sin =A ,可得2π=A .考点：正弦定理.6．由正数组成的等比数列{}n a 满足：489a a =，则57,a a 的等比中项为（） A. ±3 B. 3 C. ±9 D. 9 【答案】A 【解析】试题分析：92684==a a a ,所以92675==a a a ,所以57,a a 的等比中项为3±. 考点：等比中项.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 依次成等差数列，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为（） A. 16π B. 493π C. 473πD. 15π【答案】B 【解析】试题分析：根据题意.3.,2ππ==+++=B C B A C A B 根据余弦定理有BCAB AC AB BC B ⋅-+=2cos 222,可得7=AC ,根据正弦定理有r B AC2sin =.所以外接圆半径为337=r ,所以面积为349π=S .考点：余弦定理,正弦定理.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C 【解析】试题分析：根据等差数列的前n 项和公式有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-=+++=-+=-+d m m a m S m d m a m S d m m m a S m m m)2(21)1(21)1()1(211111,可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=1521d m a . 考点：等差数列的前n 项和.9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(n m n m nm n m b a a a-+-+-+=+++，n c =(1)1m n a -+²(1)2(1)(,)m n m n m a a m n N -+-++⋅⋅∈，则以下结论一定正确的是（）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m qB. 数列{}n b 为等比数列，公比为2m qC. 数列{}n c 为等比数列，公比为mm q D. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m q 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意m a a a a b ++++= 3211,m m m m m a a a a b ++++++++= 3212,则根据等比数列特点,m mq b b =12.选项B A ,错误. 根据选项数列{}n c 为等比数列,则m a a a a c 3211⋅⋅=,m m m m m a a a a c ++++⋅⋅= 3212,则根据等比数列特点,2)(12m m m q q c c == 考点:等比数列.10．设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin BA的取值范围是（） A. (0,)+∞B. ⎛ ⎝⎭C. 11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：根据,,a b c 成等比数列,有ac b =2, 根据正弦定理有bca b A B ==sin sin , 根据三角形三边关系c a b c a -+ ,有222)()(c a b c a -+ .所以2222b ac c a -+,即03222b c a -+.消掉a 得03)(222 b c cb -+.化简得：034224c c b c +-，同时除以2b ，可得013)(22222 +-bc b c ，所以解得25325322+-bc .则215215+- b c 考点：等比中项,正弦定理,三角形三边关系11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若2sin ,4c a C bc ==，则△ABC 的面积等于__________。

2025届江西省吉安一中高考仿真卷数学试题含解析

2025届江西省吉安一中高考仿真卷数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --3．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（）A ．14B ．13C ．12D ．234．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（） A ．134-B ．54C ．5D ．1545．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．6．定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A ．23B ．1C ．43D ．27．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（）A ．2B C ．73D 8．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（）. A ．16 B ．283C ．5D ．49．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 10．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<11．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=（） A ．12AD B ．AD C ．BCD ．12BC12．已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江西省吉安市高一下学期7月期末联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省吉安市高一下学期7月期末联考数学试题一、单选题1．若集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-，则A B ⋂等于A ．(3,3)-B ．(2,2)-C ．[2,2)-D ．[2,3)-【答案】C【分析】解不等式,可得集合A 与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-解不等式,可得{|32}A x x =-<<，{|23}B x x =-≤<所以[){|32}{|23}2,2A B x x x x =-<<⋂-≤<=- 所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.2．“关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是（）A ．01a <<B ．0a ≤C ．01a ≤≤D ．102a <<【答案】C【分析】先求出不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立所满足的条件()0,1a ∈，再寻找一个集合，使它包含()0,1即可【详解】220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立，则()2240a a ∆=--<，解得：()0,1a ∈，要想找到一个必要不充分条件，只需找到一个集合，使得()0,1是它的子集，显然C 选项符合.故选：C3．与30 角终边相同的角的集合是（）A ．π360,4k k αα⎧⎫=⋅+∈⎨⎬⎩⎭ZB ．{}2π30,k k αα=+∈ZC ．{}236030,k k αα=⋅+∈ZD ．π2π,6k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】D【分析】根据弧度制和角度制的互化、终边相同的角的表示方法可判断出结果.【详解】对于AB ，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A 错误，B 错误；对于CD ，30 换算成弧度制为π6，∴与30 角终边相同的角的集合为{}36030,k k αα=⋅+∈Z或π2π,6k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C 错误，D 正确.故选：D.4．已知向量a 与b的夹角120θ=°，3a = ，4b = ，则a b ⋅= （）A ．63-B ．6-C ．6D ．63【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】根据平面向量数量积的定义可得1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B.5．已知()1cos 3αβ-=，1tan tan 3αβ=，则()cos 22αβ+=（）A ．1718B ．79C ．1718-D ．79-【答案】C【分析】先根据已知条件求出sin sin αβ，cos cos αβ，从而求出()cos αβ+，进而利用二倍角的余弦公式求出结论.【详解】因为1sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==，所以cos cos 3sin sin αβαβ=，又()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-==+，所以1sin sin 12αβ=，1cos cos 4αβ=，所以()1cos cos cos sin sin 6αβαβαβ+=-=，所以()()22117cos 222cos 121618αβαβ⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：C.6．已知圆锥的母线与底面所成角为π3，侧面积为2π，则该圆锥的体积为（）A ．3πB ．33πC ．3π2D ．3π6【答案】B【分析】由给定条件可得圆锥轴截面是正三角形，再由侧面积求出底面圆半径及高即可求解作答.【详解】因为圆锥的母线与底面所成角为π3，则该圆锥的轴截面是正三角形，令圆锥底面圆半径为r ，则母线2l r =，圆锥侧面积2π2π2πS rl r ===，解得1r =，圆锥的高2233h l r r =-==，所以该圆锥的体积为213ππ33V r h ==.故选：B7．已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin2ϕ=A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】C【详解】因为函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，所以()()2sin 2cos 12πϕπϕ+-+=±+，即22sin 2cos 5sin 4sin cos 4cos 5ϕϕϕϕϕϕ-+=±∴-+=，22214sin 4sin cos cos 0(2sin +cos )0tan -,2ϕϕϕϕϕϕϕ-+=∴=∴=因此2222sin cos 2tan -14sin 2-1sin cos tan 1514ϕϕϕϕϕϕϕ====+++，选C.8．已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及正四面体的三个侧面都相切，则球2O 的体积为（）A ．6πB ．23πC ．22πD ．3π【答案】A【分析】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案.【详解】如图，正四面体V ABC -，设点O 是底面ABC 的中心，点D 是BC 的中点，连接,VO VD .则由已知可得，VO ⊥平面ABC ，球心12,O O 在线段VO 上，球12,O O 切平面VBC 的切点在线段VD 上，分别设为12,D D .则易知11VD O VOD ∽，2211VD O VD O ∽，设球12,O O 的半径分别为12,r r .因为2263AD AB BD =-=，根据重心定理可知，1233OD AD ==.63VD =，2246VO VD OD =-=，1111OO O D r ==，1212O O r r =+，222O D r =.由11VD O VOD ∽可得，1111O D VO VO OO OD VD VD-==，即11462363r r -=，解得，16r =，所以136VO =.由2211VD O VD O ∽可得，2221121111O D VO VO O O O D VO VO -==，即2226636r r -=，解得262r =，所以，球2O 的体积为332446ππ6π332r ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】关键点睛：根据已知，判断出球心的位置，构造直角三角形.二、多选题9．下列化简正确的是（）A ．1cos82sin52sin82cos522-=-B ．1sin15sin 30sin 754=C ．tan 48tan 7231tan 48tan 72+=--D ．223cos 15sin 152-= 【答案】ACD【分析】由和差角公式，二倍角公式求值逐项判断即可.【详解】对于A ，()()1cos82sin52sin82cos52sin 5282sin 302-=-=-=-，故A 正确；对于B ，()1sin15sin30sin 75sin15sin 15602=+21113sin15sin15cos60sin15sin 60cos15sin 15sin15cos152244=+=+ ，1cos3031331sin 3088816168-=+=-+= ，故B 错误；对于C ，()()tan 48tan 72tan 4872tan120tan 6031tan 48tan 72+=+==-=--，故C 正确；对于D ，223cos 15sin 15cos 302-== ，故D 正确；故选：ACD.10．已知复数12,1i 1i z z =+=-，则（）A ．12z z ∈RB ．12z z ≠C ．1212z z z z +=-D ．若32z z =，则1323z z z z =【答案】ACD【分析】根据复数的乘法运算即可判断A,由模长公式以及共轭的性质即可判断BCD.【详解】由题意，得()()121i 1i 2R,A z z =+-=∈正确；因为122,2z z ==，所以12,B z z =错误；因为12122,2z z z z +=-=，所以1212z z z z +=-，C 正确；由题意，得321i z z ==+，因为132i 2z z ==，232z z =，所以1323z z z z =，D 正确．故选：ACD11．将函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π3个单位，得到的图像对应的解析式为（）A ．1sin2y x =B ．1πsin 1126y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+C ．1πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据题意，由三角函数的图像变换即可得到变换之后的函数解析式，从而得到结果.【详解】由题意可得，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）可得函数1πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得的图像向左平移π3个单位，可得函数1ππsin 233y x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即1πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且1πsin 1126y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+1πsin sin 261π2π26x x ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎝-+⎭⎭.故选：BC12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，E 是线段PB 的中点，F 是线段BC 上的动点，则以下结论正确的是（）A ．平面AEF ⊥平面PABB ．直线EF 与平面PAB 所成角正切值的最大值为2C ．二面角B AE F --余弦值的最小值为33D ．线段BC 上不存在点F ，使得//PD 平面AEF 【答案】ABC【分析】对于A ，利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可；对于BC ，利用线面角与面面角的定义，结合BF 的取值范围求解即可；对于D ，找特殊点F 与C 重合时，证得//PD 平面AEF ，由此得解.【详解】对于A ，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥．因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又PA AB A = ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又因为PB BC B ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以⊥AE 平面PBC ．又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ，故A 正确；对于B ，由选项A 可知BC ⊥平面PAB ，所以FEB ∠为直线EF 与平面PAB 所成角，则π02FEB <∠<，不妨设2PA AB ==，则在Rt PAB 中，22,2PB BE ==，在Rt EFB △中，tan 2BF BFFEB BE ∠==，因为F 是线段BC 上的动点，故2BF BC ≤=，则tan 22BFFEB ∠=≤，所以直线EF 与平面PAB 所成角正切值的最大值为2，故B 正确；对于C ，由选项A 可知⊥AE 平面PBC ，,BE EF ⊂平面PBC ，所以,AE BE AE EF ⊥⊥，则FEB ∠为二面角B AE F --的平面角，因为2223cos 3422BEFEB EFBF ∠==≥=++，所以二面角B AE F --余弦值的最小值为33，故C 正确；对于D ，当F 与C 重合时，连接AC BD O = ，连接EO ，如图，因为底面ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，又E 为线段PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊂平面AEF ，PD ⊄平面AEF ，所以//PD 平面AEF ，即线段BC 上存在点F ，使得//PD 平面AEF ，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAB 与⊥AE 平面PBC ，从而得到直线EF 与平面PAB 所成角与二面角B AE F --的平面角，由此得解.三、填空题13．已知i 是虚数单位，则10i =．【答案】1-【分析】根据已知条件，结合复数的乘方运算，即可求解．【详解】()()210422i i i 111=⋅=⨯-=-．故答案为：1-．14．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 3α=，则sin 2α=.【答案】33【分析】由半角公式求解.【详解】π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 02α>，由半角公式可得111cos 33sin2223αα--===.故答案为：3315．已知空间中两个角111AOB AO B ∠∠，，且1111////OA O A OB O B ，，若60AOB ∠= ，则111AO B ∠=.【答案】60 或120【分析】根据空间中两个角的边分别平行时，两个角相等或互补即可得解.【详解】因为两个角111AOB AO B ∠∠，，且1111////OA O A OB O B ，，则111AOB AO B ∠∠，的两边分别平行，所以111AOB AO B ∠∠，相等或互补，又60AOB ∠= ，所以111AO B ∠=60 或120故答案为：60 或12016．已知6OA = ，3OE = ，若对R t ∀∈，恒有OA tOE AE -≥ ，且点M 满足2133OM OE OA =+ ，N 为OA 的中点，则MN = ．【答案】3【分析】根据数量积的运算律得到236293629tOA OE t OA OE -⋅+≥-⋅+对R t ∀∈恒成立，即可得到292290t tOA OE OA OE -⋅+⋅-≥ 对R t ∀∈恒成立，根据0∆≤求出OA OE ⋅，再根据1263MN OA OE →→=- 及数量积的运算律计算可得.【详解】因为22222222OA tOE OA tOA OE t OE OA tOA OE t OE-=-⋅+=-⋅+ 23629tOA OE t =-⋅+，222222AE OE OA OA OA OE OE OA OA OE OE=-=-⋅+=-⋅+ 3629OA OE =-⋅+，因为对R t ∀∈，恒有OA tOE AE -≥，所以236293629tOA OE t OA OE -⋅+≥-⋅+对R t ∀∈恒成立，即()222990t OA OE t -+⋅+-≥对R t ∀∈恒成立，即292290t tOA OE OA OE -⋅+⋅-≥对R t ∀∈恒成立，所以()()2249290OA OEOA OE ∆=-⋅-⨯⋅-≤，即()290OA OE ⋅-≤ ，所以9OA OE ⋅=，又121233MN ON OM OA OE OA →→→→→→⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭1263OA OE →→=-，所以212126363MN OA OE OA OE →→→→→⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2222124124336993699OA OA OE OE OA OA OE OE→→→→→→→→=-⋅+=-⋅+=.故答案为：3四、解答题17．如图，矩形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形的直观图，其中6cm O A ''=，2cm O C ''=，则原图形的形状是什么？面积是多少？【答案】原图形OABC 是平行四边形，面积2242cm ．【分析】设O y ''与B C ''交于点P '，线段O A ''及B C ''的长度不变，平行关系不变，把线段O P ''的长度变为原来的2倍并改为与底边垂直，再依次连接各顶点就可以得到一个平行四边形，即可求出面积．【详解】在直观图中，若O y ''与B C ''交于点P '，则2cm C P ''=，4cm P B ''=，22cm O P ''=．在原图形中，6cm OA =，2cm CP =，242cm OP O P ''==．∵//BC OA ，6cm BC OA ==，∴原图形OABC 是平行四边形，如图，其面积2242cm S OA OP =⋅=．18．已知:复数()26i1i 1iz =-++，其中i 为虚数单位.(1)求z 及z ；(2)若267i z az b ++=+，求实数a ，b 的值.【答案】(1)3i z =+，10z =(2)11a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）根据复数的乘法和除法运算求出复数z ，再根据复数的模的计算公式计算即可；（2）先根据复数的四则运算化简左边，再根据复数相等的定义即可得解.【详解】（1）()()()()()26i 1i 6i1i 2i 2i 3i 1i 3i 1i 1i 1i z -=-+=-+=-+-=+++-，223110z =+=；（2）()()223i 3i z az b a b++=++-+()96i 1(3i)836i 67i a b a b a =-+-+-+=+++-=+，得:83667a b a ++=⎧⎨-=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩.19．甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下：甲78795491074乙9578768677(1)求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数；(2)分别计算这两位运动员射击成绩的方差；(3)如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由.注：一组数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为x ，它的方差为()()()2222121n s x x xxx x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)众数是7，第85百分位数为9(2)4；1.2(3)选乙参加比赛，理由见解析【分析】（1）根据众数和百分位数求解方法直接计算求解；（2）根据公式先计算平均数，再运用公式计算方差即可；（3）根据（2）中方差计算结果结合方差实际意义进行判断即可.【详解】（1）根据题意可知，甲的数据里的众数是7；把甲的数据按从小到大排列如下：44577789910因为85%⨯10=8.5所以第9个数据是第85百分位数，所以第85百分位数为9.（2）178795491074710x =+++++++++=甲（），1667777889710x =+++++++++=乙（5）；2222222177)3(87)(97)2(57)(47)2(107)410s ⎡⎤=-⨯+-+-⨯+-+-⨯+-=⎣⎦甲（222222157)(67)2(77)4(87)2(97) 1.210s ⎡⎤=-+-⨯+-⨯+-⨯+-=⎣⎦乙（.（3）由（2）知，22s s 甲乙＞，即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛.20．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足2sin 21cos2π2cos 2cos 22A C A C +-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．(1)判断角B 与角C 的关系，并说明理由；(2)若ππ,43B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求c b 的范围．【答案】(1)π4B C =-，理由见解析(2)326,26⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）利用二倍角公式，和差公式化简，再结合三角形内角和定理可得；（2）利用（1）中结论和正弦定理，将所求转化为正切函数，利用正切函数性质可得.【详解】（1）∵0πC <<，πcos 202C ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，∴π02C <<或ππ2C <<，∴sin 20,cos 0,sin 0C C C ≠≠≠，∴22sin 21cos22sin sin πsin2cos 2cos 2cos 22A C C C C C A C +-===--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2sin cos 2cos 2cos sin 2sin A C C A C C +=-+.∵()()()2sin cos cos sin 2sin 2sin π2sin A C A C A C B B +=+=-=，()π2sin cos 2sin 4C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴πsin sin 4C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∵ππ3π0π,444B C <<-<-<，∴π4B C =-或π5ππ44B C C ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∵πA B C ++=，∴π4B C =-.（2）由（1）知：π4B C =-，∴π4C B =+，∴πsin sin 2sin cos 2214sin sin 2sin 22tan B c C B B b B B B B⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===⋅=+⋅∵ππ,43B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(tan 13B ,⎤∈⎦，∴131tan 3,B ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，∴32626c ,b ⎡⎫+∈⎪⎢⎪⎣⎭21．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均相等，1160A AB A AD DAB ∠=∠=∠=︒，点,E F 分别是棱1,D D BC 的中点．(1)求证：//EF 平面1A BD ；(2)求直线EF 与底面ABCD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）设1A D 的中点为G ，连接,EG BG ，证明四边形EGBF 是平行四边形，可得//EF BG ，进而可得答案；（2）证明1A 在平面ABCD 上的射影Q 落在AC 上，求出1A 到平面ABCD 的距离，可得1D 到平面ABCD 的距离，根据E 是棱1D D 的中点，可得E 到平面的距离，结合3EF BG ==可得直线EF 与底面ABCD 所成角的正弦值．【详解】（1）设1A D 的中点为G ，连接,EG BG ，因为点,E F 分别是棱1,D D BC 的中点，所以11111//,2EG A D EG A D =，11111//,2BF A D BF A D =，所以EG 与BF 平行且相等，四边形EGBF 是平行四边形，则//EF BG ，又因为EF ⊄平面1A BD ，BG ⊂平面1A BD ，所以//EF 平面1A BD（2）如图，设AC ，BD 交于点O ，连接111,,AO A D A B ．因为平行六面体1111ABCD A B C D -中，设各棱长均为2，因为1160A AB A AD DAB ∠=∠=∠=︒，所以1BDA △为边长为2等边三角形，四边形ABCD 为菱形，所以O 为BD 的中点，AC BD ⊥．所以1AO BD ⊥．因为1AO AC O ⋂=，1,AO AC ⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ．等边三角形1BDA △中12BA =，故13232OA =⨯=．解1A AO 可得1143336cos sin ,33223A AO A AO +-∠==⇒∠=⨯⨯．因为BD ⊥平面11AAC C ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11AAC C ，故1A 在平面ABCD 上的射影Q 落在AC 上，连接1AQ ，所以11126sin ,3A Q A A A AO =∠=即1A 到平面ABCD 的距离为126,3A Q =所以1D 到平面ABCD 的距离为26,3因为E 是棱1D D 的中点，所以E 到平面ABCD 的距离6,3h =因为3EF BG ==，所以直线EF 与底面ABCD 所成角的正弦值为62333h EF ==22．已知函数()()2sin cos 2sin 22f x a x x b x =++-，（R a ∈，R b ∈）(1)若1a =，0b =，证明：函数()()12g x f x =+在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点；(2)若对于任意的R x ∈，()0f x ≤恒成立，求a b +的最大值和最小值.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为2-，最大值为1【分析】（1）代入,a b 的值，化简()f x ，即可求得()g x ，根据()g x 单调性即可求解；（2）令sin cos t x x =+，问题转化为2,2t ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()222120t at b t ϕ=+--≤，要求a b +的最值，则需要a 和b 的系数相等进行求解.【详解】（1）证明：当1a =，0b =时，()()2sin cos 2f x x x =+-2222sin cos 222x x ⎛⎫=⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 24x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()132sin 22π4g x f x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，()30202g =-< ，0π142g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且()g x 是一个不间断的函数，()g x ∴在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在零点，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴πππ,442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()g x ∴在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点.（2）由（1）知，令πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2,2t ⎡⎤∈-⎣⎦，∴()22sin22sin cos sin cos 11x x x x x t =⋅=+-=-，∵对于任意的x ∈R ，()0f x ≤恒成立，∴()222120at b t +--≤恒成立.令()()22212t at b t ϕ=+--，则2,2t ⎡⎤∈-⎣⎦时，()0t ϕ≤恒成立.即()222120ta t b +--≤，令()2221t t =-，解得2t =或22-.当2t =时，解得1a b +≤，取1a =，0b =成立，则()222220t t ϕ=-≤⋅-=恒成立，∴()max 1a b +=，当22t =-时，解得2a b +≥-，取43a =-，23b =-成立，则()()22444221203332t t t t ϕ⎛⎫=----=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭恒成立.∴()min 2a b +=-，综上，a b +的最小值为2-，a b +的最大值为1.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.。

江西省吉安市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

吉安市高一下学期期末教学质量检测数学试题2021．6（测试时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用错笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式210x -+<的解集是A ．{1}xx >∣B ．{1}xx >±∣ C ．{}11x x x <->∣，或D ．{|11}x x -<<2．某校高一年级有男生450人，女生550人，若在各层中按比例抽取样本，总样本量为40，则在男生、女生中抽取的人数分别为 A ．17，23 B ．18，22 C ．19，21 D ．22，18 3．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若100210202a a +=，则2021a 的值为A ．2B ．2020C ．2021D ．20224．用系统抽样的方法从全校800人中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，…，799，已知第一组中采用抽签法抽到的号码为15，则第三组抽取到的号码是 A ．25 B ．35 C ．45 D ．55 5．下图是把二进制的数(2)1111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是A ．3i <B ．3i ≤C ．3i >D ．i >46．2021年3月的中美高层战略对话中国代表的表现令国人振奋，印有杨洁篪“中国人不吃这一套”金句的T 恤衫成为热销产品，某商场五天内这种T 恤衫的销售情况如下表：则下列说法正确的是 A ．y 与x 负相关 B ．y 与x 正相关C ．y 与x 不相关D ．y 与x 成正比例关系7．从装有2个白球和3个红球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A ．至少一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．至少一个白球，都是红球D ．恰有一个自球，恰有2个白球8．若0a b >>，0m <．则下列不等式成立的是A ．a m ab m b ->- B ．a m a b m b -<- C ．1ma b>- D ．22am bm < 9．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列命题不正确的是 A ．sin sin A B >，则A B > B ．若sin 2sin 2A B =，则A B =C ．若A ，B ，C 成等差数列，则3B π=D ．若::2a b c =，则2C π=10．3．12日为植树节，某单位组织10名职工分成两组开展义务植树活动，以下茎叶图记录了甲、乙两组五名职工的植树棵数．（参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中x 为样本平均数）下列说法，正确的是A ．甲组植树棵数的平均数不高于乙组植树棵数的平均数B ．甲组植树棵数的众数是9C ．乙组植树棵数的方差22s =D ．甲、乙两组中植树棵数的标准差 s s >甲乙11．如图，点A ，B ，C 在半圆O 上，AOCD 为正方形，在图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A ．2πB ．12π+ C ．22π+ D ．24π+ 12．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若2cos a B b c =+，则2a bb c⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为A ．4B ．C ．3D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．100与2020的最大公因数为______．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，具有世界意义的重要贡献．右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的3x =，2n =，依次输入的a 为2，3，4，则输出的s =______．15．函数y =R ，则实数k 的取值范围为______．16．一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫做等和数列的公和，设等和数列{}n a 的公和为3，前n 项和为n S ，若20213032S =，则1a =______．二、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（Ⅰ）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．（Ⅱ）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 18．（本小题满分12分）在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，cos (2)cos 0b A c a B ++=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC △的周长为 3ABC △的面积．19．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，31a +，4a 为等差数列{}n b 的连续三项，其中12b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若155n S =，求n 的值． 20．（本小题满分12分）为了全面提高学生的体质健康水平，充分发挥体育考试的激励作用，吉安市今年中考体育考试成绩以满分60分计入中招成绩总分，其中1分钟跳绳是选考项目．某校体育组决定从九年级抽取部分学生进行跳绳测试，并将跳绳的次数按[)60,80，[)80,100，[)100,120，[)120,140，[]140,160分组，得到顺率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前四个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，0.15，第三小组的频数是24．（Ⅰ）求第五小组的频率和参加这次测试的学生人数；（Ⅱ）估计这次测试学生跳绳次数的中位数；（Ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计参加这次测试学生跳绳的平均次数． 21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足12n n S n q a ⎛⎫=+⎪⎝⎭（q 为常数），11a =．（Ⅰ）判断数列{}n a 是不是等差或等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）求数列{}13n n a -+的前n 项和n T ．22．（本小题满分12分）动物园要围成相同面积的矩形虎笼两间，一面利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成（如图）．若每间虎笼的面积为224m ，墙长a 米，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成西间虚笼的钢筋网总长最小？并求出钢筋网的长度．吉安市高一下学期期末教学质量检测数学试题参考答案2021.6【解析】不等式210x -+<，即210x ->，解集是{}1,1x x x <->∣或．故选C ． 2．【答案】B【解析】抽取男生人数为4504018450550⨯=+，女生人数为5504022450550⨯=+．故选B ．3．【答案】C 【解析】()1202120212n a a S +⨯=()10021020202120212a a +⨯==．故选C ．4．【答案】D【解析】800人中抽取40人做问卷调查，分40组，每组20人，由于第一组中采用抽签法抽到的号码为15，∴抽到的号码依次为15，35，55，…，795．故选D ． 5．【答案】B ．【解析】123(2)11111121212=+⨯+⨯+⨯；1s =，1i =；1112s =+⨯，2i =；1211212s =+⨯+⨯，3i =；1231121212s =+⨯+⨯+⨯，4i =，结束程序，输出S ．故选B ．6．【答案】B【解析】根据表格中的数据作出散点图，可知所有点都在一条直线附近波动，是线性相关的，且y 值随着 x 值的增大而增大，即y 与x 正相关．7．【答案】D ．【解析】选项A ，选项B 不互斥；选项C 对立；选项D 互斥而不对立．故选D ． 8．【答案】B 【解析】()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m -------==---，0a b >>，0m <，∴0b a -<，0m ->，()0b b m ->，∴0a m a b m b --<-，即a m ab m b-<-．选项A 不正确，选项B 正确；选项C ，选项D 显然不正确．故选B ．9．【答案】B【解析】在ABC △中，若sin 2sin 2A B =，则 22A B =或22A B π+=，即 A B =或2A B π+=，选项B 错误；其余都正确．故选B ．10．【答案】C【解析】甲组植树棵数的平均数高于乙组植树棵数的平均数，选项A 错；甲组植树棵数的众数是9和11，选项B错；对于选项C ，平均数为789101145955x ++++===，方差为]2222221(79)(89)(99)(109)52(119)s ⎡=-+-+-+-+-=⎣．选项C 正确；由茎叶图易知，甲组数据集中，乙组数据分散，∴甲、乙两组中植树棵数的标准差 s s <甲乙，选项D 错误．故选C ． 11．【答案】D【解析】通过割补法，知阴影部分的面积等于三角形ACD 的面积，不妨设圆O 的半径为1，则2 1111144S ππ=⨯+⨯⨯=+全， 111122S =⨯⨯=阴影．故所求概率为 122414S P S ππ===++阴影全．故选D ．12．【答案】C【解析】由2cos a B b c =+，得22222a c b a b c ac +-⨯=+，即22a b bc -=，∴21a c b b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴2113a b c bb c b c⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭．当且仅当号c b b c =，即b c =时等号成立，∴2a bb c⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选C ． 13．【答案】20 14．【答案】31【解析】第一次运算：0322s =⨯+=，第二次运算：2339s =⨯+=，第三次运算：93431s =⨯+=．输出31． 15．【答案】[]0,4【解析】函数y =R ，等价于2240kx kx -+≥恒成立，当0k =时，显然成立；当0k ≠时，由2Δ(2)440k k =--⨯≤，得04k <≤．综上，实数k 的取值范围为[]0,4． 16．【答案】2 【解析】13n n a a ++=，∴()()()202112345202020211310103032S a a a a a a a a =+++++++=+⨯=，∴12a =．17．【解析】（Ⅰ）抛掷两枚质地均匀的硬币，样本空间()()()(){}Ω=正正，正反，反正，反反．记事件A ，B 分别为“甲胜”，“乙胜”，则1()()2P A P B ==，∴这个游戏公平的．（Ⅱ）拋掷三枚质地均匀的硬币，样本空间()()()(){}Ω=正正正，正正反，正反正，正反反．记事件A ，B 分别为“甲胜”，“乙胜”，则21()84P A ==，3()4P B =．这个游戏不公平． 18．【解析】（Ⅰ）cos (2)cos 0b A c a B ++=，由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos 0B A C A B ++=，∴sin()2sin cos 0A B C B ++=，即sin 2sin cos 0C C B +=．又角C 为ABC △内角，ABC △，1cos 2B =-，又()0,B π∈，∴23B π=．（Ⅱ）3a c b ++=b =∴3a c +=．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得27()a c ac =+-，∴()272ac a c =+-=．∴1sin 2ABCSac B ==．∴ABC △ 19．【解析】（Ⅰ）设等比数列{} n a 的公比为q ．依题意，2a ，31a +，4a 成等差数列，∴()24321a a a +=+，即()222122q q +=+．0q ≠，∴2q =．∴21222n nn a --=⨯=．∴等比数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（Ⅱ）122b a ==，2231215b a =+=+=，∴2113d b b =-+=，()2132322n n n n nS n -+=⨯+⨯= 由155n S =，得231552n n +=，即233100n n +-=，解得10n =，或313n =-（舍去）．故10n =．20．【解析】（Ⅰ）第五小组的频率()10.10.30.40.150.05=-+++= 第三小组的频数为24，第三小组的频率为0.4，∴参加这次测试的学生人数为240.460÷=．（Ⅱ）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数为()0.50.10.3100201050.4-++⨯=．（Ⅲ）参加这次测试学生跳绳的平均次数约为0.17.00.3900.41100.151300.05150105⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 21．【解析】（Ⅰ）12n n S n q a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1n =时，得112q =+，∴12q =．即12n n n S a +=① 当2n ≥时，112n n nS a --=②， ①-②，得1122n n n n nS a a -+=-，∴11n n a a n n -=-． ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，∴111n a a n ==，∴n a n =．当1n =时也满足，故n a n ={}n a 是等差数列，不是等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）n a n =，∴1133n n n a n --+=+，∴()()21131312132nn nn n n n T ⨯-+++-=+=- 22．【解析】设每间虎笼靠墙一边的长为x 米，钢筋网的长为x 米，则2472232y x x x x=+⨯=+02a x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭①若02a x ⎛⎫<≤⎪⎝⎭，72224y x x =+≥=，当且仅当722x x =，即6x =时，min 24y =．故当每间虎笼的长、宽分别为6m ，4m 时，所用的钢筋网总长最小，钢筋网的长度为24m ． ②若12a <，函数723622y x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减， ∴当2a x =，min 144y a a=+．故当每间矩形虎笼的两边长分别为2a m ，48m a 时，所用的钢筋网总长最小，钢筋网的长度为144a m a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．。

高一数学月考试题带答案-吉安市白鹭洲中学2013-2014学年高一下学期第二次月考

白鹭洲中学高一年级下学期第二次月考数学试卷一、选择题(本题共有10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

本题每小题5分，满分50分)1. 数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（） A.12-=n a n B. )21()1(n a nn --= C.)12()1(--=n a nn D. )12()1(+-=n a n n2. 已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35+a a 的值等于（）A.5B.10C. 15D.203．在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定 4．数列{}n a 的通项公式1cos 42n n a π=+)(*∈N n ,其前n 项和为S n ，则S 2012等于（） A.1006 B.2012 C.503 D.05．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是12k a a 与的等比中项，则k=（） A. 2 B. 6 C. 8 D. 46．在等比数列{}n a 中，n T 为前n 项的积，若 13=T , 236=T T ，则151413a a a 的值为（）A ．16 B. 12 C ．8 D ．47．△ABC 中，已知===B b x a ,2,60°，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围（）A ．2>xB ．3342<<x C ．2<x D ．3342≤<x 8. 在从2011年到2014年期间，甲每年1月1日都到银行存入a 元的一年定期储蓄。

若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2014年1月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）元.4.(1)A a q + 5.(1)B a q + 4[(1)(1)].a q q C q +-+ 5[(1)(1)].a q q D q+-+二、填空题(本题共有5小题，每题填对得5分，本题满分25分.) 11．等差数列{}n a 中，158,2a a ==，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为等差数列，那么新的等差数列的公差是 .12．在ΔABC 中，已知2AC AB -=⋅4=，则ΔABC 的面积为: . 13.已知数列{}n a 中，111,34(*2)n n a a a n N n -==+∈≥且，则数列{}n a 通项公式n a =______________.14．锐角△ABC 中，如果3,4==b a 那么c 的范围是_____________. 15．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ____ __.三、解答题（本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在等比数列 {}n a 中，1031=+a a ，4564=+a a ，求n a 和4s .的对20.设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，{}n b 为等比数列，且11a b =，2211()b a a b -=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21．已知数列{ n a }、{ n b }满足：1121,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. （1）求23,,a a （2）证明：数列{1na }为等差数列，并求数列{}n a 和{ nb }的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数λ为何值时4n n S b λ< 恒成立.高一数学答案,即 20.解：（1） ∵2n S n = ∴112a S == ；当n ≥2时， 22122(1)42n n n a S S n n n -=-=--=- 又12a = 适合上式，所以数列{}n a 通项公式为42n a n =-.设数列{}n b 的公比为q ，则由已知得12b =，114b q b = ∴14q =∴124n n b -=（n∈N ※）（2）由（1）得1(21)4n n n na c nb -==-∴0121143454(21)4n n T n -=⨯+⨯+⨯++-12314143454(23)4(21)4n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-两式相减得21312(444)(21)4n n n T n --=++++--：由此得1[(65)45]9nn T n =-+ （n∈N ※）21.解：（1） ∵1113,44a b == ∴23234511,,,5656b b a a ==== ……………4分（2）∵11111(1)(1)(1)(1)1n m n n n n n n nb a b a a a a a a ++-=-===--++＋∴1111n na a +-=+，11n n n n a a a a ++-= ∴1111n na a +-= ∴ 数列{1na }是以4为首项，1为公差的等差数列 ……………6分 ∴14(1)3nn n a =+-=+ 13n a n =+ ∴12133n n b n n +=-=++ ……………8分（3）13 nan=+。

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江西省吉安一中2012-2013学年度下学期高一年级第二次段考数学试卷一、选择题（50分） 1. 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件概率

是98的是（）

A. 颜色全相同 B. 颜色不全相同 C. 颜色全不相同 D. 颜色无红色 2. 已知等差数列}{na的前n项和为nS，且55,1052SS，则过点),(nanP，

,2(nQ)2na)(*Nn

的直线的斜率为（）

A. 4 B. 41 C. －4 D. 41

3. 若互不相等的实数cba,,成等差数列，bcabca,,成等比数列，且15cba，则a

（） A. －20 B. 5 C. －5 D. 20 4. △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为aAbBAacba2cossinsin,,,2，

则ab＝（）

A. 32 B. 22 C. 3 D. 2 5. 若0,,cba且324)(bccbaa，则cba2的最小值为（） A. 13 B. 13 C. 232 D. 232 6. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体

感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（） A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C. 丙地：中位数为2，众数为3 D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3 7. ab10，若关于x的不等式22)()(axbx的解集中的整数恰有3个，则（）

A. 01a B. 10a C. 31a D. 63a 8. 把正奇数数列}12{n的各项从小到大依次排成如下图形状数表：记),(tsM表示该表中第s行的第t个数，则表中的奇数2007对应于（） A. )14,45(M B. )24,45(M C. )14,46(M D. )15,46(M 9. 已知△ABC的周长为12，且CBAsin2sinsin。若△ABC的面积为

Csin6

1，则角C的度数为（）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 10. 设)(xf是定义在R上的奇函数，且当0x时，2)(xxf，若对任意的

,22[x]22，不等式)(2)(xftxf，则实数t的取值范围是（） A. ),2[ B. ),2[ C. ),12[ D. ]2,0[]1,2[

二、填空题（25分） 11. 在长为12cm的线段AB上任取一点C。现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于220cm的概率为__________。 12. 在△ABC中，cba,,分别是角A、B、C所对的边，若

)sinsin)(sin(CBAcba

＝Basin3，则∠C＝_________ 13. 按下列程序框图运算：

若5x，则运算进行_________次才停止；若运算进行)(*Nkk次才停止，则x的取值范围是_________。 14. 已知数列}{na满足；ma1（m为正整数），.a,13aa,2nnn1为奇数时当为偶数时，当nnaa若 16a，则m所有可能的取值为___________。 15. 若对任意ByAx,，),(RBRA有唯一确定的),(yxf与之对应，则称

),(yxf为关于yx,的二元函数。现定义满足下列性质的二元函数),(yxf为关于实数yx,的广义“距离”：（1）非负性：0),(yxf，当且仅当yx时取等号；（2）对称性：),(),(xyfyxf；（3）三角形不等式：),(),(),(yzfzxfyxf对任意的实数z均成立。今给出三个二元函数， ①||),(yxyxf；②2)(),(yxyxf；③yxyxf),(。请选出所有能够

成为关于yx,的广义“距离”的序号：___________。

三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分） 16. 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料。若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力。（1）求此人被评为优秀的概率；（2）求此人被评为良好及以上的概率。 17. 已知}{na是等差数列，其前n项和为nS，}{nb是等比数列，且4411,2baba＝

27，1044bS。（1）求数列}{na与}{nb的通项公式；（2）记*1211,NnbababaTnnnn，求nT（*Nn）。 18. 已知直线L：)(021Rkkykx。（1）证明：直线L过定点；（2）若直线不经过第一象限，求k的取值范围；（3）若直线L交x轴负半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线L的方程。 19. 在△ABC中，角A，B，C的对边是cba,,，已知CbBcAacoscoscos3

（1）求Acos的值；（2）若332coscos,1CBa，求边c的值。 20. 各项均为正数的数列}{na，54,2121aa，且对满足qpnm的正整数

qpnm,,,都有)1)(1()1)(1(qpqpnmnmaaaaaaaa。（1）求543,,aaa；（2）求通项na。 21. 已知函数24)(2xaxxf满足对任意1x，Rx2且21xx，都有

2)()(22121xfxfxxf。

（1）求实数a的取值范围；（2）试讨论函数)(xfy在区间]1,1[上的零点的个数；

（3）对于给定的实数a，有一个最小的负数)(aM，使得0),(aMx时，4)(4xf都成立，则当a为何值时，)(aM最小，并求出)(aM的最小值。【试题答案】一、选择题 1. B 2. A 3. D 4. D 5. D 6. D 7. C 8. A 9. C 10. A 二、填空题 11. 32 12. 60°

13. 4，1k时，),82(x；2k时，kkx6531,31 14. 4，5，32 15. ① 三、解答题 16. 解：将5杯饮料编号为：1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示

B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）可见共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件。则（1）101)(DP（6分）

（2）107)()()(,53)(EPDPFPEP（12分） 17. 解：（1）设等差数列}{na的公差为d，等比数列}{nb的公比为q。由211ba，得 dsqbda68,2,324344。由条件，得方程组,10268,2723233qdqd 解得

,2.3qd

所以*,2,13Nnbnannn。（4分）（2）证明由（1）得123122222aaaaTnnnnn，①

11213222222aaaaTnnnnn，② 由②－①，得 26221)21(122232323)13(221232nnTnnnnn

（10分） 106210nn。（12分） 18. 解：（1）直线l的方程是：0)1()2(yxk，令0102yx解之得12yx ∴无论k取何值，直线总经过定点)1,2(。（3分）（2）0k（6分）（3）由l的方程得，)12,0(),0,21(kBkA。依题意得012021kk，解得0k。

)414(21|12||21|21||||21kkkkOBOAS)422(21＝4，（10分）此时21k 直线方程为：042yx（12分）

19. 解：（1）由余弦定理CabbacBaccabcos2,cos2222222（6分）有aCbBcoscos，代入已知条件得aAacos3，即31

cosA

（2）由31cosA得322sinA，则322cos31)cos(cosCCABsinC，

代入332coscosCB得3sin2cosCC，从而得1)sin(C，其中20,36cos,33sin，则2C，于是36sinC，由正弦定理得23sinsinACac。（12分） 20. 解：（1）122121,4140,1413543aaa （2）由)1)(1()1)(1(qpqpnmnmaaaaaaaa得

)1)(1()1)(1(121211nnnnaaaaaaaa。将54,2121aa代入化简得

21211nnnaaa

。